資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程（組）與不等式（組）
第六節 分式及分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式的相關概念及性質 ☆ 從往年的廣東中考命題來看，分式及分式方程相關知識占有一定的比例，這部分知識對于考生來說經常是一個難點，是考生比較頭疼且極易出錯丟分的題（例如忘記解分式方程的驗根步驟，解方程的去分母，去括號等），常考查分式的化簡求值和分式方程的應用題，考查的題型較多以解答題的形式進行，屬于中等偏上難度題，復習過程中把握好每個基礎知識點，多加注意易錯點，方程應用類問題理清數量關系，多進行強化訓練。
考點2 分式的運算及化簡求值 ☆☆☆
考點3 解分式方程 ☆☆☆
考點4 分式方程的應用 ☆☆☆
考點1 分式的相關概念及性質
1．分式：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做________，B叫做________．
三個條件缺一不可：①是形如的式子；②A，B為________；③分母B中含有________．
特別說明：也可以表示為(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因為它不符合的形式．
判斷一個式子是不是分式，不能把原式化簡后再判斷，而只需看原式的本來“面目”是否符合分式的定義，與分子中的字母無關．比如，就是分式．
2．有意義的條件：
分母B的值不為________ (B≠0) .
3.分式的值為零的條件：
當分子為________，且分母不為零時，分式的值為零．(A=0且B≠0)
4．分式的基本性質：， (M為不等于零的整式)．
考點2 分式的運算及化簡求值
1．約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
2．最簡分式：分子與分母沒有________的分式叫做最簡分式．
3．通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式________的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最簡公分母：幾個分式中，各分母的所有因式的最高次冪的________．
5. 變號法則： ．
6．分式的乘除法：
（1）乘法法則：
（2）除法法則：÷＝·＝.(bcd≠0)
7．分式的加減法：
（1）同分母分式相加減： (c≠0) （2）異分母分式相加減：±＝.(bd≠0)
8. 分式的乘方：. (n為整數，b≠0)
9.分式的混合運算：在分式的混合運算中，應先算________，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行________運算，如果有括號，先算________里面的．
①實數的各種運算律也適用于分式的運算；②分式運算的結果要化成最簡分式或整式．
10.分式的化簡求值：分式通過化簡后，代入適當的值解決問題，注意代入的值要使分式的分母不為0．靈活應用分式的基本性質，對分式進行通分和約分，一般要先分解________．化簡求值時，一要注意________思想，二要注意解題技巧，三要注意代入的值要使分式有意義．
考點3 解分式方程
1．分式方程：________里含有未知數的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程，然后________，從而確定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步驟：
①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；
③檢驗：將整式方程的解代入________，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
簡稱為一化，二解，三檢驗．
3．分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
考點4 分式方程的應用
1．分式方程實際應用的基本思路：
2．方法：
一審：審清題意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量關系；
三設：設未知數；
四列：列出分式方程；
五解：解這個方程；
六驗：檢驗，既要檢驗所求得的解是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求得的解是否符合實際問題的要求（雙檢驗）；
七答：寫出答案．
在上述過程中，關鍵步驟是根據題意尋找“等量關系”，進而列出分式方程，求解時注意必須檢驗求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合實際意義．
考點1：分式的相關概念及性質
◇例題
1．（2023 惠城區校級三模）代數式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（2023 順德區一模）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．4 B．﹣4 C．3或﹣3 D．3
3．（2021 陽西縣模擬）如果把分式中的x和y都擴大為原來的2倍，那么分式的值（　　）
A．不變 B．縮小為原來的
C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍
4．（2023 高要區一模）若使分式有意義的取值范圍是 　 　．
◆變式訓練
1．（2021 羅湖區校級模擬）下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2023 越秀區校級二模）若分式的值為0，則x等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．（2023 高州市一模）下列等式中正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 東莞市校級一模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是 　 　．
考點2：分式的運算及化簡求值
◇例題
1．（2021 海珠區校級模擬）下列分式中，最簡分式是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 福田區二模）化簡的結果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C． D．
