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八年級數學下冊 預習篇
19.1.1 變量與函數
1.常量與變量的概念：在某一變化過程中，可以取不同數值的量，叫做變量．在某一變化過程中，有兩個量，例如和，對于的每一個值，都有惟一的值與之對應，其中是自變量，是因變量，此時也稱是的函數．在一些變化過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量．例如：圓的面積與圓的半徑存在相應的關系：，這里表示圓周率；它的數值不會變化，是常量，隨著的變化而變化，是自變量，是因變量；
2.“有唯一值與對應”是指在自變量的取值范圍內，每取一個確定值，都唯一的值與之相對應，否則不是的函數．
3.判斷兩個變量是否有函數關系,不僅要有關系式，還要滿足上述確定的對應關系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函數中，時，；時，．
4.函數不是數，它是指在一個變化過程中兩個變量之間的關系，函數本質就是變量間的對應關系．
5.數學上表示函數關系的方法通常有三種：
⑴解析法：用數學式子表示函數的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通過列表表示函數的方法．
⑶圖象法：用圖象直觀、形象地表示一個函數的方法．
6.關于函數的關系式(即解析式)的理解：
（1）函數關系式是等式． 例如就是一個函數關系式．
（2）函數關系式中指明了哪個是自變量，哪個是函數． 通常等式右邊代數式中的變量是自變量，等式左邊的一個字母表示函數． 例如：是自變量，是的函數．
（3）函數關系式在書寫時有順序性． 例如：是表示是的函數，若寫成就表示是的函數．
（4）求與的函數關系時，必須是只用變量的代數式表示，得到的等式右邊只含的代數式．
自變量的取值范圍：
7.自變量取值范圍：在初中階段，自變量的取值范圍考慮下面幾個方面：
⑴根式：當根指數為偶數時，被開方數為非負數．
⑵分母中含有自變量：分母不為．
⑶實際問題：符合實際意義．
選擇題
1.函數 中自變量x的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．全體實數
【答案】A
【分析】本題考查了函數自變量的取值范圍的確定和二次根式的性質．根據二次根式的性質，被開方數大于等于0可求解．
【詳解】解：根據二次根式的意義可知：，
解得，
故選A．
2.已知某等腰三角形的周長為36，腰長為x，底邊長為y，那么y關于x的函數關系式及定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的定義及三角形三邊關系，列函數關系式，解不等式組，根據等腰三角形的定義得到，則，再由三角形三邊的關系得到，解得，據此可得答案．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∵三角形中，兩邊之和大于第三邊，
∴
∴．
故選：D
3.下列說法正確的是（　　）
A．常量是指永遠不變的量
B．具體的數一定是常量
C．字母一定表示變量
D．球的體積公式，變量是π，r
【答案】B
【分析】本題考查常量與變量的定義及判斷，根據保持不變的量叫常量，發生改變的量叫變量直接逐個判斷即可得到答案；
【詳解】解：常量是在一定條件下不變的量，故A選項錯誤，
具體的數一定是常量，故B選項正確，
字母不一定表示變量，故C選項錯誤，
球的體積公式，變量是r，V，故D選項錯誤，
故選：B．
4.要使函數有意義，自變量x應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查分式有意義的條件，求函數自變量的取值范圍．根據分式有意義的條件：分母不為零，直接列式求解即可得到答案．
【詳解】解：∵有意義，
∴，解得，
故選：A．
5.根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值是和2時，輸出的y值相等，則b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
【答案】A
【分析】本題考查了函數值，解題的關鍵是先求出時y的值，再將、代入計算即可．
【詳解】解：當時，，
當時，，即，
解得：，
故選：A．
6.甲、乙兩地相距，一貨車從甲地出發以的速度勻速向乙地行駛，則貨車距離乙地的路程與時間之間的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了列函數關系式；根據剩余路程等于總距離減去行駛距離列函數關系式即可．
【詳解】解：由題意得：，
故選：C．
7.某商場為了增加銷售額，推出了“元旦期間大酬賓”活動，活動內容是：“凡元旦期間在該商場一次性購物超過100元者，超過100元的部分按八折優惠．”在酬賓活動中，小張到該商場為單位購買了單價為30元的辦公用品x件（），則應付款y與商品件數x的關系式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查根據實際問題列出函數關系式．根據活動方案，應付款等于超出元的部分的費用之和，列出函數關系式即可．找準等量關系，正確的列出表達式，是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意，得：；
