資源簡介

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第四章 三角形與四邊形
第4節 等腰三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等腰三角形的性質與判定 ☆☆ 該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的.而數學中考中，等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現，但是因為等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于中考必考的中等偏上難度的考點.
考點2 等邊三角形的性質與判定 ☆☆
考點3 線段垂直平分線的性質與判定定理 ☆☆
等腰三角形：
（1）定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定
①有兩條邊 的三角形是等腰三角形；
②有兩個角 的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”；
（3）性質
①等腰三角形的 相等， 相等；
②三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相 ；
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，對稱軸是 .
（4）性質推廣
①等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半；
②等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高
2.等邊三角形
（1）定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.
（2）對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸
（3）判定
①三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都是 的三角形是等邊三角形；
③有一個角都是 的等腰三角形是等邊三角形；
3.線段的中垂線的性質定理：線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；
逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的中垂線上.
■考點一　等腰三角形的性質與判定
◇典例1：（2022 南崗區一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是△ABC的角平分線．
（1）如圖1，求證：AD＝BC；
（2）如圖2，過點D作DE∥BC交AC于點E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個等腰三角形（△ABC除外）．
◆變式訓練
1．（2022 濱江區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，DA⊥AB．設∠CAD＝38°，則∠ADB＝（　　）
A．60° B．62° C．64° D．66°
2．（2023 菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022 溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）求證：∠EBD＝∠EDB．
（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．
■考點二 等邊三角形的性質與判定
◇典例2：（2023 綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
◆變式訓練
1．（2022 海曙區一模）如圖，在△ABC中，邊AC，BC的垂直平分線交于三角形外一點P，若△ABP為等邊三角形，則∠ACB的度數為 　　．
2．（2023 張店區校級二模）如圖，在等邊△ABC中，點D在邊BC上，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求∠F的度數；
（2）求證：DC＝CF．
■考點三 線段垂直平分線的性質與判定定理
◇典例3：（2023 寧波模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，則△BCE的周長為（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
◆變式訓練
1．（2022 宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
2．（2021 杭州二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點E是AC上的點，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　　．
1．（2022 永嘉縣校級一模）木工師傅將一把三角尺和一個重錘如圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平，能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．角平分線定理 B．等腰三角形的三線合一
C．線段垂直平分線定理 D．兩直線垂直的性質
2．（2023 麗水模擬）如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，連結AF，則∠BAF的度數是（　　）
A．127.5° B．135° C．120° D．105°
3．（2023 桐鄉市一模）若等腰△ABC的一個外角等于130°，則該三角形的頂角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
4．（2022 常山縣模擬）如圖．∠ABC是一個銳角，以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，交射線BC于點D，E，若∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，則∠DAE的度數是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2023 東陽市三模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數為（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
6．（2023 西湖區一模）如圖，P為△ABC內一點，過點P的直線MN與邊AB，AC分別交于點M，N，若點M，點N恰好分別在BP，CP的垂直平分線上，記∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，則α，β滿足的關系式為（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
7．（2022 寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
8．（2022 淮北一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若點P為直線BC上一點，且△ABP為等腰三角形，則符合條件的點P有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2020 黃巖區模擬）如圖所示，在△ABC中，內角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．（2022 舟山模擬）如圖，△ABC，△DBE和△FGC均為正三角形，以點D，E，F，G在△ABC的各邊上．DE和FG相交于點H，若S四邊形ADHF＝S△HGE，BC＝a，BD＝b，CF＝c，則a，b，c滿足的關系為（　　）
A．a+c＝2b B．b2+c2＝a2 C．+＝ D．a＝2
11．（2021 永嘉縣校級模擬）等腰三角形兩邊長分別為7和5，則這個等腰三角形的周長為　　．
12．（2021 永嘉縣校級模擬）如圖，△ABC中，D是BC上一點，AC＝AD＝BD，∠BAC＝108°，則∠ADC的度數是　　．
13．（2023 麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是 　　．
14．（2021 金東區模擬）已知△ABC為等邊三角形，D為邊AC上一點，延長BC至E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE等于　　．
15．（2021 寧波模擬）如圖，△ABC為正三角形，BD是角平分線，點F在線段BD上移動，直線CF與AB交于點E，連接AF，當AE＝AF時，∠BCE＝　　度．
16．（2021 紹興）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則∠BAP的度數是 　　．
17．（2023 永嘉縣三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC，交BD的延長線于點E．
（1）求∠ADB的度數；
（2）求證：△ADE是等腰三角形．
18．（2021 溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點D，使DB＝DE．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數．
