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第三章 函數
第八節 平面直角坐標系與函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系及點的坐標 ☆ 平面直角坐標系與函數知識內容主要包括：平面直角坐標系、函數的概念、函數的圖像識別以及函數的表示方法。在廣東中考中這部分知識考查熱度較為一般，通常以選擇題或者填空題的形式考查，考題大多屬于基礎題，但在函數圖象的實際應用這個知識的考查偶爾會出現在選擇題第10題中，難度會稍微比較大，最近幾年都暫時未進行此類型考查。中考復習的時候，要理清楚此部分知識的基本概念，重點加強理解，便可較輕松的應對此部分知識考查。
考點2 圖形變換及點的坐標變化 ☆☆
考點3 函數的相關概念及表示方法 ☆☆
考點一 平面直角坐標系及點的坐標
1．平面直角坐標系：
在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系．
其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面．
為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
【注意】x軸和y軸上的點，不屬于任何象限．
2. 點的坐標的概念：
點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒．平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標．
3. 各象限內點的坐標的特征：
點P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0．
點P（x，y）在第二象限 x＜0，y＞0．
點P（x，y）在第三象限 x＜0，y＜0．
點P（x，y）在第四象限 x＞0，y＜0．
4. 坐標軸上的點的特征：
點 P（x，y）在x軸上 y=0，x為任意實數．
點P（x，y）在y軸上 x=0，y為任意實數．
點P（x，y）既在x軸上，又在y軸上 x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）．
5. 點到坐標軸及原點的距離：
點P（x，y）到x軸的距離等于|y|．
點P（x，y）到y軸的距離等于|x|．
點P（x，y）到原點的距離等于．
考點二 圖形變換及點的坐標變化
1. 兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征：
點P（x，y）在第一、三象限夾角平分線上 x與y相等．
點P（x，y）在第二、四象限夾角平分線上 x與y互為相反數．
2. 與坐標軸平行的直線上點的坐標的特征：
位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同．
位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同．
3. 關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征：
點P與點P′關于x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標互為相反數．
點P與點P′關于y軸對稱 縱坐標相等，橫坐標互為相反數．
點P與點P′關于原點對稱 橫、縱坐標均互為相反數．
4. 點平移后的坐標特征：
點P（x，y）向右平移a個單位長度 P′（x+a，y）．
點P（x，y）向左平移a個單位長度 P′（x–a，y）．
點P（x，y）向上平移b個單位長度 P′（x，y+b）．
點P（x，y）向下平移b個單位長度 P′（x，y–b）．
考點三 函數的相關概念及表示方法
1．函數的定義：
在某個變化過程中，兩個變量x，y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，我們就說x是自變量，y是因變量，此時也稱y是x的函數．
【注意】一個函數問題，只與自變量、函數之間的對應關系有關，而與自變量、函數采用什么字母無關．
2．函數值：
對于一個函數，當自變量x=a時，求出對應的y值，稱為當x=a時的函數值．
3.自變量取值范圍
①所給函數解析式是整式：自變量的取值范圍：全體實數．
②所給函數解析式是分式：自變量的取值范圍：使分母不為0的一切實數．（不能隨意約分，同時要區分“且”和“或”的含義．）
③所給函數解析式是二次根式：自變量的取值范圍：被開方數是非負數．
④所給函數解析式是復合形式：自變量的取值范圍：列不等式組，兼顧所有代數式同時有意義．
4．函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法
5．函數圖象的概念：對一個函數，把自變量x和函數y的每一對對應值分別作為橫坐標、縱坐標，在坐標平面內有一個相應的點，這些點的全體組成的圖形就是函數的圖象．
6．函數圖象的畫法：描點法：
①列表：列表求出自變量、函數的一些對應值；
②描點：以表中的對應值為坐標，在平面直角坐標系內描出相應的點；
③連線：按自變量從小到大的順序，把所描各個點用平滑的曲線順次連接起來．
7．點在函數圖象上的判斷：把一個點的坐標代入函數關系式，如果等式成立，那么點在函數圖象上；如果等式不成立，那么點不在函數圖象上．
8．函數圖象的性質：一般地，函數圖象的上升線表示因變量隨自變量取值的增加而增加，下降線表示因變量隨自變量取值的增加而減少，水平線表示因變量不隨自變量取值的變化而發生變化（自變量在x軸上從小到大，圖象從左到右看）．
（1）上升線傾斜程度越小表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的增加越慢；上升線傾斜程度越大表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的增加越快．
（2）下降線傾斜程度越小表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的減少越慢；下降線傾斜程度越大表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的減少越快．