3．（2013 潮陽區模擬）計算：＝　 　．
4．（2023 香洲區校級一模）化簡：，并在﹣2，0，2中選擇一個合適的a值代入求值．
◆變式訓練
1．（2021 廣州模擬）下列分式中，最簡分式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020 佛山校級模擬）化簡÷是（　　）
A．m B．﹣m C． D．﹣
3．（2022 澄海區模擬）計算＝　 　．
4．（2023 東莞市一模）先化簡：（1+）÷，再從﹣1，0，1，中選擇一個合適的數代入求值．
考點3：解分式方程
◇例題
1．（2023 連平縣二模）分式方程的解為（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
2．（2022 東莞市校級一模）若關于x的分式方程＝有正整數解，則整數m為 　．
3．（2023 龍川縣一模）解分式方程：．
◆變式訓練
1．（2023 天河區一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
2．（2021 荔灣區校級三模）若關于x的方程+＝2的解為正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
3．（2023 越秀區校級二模）解方程：．
考點4：分式方程的應用
◇例題
1．（2023 龍崗區校級一模）在創建文明城市的進程中，某市為美化城市環境，計劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多30%，結果提前2天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，由題意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 南海區一模）甲、乙二人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，那么，甲、乙二人合做1小時共做了（　　）零件．
A．12個 B．18個 C．24個 D．30個
3．（2023 梅州一模）小明家離學校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕遲到，加快了腳步，比平常速度快了50（米/分鐘），結果比平時省了2分鐘時間到學校，設小明平常走路速度為x（米/分鐘），根據題意可列出方程：　　．
4．（2023 增城區一模）某鎮準備對一條長3200米道路進行綠化整修，按原計劃修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原計劃提高了20%，共用28天完成了全部任務．
（1）問原計劃每天綠化道路多少米？
（2）已知承包商原計劃每天支付工人工資5000元，安排工人加班后每天支付給工人的工資增加了40%，則完成此項工程，承包商共需支付工人工資多少元？
◆變式訓練
1．（2023 江門校級三模）某修路隊計劃x天內鋪設鐵路120km，由于采用新技術，每天多鋪設鐵路3km，因此提前2天完成計劃，根據題意，可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 羅定市二模）已知完成某項工程甲組需要12天，乙組需要若干天，甲組單獨工作半天后，乙組加入，兩組合作2天后，甲組又單獨工作了3天半，工程完工，則乙組單獨完成此項工程需要的天數比甲組（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
3．（2021 越秀區一模）為綠化環境某市計劃植樹3000棵，實際勞動中每天植樹的數量比原計劃多20%，結果提前5天完成任務．若設原計劃每天植樹x棵，則根據題意可列方程為　 　．
4．（2023 東莞市三模）為響應垃圾分類的要求，營造干凈整潔的學習生活環境，創建和諧文明的校園環境．工大附中準備購買A、B兩種分類垃圾桶，通過市場調研得知：A種垃圾桶每組的單價比B種垃圾桶每組的單價少150元，且用18000元購買A種垃圾桶的組數量是用13500元購買B種垃圾桶的組數量的2倍．
（1）求A、B兩種垃圾桶每組的單價分別是多少元；
（2）該學校計劃用不超過8000元的資金購買A、B兩種垃圾桶共20組，則最多可以購買B種垃圾桶多少組？
1．（2023 廣東）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 廣州）方程＝的解為（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
3．（2023 廣州）隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60km/h，動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同．設動車提速后的平均速度為x km/h，則下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 深圳）某運輸公司運輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運輸5噸貨物，且大貨車運輸75噸貨物所用車輛數與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數相同，設大貨車每輛運輸x噸，則所列方程正確的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（2022 廣州）分式方程＝的解是 　 　．
6．（2021 廣東）若x+＝且0＜x＜1，則x2﹣＝　　．
7．（2022 廣東）先化簡，再求值：a+，其中a＝5．
8．（2023 深圳）先化簡，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
9．（2022 深圳）化簡求值：（﹣1）÷，其中x＝4．
10．（2023 廣州）已知a＞3，代數式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
11．（2023 廣東）某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km，甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10min，求乙同學騎自行車的速度．
12．（2020 廣東）某社區擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元．用60平方米建A類攤位的個數恰好是用同樣面積建B類攤位個數的．