19．（2021 紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數；
（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關系，并說明理由．
1．（2023 青龍縣模擬）下列說法中錯誤的是（　　）
A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．三角形的中線、角平分線、高線都是線段
C．任意三角形的內角和都是180° D．三角形按邊分可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形
2．（2023 萊蕪區三模）如圖，點P是∠AOB的角平分線OC上一點，點Q是OA上一點，且PQ∥OB，若PQ＝2，則線段OQ的長是（　　）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．2
3．（2023 雄縣一模）“在△ABC中，與∠A相鄰的外角是100°，要使△ABC為等腰三角形，求∠B的度數．”對于其答案，甲答：50°；乙答：80°；丙答：20°．則正確的是（　　）
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
4．（2023 越城區三模）有一道題目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分別以B、C為圓心，以BC長為半徑的兩條弧相交于D點，求∠ABD的度數”．嘉嘉的求解結果是∠ABD＝10°．淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠ABD還應有另一個不同的值．”下列判斷正確的是（　　）
A．淇淇說得對，且∠ABD的另一個值是130° B．淇淇說的不對，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的結果不對，∠ABD應得20° D．兩人都不對，∠ABD應有3個不同值
5．（2021 寧波模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，AC的垂直平分線交AC于點F，交BC于點G．若以BE，EG，GC為邊的三角形的面積為8，則△ABC的面積可能是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．（2023 蚌埠模擬）在如圖的網格中，在網格上找到點C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點有幾個（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023 椒江區一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F分別在邊AC，BC，AB上，連接DE，EF，且滿足CD＝DE，BE＝EF．設∠DEF＝y°，∠A＝x°，則關于x，y的關系式正確的是（　　）
A． B．y＝180﹣2x C． D．
8．（2023 濱州）已知點P是等邊△ABC的邊BC上的一點，若∠APC＝104°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內角的大小為（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
9．（2023 慈溪市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點E在線段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于點F，若∠A＝50°，AB＝12，則線段CF的長為（　　）
A．3 B． C． D．4
10．（2022 南譙區校級模擬）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC、BE相交于點M，AD、CE相交于點N，則下列五個結論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
11．（2023 鄞州區模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點，且AB＝8，BC＝6，則△BEC的周長是　　．
12．（2021 義烏市模擬）如圖，已知D是等邊△ABC內一點，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，則∠BED＝　30°　．
13．（2021 溫嶺市一模）如圖，已知∠ABC＝26°，D是BC上一點，分別以B，D為圓心，相等的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，G，連接FG交AB于點E，連接ED，則∠DEA＝　　．
14．（2023 安吉縣一模）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是　　．
15．（2023 廣東模擬）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若補充一個條件，可以使BE＝CE，則可以補充的條件為 　 　．（填寫“E為BC中點”不得分）
16．（2022 柯橋區二模）等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分別以A、C為圓心，以AB為半徑畫弧，兩弧交于點D，則∠BCD點的度數為 　 　．
17．（2022 柯橋區一模）如圖，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分線且交CD于點D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度數；
（2）若CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝ED．
18．（2023 蓮都區一模）如圖，△ABC中，CD是角平分線，DE∥BC，交AC于點E．
（1）求證：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度數．
19．（2020 紹興）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數會改變嗎？說明理由．
（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數．
20．（2020 寧德一模）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數．
21．（2021 嵊州市模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度數．
（2）若DE＝4，試添加一個條件，并求出BC的長度．
22．（2022 于洪區二模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求證：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，連接ED，求△BEC的面積．
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第四章 三角形與四邊形
第4節 等腰三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等腰三角形的性質與判定 ☆☆ 該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的.而數學中考中，等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現，但是因為等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于中考必考的中等偏上難度的考點.
考點2 等邊三角形的性質與判定 ☆☆
考點3 線段垂直平分線的性質與判定定理 ☆☆
等腰三角形：
（1）定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；
②有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”；
（3）性質
①等腰三角形的兩腰相等，兩個底角相等；
②三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合；
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，對稱軸是底邊的中垂線.
（4）性質推廣
①等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半；
②等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高
2.等邊三角形
（1）定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.
（2）對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸
（3）判定
①三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都是60°的三角形是等邊三角形；
③有一個角都是60°的等腰三角形是等邊三角形；
3.線段的中垂線的性質定理：線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；
逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的中垂線上.