考點1：平面直角坐標系及點的坐標
◇例題
1．（2021 深圳模擬）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據各象限內點的坐標特征解答即可．
【解答】解：點P（﹣3，2）在第二象限，
故選：B．
2．（2023 順德區校級一模）已知點Q（a﹣1，a+2）在x軸上，那么Q點的坐標為（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【分析】根據x軸上點的縱坐標為0列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：∵點Q（a﹣1，a+2）在x軸上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴點A的坐標為（﹣3，0）．
故選：A．
3．（2023 順德區一模）在平面直角坐標系中，第一象限內的點P（a+3，a）到y軸的距離是5，則a的值為（　　）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
【分析】根據點的坐標定義、各象限內點的坐標特征即可解答．
【解答】解：∵第一象限內的點P（a+3，a）到y軸的距離是5，
∴a+3＝5，
∴a＝2．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023 中山市校級模擬）點P（3，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由題意可確定m2+1≥1，再根據平面直角坐標系中各個象限的點的坐標的符號特點可知：點P（3，m2+1）位于第一象限．
【解答】解：∵m2+1≥1，
∴點P（3，m2+1）位于第一象限．
故選：A．
2．（2023 金平區三模）已知點A（2，1），過點A作x軸的垂線，垂足為C，則點C的坐標為（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】先畫圖，過點A作x軸的垂線，結合圖形可得答案．
【解答】解：如圖，點A（2，1），過點A作x軸的垂線，垂足為C，
∴C（2，0）；
故選：C．
3．（2022 揭東區一模）如果P（m+3，2m+4）在y軸上，那么點P的坐標是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）
【分析】根據點在y軸上，可知P的橫坐標為0，即可得m的值，再確定點P的坐標即可．
【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y軸上，
∴m+3＝0，
解得m＝﹣3，2m+4＝﹣2，
∴點P的坐標是（0，﹣2）．
故選：B．
考點2：圖形變換及點的坐標變化
◇例題
1．（2023 英德市二模）在直角坐標系中，點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度后的坐標為（　　）
A．（﹣6，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，7）
【分析】根據橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減計算即可．
【解答】解：點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度后的坐標是（﹣2+4，3），
即（2，3）．
故選：B．
2．（2022 鶴山市一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（3，﹣4）關于y軸的對稱點B的坐標是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
【分析】根據關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變可得答案．
【解答】解：在平面直角坐標系xOy中，點A（3，﹣4）關于y軸的對稱點B的坐標是（﹣3，﹣4）．
故選：B．
3．（2023 廣東模擬）已知點M（﹣2，3），點N（2，a），且MN∥x軸，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根據平行于x軸的直線縱坐標相等解答即可．
【解答】解：∵點M（﹣2，3），點N（2，a），且MN∥x軸，
∴a＝3，
故選：D．
4．（2022 香洲區校級一模）（，0）到坐標原點的距離是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
【分析】根據x軸上兩點間的距離等于其橫坐標差的絕對值進行解答便可．
【解答】解：∵（，0）在x軸上，
∴（，0）到坐標原點的距離是|﹣﹣0|＝，
故選：B．
5．（2023 潮州模擬）在平面直角坐標系中，線段AB平移得到線段CD，點A（﹣1，4）的對應點C（1，2），則點B（2，1）的對應點D的坐標為（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【分析】根據點A、C的坐標確定出平移規律，再根據平移規律解答即可．
【解答】解：∵點A（﹣1，4）的對應點C的坐標為（1，2），
∴平移規律為向右平移2個單位，向下平移2個單位，
∴B（2，1）的對應點D的坐標為（4，﹣1）．
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023 惠州二模）在平面直角坐標系中，點P（a，b）關于y軸對稱的點Q（2，3），點P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據關于y軸對稱的點的坐標特征：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，求出點P坐標，進一步可知點P所在象限．
【解答】解：∵點P與點Q（2，3）關于y軸對稱，
∴點P坐標為（﹣2，3），
∴點P在第二象限，
故選：B．
2．（2022 濠江區一模）若點A（m+1，﹣2）、點B（3，m﹣1），且AB∥x軸，則AB的值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據AB∥x軸，得到點A，B縱坐標相等，求出m的值，得到A，B的坐標，進而得到AB的值．
