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八年級數學下冊 預習篇
19.2.2 一次函數
1.一次函數的定義：一般地，形如（，是常數，）的函數，叫做一次函數，當時，即，這時即是前一節所學過的正比例函數．
2.一次函數的解析式的形式是，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．
（1）當，時，仍是一次函數．
（2）當，時，它不是一次函數．
（3）正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．
3.一次函數的圖象及其畫法：
（1）一次函數（，，為常數）的圖象是一條直線．
（2）由于兩點確定一條直線，所以在平面直角坐標系內畫一次函數的圖象時，只要先描出兩個點，再連成直線即可．如果這個函數是正比例函數，通常取，兩點；如果這個函數是一般的一次函數（），通常取，，即直線與兩坐標軸的交點．
（3）由函數圖象的意義知，滿足函數關系式的點在其對應的圖象上，這個圖象就是一條直線，反之，直線上的點的坐標滿足，也就是說，直線與是一一對應的，所以通常把一次函數的圖象叫做直線：，有時直接稱為直線．
4.一次函數的性質
（1）當時，一次函數的圖象從左到右上升，隨的增大而增大；
（2）當時，一次函數的圖象從左到右下降，隨的增大而減小．
5.一次函數中，當時，其圖象一定經過一、三象限；當時，其圖象一定經過二、四象限．
當時，圖象與軸交點在軸上方，所以其圖象一定經過一、二象限；當時，圖象與軸交點在軸下方，所以其圖象一定經過三、四象限．反之，由一次函數的圖象的位置也可以確定其系數、的符號．
選擇題
1.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是長方形，，將沿直線折疊，此時點A落在點D處，與交于點E，且，則所在直線的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、翻折變換、勾股定理，設點E的坐標為，則，，利用勾股定理即可求出m值，再根據點E的坐標，利用待定系數法即可求出OD所在直線的解析式．利用勾股定理求出點E的坐標是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，，
∴，
設點E的坐標為，則，，
在中，，，
∴，
∴，
∴點E的坐標為，
設所在直線的解析式為，
將點代入中，
得，解得：，
∴所在直線的解析式為．
故選C．
2.已知一次函數（k、b為常數，且）的圖象經過點，且與x軸交于點A，與y軸交于點B，將該一次函數向左平移2個單位后得到一次函數（m、n為常數）的圖象，則下列關于一次函數的說法，正確的是（ ）
A．該函數圖象與y軸交于負半軸 B．該函數圖象有可能經過坐標原點
C．該函數圖象與x軸交點的橫坐標小于 D．該函數圖象不一定經過第三象限
【答案】C
【分析】本題考查一次函數圖象的平移以及一次函數的圖象和性質．根據平移得到，再根據一次函數的圖象和性質，進行判斷即可．掌握一次函數圖象的平移規律，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數（k、b為常數，且）的圖象經過點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵該一次函數向左平移2個單位后得到一次函數的圖象，
∴，
∴的圖象過一，二，三象限，與軸交于正半軸，
∵一次函數（k、b為常數，且）的圖象經過點，
∴平移后的直線過點，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴的函數圖象與x軸交點的橫坐標小于；
綜上：選項A，B，D錯誤，選項C正確．
故選C．
3.在同一平面直角坐標系中，正比例函數和一次函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正比例函數和一次函數的函數圖像，解題的關鍵在于對進行分情況討論，找出符合題意的函數圖像即可．
【詳解】當時，正比例函數經過第一、三象限，一次函數經過第一、三、四象限；
當時，正比例函數經過第二、四象限，一次函數經過第一、二、四象限；
對照各選項中的圖象，只有A符合．
故選：A．
4.已知點，在直線上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的性質，根據一次函數的增減性即可求解，熟練掌握一次函數的增減性是解題的關鍵．
【詳解】解：直線的，
隨的增大而減小，
和在直線上，且，
，
故選A．
5.下表中，y是x的一次函數，則下列結論正確的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．隨的增大而增大
B．該一次函數的圖象經過第二、三、四象限
C．該一次函數的圖象與軸的交點是
D．該一次函數的表達式為
【答案】B
【分析】根據一次函數的性質，一次函數與坐標軸的交點，以及待定系數法求一次函數的表達式，逐項判斷即可．
【詳解】由表格可知：函數經過．
設一次函數表達式為：．
將代入表達式得：
解得：
所以：一次函數的表達式為．
A、隨的增大而減小，故A錯誤；
B、該一次函數的圖象經過第二、三、四象限，故B正確；
C、該一次函數的圖象與軸的交點是，故C錯誤；
D、該一次函數的表達式為，故D錯誤．
故選：B．
6.在平面直角坐標系中，直線與關于軸對稱，那么對于一次函數，當每增加1時，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】本題主要考查運用待定系數法求函數關系式，先求出函數與坐標軸的交點坐標，再運用待定系數法求出的值，即可解決問題．
【詳解】解：對于，當 時，；當時，；
∴直線與軸的交點坐標為，與軸的交點坐標為，
∴點關于軸的對稱點為；
∵直線與關于軸對稱，
∴直線經過點和，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴當每增加1時，增加3，
故選：C．
7.已知點，點，點，是關于的一次函數圖象上的三點，，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質．熟練掌握利用一次函數的圖象與性質比較函數值的大小是解題的關鍵．
由題意知，隨著的增大而減小，由，可得，然后作答即可．
【詳解】解：∵，，
∴隨著的增大而減小，
∵，
∴，
故選：A．
8.在平面直角坐標系中，將直線向下平移6個單位后，正好經過點，則的值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，直線平移后的解析式有這樣的規律“左加右減，上加下減”，熟記一次函數平移規律是解題的關鍵．
根據平移規律可得，直線向下平移6個單位后得，然后把代入即可求出k的值．
【詳解】直線向下平移6個單位
平移后所得解析式為，
平移后的直線正好經過點，
，
解得：
故選：A
填空題
1.已知一次函數經過、兩點，，且該函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積是4，則k的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數解析式的確定及其與坐標軸圍成面積的計算方法，由函數解析式確定與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，然后根據函數圖象與坐標軸的面積為4列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數經過、兩點，，
∴隨的增大而減小，
∴，
∵在中，
當時，；
當時，，
∴的圖象與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，
由題意可得：，解得：（舍去）或．
故答案為：．
2.已知，是一次函數（是常數）的圖象上的兩點，則 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本題考查一次函數的性質，根據k值得到一次函數的增減性是解題的關鍵．先根據一次函數的解析式判斷出函數的增減性，再根據兩點橫坐標的大小即可得出結論．
【詳解】解：∵一次函數中，，
∴y隨x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案為：．
3.一次函數的圖像在y軸上的截距是1，且y 隨著x的增大而減小，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數的截距問題，對于一次函數，其在y軸上的截距是b，據此可得，則．
【詳解】解：∵一次函數的圖像在y軸上的截距是1，
∴，
∴，
故答案為：．
4.平面直角坐標系中，已知點、，在y軸上確定點P，使得的周長最小，則點P的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、軸對稱性質、最短距離，畫出圖形，確定點P的位置是解題的關鍵．
【詳解】解：∵線段的長度是確定的，
∴的周長最小就是的值最小，
如圖，作點A關于y軸的對稱點C，連接交y軸于點P，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴．
故答案為．