■考點一　等腰三角形的性質與判定
◇典例1：（2022 南崗區一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是△ABC的角平分線．
（1）如圖1，求證：AD＝BC；
（2）如圖2，過點D作DE∥BC交AC于點E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個等腰三角形（△ABC除外）．
【考點】等腰三角形的判定；平行線的性質；等腰三角形的性質．
【答案】（1）見解析；（2）△ADE，△ADC，△DEC，△BCD．
【點撥】（1）根據角平分線的定義可得∠ACD的度數，再由等腰三角形的判定可得結論；
（2）先分別計算各個角的度數，再根據等腰三角形的判定可得答案．
【解析】（1）證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝＝72°，
∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠BCD＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴AD＝DC，BC＝CD，
∴AD＝BC；
（2）解：由（1）知，∠A＝∠ACD＝∠BCD＝36°，∠B＝∠BDC＝72°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝36°＝∠ECD，∠AED＝∠ACB＝72°，
∴AD＝AE，AD＝DC，DE＝EC，CD＝CB，
∴圖中等腰三角形有：△ADE，△ADC，△DEC，△BCD．
【點睛】此題考查的是等腰三角形的判定與性質、平行線的性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 濱江區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，DA⊥AB．設∠CAD＝38°，則∠ADB＝（　　）
A．60° B．62° C．64° D．66°
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】C
【點撥】根據等腰三角形性質及三角形外角性質求解即可．
【解析】解：∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠CAD＝38°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝128°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝26°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝64°，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，等邊對等角的性質，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵．
2．（2023 菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
【考點】等腰三角形的判定；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術平方根；解二元一次方程組．
【答案】D
【點撥】由等式可分別得到關于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的關系，可推導得到△ABC為直角三角形．
【解析】解：由題意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC為等腰直角三角形，
故選：D．
【點睛】本題考查了非負性和勾股定理的逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數的和為0，每一個非負 數均為0，和勾股定理逆定理．
3．（2022 溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）求證：∠EBD＝∠EDB．
（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．
【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】（1）見解析；
（2）CD＝ED，理由見解析．
【點撥】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質可得結論；
（2）利用平行線的性質可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．
【解析】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關鍵．
■考點二 等邊三角形的性質與判定
◇典例2：（2023 綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
【考點】等邊三角形的性質．
【答案】C
【點撥】先由等邊三角形的性質，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根據CE＝CD，得∠E＝∠CDE，進而得∠CBD＝∠E＝30°，則BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC邊上的中線，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 海曙區一模）如圖，在△ABC中，邊AC，BC的垂直平分線交于三角形外一點P，若△ABP為等邊三角形，則∠ACB的度數為 　150°　．
【考點】等邊三角形的性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．
【答案】150°．
【點撥】先根據線段的垂直平分線的性質可得AP＝PC＝PB，由等腰三角形的性質可得∠PAC＝∠PCA，∠PCB＝∠PBC，最后根據等邊三角形和四邊形的內角和定理可得結論．
【解析】解：連接PC，
∵邊AC，BC的垂直平分線交于三角形外一點P，
∴AP＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PCB＝∠PBC，
∵△ABP為等邊三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝＝150°．
故答案為：150°．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質．解答此題的關鍵是掌握這些性質．
2．（2023 張店區校級二模）如圖，在等邊△ABC中，點D在邊BC上，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求∠F的度數；
（2）求證：DC＝CF．
【考點】等邊三角形的判定與性質；平行線的性質；等腰三角形的判定與性質．
【答案】見解析
【點撥】（1）由平行線的性質求出∠EDC，再由三角形的內角和定理解決問題即可．
（2）證△DEC是等邊三角形，得CE＝CD，再證∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出結論．
【解析】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
■考點三 線段垂直平分線的性質與判定定理
◇典例3：（2023 寧波模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，連接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，則△BCE的周長為（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】A
【點撥】根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，根據直角三角形斜邊上的中線的性質求出AB，根據勾股定理求出AC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，AD＝DB，
在Rt△ABC中，AD＝DB，CD＝6.5，
∴AB＝2CD＝13，
∴AC＝＝＝12，
∴△BCE的周長＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝17，
故選：A．
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
◆變式訓練
1．（2022 宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】C
【點撥】根據題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長．
【解析】解：由題意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周長是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周長是19，
故選：C．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，三角形的周長，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
2．（2021 杭州二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點E是AC上的點，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　1：3　．
【考點】線段垂直平分線的性質；三角形的面積．
【答案】見試題解答內容
【點撥】根據線段垂直平分線的性質得到AD＝BD，S△ADE＝S△BDE，根據全等三角形的性質健康得到結論．