【解答】解：∵AB∥x軸，
∴點A，B縱坐標相等，
∴m﹣1＝﹣2，
∴m＝﹣1，
∴m+1＝0，
∴A（0，﹣2），B（3，﹣2），
∴AB＝3﹣0＝3．
故選：B．
3．（2023 東莞市一模）點A關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），則點A的坐標是　 　．
【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．
【解答】解：∵點A關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），
∴點A的坐標是（﹣3，2），
故答案為：（﹣3，2）．
4．（2023 湛江一模）已知點P（x，1）與點Q（﹣3，y）關于原點對稱，則x+y＝　　．
【分析】根據平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫、縱坐標都變成相反數．
【解答】解：∵點P（x，1）與點Q（﹣3，y）關于原點對稱，
∴x＝3，y＝﹣1，
∴x+y＝3+（﹣1）＝2，
故答案為：2．
5．（2021 海豐縣模擬）在平面直角坐標系中，線段AB在x軸上，AB＝2，且點A（，0）．則點B的坐標是　 　．
【分析】根據題意，點B的位置有兩種情況，討論后即可得出答案．
【解答】解：∵線段AB在x軸上，AB＝2，且點A（，0），
①點B在點A的右邊，B點的橫坐標為：2+＝2，
②點B在點A的左邊，B點的橫坐標為：﹣2＝﹣，
∴點B的坐標為：（2，0）或（，0）；
故答案為：（2，0）或（，0）．
考點3：函數的相關概念及表示方法
◇例題
1．（2023 湛江二模）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞0且x≠5 B．x≥5 C．x＞5 D．x≤5
【分析】根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得：x﹣5＞0，
解得：x＞5，
故選：C．
2．（2023 南海區校級模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（　　）
A．變量是V，R；常量是，π
B．變量是R，π；常量是
C．變量是V，R，π；常量是
D．變量是V，R3；常量是π
【分析】根據常量和變量的概念解答即可．
【解答】解：球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，
其中變量是V，R；常量是，π
故選：A．
3．（2021 寶安區一模）如圖，火車勻速通過隧道（隧道長大于火車長）時，火車進入隧道的時間x與火車在隧道內的長度y之間的關系用圖象描述大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先分析題意，把各個時間段內y與x之間的關系分析清楚，本題是分段函數，分為三段．
【解答】解：根據題意可知火車進入隧道的時間x與火車在隧道內的長度y之間的關系具體可描述為：當火車開始進入時y逐漸變大，火車完全進入后一段時間內y不變，當火車開始出來時y逐漸變小，故反映到圖象上應選B．
故選：B．
4．（2023 東莞市一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，O是矩形對角線交點，線段OP⊥AD，且OP＝4cm，線段OP從圖中位置開始，繞點O順時針旋轉一周，線段OP在矩形內部部分（包括端點）的長度y（cm）與點P走過的路程 x（cm）的函數關系式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據題意可以得到各段對應的函數圖象，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，O到AD的距離為3，O到CD的距離為4，OD的長度為5，
則在OP順時針旋轉的過程中，
在OP⊥AD到OP⊥CD的過程中，線段OP在矩形內部部分的長度y隨x的增大而增大，增大到等于OP的長度時保持不變；
在OP⊥CD到OP⊥CD的過程中，線段OP在矩形內部部分的長度y由5保持一段時間不變，然后隨著x的增大而減小；
在OP⊥BC到OP⊥AB的過程中，線段OP在矩形內部部分的長度y隨x的增大而增大，增大到等于OP的長度時保持不變；
在OP⊥BA到OP⊥AD的過程中，線段OP在矩形內部部分的長度y由5保持一段時間不變，然后隨著x的增大而減小．
故選：A．
5．（2021 饒平縣校級模擬）某工程隊為教學樓貼瓷磚，已知樓體外表面積為5×103m2．所需的瓷磚塊數n與每塊瓷磚的面積S（單位：m2）的函數關系式為　　．
【分析】根據“總面積除以每塊瓷磚的面積等于瓷磚的塊數”可得出關系式．
【解答】解：由總面積除以每塊瓷磚的面積等于瓷磚的塊數可得，
n＝＝，
故答案為：n＝．
6．（2021 廣東模擬）已知y是x的函數，用列表法給出部分x與y的值，表中“▲”處的數是 　　．
x 1 2 3 4 6
y ▲ 6 4 3 2
【分析】用待定系數法求出反比例函數的解析式，再將表中x＝1代入，即可求出“▲”處的數．
【解答】解：設解析式為y＝，
將（2，6）代入解析式得k＝12，
這個函數關系式為：y＝，
把x＝1代入得y＝12，
∴表中“▲”處的數為12，
故答案為：12．
◆變式訓練
1．（2023 惠來縣模擬）某人要在規定的時間內加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t表示規定的時間，下列說法正確的是（　　）
A．數100和n，t都是常量 B．數100和n都是變量
C．n和t都是變量 D．數100和t都是變量
【分析】利用效率等于工作量除以工作時間得到n＝，然后利用變量和常量對各選項進行判斷．
【解答】解：n＝，其中n、t為變量，100為常量．
故選：C．
2．（2022 河源一模）已知兩個變量x和y，它們之間的3組對應值如下表所示：
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
則y與x之間的關系式可能是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣x+2