（1）求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
（2）該社區擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數量不少于A類攤位數量的3倍．求建造這90個攤位的最大費用．
1．（2023 三水區校級一模）若分式的值等于0，則a的值為（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
2．（2023 吳川市一模）若代數式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣8 B．x＝﹣8 C．x≠0 D．x≠﹣8
3．（2023 霞山區一模）下列運算中正確的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（2023 花都區一模）解分式方程1﹣＝，去分母后得到的方程正確的是（　　）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2x B．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2x D．（x﹣2）+1＝2x
5．（2023 廣東模擬）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
6．（2023 河源一模）某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道．在修建完400m后，為了能趕在汛期前完成，采用新技術，工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天修建管道x m，依題意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021 梅江區一模）已知關于x的分式方程﹣＝1的解是正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
8．（2023 濠江區模擬）化簡：＝ 　．
9．（2022 珠海一模）分式方程：的解是 　 　．
10．（2021 黃埔區一模）解分式方程：．
11．（2023 佛山模擬）解方程：．
12．（2023 東莞市一模）先化簡，后求值：，從﹣1，0，1，2選一個合適的值，代入求值．
13．（2023 番禺區校級一模）習近平總書記在全國教育大會上作出了優先發展教育事業的重大部署，縣委縣政府積極響應，對通往某偏遠學校的一段全長為1200米的道路進行了改造，鋪設柏油路面．鋪設400米后，為了盡快完成道路改造，后來每天的工作效率比原計劃提高25%，結果共用13天完成道路改造任務．
（1）求原計劃每天鋪設路面多少米？
（2）若承包商原來每天支付工人工資為1500元，提高工作效率后每天支付給工人的工資增長了20%，完成整個工程后承包商共支付工人工資多少元？
14．（2023 金平區三模）五月初，某地遭遇了持續強降雨的惡劣天氣，造成部分地區出現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共4000件送往災區，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用450元購買甲種物品的件數恰好與用400元購買乙種物品的件數相同
（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格分別是多少元？
（2）經調查，災區對乙種物品件數需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這4000件物品，需籌集資金多少元？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程（組）與不等式（組）
第六節 分式及分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式的相關概念及性質 ☆ 從往年的廣東中考命題來看，分式及分式方程相關知識占有一定的比例，這部分知識對于考生來說經常是一個難點，是考生比較頭疼且極易出錯丟分的題（例如忘記解分式方程的驗根步驟，解方程的去分母，去括號等），常考查分式的化簡求值和分式方程的應用題，考查的題型較多以解答題的形式進行，屬于中等偏上難度題，復習過程中把握好每個基礎知識點，多加注意易錯點，方程應用類問題理清數量關系，多進行強化訓練。
考點2 分式的運算及化簡求值 ☆☆☆
考點3 解分式方程 ☆☆☆
考點4 分式方程的應用 ☆☆☆
考點1 分式的相關概念及性質
1．分式：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
三個條件缺一不可：①是形如的式子；②A，B為整式；③分母B中含有字母．
特別說明：也可以表示為(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因為它不符合的形式．
判斷一個式子是不是分式，不能把原式化簡后再判斷，而只需看原式的本來“面目”是否符合分式的定義，與分子中的字母無關．比如，就是分式．
2．有意義的條件：
分母B的值不為零 (B≠0) .
3.分式的值為零的條件：
當分子為零，且分母不為零時，分式的值為零．(A=0且B≠0)
4．分式的基本性質：， (M為不等于零的整式)．
考點2 分式的運算及化簡求值
1．約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
2．最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．
3．通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最簡公分母：幾個分式中，各分母的所有因式的最高次冪的積．
5. 變號法則： ．
6．分式的乘除法：
（1）乘法法則：
（2）除法法則：÷＝·＝.(bcd≠0)
7．分式的加減法：
（1）同分母分式相加減： (c≠0)
（2）異分母分式相加減：±＝.(bd≠0)
8. 分式的乘方：. (n為整數，b≠0)
9.分式的混合運算：在分式的混合運算中，應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算，如果有括號，先算括號里面的．
①實數的各種運算律也適用于分式的運算；②分式運算的結果要化成最簡分式或整式．
10.分式的化簡求值：分式通過化簡后，代入適當的值解決問題，注意代入的值要使分式的分母不為0．靈活應用分式的基本性質，對分式進行通分和約分，一般要先分解因式．化簡求值時，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，三要注意代入的值要使分式有意義．