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案為：1：3．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．
1．（2022 永嘉縣校級一模）木工師傅將一把三角尺和一個重錘如圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平，能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．角平分線定理 B．等腰三角形的三線合一
C．線段垂直平分線定理 D．兩直線垂直的性質
【考點】等腰三角形的性質；直線、射線、線段．
【答案】B
【點撥】根據等腰三角形的性質確定答案即可．
【解析】解：木工師傅將一把三角尺和一個重錘如圖放置，
當重錘經過等腰三角形的底邊的中點時，就能檢查出這根橫梁水平，否則就不水平，
所以解釋這一現象的數學知識是等腰三角形的三線合一，
故選：B．
【點睛】考查了等腰三角形的性質，了解等腰三角形的三線合一的性質是解答本題的關鍵，難度不大．
2．（2023 麗水模擬）如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，連結AF，則∠BAF的度數是（　　）
A．127.5° B．135° C．120° D．105°
【考點】等腰三角形的性質；平行線的性質．
【答案】A
【點撥】根據平行線的性質求出∠ACF＝∠DFE＝45°，根據等腰三角形的性質及角的和差求解即可．
【解析】解：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，
∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，
∵AC∥EF，
∴∠ACF＝∠DFE＝45°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝×（180°﹣∠ACF）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°，
故選：A．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，熟記“等邊對等角”是解題的關鍵．
3．（2023 桐鄉市一模）若等腰△ABC的一個外角等于130°，則該三角形的頂角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【考點】等腰三角形的性質；三角形的外角性質．
【答案】D
【點撥】根據等腰三角形的一個外角等于130°，進行討論可能是底角的外角是130°，也有可能頂角的外角是130°，從而求出答案．
【解析】解：①當130°外角是底角的外角時，底角為：180°﹣130°＝50°，
∴頂角度數是180°﹣50°﹣50°＝80°；
②當130°外角是頂角的外角時，頂角為：180°﹣130°＝50°，
∴頂角為50°或80°．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形外角的性質，能根據題意進行分類討論求解是解題的關鍵．
4．（2022 常山縣模擬）如圖．∠ABC是一個銳角，以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，交射線BC于點D，E，若∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，則∠DAE的度數是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】B
【點撥】根據三角形外角的性質可得到∠ADE的度數，再根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，即可得到∠DAE的度數．
【解析】解：∵∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝65°，
由作圖可得，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝65°，
∴△ADE中，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質，解題時注意：等腰三角形的兩個底角相等．
5．（2023 東陽市三模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數為（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
【考點】等邊三角形的性質；平行線的性質．
【答案】B
【點撥】首先利用三角形外角性質得到∠DEC＝102°，然后利用平行線性質得出結果．
【解析】解：如圖：AB，AC分別交直線a于點D，E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
又∵∠ADE＝∠1＝42°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，
又∵a∥b，
∴∠2＝∠DEC＝102°．
故選：B．
【點睛】本題考查平行線的性質和三角形外角性質，在圖形中識別外角和內錯角是解決問題的關鍵．
6．（2023 西湖區一模）如圖，P為△ABC內一點，過點P的直線MN與邊AB，AC分別交于點M，N，若點M，點N恰好分別在BP，CP的垂直平分線上，記∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，則α，β滿足的關系式為（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】C
【點撥】根據三角形內角和定理可得∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，根據平角定義可得∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，結合點M，點N恰好分別在BP，CP的垂直平分線上可得∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，結合三角形內外角關系可得∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，即可得到答案．
【解析】解：∵點M，點N恰好分別在BP，CP的垂直平分線上，
∴PM＝BM，PN＝CN，
∴∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，
∵∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查三角形外角的性質，三角形內角和定理及線段垂直平分線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
7．（2022 寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【考點】等腰三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】D
【點撥】根據三角形中位線可以求得AE的長，再根據AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長．
【解析】解：∵D為斜邊AC的中點，F為CE中點，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故選：D．
【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系、三角形的中位線，解答本題的關鍵是求出AD的長．
8．（2022 淮北一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若點P為直線BC上一點，且△ABP為等腰三角形，則符合條件的點P有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】等腰三角形的判定．
【答案】D
【點撥】依據點P為直線BC上一點，且△ABP為等腰三角形，需要分三種情況進行討論，即①AB＝AP，②BA＝BP，③AP＝BP，據此通過畫圖即可得出點P的位置．
【解析】解：如圖所示，分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，與直線l的交點P1，P2，P3即為所求；作AB的垂直平分線，與直線l的交點P4即為所求．
∴符合條件的點P有4個．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．
9．（2020 黃巖區模擬）如圖所示，在△ABC中，內角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】線段垂直平分線的性質；平行線的性質；三角形的面積．
【答案】D
【點撥】利用角平分線的性質以及已知條件對①②③④進行一一判斷，從而求解．
【解析】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正確；
過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②正確；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三線合一），故③正確；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正確．
故選：D．
【點睛】此題綜合性較強，主要考查了角平分線的性質和定義，平行線的性質，線段的垂直平分線的判定，等腰三角形的性質等．
10．（2022 舟山模擬）如圖，△ABC，△DBE和△FGC均為正三角形，以點D，E，F，G在△ABC的各邊上．DE和FG相交于點H，若S四邊形ADHF＝S△HGE，BC＝a，BD＝b，CF＝c，則a，b，c滿足的關系為（　　）