【分析】根據變化規律，自變量加1，因變量就減少1，自變量增加a個1，因變量就從3到少a個1，求解即可．
【解答】解：由題意知，有兩個變量，x和y，其中x為自變量，y為因變量，
當自變量x增加1時，因變量y減少1，
所以當自變量為x時，即增加了[x﹣（﹣1）]個1，則因變量應減少了[x﹣（﹣1）]，即3﹣[x﹣（﹣1）]＝﹣x+2，
即y＝﹣x+2，
故選：D．
3．（2023 香洲區二模）一個小球沿一個斜坡上下滾動，其速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的圖象如圖所示．下列說法錯誤的是（　　）
A．小球的初始速度為6m/s
B．小球先沿斜坡向上滾動，再沿斜坡向下滾動
C．當3≤t≤6時，小球的速度每秒增加2m/s
D．小球在整個滾動過程中，當t＝3時，到達斜坡的最低處
【分析】根據函數圖象結合圖形分析即可．
【解答】解：t＝0時速度為6m/s，故A選項不符合題意；
由函數圖象可得速度先減小后增加，所以小球先沿斜坡向上滾動，再沿斜坡向下滾動，故B選項不符合題意；
當3≤t≤6時，小球的速度每秒增加2m/s，故C選項不符合題意；
當t＝3時，到達斜坡的最高處，故D選項符合題意；
故選：D．
4．（2023 揭陽一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA＝．動點P沿路徑A→B→C→D從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點D運動．過點P作PH⊥AD，垂足為H．設點P運動的時間為x（單位：s），△APH的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分別求出點P在AB上運動、點P在BC上運動、點P在CD上運動時的函數表達式，進而求解．
【解答】解：①當點P在AB上運動時，
∵AB＝BC＝5，tanA＝，
∴AP：PH：AH＝5：4：3，
∵AP＝x，
∴PH＝x，AH＝x，
y＝AH PH＝ x x＝x2，圖象為二次函數；
且當x＝5時，y＝6；故B，C，D不正確；則A正確；
②當點P在BC上運動時，如圖，過點B作BE⊥AD于點E，
∵tanA＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∵AB+BP＝x，
∴BP＝EH＝x﹣5，
∴AH＝2+x﹣5＝x﹣2，
∴y＝AH PH＝ （x﹣2） 4＝2x﹣4，為一次函數；
且當x＝10時，y＝16；
③當點P在CD上運動時，
此時，AD＝AH＝3+5＝8，
∵AB+BC+CP＝x，
∴PH＝AB+BC+CD﹣x＝14﹣x，
∴y＝AH PH＝×8 （14﹣x）＝﹣4x+56；
故選：A．
5．（2023 金平區二模）函數y＝的自變量x的取值范圍是 　 　．
【分析】根據分母不為0可得：x+1≠0，然后進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案為：x≠﹣1．
6．（2023 南海區三模）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，計算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y與x的函數關系式為y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所掛物體的質量為2.5kg．
1．（2022 廣東）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr．下列判斷正確的是（　　）
A．2是變量 B．π是變量 C．r是變量 D．C是常量
【分析】根據變量與常量的定義進行求解即可得出答案．
【解答】解：根據題意可得，
在C＝2πr中．2，π為常量，r是自變量，C是因變量．
故選：C．
2．（2022 廣東）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【分析】根據平面直角坐標系中點的坐標的平移特點解答即可．
【解答】解：將點（1，1）向右平移2個單位后，橫坐標加2，所以平移后點的坐標為（3，1），
故選：A．
3．（2020 廣東）在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答即可．
【解答】解：點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（3，﹣2）．
故選：A．
4．（2023 南沙區一模）在平面直角坐標系中，與點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．
【解答】解：點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（﹣3，4），
故選：C．
5．（2023 蓬江區一模）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
【分析】把點（1，1）的橫坐標不變，縱坐標加3，即可得到平移后的對應點的坐標．
【解答】解：將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（1，4）．
故選：A．
6．（2023 高明區二模）在平面直角坐標系中，點P（﹣2，3）關于x軸的對稱點Q的坐標為（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【分析】根據關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，求解即可．
【解答】解：點P（﹣2，3）關于x軸的對稱點Q的坐標為（﹣2，﹣3），
故選：A．
7．（2023 仁化縣二模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是　 ．
【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由題意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案為：x≥﹣1且x≠2．