故選C．
8.若等腰三角形頂角x度，底角是y度，則y與x函數關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查等腰三角形的性質，函數關系式等知識，利用三角形內角和定理和外角的定義即可解決問題．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
【詳解】解：∵等腰三角形頂角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故選A．
填空題
1.函數的自變量的取值范圍是 ．
【答案】且/且
【分析】本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
【詳解】解：由題意得，且，
解得且，
故答案為：且．
2.函數的定義域是 ．
【答案】
【分析】此題考查了分式和二次根式有意義的條件，根據分式有意義分母不為零，二次根式被開方數為非負數進行計算即可，解題的關鍵是列出不等式并正確求解．
【詳解】由題意得，，
解得：，
故答案為：．
3.已知函數，那么 ．
【答案】2
【分析】本題考查了求函數值，將代入進行計算即可，準確計算是解此題的關鍵．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
4.啟航港里有一棵樹苗，剛栽下去時高為1米，以后每月長0.3米，則樹高y（米）與月數x（月）之間的關系式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據題意列函數關系式，根據“樹苗的高度=原來的高度+增長的高度”即可列出函數關系式．
【詳解】解：由題意得．
故答案為：
5.在函數中，自變量的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查函數的自變量取值，根據分式分母不為0直接求解即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
解得：，
故答案為：．
解答題
1.如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，為等腰三角形，且．點，，，其中a，b滿足．
(1)直接寫出點B，C坐標；
(2)過點A作x軸平行線m，過點C作直線m，垂足為D．動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿直線m向右運動，連接．設運動時間為t秒，的面積為S，用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
(3)如圖2，在（2）的條件下，延長交直線m與點E，當P在線段上運動時，使，，求此時P點坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）解二元一次方程組，得出a、b的值，即可求出B，C坐標；
（2）根據題意可得，且，分兩種情況當時，點P在點D的右當時，求出S與t的關系式即可；
（3）設交于點H，設，則，證得，再由，可得，然后作于N，則，可得，再由可得，即可求解．
【詳解】（1）解：，
解得：，
∵，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵，且軸，
∴，，
∵，
∴，
∵，且，
當時，，
，
當時，，
，
∴；
（3）解：設交于點H，
設，則，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于N，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
答：此時點P坐標為．
2.某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數關系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通話時間為分鐘
(3)通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算
【分析】本題主要考查了列函數關系和求函數值和自變量的值，根據題意正確列出關系式是解題關鍵．
（1）根據題意列函數關系式即可；
（2）根據題意可知，，求出的值即可；
（3）分別求出時，和的值，比較大小即可．
【詳解】（1）解：A套餐：月租費15元，通話費每分鐘元，
，
B套餐：月租費0元，通話費每分鐘元，
；
（2）解：該手機用戶使用A套餐且本月繳費50元，
，
解得：，
他本月的通話時間為分鐘；
（3）解：當時，，，
，
∴通話時間為280分鐘時，選擇套餐更劃算．
3.心理學家發現，在一定的時間范圍內，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x (單位：分鐘)之間滿足函數關系式的值越大，表示接受能力越強．
(1)若用10分鐘提出概念，學生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念，那么與用10分鐘相比，學生的接受能力是增強了還是減弱了？通過計算來回答．
【答案】(1)