A．a+c＝2b B．b2+c2＝a2 C．+＝ D．a＝2
【考點】等邊三角形的性質．
【答案】B
【點撥】先由△ABC，△DBE和△FGC均為正三角形，證得△EGH為等邊三角形，再證明四邊形ADHF為平行四邊形，然后過點D作DM⊥AF于點M，過點G作GN⊥HE于點N，根據S四邊形ADHF＝S△HGE，結合平行四邊形和等邊三角形的面積公式，得出關于a，b，c的等式，化簡即可得出答案．
【解析】解：∵△ABC，△DBE和△FGC均為正三角形，
∴∠BED＝60°，∠CGF＝60°，
∴∠GHE＝60°，
∴△EGH為等邊三角形，
∵∠BED＝60°，∠C＝60°，
∴DE∥AC，
∵∠CFG＝∠A＝60°，
∴FG∥AB．
∴四邊形ADHF為平行四邊形，
∵BC＝a，BD＝b，CF＝c，
∴AF＝DH＝a﹣c，HE＝GH＝b﹣（a﹣c）＝b+c﹣a，AD＝a﹣b．
過點D作DM⊥AF于點M，過點G作GN⊥HE于點N，如圖所示：
∵S四邊形ADHF＝S△HGE，
∴（a﹣c）（a﹣b）sin60°＝（b+c﹣a）（b+c﹣a）sin60°
∴2（a﹣c）（a﹣b）＝（b+c﹣a）（b+c﹣a），
∴2a2﹣2ab﹣2ac+2bc＝b2+c2+2bc+a2﹣2ab﹣2ac，
∴a2＝b2+c2．
故選：B．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質及銳角三角函數在計算中的應用，根據題中已知等式得出關于a，b，c的等式是解題的關鍵．
11．（2021 永嘉縣校級模擬）等腰三角形兩邊長分別為7和5，則這個等腰三角形的周長為　19或17　．
【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．
【答案】19或17
【點撥】分7是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關系判斷，然后根據三角形的周長的定義列式計算即可得解．
【解析】解：①7是腰長時，三角形的三邊分別為7、7、5，
能組成三角形，
周長＝7+7+5＝19，
②7是底邊時，三角形的三邊分別為7、5、5，
能組成三角形，
周長＝7+5+5＝17，
綜上所述，三角形的周長為19或17．
故答案為：19或17．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，難點在于分情況討論．
12．（2021 永嘉縣校級模擬）如圖，△ABC中，D是BC上一點，AC＝AD＝BD，∠BAC＝108°，則∠ADC的度數是　48°　．
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】48°
【點撥】設∠ADC＝α，然后根據AC＝AD＝DB，∠BAC＝108°，表示出∠B和∠BAD的度數，最后根據三角形的內角和定理求出∠ADC的度數．
【解析】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
設∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝108°，
∴∠DAC＝108°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+108°﹣＝180°，
解得：α＝48°．
故答案為：48°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等．
13．（2023 麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是 　4　．
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】4．
【點撥】根據等腰三角形的判定定理求出AD，再根據線段垂直平分線的性質求出DC．
【解析】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DC＝AD＝4，
故答案為：4．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
14．（2021 金東區模擬）已知△ABC為等邊三角形，D為邊AC上一點，延長BC至E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE等于　　．
【考點】等邊三角形的性質．
【答案】．
【點撥】過點C作CF⊥DE于點F，根據等邊三角形的性質可得∠ACB＝60°，根據CE＝CD可得∠E＝∠CDE＝30°，再根據含30度角的直角三角形即可求出EF的長，根據等腰三角形三線合一即可得結果．
【解析】解：如圖，過點C作CF⊥DE于點F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴EF＝CE＝，
∴DE＝2EF＝．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查等邊三角形的性質，解決此題的關鍵是掌握等邊三角形的性質．
15．（2021 寧波模擬）如圖，△ABC為正三角形，BD是角平分線，點F在線段BD上移動，直線CF與AB交于點E，連接AF，當AE＝AF時，∠BCE＝　20　度．
【考點】等邊三角形的性質；三角形內角和定理．
【答案】20
【點撥】根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質以及三角形的內角和即可得到結論．
【解析】解：∵△ABC為正三角形，BD是角平分線，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
設∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案為：20．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．
16．（2021 紹興）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則∠BAP的度數是 　15°或75°　．
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】15°或75°
【點撥】根據等腰三角形的性質可以得到△ABC各內角的關系，然后根據題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數即可．
【解析】解：如圖所示，
當點P在點B的左側時，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
當點P在點C的右側時，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度數是15°或75°，
故答案為：15°或75°．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質、圓的性質，解答本題的關鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．
17．（2023 永嘉縣三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC，交BD的延長線于點E．
（1）求∠ADB的度數；
（2）求證：△ADE是等腰三角形．
【考點】等腰三角形的判定；平行線的性質；等腰三角形的性質．
【答案】（1）108°；
（2）見解析．
【點撥】（1）根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠ABC的度數，由角平分線的定義求出∠DBC的度數，再根據三角形外角定理即可求出結果；
（2）由平行線的性質求得∠EAC＝72°，由三角形內角和定理求得∠ADE＝72，根據等腰三角形的判定即可證得結論．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）證明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質和判定是解決問題的關鍵．
18．（2021 溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點D，使DB＝DE．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數．
【考點】等腰三角形的性質；平行線的判定與性質．
【答案】（1）見解析；
（2）35°．
【點撥】（1）根據角平分線的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內錯角相等，兩直線平行證明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根據三角形的內角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分線求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解析】（1）證明：∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的判定與性質，角平分線的定義，準確識別圖形是解題的關鍵．
19．（2021 紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數；
（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關系，并說明理由．
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】（1）50°，20°；
（2）∠BEC+∠BDC＝110°，理由見解析．