8．（2022 東莞市一模）已知點M（m+1，m+3）在x軸上，則m等于　 ．
【分析】根據x軸上的點的縱坐標為0列式求值即可．
【解答】解：由題意得：m+3＝0，
解得m＝﹣3，
故答案為：﹣3．
9．（2022 越秀區校級二模）若P（a+2，a﹣1）在y軸上，則點P的坐標是　 ．
【分析】讓橫坐標為0可得a的值，進而可得P的坐標．
【解答】解：∵P（a+2，a﹣1）在y軸上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴點P的坐標是 （0，﹣3），
故答案為（0，﹣3）．
10．（2022 廣東）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，計算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y與x的函數關系式為y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所掛物體的質量為2.5kg．
1．（2023 高州市校級二模）函數中自變量x的取值范圍是 　 　．
【分析】求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件，分式有意義的條件是：分母不等于0．
【解答】解：由二次根式的性質得：x≥0，
由分式的分母不能為零的：x≠3，
∴x≥0且x≠3．
故答案為：x≥0且x≠3．
2．（2023 惠陽區二模）在平面直角坐標系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，則x的取值范圍是 　 　．
【分析】由P（2x+6，4﹣x）在第二象限得到，解不等式組即可得到答案．
【解答】解：∵P（2x+6，4﹣x）在第二象限，
∴，
解得x＜﹣3，
故答案為：x＜﹣3．
3．（2023 濠江區模擬）在平面直角坐標系中，點P（3，1）關于y軸對稱的點P′的坐標是 　．
【分析】根據關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變可得答案．
【解答】解：在平面直角坐標系中，點P（3，1）關于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣3，1）．
故答案為：（﹣3，1）．
4．（2023 東莞市一模）在平面直角坐標系中，點（5，﹣1）關于原點對稱的點的坐標是 　 　．
【分析】根據關于坐標原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數解答．
【解答】解：點P（5，﹣1）關于原點對稱的點的坐標是（﹣5，1）．
故答案為：（﹣5，1）．
5．（2023 廣東模擬）將點A（﹣2，﹣5）向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度后得到的點A′的坐標為 　 　．
【分析】根據橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得答案．
【解答】解：將點A（﹣2，﹣5）向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度后得到的點A′，
則點A′的坐標是（﹣2+3，﹣5+5），即A′（1，0）．
故答案為：（1，0）．
6．（2023 徐聞縣二模）已知點P在第三象限，且點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，那么點P的坐標為 　 　．
【分析】根據第三象限內點的橫坐標與縱坐標都是負數，點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值解答．
【解答】解：∵點P（x，y）在第三象限，且點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴點P的坐標是（﹣2，﹣3）．
故答案為：（﹣2，﹣3）．
7．（2022 東莞市校級一模）中國象棋具有悠久的歷史，戰國時期，就有了關于象棋的正式記載，如圖是中國象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“將”的位置應表示為 　 　．
【分析】直接利用已知點坐標建立平面直角坐標系，進而得出答案．
【解答】解：如圖所示：“將”的位置應表示為（﹣1，1）．
故答案為：（﹣1，1）．
8．（2021 佛山校級三模）已知y是x的函數，用列表法給出部分x與y的值．表中“▲”處的數可以是 　 　．（填一個符合題意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
【分析】觀察表格發現：xy＝6，所以y＝，當x＝4時，代入表達式，即可得出y的值．
【解答】解：觀察表格發現：xy＝6，
∴y＝，
當x＝4時，y＝＝1.5，
故答案為：1.5（答案不唯一）．
9．（2021 惠城區一模）如圖1，在正方形ABCD中，點P，Q同時以2cm/s的速度從點A出發，分別沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路徑勻速運動，到達點C時停止運動，連接PQ，設PQ的長為y，運動時間為x，則y（cm）與x（s）的函數圖象如圖2所示，當x＝2.5s時，PQ的長是 　3　cm．
【分析】先根據圖2得出當x＝2s時，PQ長度最大，即PQ和BD重合，求出正方形邊長，再根據x＝2.5s時，點P運動的路程，求出CP＝CQ＝3，然后由勾股定理求出PQ．
【解答】解：從圖2可知，當x＝2s時，PQ長度最大，即PQ和BD重合，
P的速度為每秒2cm，
∴當x＝2時，AB＝2×2＝4（cm），
即正方形的邊長為4cm，
∴當x＝2.5秒時，P點運動了5cm，此時點P在BC上，
則此時CP＝8﹣5＝3＝CQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝3（cm），
故答案為：3．
10．（2024 深圳模擬）已知一個矩形的面積為6，長為x，寬為y．
（1）y與x之間的函數表達式為 　　；
（2）在圖中畫出該函數的圖象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 　；
