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八年級數學下冊 預習篇
19.2.3 一次函數與方程、不等式
1.一次函數與一元一次方程的關系：
直線與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程的解。求直線與x軸交點時，可令，得到方程，解方程得，直線交x軸于，就是直線與x軸交點的橫坐標。
一次函數與一元一次不等式的關系：
任何一元一次不等式都可以轉化為或(為常數，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量相應的取值范圍。
3.一次函數與二元一次方程（組）的關系：
一次函數的解析式本身就是一個二元一次方程，直線上有無數個點，每個點的橫縱坐標都滿足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有無數個。
選擇題
1.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數（m、n為常數，且）與正比例函數的交點P在第三象限，過點P作軸于點A，作軸于點B，若，，則關于x、y的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是利用函數的交點坐標確定方程組的解，矩形的判定與性質，勾股定理，根據由兩個函數的交點坐標同時滿足兩個函數解析式，從而可得方程組的解．
【詳解】∵軸，，，
∴，
∵軸，，軸，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
依題意函數和的圖象相交于點P，點，
∴關于x，y的二元一次方程組的解是，
故選：A．
2.如圖，關于一次函數與的圖象，下列說法正確的有（ ）個．
①，；
②圖象，隨自變量的增大而減小；
③不論為何值，一次函數的圖象都經過定點，則點的坐標為；
④方程組的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數的性質，一次函數與二元一次方程，數形結合思想，根據圖象逐個分析即可．
【詳解】由圖可知，隨x的增大而增大，
∴，
∵過二四象限，
∴，
∴圖象，隨自變量的增大而減小；
故①②正確；
∵一次函數
∴不論為何值，當時，，
即不論為何值，一次函數的圖象都經過定點，則點的坐標為，
故③正確；
∵一次函數與的圖象交點為，
∴方程組的解是，
故④正確，
綜上所述，說法正確的是①②③④．
故選：D．
3.一次函數與的圖像如圖所示，由圖像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，正確利用函數圖象分析是解題關鍵．
直接利用函數圖象，結合，得出的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示：不等式的解集為：．
故選：C．
4.已知一次函數，下列描述該函數的四個結論，其中正確的是（ ）
A．圖象經過第一、二、三象限 B．y的值隨著x值的增大而減小
C．函數圖象必經過點 D．當時，
【答案】B
【分析】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答即可．
【詳解】解：∵函數，
∴圖象經過第一、二、四象限，故選項A不符合題意；
隨的增大而減小，故選項B符合題意；
當，
∴函數必經過點，故選項C不符合題意；
當時，，
若，則，
∴選項D不符合題意；
故選：B．
5.兩個一次函數和的交點坐標為，那么下列方程組中，解為的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數與二元一次方程組的關系，熟練掌握一次函數與二元一次方程組的關系是解題的關鍵．由于函數圖像交點坐標為兩個函數解析式組成的方程的解，因此聯立兩函數解析式即可得到答案．
【詳解】解：由于一次函數和的交點坐標為，
是方程組的解，
即是方程組的解，
故選D．
6.如圖，已知直線，則方程的解（ ）
A．2 B． C．4 D．0
【答案】C
【分析】本題考查一次函數與一元一次方程的知識，理解兩者的關系是解題的關鍵．
觀察圖象可得出點在函數的圖象上滿足函數關系式，結合一次函數與一元一次方程之間的關系可得到方程的解．
【詳解】根據圖象知，當時，
即時，
方程的解時
故選：C
7.在平面直角坐標系中，一次函數，當時，對于x的每一個值，正比例函數的值都小于一次函數的值，則m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是掌握一次函數的性質，屬于基礎題．先把代入正比例函數及一次函數的解析式，求出y的值，再根據當時，對于x的每一個值，正比例函數的值都小于一次函數的值列出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：當時，正比例函數的函數值為，一次函數的函數值為，