【點撥】（1）根據等腰三角形的性質得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根據三角形的內角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等邊三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根據△BDC的內角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到結論．
【解析】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC與∠BDC之間的關系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：設∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，等邊三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
1．（2023 青龍縣模擬）下列說法中錯誤的是（　　）
A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．三角形的中線、角平分線、高線都是線段
C．任意三角形的內角和都是180° D．三角形按邊分可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形
【考點】等腰三角形的判定；三角形內角和定理．
【答案】A
【點撥】分別根據三角形的外角性質，三角形的內角和定理，三角形的分類以及三角形的中線、角平分線、高線的定義逐一判斷即可．
【解析】解：A、三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角，故說法錯誤，符合題意；
B、三角形的中線、角平分線、高線都是線段，說法正確，不合題意
，故本選項不合題意；
C、任意三角形的內角和都是180°，說法正確，不合題意；
D、三角形按邊分可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，說法正確，不合題意；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，三角形的分類以及三角形的中線、角平分線、高線，熟記相關知識是解答本題的關鍵．
2．（2023 萊蕪區三模）如圖，點P是∠AOB的角平分線OC上一點，點Q是OA上一點，且PQ∥OB，若PQ＝2，則線段OQ的長是（　　）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．2
【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】D
【點撥】根據角平分線的定義和平行線的性質證得∠AOC＝∠QPO，由等腰三角形的判定即可求出OQ．
【解析】解：∵點P是∠AOB的角平分線OC上一點，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PQ∥OB，
∴∠QPO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠QPO，
∴OQ＝PQ＝2．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，根據角平分線的定義和平行線的性質證得∠AOC＝∠QPO，熟練掌握等腰三角形的判定是解決問題的關鍵．
3．（2023 雄縣一模）“在△ABC中，與∠A相鄰的外角是100°，要使△ABC為等腰三角形，求∠B的度數．”對于其答案，甲答：50°；乙答：80°；丙答：20°．則正確的是（　　）
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【考點】等腰三角形的判定；三角形的外角性質．
【答案】D
【點撥】已知給出了∠A的相鄰外角是100°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還有用內角和定理去驗證每種情況是不是都成立．
【解析】解：∵在△ABC中，與∠A相鄰的外角是100°，
∴∠A＝80°，
∴當AB＝AC時，；
∴當BC＝BA時，∠C＝∠A＝80°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝20°；
∴當CB＝CA時，∠B＝∠A＝80°；
綜上所述，∠B的度數為50°或20°或80°，
∴三人答案合在一起才完整．
故選：D．
【點睛】考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理，若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．
4．（2023 越城區三模）有一道題目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分別以B、C為圓心，以BC長為半徑的兩條弧相交于D點，求∠ABD的度數”．嘉嘉的求解結果是∠ABD＝10°．淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠ABD還應有另一個不同的值．”下列判斷正確的是（　　）
A．淇淇說得對，且∠ABD的另一個值是130° B．淇淇說的不對，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的結果不對，∠ABD應得20° D．兩人都不對，∠ABD應有3個不同值
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】A
【點撥】由題意可知嘉嘉考慮不周全，如圖，當點D在△ABC外時，∠ABD的另一個值是130°．
【解析】解：如圖，當點D在△ABC外時，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵BC＝BD＝CD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，等邊三角形的判定與性質，正確畫出圖形是解題的關鍵．
5．（2021 寧波模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，AC的垂直平分線交AC于點F，交BC于點G．若以BE，EG，GC為邊的三角形的面積為8，則△ABC的面積可能是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【考點】線段垂直平分線的性質；三角形的面積．
【答案】D
【點撥】連接AE、AG，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，GA＝GC，根據三角形的三邊關系得到AE+AG＞EG，根據三角形的面積公式判斷即可．
【解析】解：連接AE、AG，
∵DE是AB的垂直平分線，FG是AC的垂直平分線，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵以BE，EG，GC為邊的三角形的面積為8，
∴△AEG的面積為8，
∵AE+AG＞EG，
∴BE+CG＞EG，
∴S△AEB+S△ACG＞S△AEG，
∴S△ABC＞2S△AEG＝16，
故選：D．
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、三角形的面積計算，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
6．（2023 蚌埠模擬）在如圖的網格中，在網格上找到點C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點有幾個（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考點】等腰三角形的判定．
【答案】C
【點撥】首先由勾股定理可求得AB的長，然后分別從BA＝BC，AB＝AC，CA＝CB去分析求解即可求得答案．
【解析】解：如圖，
∵AB＝＝2，
∴①若BA＝BC，則符合要求的有：C1，C2共2個點；
②若AB＝AC，則符合要求的有：C3，C4共2個點；
③若CA＝CB，則符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6個點．
∴這樣的C點有10個．
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解題關鍵是分類的數學思想．
7．（2023 椒江區一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F分別在邊AC，BC，AB上，連接DE，EF，且滿足CD＝DE，BE＝EF．設∠DEF＝y°，∠A＝x°，則關于x，y的關系式正確的是（　　）
A． B．y＝180﹣2x C． D．
【考點】等腰三角形的性質．
【答案】D
【點撥】先根據等腰三角形的性質與判定得出∠C＝∠CED，∠B＝∠BFE，∠B＝∠C，再根據平角定義得到∠DEF和∠B的關系式，根據三角形內角和得到∠A和∠B的關系式，結合求解即可．
【解析】解：∵CD＝DE，BE＝EF，
∴∠C＝∠CED，∠B＝∠BFE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠CED+∠BEF＝∠C+180°﹣2∠B＝180°﹣∠B，
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣∠B）＝∠B＝y°，
又∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣2∠B＝x°，
∴180°﹣2y°＝x°，即，
故選：D．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理和平角定義，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