描點：在如圖所示的平面直角坐標系中描出相應的點；
連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得到該函數的圖象．
（3）若點A（a，b）與點B（a+1，c）是該函數圖象上的兩點，試比較b和c的大小．
【分析】（1）利用矩形的面積公式可以得到y與x之間的函數關系式；
（2）將x＝3代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描點，再用光滑的曲線順次連接即可畫出圖象；
（3）根據反比例函數的單調性即可得到答案．
【解答】解：（1）根據題意得：xy＝6，
所以y＝，
則y與x之間的函數表達式為y＝．
故答案為：y＝．
（2）
（3）由圖象可知，在第一象限內y隨著x的增大而減小，
∵a+1＞a，
∴b＞c．
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第三章 函數
第八節 平面直角坐標系與函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系及點的坐標 ☆ 平面直角坐標系與函數知識內容主要包括：平面直角坐標系、函數的概念、函數的圖像識別以及函數的表示方法。在廣東中考中這部分知識考查熱度較為一般，通常以選擇題或者填空題的形式考查，考題大多屬于基礎題，但在函數圖象的實際應用這個知識的考查偶爾會出現在選擇題第10題中，難度會稍微比較大，最近幾年都暫時未進行此類型考查。中考復習的時候，要理清楚此部分知識的基本概念，重點加強理解，便可較輕松的應對此部分知識考查。
考點2 圖形變換及點的坐標變化 ☆☆
考點3 函數的相關概念及表示方法 ☆☆
考點一 平面直角坐標系及點的坐標
1．平面直角坐標系：
在平面內畫兩條互相________且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系．
其中，水平的數軸叫做________或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做________或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面．
為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
【注意】________和________上的點，不屬于任何象限．
2. 點的坐標的概念：
點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒．平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標．
3. 各象限內點的坐標的特征：
點P（x，y）在第一象限 x________0，y＞0．
點P（x，y）在第二象限 x＜0，y________0．
點P（x，y）在第三象限 x________0，y＜0．
點P（x，y）在第四象限 x＞0，y________0．
4. 坐標軸上的點的特征：
點 P（x，y）在x軸上 y=0，x為________．
點P（x，y）在y軸上 x=0，________為任意實數．
點P（x，y）既在x軸上，又在y軸上 x，y同時為零，即點P坐標為________．
5. 點到坐標軸及原點的距離：
點P（x，y）到________的距離等于|y|．
點P（x，y）到________的距離等于|x|．
點P（x，y）到________的距離等于．
考點二 圖形變換及點的坐標變化
1. 兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征：
點P（x，y）在第一、三象限夾角平分線上 x與y相等．
點P（x，y）在第二、四象限夾角平分線上 x與y互為相反數．
2. 與坐標軸平行的直線上點的坐標的特征：
位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同．
位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同．
3. 關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征：
點P與點P′關于x軸對稱 ________相等，________互為相反數．
點P與點P′關于y軸對稱 ________相等，________互為相反數．
點P與點P′關于原點對稱 橫、縱坐標均互為相反數．
4. 點平移后的坐標特征：
點P（x，y）向右平移a個單位長度 P′（x+a，y）．
點P（x，y）向左平移a個單位長度 P′（x–a，y）．
點P（x，y）向上平移b個單位長度 P′（x，y+b）．
點P（x，y）向下平移b個單位長度 P′（x，y–b）．
考點三 函數的相關概念及表示方法
1．函數的定義：
在某個變化過程中，兩個變量x，y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，我們就說x是________，y是因變量，此時也稱y是x的函數．
【注意】一個函數問題，只與自變量、函數之間的對應關系有關，而與自變量、函數采用什么字母無關．
2．函數值：
對于一個函數，當自變量x=a時，求出對應的________值，稱為當x=a時的函數值．
3.自變量取值范圍
①所給函數解析式是整式：自變量的取值范圍：全體實數．
②所給函數解析式是分式：自變量的取值范圍：使分母不為0的一切實數．（不能隨意約分，同時要區分“且”和“或”的含義．）
③所給函數解析式是二次根式：自變量的取值范圍：被開方數是非負數．
④所給函數解析式是復合形式：自變量的取值范圍：列不等式組，兼顧所有代數式同時有意義．
4．函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法
5．函數圖象的概念：對一個函數，把自變量x和函數y的每一對對應值分別作為橫坐標、縱坐標，在坐標平面內有一個相應的點，這些點的全體組成的圖形就是函數的圖象．
6．函數圖象的畫法：描點法：
①列表：列表求出自變量、函數的一些對應值；
②描點：以表中的對應值為坐標，在平面直角坐標系內描出相應的點；