∵時，對于x的每一個值，正比例函數的值都小于一次函數的值，
，
，
①當時，正比例函數和一次函數的圖象平行，且符合題意；
②時，正比例函數和一次函數的圖象交點橫坐標為，
由題意可得，
∴
綜上所述，．
故選：C．
8.如圖，直線與交點的橫坐標為，則關于，的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次去方程組與一次函數的關系，首先利用待定系數法求出兩直線交點的縱坐標，進而可得到兩直線的交點坐標，再根據兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次去方程組的解即可得到答案，解題的關鍵是理解和掌握兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次去方程組的解．
【詳解】解：把代入得，，
∴兩直線的交點坐標為，
∴二元一次方程組的解為，
故選：．
填空題
1.如圖，一次函數與的圖象交于點，則關于x的方程的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數與一元一次方程，根據圖象的交點的橫坐標就是方程的解即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象得：
方程的解是，
故答案為：．
2.如圖，直線與的交點的橫坐標為，則關于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質以及與一元一次不等式的關系．滿足關于的不等式就是直線位于直線的下方的圖象，據此求得自變量的取值范圍，進而求解即可．
【詳解】解：∵直線與的交點的橫坐標為，
∴關于的不等式的解集為，
故答案為：．
3.在平面直角坐標系中，線段的端點坐標為，若直線與線段總有交點，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了一次函數的性質，根據性質即可求解，熟練掌握一次函數的性質時解題的關鍵．
【詳解】解：把代入得，，解得：，
把代入得，，解得，
∵直線與線段總有交點，
∴的取值范圍是或，
故答案為：或．
4.如圖，直線與直線交于點，則方程組的解為 ．

【答案】
【分析】本題考查一次函數與二元一次方程組．將點代入，求出的值，即可得點的坐標，根據兩函數圖象交點的橫縱坐標的值為兩函數解析式組成的方程組的解可得答案．
【詳解】解：將點代入，
得，
點坐標為，
方程組的解為．
故答案為：．
5.如圖，已知一次函數的圖象為直線l，直線l過和，則關于x的方程的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數與一元一次方程，關于x的方程的解就是函數的圖象與x軸交點的橫坐標．根據函數與x軸的交點坐標找出方程的解是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數的圖象為直線l，直線l過，
∴關于x的方程的解為．
故答案為：．
解答題
1.城有肥料噸，城有肥料噸，現要把這些肥料全部運往、兩鄉，從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸；從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸．現鄉需要肥料噸，鄉需要肥料噸，設城運往鄉的肥料為噸，運往鄉肥料的總運費為，運往鄉肥料的總運費為．
(1)寫出關于的函數關系式以及關于的函數關系式；
(2)怎樣調度總運費最少？求出最少的運輸費用．
【答案】(1)，；
(2)從城運往鄉噸，運往鄉噸；從城運往鄉噸，運往鄉噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是元．
【分析】（）根據題意即可得出之間的函數關系式；
（）設總運費為元，根據題意得，與之間的函數關系式，再利用一次函數的增減性即可求解；
此題考查了一次函數的應用，根據已知得出城和城運往各地的肥料噸數是解題的關鍵．
【詳解】（1）根據題意得，
；
（2）設總運費為元，根據題意得，與之間的函數關系式為，
∵，隨的增大而增大，
∴當時，，
∴從A城運往C鄉0噸，運往D鄉200噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，最少的運輸費用是10040元．
2.如圖，直線：與直線：相交于點，與x軸分別交于A，B兩點．

(1)求直線的表達式，并結合圖象直接寫出關于x，y的方程組的解；
(2)求的面積；
