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多邊形的面積和面積變換
本講在初二幾何范圍內，通過實例對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：
（1）?全等形的面積相等；
（2）?多邊形的面積定理（三角形、梯形等，略）；
（3）?等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等（對梯形底相等應理解為兩底和相等）；
（4）等底（等高）的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高（這高對應的底）的比.
以下約定以△ABC同時表示△ABC的面積.
1．? 多邊形的面積
例1? （第34屆美國中學數學競賽題）在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且∠FAB=∠BCD=，該圖形的面積是（?? ）
（A）? （B）1? （C）? （D）? （E）2
分析? 將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連BF、BE、BD得四個與△ABF全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為.所以選（D）.

例2??（第5屆美國數學邀請賽試題）如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_________.
分析? 如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點.
而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，設為e.
由SAXPWD=SPQZW? 得
∴2e=106，
∴AB=2e+87=193.
例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點.試證：△EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.
分析? 注意到E、F各為BD、AC的中點，連結EA、EC和FD.則
如果能夠證明△EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點P，連PE、PF，則PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.

2．? 利用面積變換解幾何題
先看一個例子.
例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側作正方形ACDE、BCGH，連結BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.
證明 (如圖23-4)顯然S△GCQ=S△HCQ，
∵HB∥AG，∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQ·AG=CP·BD.
∵AG=AC+GC=DC+BC=BD，
∴CP=CQ.
此例是關于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關系達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關系入手來研究圖形的度量關系和位置關系的方法即所謂面積變換.
例5? (第37屆美國中學數學競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ+AR等于(?? ).
（A）3? （B）1+ （C）4? （D）2+? (E)5
分析? 因題設中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到
即
由CD=BC=DE，則AP+AQ+AR=5·OP。故AO+AQ+AR=4.應選（C）.

例6? （第37屆美國中學數學競賽題）不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數，那么它的長度最大可能是（?? ）.
（A）4? （B）5? （C）6? （D）7
（E）不同于（A）-（D）的答案
解? 設△ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為
顯見＞.據“三角形兩邊之和大于第三邊”有+＞，+＞.
解得3＜h＜6.所以選（B）.
例7?圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點、，使P、Q是△ABC內兩點，如果P，Q到△ABC各邊的距離之和相等，則PQ∥；反之亦然.
證明? 設P、Q到△ABC各邊的距離之和分別為S（P），S（Q）.連PA、PB、P、P，不難發現△APB+△AP+△PB-△P=△ABC-△C（定值）.
于是==
同理，
顯然，當S（P）=S（Q）時，， ∴PQ∥
反之，當PQ∥時， ∴S（P）=S（Q）.
3．? 一個定理的應用定理
已知△ABC、△DBC共邊BC，AD交BC或其延長線于E，則
分析? 當B或C點與E重合時，結論顯然成立.當B、C都不與E重合時，有兩種情況：若E在BC之間，由△ABE=易知結論成立；若E在BC之外類似可證.證明略.
這個定理敘述的事實雖然簡單,但卻能解決大問題.
例8 (1987年全國初中數學聯賽試題)如圖23-8已知四邊形ABCD內有一點E,連接AE、BE、CE、DE，將四邊形ABCD分成四個面積相等的三角形，那么命題（?? ）.
甲.?? ABCD是凸四邊形;???乙.?? E是對角線AC的中點或對角線BD的中點;
丙.?? ABCD是平行四邊形中.
(A)?? 只有甲正確? (B)只有乙正確? (C)甲、乙、丙都正確? （D）甲、乙、丙都不正確
分析? 如果ABCD是以AC為對稱軸的凹四邊形，易見AC的中點具有題中E點所要求的性質，所以甲、丙都不正確.
設AE、BE、CE、DE將四邊形ABCD分成四個面積相等的三角形，BD、AC交于F，由△ABE=△ADE及本講定理知F是BD的中點，即E在AF上.
如果F與E重合，則E是BD的中點，乙成立.如果F與E不重合，同理由△BEC=△DEC是E在直線CF上，也就是說A、C都在直線EF上.再由△ABE=△BEC，得AE=EC，所以E是AC的中點，乙成立.所以選（B）.
如果將三點A、B、C在一條直線上看成是△ABC的蛻化情況，那么A、B、C三點共線等價于△ABC=0.由此引出證明三點共線的一條極自然的思路:欲證三點A、B、C共線，只要證明△ABC=0.為了計算△ABC的面積，常在A、B、C之外適當選一點P，如果△PAB、△PBC、△PAC三者之中一個等于另兩個之和，則自然有△ABC=0，這方面傳統的例子是梅內勞斯定理的證明.
例9 在圖23-9△ABC的兩邊AB、AC上分別取E、F兩點，在BC的延長線上取點D，使 則D、E、F三點共線.??
證明? 設則
于是? ????①
? ②
???????? ③
由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF，
∴D、E、F三點共線.
說明：A、B、C共線即點B在直線AC上.由此即知欲證l1、l2、l3共點，只要證l1、l2的交點B在直線l3上，若在l3上別取點A、C，則只要證明△ABC=0即可.看來三線共點的問題可轉化為三點共線來解決，這方面典型的例子是塞瓦定理的證明（見練習題）.
最后，我們來看一個漂亮的作圖問題.