(2)用8分鐘提出概念與用10分鐘提出概念相比，學生的接受能力減弱了；用15分鐘提出概念與用10分鐘提出概念相比，學生的接受能力增強了．
【分析】本題考查了求函數值；
（1）令，代入解析式求出，
（2）求出和時，的值，然后和時，的值比較．
【詳解】（1）解：當時，．
（2）當時，，
所以用分鐘提出概念與用分鐘提出概念相比，學生的接受能力減弱了．
當時，．
所以用15分鐘提出概念與用10分鐘提出概念相比，學生的接受能力增強了．
4.如圖，在正方形中，，點O是對角線的中點，動點P、Q分別從點A，B同時出發，點P以的速度沿邊向終點B勻速運動，點Q以的速度沿折線向終點D勻速運動，連接并延長交邊于點，連接并延長交折線于點N，連接，，，，得到四邊形．設點P的運動時間為，四邊形的面積為．
(1)的長為__________，的長為_________．（用含x的代數式表示）
(2)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先根據正方形的性質證明得到，同理可得，則四邊形是平行四邊形，再證明，可得；
（2）分，兩種情況分別畫出圖形，根據正方形的面積，以及平行四邊形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵點是正方形對角線的中點，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
故答案為：；．
（2）解：當時，點在上，

由（1）可得，
同理可得，
∵，，
∴
；
當時，如圖所示，

同理可證明，四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，．
5.將一個溫度計從一杯熱水中取出之后，立即放入一杯涼水中，下面是用表格表示的溫度計的讀數與時間之間的關系．
時間/s 5 10 15 20 25 30
讀數 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在發生變化？自變量和因變量各是什么？
(2)根據表格中的數據，大致估計時溫度計的讀數．
【答案】(1)溫度計的讀數和時間在發生變化．自變量和因變量分別是時間、溫度計的讀數
(2)可取
【詳解】1．解：（1）溫度計的讀數和時間在發生變化．自變量和因變量分別是時間、溫度計的讀數．
（2）由表格可看出：隨著時間的增加，溫度計的讀數越來越小，因此時溫度計的讀數應小于；每隔，溫度差分別為，即溫度差越來越小，因此時的溫度應大于，所以時溫度計的讀數應大于且小于，時的溫度可取這個范圍內的任意值，比如可取等．
6.已知某款汽車油箱中有汽油，每小時耗油（汽車在行駛過程中視為勻速行駛）．
(1)寫出油箱中剩余油量與行駛時間之間的函數關系式并寫出自變量取值范圍；
(2)當油箱中剩余油量低于時，汽車將發出警報，求該款汽車在聽到警報前，最多可行駛多少小時？
【答案】(1)
(2)最多可行駛7小時
【分析】本題主要考查了列函數關系式，求自變量的值，求自變量的取值范圍，正確理解題意列出對應的關系式是解題的關鍵．
（1）用總油量減去每小時油耗乘以行駛時間即可得到答案；
（2）根據（1）所求代入，求出t的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：在中，當時，則，
解得，
∴當行駛7小時時，油箱中剩余油量剛好為，繼續行駛時，油箱中的油量將低于，即汽車會發出警報，
∴該款汽車在聽到警報前，最多可行駛7小時．
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八年級數學下冊 預習篇
19.1.1 變量與函數
1.常量與變量的概念：在某一變化過程中，可以取不同數值的量，叫做變量．在某一變化過程中，有兩個量，例如和，對于的每一個值，都有惟一的值與之對應，其中是自變量，是因變量，此時也稱是的函數．在一些變化過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量．例如：圓的面積與圓的半徑存在相應的關系：，這里表示圓周率；它的數值不會變化，是常量，隨著的變化而變化，是自變量，是因變量；
2.“有唯一值與對應”是指在自變量的取值范圍內，每取一個確定值，都唯一的值與之相對應，否則不是的函數．
3.判斷兩個變量是否有函數關系,不僅要有關系式，還要滿足上述確定的對應關系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函數中，時，；時，．
4.函數不是數，它是指在一個變化過程中兩個變量之間的關系，函數本質就是變量間的對應關系．
5.數學上表示函數關系的方法通常有三種：
⑴解析法：用數學式子表示函數的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通過列表表示函數的方法．
⑶圖象法：用圖象直觀、形象地表示一個函數的方法．
6.關于函數的關系式(即解析式)的理解：
（1）函數關系式是等式． 例如就是一個函數關系式．
（2）函數關系式中指明了哪個是自變量，哪個是函數． 通常等式右邊代數式中的變量是自變量，等式左邊的一個字母表示函數． 例如：是自變量，是的函數．
（3）函數關系式在書寫時有順序性． 例如：是表示是的函數，若寫成就表示是的函數．