(3)若垂直于x軸的直線與直線，分別交于點C，D，線段的長為2，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了一次函數的圖像和性質，兩條直線相交或平行問題以及三角形面積，熟練掌握一次函數的圖像和性質是解題的關鍵．
（1）將點代入，求出點的坐標，再將點代入直線，求出的值，即可得到答案；
（2）根據解析式求出的坐標，然后根據三角形面積公式即可求出答案；
（3）根據題意求出的坐標，結合的長為2，得到關于的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：把點代入，得，
．
把點P坐標代入，得，
，
直線的表達式為，
則方程組的解為；
（2）解：：，：，
，，
，
；
（3）解：直線與直線的交點C為，
與直線的交點D為．
，
，
即，
∴或，
或．
3.根據一次函數的圖象，寫出下列問題的答案：
(1)關于x的方程的解是 ；
(2)關于x的方程的解是 ；
(3)當時，y的取值范圍是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，
（1）利用函數圖象寫出函數值為0時對應的自變量的值即可；
（2）利用函數圖象寫出時對應的自變量的值即可
（3）利用函數圖象寫出時對應的函數值范圍即可．
【詳解】（1）利用函數圖象可知函數值為0時，，
故答案為：；
（2）利用函數圖象可知時對應的自變量的值為，
故答案為：；
（3）根據圖象可知：當時，，
故答案為：．
4.畫出函數的圖象，利用圖象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了函數圖象的作圖以及根據圖形獲取相關信息等知識點，解答關鍵是根據數形結合解答問題．
（1）求出直線與坐標軸的交點坐標，經過兩點畫直線．觀察圖象求得方程的解；
（2）觀察圖象求得不等式的解集；
（3）觀察圖象，當時，可求x的取值范圍；
【詳解】（1）當時，；當時，，
∴，，作直線AB：
由圖象，方程的解為：
；
（2）由圖象得：不等式的解集為：；
（3）由圖象得：，x的取值范圍為：
．
5.某中學要添置某種教學儀器．
方案一：到商店購買，每件需要8元：
方案二：學校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用費120元．
設需要儀器件．方案一的費用為元，方案二的費用為元．
(1)問（元），（元）關于（件）的關系式分別是什么？（直接寫結論，不用寫出自變量的取值范圍）
(2)當添置儀器多少件時，兩種方案所需的費用相同？
(3)若學校計劃添置儀器60件，則采用哪種方案便宜？
【答案】(1)，；
(2)當添置儀器30件時，兩種方案所需的費用相同；
(3)若學校計劃添置儀器60件，則采用方案二便宜．
【分析】本題考查了列函數關系式，求函數函數值，一元一次方程的應用．
（1）方案一：總費用=儀器的單價×儀器的數量；方案二：總費用=每件制作的成本×儀器的數量+工具的租用費，據此可得出方案一和方案二的函數關系式；
（2）本題只需令（1）中得出的兩個函數關系式相等，求出x的值，即可求得兩種方案所需的費用相同時，儀器的件數；
（3）可將分別代入（2）中的兩個函數式中，得出函數的值，然后比較哪種方案更便宜即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得
，；
（2）解：根據題意，令，
得，
解得，
故當購買30件儀器時，兩種方案所需的費用相同；
（3）解：把分別代入，中，
得(元)，(元)，
，
當學校添置60件儀器，選擇方案二比較便宜．
6.如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，與函數的圖象交于點．
(1)求m和b的值；
(2)函數的圖象與x軸交于點D，點E從點D出發沿方向，以每秒2個單位長度勻速向x軸正方向運動．設點E的運動時間為t秒．當的面積為12時，求t的值．
【答案】(1)，
(2)或11
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，一次函數的交點問題，三角形面積問題，分類討論是解題的關鍵．
（1）將點代入，得，然后將點代入，即可求得b的值；
（2）根據題意得出點，點，繼而得出，根據三角形面積得出，分E在A點的左側與右側建立方程即可求解．
【詳解】（1）將點代入，得，
∴點，
將點代入，
∴
解得：，
∴，
（2）∵函數的圖象與x軸交于點A，
令，得，
∴點，
∵函數的圖象與x軸交于點D，
∴時，，
∴點D的坐標為，
∴，
∵的面積為12，，
∴，
∴，
根據題意或，
∴或，
解得：或11．
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八年級數學下冊 預習篇
19.2.3 一次函數與方程、不等式
1.一次函數與一元一次方程的關系：