5.如圖，已知，是軸上的點，且，分別過點作軸的垂線交直線于點，連接，依次相交于點，，的面積依次為，則為 ．
【答案】
【分析】此題考查的知識點是一次函數的綜合應用，同時也考查了學生對數字規律問題的分析歸納的能力由已知可以得到，，，點的坐標分別為：，，，，則點，，，的坐標分別為，，，，由此可推出點，，，的坐標為，，，，．由函數圖象和已知可知要求的的坐標是直線和直線的交點．在這里可以根據推出的四點求出兩直線的方程，從而求出點，再跟進從而求得結果．
【詳解】解：由已知得，，，的坐標為：，，，，
∵分別過點作軸的垂線交直線于點，
∴點，，，的坐標分別為，，，．
由此可推出，，，四點的坐標為，，，，．
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
同理可得直線的解析式為，
聯立，
解得：，
∴點，
∴
，
故答案為： ．
解答題
1.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C在線段AB上，且到x軸的距離為1．
(1)點B的坐標為__________，點C的坐標為__________；
(2)若點P是x軸上的一個動點，畫圖說明并求出當點P運動到什么位置時，的值最小，直接寫出最小值．
【答案】(1)，
(2)當點P運動到時，的值最小，最小為
【分析】本題考查一次函數的圖象與性質，軸對稱求線段和最小值；
（1）分別令、求解即可；
（2）點關于x軸的對稱點為，連接交x軸相交，當點P運動到與x軸的交點處時，連接BP，此時的值最小，據此求解即可．
【詳解】（1）∵點C在線段AB上，且到x軸的距離為1．
∴點C縱坐標為1，
當時，解得，
∴，
當時，解得，
∴，
故答案為：， ；
（2）點關于x軸的對稱點為，則，
連接交x軸相交，當點P運動到與x軸的交點處時，
連接BP，此時的值最小，
設直線的表達式為
將點和點分別代入上式，得
解得，
∴直線的表達式為
當時，解得，
∴點P的坐標為
當點P運動到時，的值最小，最小值為．
2.如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點A的坐標為，直線與直線相交于點C，點C的橫坐標為1．
(1)求直線的函數表達式；
(2)在x軸上是否存在一點E，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)直線的函數表達式為；
(2)點的坐標為或或．
【分析】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數解析式，勾股定理，等腰三角形性質．
（1）先求得，再運用待定系數法即可求得直線的解析式；
（2）過點作軸于點，則，利用勾股定理可得，設，則，分兩種情況：當時，當時，分別求出點的坐標即可．
【詳解】（1）解：直線 與直線 相交于點，點的橫坐標為1，
，
設直線的函數表達式為，把點、的坐標代入，
直線的函數表達式為；
（2）解：在軸上存在一點，使得是以為腰的等腰三角形．
如圖2，過點作軸于點，測．
，．
在中，．
設，則．
當時，，
解得：或，
∴或；
當時，
軸，即，
，即，
．
綜上所述，在軸上存在一點，使得是以為腰的等腰三角形；點的坐標為或或．
3.已知如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，現有，，三點，其中點坐標為，點坐標為．