考點3 解分式方程
1．分式方程：分母里含有未知數的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步驟：
①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；
③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
簡稱為一化，二解，三檢驗．
3．分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
考點4 分式方程的應用
1．分式方程實際應用的基本思路：
2．方法：
一審：審清題意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量關系；
三設：設未知數；
四列：列出分式方程；
五解：解這個方程；
六驗：檢驗，既要檢驗所求得的解是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求得的解是否符合實際問題的要求（雙檢驗）；
七答：寫出答案．
在上述過程中，關鍵步驟是根據題意尋找“等量關系”，進而列出分式方程，求解時注意必須檢驗求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合實際意義．
考點1：分式的相關概念及性質
◇例題
1．（2023 惠城區校級三模）代數式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據分式的定義：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判斷即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：x，，x2﹣，
分式有3個，
故選：B．
2．（2023 順德區一模）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．4 B．﹣4 C．3或﹣3 D．3
【分析】根據分式的值為零，分子等于零列出方程，且分母不等于零．列出不等式，求解即可得到答案．
【解答】解：由題意，知x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得x＝3．
故選：D．
3．（2021 陽西縣模擬）如果把分式中的x和y都擴大為原來的2倍，那么分式的值（　　）
A．不變 B．縮小為原來的
C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍
【分析】先根據題意列出算式，再根據分式的基本性質進行化簡即可．
【解答】解：＝＝，
所以如果把分式中的x和y都擴大為原來的2倍，那么分式的值不變，
故選：A．
4．（2023 高要區一模）若使分式有意義的取值范圍是 　 　．
【分析】直接利用分式有意義則其分母不為零，進而得出答案．
【解答】解：∵分式有意義，
∴x的取值范圍是：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案為：x≠3．
◆變式訓練
1．（2021 羅湖區校級模擬）下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據分式的定義即可求出答案．
【解答】解：，x2，+1是分式，
故選：C．
2．（2023 越秀區校級二模）若分式的值為0，則x等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進而得出答案．
【解答】解：由題意，得
x2﹣9＝0且2x﹣6≠0，
解得x＝﹣3，
故選：A．
3．（2023 高州市一模）下列等式中正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性質，進行計算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A符合題意；
B、≠，故B不符合題意；
C、≠，故C不符合題意；
D、≠，故D不符合題意；
故選：A．
4．（2023 東莞市校級一模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是 　 　．
【分析】根據分式的分母不能為零求解即可．
【解答】解：要使代數式有意義，只需x﹣2≠0，
∴x≠2，
則實數x的取值范圍是x≠2，
故答案為：x≠2．
考點2：分式的運算及化簡求值
◇例題
1．（2021 海珠區校級模擬）下列分式中，最簡分式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】最簡分式的標準是分子、分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．
【解答】解：A、該分式的分子、分母不能約分，是最簡分式，故本選項符合題意．
B、該分式的分子、分母中含有公因式（x+1），它不是最簡分式，故本選項不符合題意．
C、該分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），它不是最簡分式，故本選項不符合題意．
D、該分式的分子、分母中含有公因式（x+4），它不是最簡分式，故本選項不符合題意．
故選：A．
2．（2022 福田區二模）化簡的結果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C． D．
【分析】把能分解的進行分解，除法轉為乘法，再約分即可．
【解答】解：
＝
＝，
故選：D．
3．（2013 潮陽區模擬）計算：＝　 　．
【分析】把第二個分式提取負號，進行分式加減，再把分式的分子分解公因式從而解得．
【解答】解：原式＝＝＝a+b．
故答案為：a+b．
4．（2023 香洲區校級一模）化簡：，并在﹣2，0，2中選擇一個合適的a值代入求值．
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當a＝﹣2或2時，原式沒有意義，
當a＝0時，
原式＝
＝1．
◆變式訓練
1．（2021 廣州模擬）下列分式中，最簡分式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據最簡分式的定義計算判斷．
【解答】解：A、＝，所以A選項不符合；
B、＝，所以B選項不符合；
C、＝＝，所以C選項不符合；
D、為最簡分式，所以D選項符合．
故選：D．
2．（2020 佛山校級模擬）化簡÷是（　　）