例10設A、B是直線l1上的兩點，而C、D是直線l2上的兩點，l1與l2交于O，作出平面上一切滿足條件△PAB=△PCD的點P.
分析? 如圖23-10，在l1上取E、F，使O為EF中點且EO=AB；在l2上取G、H，使O為GH中點且GO=CD.不妨設E、G、F、H之順序使EGFH成為以O為中心的平行四邊形.設EG、GF、FH、HE之中點順次為M、S、N、R，則P點為直線MN和RS上的一切點.
設P為RS上或MN上任一點，由作圖知△PAB=△PFO，△PCD=△PGO.由本講定理知△PFO=△PGO，所以△PAB=△PCD.當P點不在直線MN上且不在RS上時，可以用反證法證明△PAB≠△PCD.??
練習
1．? 選擇題
（1）等腰△ABC中，一腰上的高線長為，這個高線與底邊的夾角是，△ABC的面積是（?? ）.
（A）? （B）2 （C）2 （D）? （E）以上答案都不對
（2）如圖，ABCD是面積為1的正方形，△PBC為正三角形，則△BPD的面積為（?? ）.
（A）? （B）? （C）? （D）? （E）
（3）已知等腰△ABC一腰上的中線為15，底邊上的高為18，則△ABC的面積是（?? ）.
（A）124? （B）144? （C）150? （D）以上答案都不對
2.填空題
(1)??? 已知一張矩形紙片ABCD,AB=a,BC=Ka,將紙片折疊一次,使頂點A與C重合,如果紙片不重合部分面積為,則K=__________.
(2)??? 已知等腰梯形ABCD的兩對角線AC、BD互相垂直相交，且梯形的面積為100cm2，則梯形的高h=_________.
(3)??? (第3屆美國數學邀請賽試題)如圖所示,將△ABC的三個頂點與同一個內點連接起來,所得三條聯線把△ABC分成六個小三角形,其中四個小三角形的面積已在圖上標明. △ABC的面積是_________.
(4)??? (1984年西安初中數學競賽題)設△ABC的面積為1,則△DEF的面積是___________.
3.如圖,B在AC上,Q在PR上,PB∥QC，AQ∥BR.求證：AP∥CR.
4．（1974年加拿大中學生笛卡爾數學競賽題）設AD為△ABC一中線，引任一直線CF交AD于E，交AB于F.
證明AE·FB=2AF·ED.
5．（塞瓦定理）設X、Y、Z分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點，若
則AX、BY、CZ三線共點.
6．（1983年中學生聯合數學競賽題）如圖，在四邊形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面積比是3：4：1，點M，N分別在AC，CD上，滿足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三點共線，求證：M與N分別是AC與CD的中點.
此處無圖
7．P為△ABC內部一點，P到邊AB、AC的距離為PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求證：ax≥cq+br.（a，b，c為相應頂點對應的邊長）
8．三角形的兩邊不等，則大邊加上這邊上的高，不小于小邊加上小邊上的高.
9．設△ABC的面積S=1.試分別在邊BC、CA、AB上依次我一內點E、F、G，使得△EFG的面積適合＜＜
?
練習參考答案：
１．Ａ　　Ｄ　　Ｂ
２．（１）４－．?? （２）１０? （３）３１５．
（４）
３．連ＰＣ、ＢＱ．△ＰＱＣ＝△ＢＱＣ，△ＡＢＲ＝△ＢＱＲ
∴△ＰＲＣ＝ＳＱＲＣＢ＝△ＡＲＣ，∴ＡＰ∥ＣＲ．
４．連ＢＥ后，引入三個面積參數，即Ｓ１＝△ＡＥＦ，Ｓ２＝△ＢＥＦ，Ｓ３＝△ＢＥＤ＝△ＤＥＣ則△ＡＥＣ＝△ＡＢＥ＝Ｓ１＋Ｓ２．
５．設ＡＸ與ＢＹ交于點Ｏ，連ＺＯ、ＯＣ．設易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ
＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ
∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共線．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共點．
６．????????????? 設及△ＡＢＣ＝１．
這時，△ＡＢＤ＝３，△ＢＣＤ＝４，△ＡＣＤ＝３＋４－１＝６．△ＡＢＭ＝ｒ，△ＢＣＭ＝１－ｒ，△ＢＣＮ＝４ｒ，△ＡＣＮ＝６ｒ，△ＣＮＭ＝△ＢＣＮ－△ＢＣＭ＝４ｒ－（１－ｒ）＝５ｒ－１，△ＡＭＮ＝△ＡＣＮ－△ＣＮＭ＝６ｒ－（５ｒ－１）＝ｒ＋１
．因此，所以解得即Ｍ與Ｎ分別是ＡＣ與ＣＤ的中點．
７作ＡＨ⊥ＢＣ，設ＡＨ＝ｈ．又作ＰＤ⊥ＢＣ，設ＰＤ＝ｐ．顯然ａｈ＝ａｐ＋ｃｑ＋ｒｂ，∴ｃｑ＋ｂｒ＝ａ（ｈ－ｐ）≤ａｘ．
８．如圖，設ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ｃ＞ｂ．ＢＤ＝ｈｂ，ＣＥ＝ｈｃ．易知ｂ－ｈｃ≥０，ｃ－ｈｂ≥０，ｃｈｃ＝ｂｈｂ．∴ｂｃ－ｃｈｃ＝ｂｃ－ｂｈｂ＝ｂ（ｃ－ｈｂ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），即ｃ（ｂ－ｈｃ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），∴ｂ－ｈｃ＜ｃ－ｈｂ，即ｂ＋ｈｂ＜ｃ＋ｈｃ．
９．作法：如圖，作△ＡＢＣ的中位線Ｂ′Ｃ′并延長Ｂ′Ｃ′至Ｍ，使Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ′．作Ｂ′Ｅ⊥ＢＣ，垂足為Ｅ（當∠Ａ為△ＡＢＣ的最大內角時，Ｅ必為ＢＣ的內點），作MＤ∥Ｂ′Ｅ，交ＡＢ于Ｄ．選ＤＣ′的任一內點Ｇ，連結ＧＢ′、ＣＥ，并將點Ｂ′改名為Ｆ，則△ＥＦＧ即為所求．

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