(1)請根據點，的坐標在方格紙中建立平面直角坐標系，判斷的形狀，并說明理由．
(2)如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于另一點，連接，，則與的關系為____________，點的坐標為______．
(3)已知軸上有一藏寶地點，到點和點的距離之和最短，求點的坐標．
【答案】(1)圖見解析，直角三角形，理由見解析
(2)，與關于所在直線對稱（或成軸對稱），
(3)
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理與逆定理，一次函數的綜合應用．
（1）根據點A和點B的坐標可建立坐標系，再根據勾股定理的逆定理判斷的形狀；
（2）由作圖可知，，，證明，得到，可得，與關于所在直線對稱（或成軸對稱），根據坐標系可得D點坐標；
（3）點關于軸的對稱點為設表達式為：，利用待定系數法得解析式，求得直線與y軸交點的坐標即可．
【詳解】（1）解：建系如圖

∵，，
∴
∴是直角三角形；
（2）解：由作圖可得，，，
又∵是公共邊，
∴，
∴，
∵，
∴，與關于所在直線對稱（或成軸對稱），
根據坐標系可得；
（3）解：點關于軸的對稱點為
設表達式為：，
代入和得
解得，，
∴，
令得，
∴．
4.已知在平面直角坐標系中三點、 ．請問答如下問題：
(1)在坐標系內畫出，并作出關于x軸對稱的；
(2)在x軸上畫出點P，使最小（不用寫作法．保留作圖痕跡）
(3)在（2）的條件下，最小值為_______；
(4)在y軸上有一點Q，且值最大，則點Q的坐標為______．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)；
(4)．
【分析】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，軸對稱﹣最短路線問題，待定系數法求一次函數解析式，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．
（1）根據點、 即可在坐標系內畫出，根據軸對稱的性質即可作出關于x軸對稱的；
（2）根據點A關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，即可使最小；
（3）結合（2），利用網格根據勾股定理即可求出最小值；
（4）延長交y軸于點Q，可得值最大，進而可得點Q的坐標．
【詳解】（1）解：如圖，，即為所求；
（2）如圖，點P即為所求；
（3）最小值為，
故答案為：；
（4）如圖，延長交y軸于點Q，此時值最大，點Q即為所求；
∵、，
∴設直線的解析式為，
，
∴ ，
∴直線的解解析式為，
當時， ，
∴點Q的坐標為．
故答案為：（0，）．
5.已知y與x成正比例，且當時，．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了求正比例函數關系式，
（1）設關系式為，再將數值代入求值即可；
（2）將點代入關系式，求出解即可．
【詳解】（1）∵y與x成正比例，
∴設．
∵當時，，
∴，
解得，
∴y與x的函數關系式為；
（2）∵點在函數的圖象上，
∴，
∴．
6.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點為直線上一點，直線過點C．

(1)求m和b的值；
(2)直線與x軸交于點D，動點P從點D開始以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動（點P不與點D，點A重合）．設點P的運動時間為秒．若點P在線段DA上，且的面積為10，求的值；
(3)在y軸右側有一動直線平行于y軸，分別與直線，直線交于點M、N，若線段，請求出此時點N的坐標．
【答案】(1)、
(2)
(3)點N的坐標為或．
【分析】（1）將點代入，求出m的值，再將點C的坐標代入，即可求得b的值；
（2）先分別求得、、，由題意可得，點P的坐標為，則，再由三角形的面積公式列方程求解即可；
（3）設點N的坐標為，則點M的坐標為，根據，列式計算即可求解．
【詳解】（1）解：將點代入得，，
∴，即，
把點代入得，，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴直線解析式為，
當時，，
∴，
∴，
∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
當時，，
當時，，即，
∴、，
由題意可得，點P的坐標為，則，
∵的面積為10，
∴，
解得；
（3）解：∵，分別與直線，直線交于點M、N，