A．m B．﹣m C． D．﹣
【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結果．
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣m，
故選：B．
3．（2022 澄海區模擬）計算＝　 　．
【分析】先通分，再進行減法運算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣2．
故答案為：﹣2．
4．（2023 東莞市一模）先化簡：（1+）÷，再從﹣1，0，1，中選擇一個合適的數代入求值．
【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
∵x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0，
∴當x＝時，原式＝＝．
考點3：解分式方程
◇例題
1．（2023 連平縣二模）分式方程的解為（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5（x﹣1）+x+1＝0，
系數化為1得：x＝，
檢驗：把x＝代入得：（x﹣1）（x+1）≠0，
∴分式方程的解為x＝．
故選：B．
2．（2022 東莞市校級一模）若關于x的分式方程＝有正整數解，則整數m為 　．
【分析】求解分式方程可得x＝，由題意可得1+m＝1或1+m＝2，≠1，由此可求m的值．
【解答】解：＝，
x﹣2＝﹣mx，
x+mx＝2，
（1+m）x＝2，
x＝，
∵方程有正整數解，
∴1+m＝1或1+m＝2，
∴m＝0或m＝1，
∵x≠1，
∴≠1，
∴m≠1，
∴m＝0，
故答案為：0．
3．（2023 龍川縣一模）解分式方程：．
【分析】方程兩邊都乘x﹣1得出x＝﹣1+3（x﹣1），求出方程的解，再進行檢驗即可．
【解答】解：，
方程兩邊都乘x﹣1，得x＝﹣1+3（x﹣1），
解得：x＝2，
檢驗：當x＝2時，x﹣1≠0，
所以x＝2是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝2．
◆變式訓練
1．（2023 天河區一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
【分析】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
【解答】解：，
3x＝2（x+1），
解得：x＝2，
檢驗：當x＝2時，x（x+1）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
故選：A．
2．（2021 荔灣區校級三模）若關于x的方程+＝2的解為正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【分析】先得出分式方程的解，再得出關于m的不等式，解答即可．
【解答】解：原方程化為整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2﹣，
因為關于x的方程+＝2的解為正數，
可得：，
解得：m＜6，
因為x＝2時原方程無解，
所以可得，
解得：m≠0．
故選：C．
3．（2023 越秀區校級二模）解方程：．
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝4，
去括號得：x﹣2x+6＝4，
移項合并得：﹣x＝﹣2，
解得：x＝2，
經檢驗x＝2是分式方程的解．
考點4：分式方程的應用
◇例題
1．（2023 龍崗區校級一模）在創建文明城市的進程中，某市為美化城市環境，計劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多30%，結果提前2天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，由題意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據原計劃的天數﹣實際的天數＝提前的天數可以列出相應的方程，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
＝2，
故選：A．
2．（2023 南海區一模）甲、乙二人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，那么，甲、乙二人合做1小時共做了（　　）零件．
A．12個 B．18個 C．24個 D．30個
【分析】設乙每小時做x個零件，則甲每小時做（x+6）個零件，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后可得出x的值，再將其代入x+6+x中，即可求出結論．
【解答】解：設乙每小時做x個零件，則甲每小時做（x+6）個零件，
根據題意得：＝，
解得：x＝12，
經檢驗，x＝12是所列方程的解，且符合題意，
∴x+6+x＝12+6+12＝30，
∴甲、乙二人合做1小時共做了30個零件．
故選：D．
3．（2023 梅州一模）小明家離學校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕遲到，加快了腳步，比平常速度快了50（米/分鐘），結果比平時省了2分鐘時間到學校，設小明平常走路速度為x（米/分鐘），根據題意可列出方程：　　．
【分析】設小明平時平常走路速度為x（米/分鐘），則實際從家到學校的速度為（x+50）米/分鐘，根據比平時省了2分鐘時間到學校列出方程即可．
【解答】解：設小明平時平常走路速度為x（米/分鐘），則實際從家到學校的速度為（x+50）米/分鐘，
根據題意得：，
故答案為：．
4．（2023 增城區一模）某鎮準備對一條長3200米道路進行綠化整修，按原計劃修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原計劃提高了20%，共用28天完成了全部任務．
（1）問原計劃每天綠化道路多少米？
（2）已知承包商原計劃每天支付工人工資5000元，安排工人加班后每天支付給工人的工資增加了40%，則完成此項工程，承包商共需支付工人工資多少元？
【分析】（1）設原計劃每天綠化道路x米，根據題意列分式方程即可；
（2）根據題意列式計算即可．
【解答】解：（1）設原計劃每天綠化道路x米，
，
解得x＝100，
經檢驗，x＝100是原分式方程的解，且符合題意．
答：原計劃每天綠化道路100米．
（2）800÷100＝8（天），28﹣8＝20（天），
5000×8+5000×（1+40%）×20＝180000（元）．
答：承包商共需支付工人工資180000（元）．
◆變式訓練