（4）求與的函數關系時，必須是只用變量的代數式表示，得到的等式右邊只含的代數式．
自變量的取值范圍：
7.自變量取值范圍：在初中階段，自變量的取值范圍考慮下面幾個方面：
⑴根式：當根指數為偶數時，被開方數為非負數．
⑵分母中含有自變量：分母不為．
⑶實際問題：符合實際意義．
選擇題
1.函數 中自變量x的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．全體實數
2.已知某等腰三角形的周長為36，腰長為x，底邊長為y，那么y關于x的函數關系式及定義域是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列說法正確的是（　　）
A．常量是指永遠不變的量
B．具體的數一定是常量
C．字母一定表示變量
D．球的體積公式，變量是π，r
4.要使函數有意義，自變量x應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
5.根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值是和2時，輸出的y值相等，則b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
6.甲、乙兩地相距，一貨車從甲地出發以的速度勻速向乙地行駛，則貨車距離乙地的路程與時間之間的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
7.某商場為了增加銷售額，推出了“元旦期間大酬賓”活動，活動內容是：“凡元旦期間在該商場一次性購物超過100元者，超過100元的部分按八折優惠．”在酬賓活動中，小張到該商場為單位購買了單價為30元的辦公用品x件（），則應付款y與商品件數x的關系式為（ ）
A． B． C． D．
8.若等腰三角形頂角x度，底角是y度，則y與x函數關系是（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.函數的自變量的取值范圍是 ．
2.函數的定義域是 ．
3.已知函數，那么 ．
4.啟航港里有一棵樹苗，剛栽下去時高為1米，以后每月長0.3米，則樹高y（米）與月數x（月）之間的關系式為 ．
5.在函數中，自變量的取值范圍是 ．
解答題
1.如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，為等腰三角形，且．點，，，其中a，b滿足．
(1)直接寫出點B，C坐標；
(2)過點A作x軸平行線m，過點C作直線m，垂足為D．動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿直線m向右運動，連接．設運動時間為t秒，的面積為S，用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
(3)如圖2，在（2）的條件下，延長交直線m與點E，當P在線段上運動時，使，，求此時P點坐標．
2.某通訊公司手機話費收費有A套餐（月租費15元，通話費每分鐘元）和B套餐（月租費0元，通話費每分鐘元）兩種，設A套餐每月話費為（元），B套餐每月話費（元），月通話時間為x分鐘．
(1)直接寫出與x，與x的函數關系式；
(2)如果某用戶使用A套餐本月繳費50元，求他本月的通話時間？
(3)如果某用戶這個月的通話時間為280分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？
3.心理學家發現，在一定的時間范圍內，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x (單位：分鐘)之間滿足函數關系式的值越大，表示接受能力越強．
(1)若用10分鐘提出概念，學生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念，那么與用10分鐘相比，學生的接受能力是增強了還是減弱了？通過計算來回答．
4.如圖，在正方形中，，點O是對角線的中點，動點P、Q分別從點A，B同時出發，點P以的速度沿邊向終點B勻速運動，點Q以的速度沿折線向終點D勻速運動，連接并延長交邊于點，連接并延長交折線于點N，連接，，，，得到四邊形．設點P的運動時間為，四邊形的面積為．
(1)的長為__________，的長為_________．（用含x的代數式表示）
(2)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
5.將一個溫度計從一杯熱水中取出之后，立即放入一杯涼水中，下面是用表格表示的溫度計的讀數與時間之間的關系．
時間/s 5 10 15 20 25 30
讀數 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在發生變化？自變量和因變量各是什么？
(2)根據表格中的數據，大致估計時溫度計的讀數．
6.已知某款汽車油箱中有汽油，每小時耗油（汽車在行駛過程中視為勻速行駛）．
(1)寫出油箱中剩余油量與行駛時間之間的函數關系式并寫出自變量取值范圍；
(2)當油箱中剩余油量低于時，汽車將發出警報，求該款汽車在聽到警報前，最多可行駛多少小時？
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