∴設點N的坐標為，則點M的坐標為，
∵，
∴，解得或，
∴點N的坐標為或．
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八年級數學下冊 預習篇
19.2.2 一次函數
1.一次函數的定義：一般地，形如（，是常數，）的函數，叫做一次函數，當時，即，這時即是前一節所學過的正比例函數．
2.一次函數的解析式的形式是，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．
（1）當，時，仍是一次函數．
（2）當，時，它不是一次函數．
（3）正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．
3.一次函數的圖象及其畫法：
（1）一次函數（，，為常數）的圖象是一條直線．
（2）由于兩點確定一條直線，所以在平面直角坐標系內畫一次函數的圖象時，只要先描出兩個點，再連成直線即可．如果這個函數是正比例函數，通常取，兩點；如果這個函數是一般的一次函數（），通常取，，即直線與兩坐標軸的交點．
（3）由函數圖象的意義知，滿足函數關系式的點在其對應的圖象上，這個圖象就是一條直線，反之，直線上的點的坐標滿足，也就是說，直線與是一一對應的，所以通常把一次函數的圖象叫做直線：，有時直接稱為直線．
4.一次函數的性質
（1）當時，一次函數的圖象從左到右上升，隨的增大而增大；
（2）當時，一次函數的圖象從左到右下降，隨的增大而減小．
5.一次函數中，當時，其圖象一定經過一、三象限；當時，其圖象一定經過二、四象限．
當時，圖象與軸交點在軸上方，所以其圖象一定經過一、二象限；當時，圖象與軸交點在軸下方，所以其圖象一定經過三、四象限．反之，由一次函數的圖象的位置也可以確定其系數、的符號．
選擇題
1.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是長方形，，將沿直線折疊，此時點A落在點D處，與交于點E，且，則所在直線的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
2.已知一次函數（k、b為常數，且）的圖象經過點，且與x軸交于點A，與y軸交于點B，將該一次函數向左平移2個單位后得到一次函數（m、n為常數）的圖象，則下列關于一次函數的說法，正確的是（ ）
A．該函數圖象與y軸交于負半軸 B．該函數圖象有可能經過坐標原點
C．該函數圖象與x軸交點的橫坐標小于 D．該函數圖象不一定經過第三象限
3.在同一平面直角坐標系中，正比例函數和一次函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知點，在直線上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
5.下表中，y是x的一次函數，則下列結論正確的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．隨的增大而增大
B．該一次函數的圖象經過第二、三、四象限
C．該一次函數的圖象與軸的交點是
D．該一次函數的表達式為
6.在平面直角坐標系中，直線與關于軸對稱，那么對于一次函數，當每增加1時，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
7.已知點，點，點，是關于的一次函數圖象上的三點，，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
8.在平面直角坐標系中，將直線向下平移6個單位后，正好經過點，則的值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
填空題
1.已知一次函數經過、兩點，，且該函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積是4，則k的值是 ．
2.已知，是一次函數（是常數）的圖象上的兩點，則 ．（填“>”“<”或“=”）
3.一次函數的圖像在y軸上的截距是1，且y 隨著x的增大而減小，則 ．
4.平面直角坐標系中，已知點、，在y軸上確定點P，使得的周長最小，則點P的坐標是 ．
5.如圖，已知，是軸上的點，且，分別過點作軸的垂線交直線于點，連接，依次相交于點，，的面積依次為，則為 ．
解答題
1.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C在線段AB上，且到x軸的距離為1．
(1)點B的坐標為__________，點C的坐標為__________；
(2)若點P是x軸上的一個動點，畫圖說明并求出當點P運動到什么位置時，的值最小，直接寫出最小值．
2.如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點A的坐標為，直線與直線相交于點C，點C的橫坐標為1．
(1)求直線的函數表達式；
(2)在x軸上是否存在一點E，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，說明理由．
3.已知如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，現有，，三點，其中點坐標為，點坐標為．

(1)請根據點，的坐標在方格紙中建立平面直角坐標系，判斷的形狀，并說明理由．
(2)如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于另一點，連接，，則與的關系為____________，點的坐標為______．
(3)已知軸上有一藏寶地點，到點和點的距離之和最短，求點的坐標．
4.已知在平面直角坐標系中三點、 ．請問答如下問題：
(1)在坐標系內畫出，并作出關于x軸對稱的；
(2)在x軸上畫出點P，使最小（不用寫作法．保留作圖痕跡）
(3)在（2）的條件下，最小值為_______；
(4)在y軸上有一點Q，且值最大，則點Q的坐標為______．
5.已知y與x成正比例，且當時，．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．
6.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點為直線上一點，直線過點C．

(1)求m和b的值；
(2)直線與x軸交于點D，動點P從點D開始以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動（點P不與點D，點A重合）．設點P的運動時間為秒．若點P在線段DA上，且的面積為10，求的值；
(3)在y軸右側有一動直線平行于y軸，分別與直線，直線交于點M、N，若線段，請求出此時點N的坐標．
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