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八年級數學下冊 預習篇
19.2.1 正比例函數
一、正比例函數的定義
正比例函數是指當自變量x增大或減小時，因變量y以比例相同的速率增大或減小的函數，常用符號y = kx表示，其中k為比例系數，通常是一個常數。
二、正比例函數的性質
1、比例系數k的值表示y增加1個單位時x的增加量。例如k= 3時，表示y增加1個單位時，x會增加3個單位。
2、正比例函數的圖像是一條經過原點的直線，如果k >0，則是一條斜率為正數的直線，反之，則是一條斜率為負數的直線。
3、正比例函數的定義域為所有實數，值域為所有y > 0的實數。
4、在同一個正比例函數中，當x1=x2時，有y1:y2=x1:x2。
三、正比例函數的圖像特點
1、斜率表示比例關系
正比例函數的圖像是一條直線，其斜率k表示y增加1個單位時，x的增加量。斜率越大，表示y變化越敏感，x增加的幅度越大。
2、經過原點
正比例函數必經過原點，因為當自變量x等于0時，因變量y也等于0。
3、左側無限延伸
4、右側有界限
選擇題
1.下列是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了正比例函數的定義．形如，則該函數就是正比例函數，據此求解即可．
【詳解】是正比例函數，故選項B正確；
不是正比例函數，故選項A錯誤；
不是正比例函數，故選項C錯誤；
不是正比例函數，故選項D錯誤；
故選：B．
2.在正比例函數圖象上的點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查正比例函數圖象上點的坐標特征，根據，只要代入點的橫坐標與縱坐標就可判斷．
【詳解】解：A、，故選項A符合題意；
B、，故選項B不符合題意；
C、，故選項C不符合題意；
D、，故選項D不符合題意；
故選：A．
3.已知正比例函數，那么它的圖象經過（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本題考查正比例函數的圖象和性質，根據的符號，即可得出結果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴它的圖象經過第二、四象限．
故選C．
4.下面各組變量的關系中，成正比例關系的是（ ）
A．圓的周長與它的半徑 B．人的身高與年齡
C．正方形的面積與它的邊長 D．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
【答案】A
【分析】本題考查了正比例函數的定義，判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例，由此逐項判斷即可，熟練掌握正比例函數的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：A、圓的周長與它的半徑成正比例關系，故此選項符合題意；
B、人的身高與年齡不成正比例關系，故此選項不符合題意；
C、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例關系，故此選項不符合題意；
D、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關系，故此選項不符合題意；
故選：A．
5.已知函數是正比例函數，則、n的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】此題考查了正比例函數的定義，解題的關鍵是掌握正比例函數的定義條件：正比例函數的定義條件是：為常數且，自變量次數為．根據函數是正比例函數，可知且，綜合條件即可得到、n的值．
【詳解】解：∵函數是正比例函數，
∴且，
解得：，，
故選：．
6.已知一個正比例函數的圖象經過和兩點，則n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本題考查正比例函數圖象上的點的坐標特征．利用待定系數法求出正比例函數的解析式，再將點代入求值即可．關鍵是求出函數解析式．
【詳解】解：設正比例函數的解析式為，將，代入，得：，
∴，
當時，，
∴；
故選B．
7.已知是正比例函數，則該函數的表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正比例函數的定義，根據正比例函數的定義可得關于的方程， 解出后可得函數解析式，解題關鍵是掌握正比例函數的定義條件：正比例函數的定義條件是：為常數且自變量次數為．
【詳解】解： 由題知：
解得：
∴該函數的表達式是
故選：．
8.已知正比例函數，則下列說法正確的是（　　）
A．函數值y隨x的增大而增大 B．函數值y隨x的增大而減小
C．函數圖象經過一，三，四象限 D．函數圖象經過二，三，四象限
【答案】B
【分析】本題主要考查正比例函數的性質，根據函數解析式得系數小于零，即可判斷選項．
【詳解】解：∵正比例函數中，
∴圖象經過二、四象限，y隨著x的增大而減小，
∴A、C、D錯誤，B正確，故B選項符合題意；
故選：B．
填空題
1.正比例函數的圖像經過，且，則k的范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了正比例函數圖象的性質，根據題意可知y隨x增大而減小，則，可得．對于正比例函數，當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減小．
【詳解】解：∵正比例函數的圖像經過，且，
∴，
∴，
故答案為：．
2.當 時，是正比例函數．
【答案】
【分析】本題考查了正比例函數的定義，形如的函數是正比例函數．根據題意得到，并且，即可求出．
【詳解】解：∵是正比例函數，
∴，并且，
∴．
故答案為：
3.已知函數是正比例函數，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了正比例函數的定義，一般地，形如的函數叫做正比例函數，據此可得，解之即可得到答案．
【詳解】解：∵函數是正比例函數，
∴，
∴，
故答案為：．
4.在正比例函數中，當時，那么 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，二次根式的除法計算，根據當時，得到，由此可得．
【詳解】解：∵在正比例函數中，當時，，
∴，
∴，
故答案為：2．
5.若函數是正比例函數，則常數的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了正比例函數，解題的關鍵是掌握正比例函數的概念．根據正比例函數的定義可得，，即可求解．
【詳解】解：函數是正比例函數，
，，
解得：，，
，
故答案為：．
解答題
1.一個正比例函數的圖象經過點，求的值．
【答案】，．
【分析】本題考查待定系數法求正比例函數解析式，以及正比例函數圖象上的點的特征．將點代入解析式，求出的值，再將點分別代入解析式，求出的值即可．
【詳解】解：設正比例函數的解析式為，
∵正比例函數的圖象經過點，
∴，
∴，
∴，
∵正比例函數的圖象經過點，
∴，，
∴．
2.已知與成正比例，當時，．
(1)求與的函數表達式；
(2)試判斷點是否在（1）中的函數圖像上，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點不在（1）中的函數圖像上，理由見詳解
【分析】本題考查了正比例函數，以及函數上的點能使方程左右兩邊相等：
（1）先設，代入，，解出的 ，即可作答．
（2）如果點代入，使方程左右兩邊相等，則點就在，否則不在，即可作答．
【詳解】（1）解：∵與成正比例，
∴
把，代入
得
解得
則
故
（2）解：點不在（1）中的函數圖像上，理由如下：
依題意，把點代入，
則方程右邊為，方程左邊為
∵
∴點不在（1）中的函數圖像上
3.已知.