③連線：按自變量從小到大的順序，把所描各個點用平滑的曲線順次連接起來．
7．點在函數圖象上的判斷：把一個點的坐標代入函數關系式，如果等式成立，那么點在函數圖象上；如果等式不成立，那么點不在函數圖象上．
8．函數圖象的性質：一般地，函數圖象的上升線表示因變量隨自變量取值的增加而________，下降線表示因變量隨自變量取值的增加而________，水平線表示因變量不隨自變量取值的變化而發生變化（自變量在x軸上從小到大，圖象從左到右看）．
（1）上升線傾斜程度越小表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的增加越慢；上升線傾斜程度越大表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的增加越快．
（2）下降線傾斜程度越小表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的減少________；下降線傾斜程度越大表示：隨著自變量取值的增加，因變量取值的減少________．
考點1：平面直角坐標系及點的坐標
◇例題
1．（2021 深圳模擬）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 順德區校級一模）已知點Q（a﹣1，a+2）在x軸上，那么Q點的坐標為（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
3．（2023 順德區一模）在平面直角坐標系中，第一象限內的點P（a+3，a）到y軸的距離是5，則a的值為（　　）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
◆變式訓練
1．（2023 中山市校級模擬）點P（3，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 金平區三模）已知點A（2，1），過點A作x軸的垂線，垂足為C，則點C的坐標為（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
3．（2022 揭東區一模）如果P（m+3，2m+4）在y軸上，那么點P的坐標是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）
考點2：圖形變換及點的坐標變化
◇例題
1．（2023 英德市二模）在直角坐標系中，點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度后的坐標為（　　）
A．（﹣6，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，7）
2．（2022 鶴山市一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（3，﹣4）關于y軸的對稱點B的坐標是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
3．（2023 廣東模擬）已知點M（﹣2，3），點N（2，a），且MN∥x軸，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
4．（2022 香洲區校級一模）（，0）到坐標原點的距離是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
5．（2023 潮州模擬）在平面直角坐標系中，線段AB平移得到線段CD，點A（﹣1，4）的對應點C（1，2），則點B（2，1）的對應點D的坐標為（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
◆變式訓練
1．（2023 惠州二模）在平面直角坐標系中，點P（a，b）關于y軸對稱的點Q（2，3），點P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022 濠江區一模）若點A（m+1，﹣2）、點B（3，m﹣1），且AB∥x軸，則AB的值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 東莞市一模）點A關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），則點A的坐標是　 　．
4．（2023 湛江一模）已知點P（x，1）與點Q（﹣3，y）關于原點對稱，則x+y＝　　．
5．（2021 海豐縣模擬）在平面直角坐標系中，線段AB在x軸上，AB＝2，且點A（，0）．則點B的坐標是　 　．
考點3：函數的相關概念及表示方法
◇例題
1．（2023 湛江二模）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞0且x≠5 B．x≥5 C．x＞5 D．x≤5
2．（2023 南海區校級模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（　　）
A．變量是V，R；常量是，π
B．變量是R，π；常量是
C．變量是V，R，π；常量是
D．變量是V，R3；常量是π
3．（2021 寶安區一模）如圖，火車勻速通過隧道（隧道長大于火車長）時，火車進入隧道的時間x與火車在隧道內的長度y之間的關系用圖象描述大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 東莞市一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，O是矩形對角線交點，線段OP⊥AD，且OP＝4cm，線段OP從圖中位置開始，繞點O順時針旋轉一周，線段OP在矩形內部部分（包括端點）的長度y（cm）與點P走過的路程 x（cm）的函數關系式可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021 饒平縣校級模擬）某工程隊為教學樓貼瓷磚，已知樓體外表面積為5×103m2．所需的瓷磚塊數n與每塊瓷磚的面積S（單位：m2）的函數關系式為　　．
6．（2021 廣東模擬）已知y是x的函數，用列表法給出部分x與y的值，表中“▲”處的數是 　　．
x 1 2 3 4 6
y ▲ 6 4 3 2
◆變式訓練