直線與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程的解。求直線與x軸交點時，可令，得到方程，解方程得，直線交x軸于，就是直線與x軸交點的橫坐標。
一次函數與一元一次不等式的關系：
任何一元一次不等式都可以轉化為或(為常數，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量相應的取值范圍。
3.一次函數與二元一次方程（組）的關系：
一次函數的解析式本身就是一個二元一次方程，直線上有無數個點，每個點的橫縱坐標都滿足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有無數個。
選擇題
1.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數（m、n為常數，且）與正比例函數的交點P在第三象限，過點P作軸于點A，作軸于點B，若，，則關于x、y的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，關于一次函數與的圖象，下列說法正確的有（ ）個．
①，；
②圖象，隨自變量的增大而減小；
③不論為何值，一次函數的圖象都經過定點，則點的坐標為；
④方程組的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3.一次函數與的圖像如圖所示，由圖像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4.已知一次函數，下列描述該函數的四個結論，其中正確的是（ ）
A．圖象經過第一、二、三象限 B．y的值隨著x值的增大而減小
C．函數圖象必經過點 D．當時，
5.兩個一次函數和的交點坐標為，那么下列方程組中，解為的是（　　）
A． B． C． D．
6.如圖，已知直線，則方程的解（ ）
A．2 B． C．4 D．0
7.在平面直角坐標系中，一次函數，當時，對于x的每一個值，正比例函數的值都小于一次函數的值，則m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
8.如圖，直線與交點的橫坐標為，則關于，的二元一次方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.如圖，一次函數與的圖象交于點，則關于x的方程的解是 ．
2.如圖，直線與的交點的橫坐標為，則關于x的不等式的解集是 ．
3.在平面直角坐標系中，線段的端點坐標為，若直線與線段總有交點，則的取值范圍是 ．
4.如圖，直線與直線交于點，則方程組的解為 ．

5.如圖，已知一次函數的圖象為直線l，直線l過和，則關于x的方程的解為 ．
解答題
1.城有肥料噸，城有肥料噸，現要把這些肥料全部運往、兩鄉，從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸；從城往、兩鄉運肥料的費用分別為元噸和元噸．現鄉需要肥料噸，鄉需要肥料噸，設城運往鄉的肥料為噸，運往鄉肥料的總運費為，運往鄉肥料的總運費為．
(1)寫出關于的函數關系式以及關于的函數關系式；
(2)怎樣調度總運費最少？求出最少的運輸費用．
2.如圖，直線：與直線：相交于點，與x軸分別交于A，B兩點．

(1)求直線的表達式，并結合圖象直接寫出關于x，y的方程組的解；
(2)求的面積；
(3)若垂直于x軸的直線與直線，分別交于點C，D，線段的長為2，求a的值．
3.根據一次函數的圖象，寫出下列問題的答案：
(1)關于x的方程的解是 ；
(2)關于x的方程的解是 ；
(3)當時，y的取值范圍是 ．
4.畫出函數的圖象，利用圖象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范圍．
5.某中學要添置某種教學儀器．
方案一：到商店購買，每件需要8元：
方案二：學校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用費120元．
設需要儀器件．方案一的費用為元，方案二的費用為元．
(1)問（元），（元）關于（件）的關系式分別是什么？（直接寫結論，不用寫出自變量的取值范圍）
(2)當添置儀器多少件時，兩種方案所需的費用相同？
(3)若學校計劃添置儀器60件，則采用哪種方案便宜？
6.如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，與函數的圖象交于點．
(1)求m和b的值；
(2)函數的圖象與x軸交于點D，點E從點D出發沿方向，以每秒2個單位長度勻速向x軸正方向運動．設點E的運動時間為t秒．當的面積為12時，求t的值．
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