(1)當m，n為何值時，是的一次函數？
(2)當m，n為何值時，是的正比例函數？
【答案】(1)
(2)，
【詳解】解：（1）是的一次函數，
且，為任意實數，解得.
（2）是的正比例函數，
且，，
解得，
4.已知正比例函數的圖象分別位于第二、第四象限，化簡：．
【答案】5
【分析】本題主要考查正比例函數及分式的運算，熟練掌握正比例函數的性質及分式的運算是解題的關鍵；根據正比例函數的圖象分別位于第二、第四象限，可得，即有，再根據分式的混合運算法則化簡即可．
【詳解】∵正比例函數的圖象分別位于第二、第四象限，
∴，
∴，
∴
．
．
5.已知：如圖，正比例函數的圖像經過點A，
(1)請你求出該正比例函數的解析式；
(2)若這個函數的圖像還經過點，請你求出m的值．
【答案】(1)
(2) 1
【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，正比例函數的性質，熟知正比例函數圖象上的點的坐標一定滿足其函數解析式是解題的關鍵．
（1）把代入中求出k的值即可得到答案；
（2）把點B坐標代入（1）所求函數解析式中求出m的值即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴正比例函數解析式為；
（2）解：把代入中得，解得．
6.已知y與成正比例，且時，．求y與x之間的函數關系式．
【答案】
【分析】本題考查待定系數法求一次函數解析式，設，可得，即可得y與x的函數關系式為．
【詳解】解：由y與成正比例，設，
∵時，，
∴，
解得，
∴，
∴y與x的函數關系式為．
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八年級數學下冊 預習篇
19.2.1 正比例函數
一、正比例函數的定義
正比例函數是指當自變量x增大或減小時，因變量y以比例相同的速率增大或減小的函數，常用符號y = kx表示，其中k為比例系數，通常是一個常數。
二、正比例函數的性質
1、比例系數k的值表示y增加1個單位時x的增加量。例如k= 3時，表示y增加1個單位時，x會增加3個單位。
2、正比例函數的圖像是一條經過原點的直線，如果k >0，則是一條斜率為正數的直線，反之，則是一條斜率為負數的直線。
3、正比例函數的定義域為所有實數，值域為所有y > 0的實數。
4、在同一個正比例函數中，當x1=x2時，有y1:y2=x1:x2。
三、正比例函數的圖像特點
1、斜率表示比例關系
正比例函數的圖像是一條直線，其斜率k表示y增加1個單位時，x的增加量。斜率越大，表示y變化越敏感，x增加的幅度越大。
2、經過原點
正比例函數必經過原點，因為當自變量x等于0時，因變量y也等于0。
3、左側無限延伸
4、右側有界限
選擇題
1.下列是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
2.在正比例函數圖象上的點為（ ）
A． B． C． D．
3.已知正比例函數，那么它的圖象經過（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4.下面各組變量的關系中，成正比例關系的是（ ）
A．圓的周長與它的半徑 B．人的身高與年齡
C．正方形的面積與它的邊長 D．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
5.已知函數是正比例函數，則、n的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
6.已知一個正比例函數的圖象經過和兩點，則n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
7.已知是正比例函數，則該函數的表達式是（ ）
A． B． C． D．
8.已知正比例函數，則下列說法正確的是（　　）
A．函數值y隨x的增大而增大 B．函數值y隨x的增大而減小
C．函數圖象經過一，三，四象限 D．函數圖象經過二，三，四象限
填空題
1.正比例函數的圖像經過，且，則k的范圍是 ．
2.當 時，是正比例函數．
3.已知函數是正比例函數，則 ．
4.在正比例函數中，當時，那么 ．
若函數是正比例函數，則常數的值是 ．
解答題
1.一個正比例函數的圖象經過點，求的值．
2.已知與成正比例，當時，．
(1)求與的函數表達式；
(2)試判斷點是否在（1）中的函數圖像上，請說明理由．
3.已知.
(1)當m，n為何值時，是的一次函數？
(2)當m，n為何值時，是的正比例函數？
4.已知正比例函數的圖象分別位于第二、第四象限，化簡：．
5.已知：如圖，正比例函數的圖像經過點A，
(1)請你求出該正比例函數的解析式；
(2)若這個函數的圖像還經過點，請你求出m的值．
6.已知y與成正比例，且時，．求y與x之間的函數關系式．
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