1．（2023 惠來縣模擬）某人要在規定的時間內加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t表示規定的時間，下列說法正確的是（　　）
A．數100和n，t都是常量 B．數100和n都是變量
C．n和t都是變量 D．數100和t都是變量
2．（2022 河源一模）已知兩個變量x和y，它們之間的3組對應值如下表所示：
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
則y與x之間的關系式可能是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣x+2
3．（2023 香洲區二模）一個小球沿一個斜坡上下滾動，其速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的圖象如圖所示．下列說法錯誤的是（　　）
A．小球的初始速度為6m/s
B．小球先沿斜坡向上滾動，再沿斜坡向下滾動
C．當3≤t≤6時，小球的速度每秒增加2m/s
D．小球在整個滾動過程中，當t＝3時，到達斜坡的最低處
4．（2023 揭陽一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA＝．動點P沿路徑A→B→C→D從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點D運動．過點P作PH⊥AD，垂足為H．設點P運動的時間為x（單位：s），△APH的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023 金平區二模）函數y＝的自變量x的取值范圍是 　 　．
6．（2023 南海區三模）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．
1．（2022 廣東）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr．下列判斷正確的是（　　）
A．2是變量 B．π是變量 C．r是變量 D．C是常量
2．（2022 廣東）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
3．（2020 廣東）在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．（2023 南沙區一模）在平面直角坐標系中，與點A（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
5．（2023 蓬江區一模）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
6．（2023 高明區二模）在平面直角坐標系中，點P（﹣2，3）關于x軸的對稱點Q的坐標為（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）
7．（2023 仁化縣二模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是　 ．
8．（2022 東莞市一模）已知點M（m+1，m+3）在x軸上，則m等于　 ．
9．（2022 越秀區校級二模）若P（a+2，a﹣1）在y軸上，則點P的坐標是　 ．
10．（2022 廣東）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．
1．（2023 高州市校級二模）函數中自變量x的取值范圍是 　 　．
2．（2023 惠陽區二模）在平面直角坐標系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，則x的取值范圍是 　 　．
3．（2023 濠江區模擬）在平面直角坐標系中，點P（3，1）關于y軸對稱的點P′的坐標是 　．
4．（2023 東莞市一模）在平面直角坐標系中，點（5，﹣1）關于原點對稱的點的坐標是 　 　．
5．（2023 廣東模擬）將點A（﹣2，﹣5）向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度后得到的點A′的坐標為 　 　．
6．（2023 徐聞縣二模）已知點P在第三象限，且點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，那么點P的坐標為 　 　．
7．（2022 東莞市校級一模）中國象棋具有悠久的歷史，戰國時期，就有了關于象棋的正式記載，如圖是中國象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“將”的位置應表示為 　 　．
8．（2021 佛山校級三模）已知y是x的函數，用列表法給出部分x與y的值．表中“▲”處的數可以是 　 　．（填一個符合題意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
9．（2021 惠城區一模）如圖1，在正方形ABCD中，點P，Q同時以2cm/s的速度從點A出發，分別沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路徑勻速運動，到達點C時停止運動，連接PQ，設PQ的長為y，運動時間為x，則y（cm）與x（s）的函數圖象如圖2所示，當x＝2.5s時，PQ的長是 　　cm．
10．（2024 深圳模擬）已知一個矩形的面積為6，長為x，寬為y．
（1）y與x之間的函數表達式為 　　；
（2）在圖中畫出該函數的圖象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 　；
描點：在如圖所示的平面直角坐標系中描出相應的點；
連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得到該函數的圖象．
（3）若點A（a，b）與點B（a+1，c）是該函數圖象上的兩點，試比較b和c的大小．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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