1．（2023 江門校級三模）某修路隊計劃x天內鋪設鐵路120km，由于采用新技術，每天多鋪設鐵路3km，因此提前2天完成計劃，根據題意，可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】設原計劃每天修建道路m，則實際用了（x﹣2）天，每天修建道路為 m，根據每天多鋪設鐵路3km，列出方程即可．
【解答】解：根據題意，得．
故選：B．
2．（2023 羅定市二模）已知完成某項工程甲組需要12天，乙組需要若干天，甲組單獨工作半天后，乙組加入，兩組合作2天后，甲組又單獨工作了3天半，工程完工，則乙組單獨完成此項工程需要的天數比甲組（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
【分析】設乙組單獨完成此項工程需要x天，根據甲組完成的任務+乙組完成的任務＝總工程量（單位1），即可得出x的分式方程，解之經檢驗后即可得出x的值，再將其代入（12﹣x）中即可求出結論．
【解答】解：設乙組單獨完成此項工程需要x天，
依題意，得：+＝1，
解得：x＝4，
經檢驗，x＝4是原方程的解，且符合題意，
∴12﹣x＝8．
故選：B．
3．（2021 越秀區一模）為綠化環境某市計劃植樹3000棵，實際勞動中每天植樹的數量比原計劃多20%，結果提前5天完成任務．若設原計劃每天植樹x棵，則根據題意可列方程為　 　．
【分析】直接根據題意表示出實際每天植樹的數量為：（1+20%）x，再利用植樹所用天數得出等式求出答案．
【解答】解：設原計劃每天植樹x棵，根據題意可列方程為：
＝+5．
故答案為：＝+5．
4．（2023 東莞市三模）為響應垃圾分類的要求，營造干凈整潔的學習生活環境，創建和諧文明的校園環境．工大附中準備購買A、B兩種分類垃圾桶，通過市場調研得知：A種垃圾桶每組的單價比B種垃圾桶每組的單價少150元，且用18000元購買A種垃圾桶的組數量是用13500元購買B種垃圾桶的組數量的2倍．
（1）求A、B兩種垃圾桶每組的單價分別是多少元；
（2）該學校計劃用不超過8000元的資金購買A、B兩種垃圾桶共20組，則最多可以購買B種垃圾桶多少組？
【分析】（1）設A種垃圾桶每組的單價為x元，則B種垃圾桶每組的單價為（x+150）元，利用數量＝總價÷單價，結合用18000元購買A種垃圾桶的組數量是用135000元購買B種垃圾桶的組數量的2倍，列出分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設購買B種垃圾桶y組，則購買A種垃圾桶（20﹣y）組，利用總價＝單價×數量，結合總價不超過8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范圍，再取其中的最大整數值即可．
【解答】解：（1）設A種垃圾桶每組的單價為x元，則B種垃圾桶每組的單價為（x+150）元，
依題意得：＝2×，
解得：x＝300，
經檢驗，x＝300是原方程的解，且符合題意，
∴x+150＝300+150＝450．
答：A種垃圾桶每組的單價為300元，B種垃圾桶每組的單價為450元．
（2）設購買B種垃圾桶y組，則購買A種垃圾桶（20﹣y）組，
依題意得：300（20﹣y）+450y≤8000，
解得：y≤，
又∵y為正整數，
∴y的最大值為13．
答：最多可以購買B種垃圾桶13組．
1．（2023 廣東）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減．
【解答】解：
＝
＝．
故本題選：C．
2．（2021 廣州）方程＝的解為（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
【分析】求解分式方程，根據方程的解得結論．
【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，
∴x＝6．
經檢驗，x＝6是原方程的解．
故選：D．
3．（2023 廣州）隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60km/h，動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同．設動車提速后的平均速度為x km/h，則下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據動車提速前后速度間的關系，可得出動車提速前的平均速度為（x﹣60）km/h，利用時間＝路程÷速度，結合動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同，即可列出關于x的分式方程，此題得解．
【解答】解：∵隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60km/h，且動車提速后的平均速度為x km/h，
∴動車提速前的平均速度為（x﹣60）km/h．
根據題意得：＝．
故選：B．
4．（2023 深圳）某運輸公司運輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運輸5噸貨物，且大貨車運輸75噸貨物所用車輛數與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數相同，設大貨車每輛運輸x噸，則所列方程正確的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由每輛大貨車的貨運量是x噸，則每輛小貨車的貨運量是（x﹣5）噸，根據用大貨車運送75噸貨物所需車輛數與小貨車運送50噸貨物所需車輛數相同，即可得出關于x的分式方程．
【解答】解：∵每輛大貨車的貨運量是x噸，
∴每輛小貨車的貨運量是（ x﹣5）噸，
依題意得：＝．
故選：B．
5．（2022 廣州）分式方程＝的解是 　 　．
【分析】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
【解答】解：＝，
3（x+1）＝4x，
解得：x＝3，
檢驗：當x＝3時，2x（x+1）≠0，
∴x＝3是原方程的根，
故答案為：x＝3．
6．（2021 廣東）若x+＝且0＜x＜1，則x2﹣＝　　．
【分析】根據題意得到x﹣＜0，根據完全平方公式求出x﹣，根據平方差公式把原式變形，代入計算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x＜，
∴x﹣＜0，
∵x+＝，
∴（x+）2＝，即x2+2+＝，
∴x2﹣2+＝﹣4，
∴（x﹣）2＝，
∴x﹣＝﹣，
∴x2﹣＝（x+）（x﹣）＝×（﹣）＝﹣，
故答案為：﹣．