8．（2023 濱州）已知點P是等邊△ABC的邊BC上的一點，若∠APC＝104°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內角的大小為（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【考點】等邊三角形的性質．
【答案】B
【點撥】過點P作PD∥AB交AC于點D，過點PE∥AC交AB于點E，四邊形AEPD為平行四邊形，根據平行線的性質易得△CDP為等邊三角形，△BEP為等邊三角形，則CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，求出△AEP的三個內角即可求解．
【解析】解：如圖，過點P作PD∥AB交AC于點D，過點PE∥AC交AB于點E，
則四邊形AEPD為平行四邊形，
∴DP＝AE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP為等邊三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以線段AP，BP，CP為邊的三角形的三個內角分別為16°、44°、120°，
∴最小內角的大小為16°．
故選：B．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、三角形外角性質，根據題意正確畫出圖形，推理論證得到△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形是解題關鍵．
9．（2023 慈溪市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點E在線段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于點F，若∠A＝50°，AB＝12，則線段CF的長為（　　）
A．3 B． C． D．4
【考點】等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】C
【點撥】先利用直角三角形的兩個銳角互余求出∠B＝40°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質可得CD＝BD＝AB＝6，從而可得∠B＝∠BCD＝40°，進而可得三角形的外角性質可得∠CDE＝80°，然后利用等腰三角形的性質可得∠CDE＝∠CED＝80°，從而可得∠DCE＝20°，進而利用角的和差關系可得∠ECA＝30°，再根據垂直定義可得∠EFC＝90°，最后在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性質進行計算即可解答．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵點D為邊AB的中點，AB＝12，
∴CD＝BD＝AB＝6，
∴∠B＝∠BCD＝40°，
∴∠CDE＝∠B+∠BCD＝80°，
∵CD＝CE＝6，
∴∠CDE＝∠CED＝80°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝20°，
∴∠ECA＝∠BCA﹣∠BCD﹣∠DCE＝30°，
∵EF⊥CA，
∴∠EFC＝90°，
∴EF＝EC＝3，CF＝EF＝3，
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，含30角的直角三角形，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．
10．（2022 南譙區校級模擬）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC、BE相交于點M，AD、CE相交于點N，則下列五個結論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【考點】等邊三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．
【答案】D
【點撥】根據先證明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根據已知給出的條件即可得出答案；
【解析】解：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故選項①正確；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故選項②正確；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故選項③正確；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故選項④正確；
∴CM＝CN，
∴△CMN為等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等邊三角形，故選項⑤正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質，難度一般，關鍵是找出條件證明兩個三角形全等．
11．（2023 鄞州區模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點，且AB＝8，BC＝6，則△BEC的周長是　16　．
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】16．
【點撥】根據勾股定理求出AC，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵DE是邊AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周長＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，
故答案為：16．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、勾股定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
12．（2021 義烏市模擬）如圖，已知D是等邊△ABC內一點，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，則∠BED＝　30°　．
【考點】等邊三角形的性質．
【答案】30°．
【點撥】連接CD，證明△BCD≌△BED和△ACD≌△DCB，然后由∠ACB＝60°，可得∠BED＝∠DCB＝30°．
【解析】解：連接CD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CBA＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
又∵∠CBD＝∠DBE，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠BED＝∠DCB，
∵BD＝AD，BC＝AC，DC＝DC，
∴△ACD≌△DCB（SSS），
∴∠ACD＝∠DCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BED＝∠DCB＝30°．
故答案為：30°．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，解題關鍵是通過添加輔助線，根據全等三角形的判定及性質求解．
13．（2021 溫嶺市一模）如圖，已知∠ABC＝26°，D是BC上一點，分別以B，D為圓心，相等的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，G，連接FG交AB于點E，連接ED，則∠DEA＝　52°　．
【考點】線段垂直平分線的性質．
【答案】52°．
【點撥】利用基本作圖得到EF垂直平分BD，根據線段垂直平分線的性質得到EB＝ED，然后根據等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠DEA的度數．
【解析】解：由作法得EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠B＝26°，
∴∠DEA＝∠B+∠EDB＝26°+26°＝52°．
故答案為52°．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
14．（2023 安吉縣一模）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是　6　．
【考點】等邊三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】6
【點撥】根據三等分點的定義可求EF的長，再根據等邊三角形的判定與性質即可求解．
【解析】解：∵等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點，
∴EF＝2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴剪下的△DEF的周長是2×3＝6．
故答案為：6．
【點睛】考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，關鍵是證明△DEF是等邊三角形．
15．（2023 廣東模擬）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若補充一個條件，可以使BE＝CE，則可以補充的條件為 　AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）　．（填寫“E為BC中點”不得分）
【考點】等腰三角形的判定．
【答案】AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．
【點撥】要使BE＝CE，則要判斷AE是∠BAC的平分線，△ABC是等腰三角形，據此進行分析即可．