7．（2022 廣東）先化簡，再求值：a+，其中a＝5．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法則計算，得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝2a+1，
當a＝5時，原式＝10+1＝11．
8．（2023 深圳）先化簡，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x＝3代入進行計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當x＝3時，原式＝＝．
9．（2022 深圳）化簡求值：（﹣1）÷，其中x＝4．
【分析】利用分式的相應的運算法則進行化簡，再代入相應的值運算即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
當x＝4時，
原式＝
＝．
10．（2023 廣州）已知a＞3，代數式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
【分析】（1）應用提公因式法與平方差公式，即可解決問題；
（2）把分式的分母，分子分別因式分解，然后約分，即可得到答案．
【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）選A，B兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式（答案不唯一），
＝
＝．
11．（2023 廣東）某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km，甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10min，求乙同學騎自行車的速度．
【分析】設乙騎自行車的速度為x km/h，則甲騎自行車的速度為1.2x km/h，根據題意列方程即可得到結論．
【解答】解：設乙騎自行車的速度為x km/h，則甲騎自行車的速度為1.2x km/h，
根據題意得﹣＝，
解得x＝12．
經檢驗，x＝12是原分式方程的解，
答：乙騎自行車的速度為12km/h．
12．（2020 廣東）某社區擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元．用60平方米建A類攤位的個數恰好是用同樣面積建B類攤位個數的．
（1）求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
（2）該社區擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數量不少于A類攤位數量的3倍．求建造這90個攤位的最大費用．
【分析】（1）設每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，根據用60平方米建A類攤位的個數恰好是用同樣面積建B類攤位個數的這個等量關系列出方程即可．
（2）設建A攤位a個，則建B攤位（90﹣a）個，結合“B類攤位的數量不少于A類攤位數量的3倍”列出不等式并解答，也可以利用一次函數的增減性解答．
【解答】解：（1）設每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，
根據題意得：，
解得：x＝3，
經檢驗x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位的占地面積為3平方米；
（2）解法一：設建A攤位a個，建造這90個攤位的費用為y元，則建B攤位（90﹣a）個，
由題意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y隨a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a為整數，
∴當a取最大值22時，費用最大，
此時最大費用為：110×22+8100＝10520；
解法二：設建A攤位a（a為整數）個，則建B攤位（90﹣a）個，
由題意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，
∴要想使建造這90個攤位有最大費用，所以要多建造A類攤位，即a取最大值22時，費用最大，
此時最大費用為：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造這90個攤位的最大費用是10520元．
1．（2023 三水區校級一模）若分式的值等于0，則a的值為（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】直接利用分式的值為零的條件，分子為零，分母不為零，進而得出答案．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴a﹣1＝0且a+1≠0，
解得：a＝1．
故選：D．
2．（2023 吳川市一模）若代數式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣8 B．x＝﹣8 C．x≠0 D．x≠﹣8
【分析】直接利用分式有意義則分母不為零進而得出答案．
【解答】解：若代數式在實數范圍內有意義，則x+8≠0，
解得：x≠﹣8．
故選：D．
3．（2023 霞山區一模）下列運算中正確的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根據分式的基本性質即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A錯誤；
（B）原式＝＝，故B錯誤；
（D）原式＝，故D錯誤；
故選：C．
4．（2023 花都區一模）解分式方程1﹣＝，去分母后得到的方程正確的是（　　）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2x B．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2x D．（x﹣2）+1＝2x
【分析】根據分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵1﹣＝，
∴x﹣2+1＝2x，
故選：D．
5．（2023 廣東模擬）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
【分析】方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．
【解答】解：去分母得：7+3（x﹣1）＝x，
去括號得：7+3x﹣3＝x，
移項并合并得：2x＝﹣4，
解得：x＝﹣2，
檢驗：當x＝﹣2時，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
故選：C．
6．（2023 河源一模）某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道．在修建完400m后，為了能趕在汛期前完成，采用新技術，工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天修建管道x m，依題意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由采用新技術前后工作效率間的關系可得出采用新技術后每天修建管道（1+25%）x m，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合時間比原計劃提前4天完成任務，即可得出關于x的分式方程，此題得解．
【解答】解：∵采用新技術，工作效率比原來提升了25%，且原計劃每天修建管道x m，
∴采用新技術后每天修建管道（1+25%）x m．
依題意得：﹣＝4．
故選：B．
7．（2021 梅江區一模）已知關于x的分式方程﹣＝1的解是正數，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數求出m的取值范圍即可．
【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，
解得x＝m﹣4．
∵x為正數，
∴m﹣4＞0，解得m＞4，
∵x≠1，
∴m﹣4≠1，即m≠5，
∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．
故選：C．
8．（2023 濠江區模擬）化簡：＝ 　．
【分析】運用同分母分式相加減的方法進行計算、化簡．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
故答案為：x﹣1．
9．（2022 珠海一模）分式方程：的解是 　 　．
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5，
經檢驗x＝5是分式方程的解，
故答案為：x＝5．
10．（2021 黃埔區一模）解分式方程：．
【分析】觀察可得最簡公分母是x（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．
【解答】解：方程的兩邊同乘x（x﹣2），得
3（x﹣2）＝x，
解得x＝3．
檢驗：把x＝3代入x（x﹣2）＝3≠0．
∴原方程的解為：x＝3．
11．（2023 佛山模擬）解方程：．
【分析】將原式化為整式進行計算，得出答案后記得檢驗．
【解答】解：去分母得：3＝﹣x﹣2（1﹣x）
整理得：3＝x﹣2，
解得：x＝5，
檢驗：當x＝5時，1﹣x≠0，所以x＝5是原方程的解．
12．（2023 東莞市一模）先化簡，后求值：，從﹣1，0，1，2選一個合適的值，代入求值．
【分析】先通分，把能分解的進行分解，除法轉為乘法，再約分，再考慮分母不能為0，從中先取合適的數運算即可．
【解答】解：
＝
＝，
∵x﹣2≠0，x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠2，x≠1，x≠0，
∴當x＝﹣1時，
原式＝
＝．
13．（2023 番禺區校級一模）習近平總書記在全國教育大會上作出了優先發展教育事業的重大部署，縣委縣政府積極響應，對通往某偏遠學校的一段全長為1200米的道路進行了改造，鋪設柏油路面．鋪設400米后，為了盡快完成道路改造，后來每天的工作效率比原計劃提高25%，結果共用13天完成道路改造任務．
（1）求原計劃每天鋪設路面多少米？
（2）若承包商原來每天支付工人工資為1500元，提高工作效率后每天支付給工人的工資增長了20%，完成整個工程后承包商共支付工人工資多少元？
【分析】（1）設原計劃每天鋪設路面x米，則提速后每天鋪設路面（1+25%）x米，根據工作時間＝工作總量÷工作效率結合共用13天完成道路改造任務，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）根據總工資＝每天支付的工資×工作天數，即可求出結論．
【解答】解：（1）設原計劃每天鋪設路面x米，則提速后每天鋪設路面（1+25%）x米，
依題意，得：+＝13，
解得：x＝80，
經檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意．
答：原計劃每天鋪設路面80米．
（2）1500×+1500×（1+20%）×＝21900（元）．
答：完成整個工程后承包商共支付工人工資21900元．
14．（2023 金平區三模）五月初，某地遭遇了持續強降雨的惡劣天氣，造成部分地區出現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共4000件送往災區，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用450元購買甲種物品的件數恰好與用400元購買乙種物品的件數相同
（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格分別是多少元？
（2）經調查，災區對乙種物品件數需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這4000件物品，需籌集資金多少元？
【分析】（1）設甲種救災物品每件的價格x元，則乙種救災物品每件的價格為（x﹣10）元，根據已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用450元購買甲種物品的件數恰好與用400元購買乙種物品的件數相同可列方程求解．
（2）設甲種物品件數y件，根據災區對乙種物品件數需求量是甲種物品件數的3倍，可列出方程求解；
【解答】解：（1）設甲種救災物品每件的價格x元，則乙種救災物品每件的價格為（x﹣10）元，
可得：，
解得：x＝90，
經檢驗x＝90是原方程的解，
答：甲單價 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）設甲種物品件數y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以籌集資金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：需籌集資金330000 元．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