【解析】解：①當補充條件是：AE是∠BAC的平分線，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABD與△ACD中，
，
∴△ABD與≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE是BC邊上的中線，
∴BE＝CE；
②當補充條件是：∠BDE＝∠CDE，
可得∠BAE＝∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分線，
同①可得BE＝CE；
故答案為：AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定，解答的關鍵是對等腰三角形的判定條件的掌握．
16．（2022 柯橋區二模）等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分別以A、C為圓心，以AB為半徑畫弧，兩弧交于點D，則∠BCD點的度數為 　15°或135°　．
【考點】等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質．
【答案】15°或135°．
【點撥】根據等腰三角形的性質可求∠ACB，根據等邊三角形的判定和性質可求∠ACD，再根據角的和差關系即可求解．
【解析】解：如圖：由作圖可得△ACD是等邊三角形，
則∠ACD＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
當D在AC左邊時，∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD1＝75°﹣60°＝15°；
當D在AC右邊時，∠BCD＝∠ACB+∠ACD2＝75°+60°＝135°．
故答案為：15°或135°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是得到△ACD是等邊三角形，根據等腰三角形的性質得到∠ACB＝75°．
17．（2022 柯橋區一模）如圖，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分線且交CD于點D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度數；
（2）若CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝ED．
【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】見解析
【點撥】（1）由平行線的性質易得∠D＝∠BAD，由角平分線的定義可得∠CAD＝∠BAD，利用三角形的內角和定理可得∠D的度數，易得結論；
（2）利用等腰三角形的三線合一可得結論．
【解析】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD，
∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD＝130°，
∴∠D＝＝25°，
∴∠DAB＝25°；
（2）證明：∠CAD＝∠BAD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、等腰三角形的性質及判定，利用角平分線的性質和平行線的性質得出∠CAD＝∠D是解答此題的關鍵．
18．（2023 蓮都區一模）如圖，△ABC中，CD是角平分線，DE∥BC，交AC于點E．
（1）求證：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度數．
【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】（1）見解析過程；
（2）32°．
【點撥】（1）由角平分線和平行線的性質可得∠ACD＝∠CDE，即可求解；
（2）由平行線的性質可求∠ACB＝∠AED＝64°，由角平分線的性質可求解．
【解析】（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴．
答：∠DCB的度數是32°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
19．（2020 紹興）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數會改變嗎？說明理由．
（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數．
【考點】等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據三角形外角的性質得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到結論；
（2）設∠ABC＝m°，根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質即可得到結論．
【解析】解：（1）∠DAC的度數不會改變；
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，①，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；
（2）設∠ABC＝m°，
則∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．
20．（2020 寧德一模）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數．
【考點】等腰三角形的判定．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據等腰三角形的判定，兩底角相等或兩條邊相等的三角形是等腰三角形，即可找出圖中所有的等腰三角形；
（2）根據鄰補角的性質可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°﹣2∠BED＝48°，設∠ACB＝x°，則∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°﹣2x°，又根據三角形外角的性質得出∠BDC＝∠A+∠ABD，則x＝180﹣2x+48，求得∠ACB＝76°．
【解析】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴圖中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
設∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC為△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．
【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，難度一般．
21．（2021 嵊州市模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度數．
（2）若DE＝4，試添加一個條件，并求出BC的長度．
【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．
【答案】（1）25°；
（2）12．
【點撥】（1）根據三角形的內角和定理得到∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，根據角平分線的定義得到∠BCD＝ACB＝25°，根據平行線的性質即可得到答案；
（2）根據三角形內角和定理得到∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，根據角平分線的定義得到∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，根據平行線的性質得到∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，根據直角三角形的性質即可得到答案．
【解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝25°；
（2）添加條件為：∠B＝30°，
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE，
∵DE＝4，
∴AE＝DE＝2，CE＝DE＝4，
∴AC＝6，
∴BC＝2AC＝12．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握“在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半”是解題的關鍵．
22．（2022 于洪區二模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求證：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，連接ED，求△BEC的面積．
【考點】等腰三角形的判定與性質．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【點撥】（1）連接DE，根據直角三角形的性質得到DE＝AB＝AE，根據等腰三角形的性質證明結論；
（2）作EF⊥BC于F，根據題意求出BD，根據等腰三角形的性質求出DF，根據勾股定理求出EF，根據三角形的面積公式計算，得到答案．
【解析】（1）證明：連接DE，
在Rt△ADB中，點E是AB的中點，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF＝＝＝3，
∴△BEC的面積＝×CB×EF＝×13×3＝．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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