資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
題型匯總
題型1：平面向量基本定理的理解 例1.已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（ ） A．若實(shí)數(shù)m，n使，則 B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù) C．對(duì)于m，，不一定在該平面內(nèi) D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使
【變式1-1】設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有　(　　) A．，一定平行 B．，的模相等 C．同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) D．若，不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R)
【變式1-2】若向量與是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（ ） A．與 B．與 C．與 D．與
【變式1-3】設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和
【變式1-4】如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（ ） 與 B．與 C．與 D．與
【變式1-5】如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，則下面結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D．向量與能構(gòu)成一組基底
題型2：用基底表示向量：線性運(yùn)算法則+列方程 例2.在中，D在上，，設(shè)，，則（ ） A． B． C． D．
【變式2-1】如圖，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（ ） A． B． C． D．
【變式2-2】如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且．記，，則（ ） A． B． C． D．
【變式2-3】在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，，，且，，則（ ） A． B． C． D．
【變式2-4】如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)，，試用基底表示向量.
【變式2-5】如圖所示，在△OAB中，，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)．若OM與BN相交于點(diǎn)P，求.
【變式2-6】如圖．在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)．若，求的值．
【變式2-7】如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G是的三等分點(diǎn)． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？
【變式2-8】如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量.
題型3：利用平面向量基本定理求參數(shù) 例3.如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是 .
【變式3-1】如圖，在中，M為BC的中點(diǎn)，則=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3-2】如圖，A，B，C，D為平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，若，則 ．
【變式3-3】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若，則
【變式3-4】如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1.
【變式3-5】如圖所示，是△ABC的一條中線，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線分別與射線，射線交于，兩點(diǎn). (1)若，求的值； (2)設(shè)，，，，求的值；
題型4：平面向量的正交分解 例4.已知向量=(1,0)，=(0,1)，對(duì)于該坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，則x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，則的始點(diǎn)是原點(diǎn)O； ④若x，y∈R，≠，且的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)，則=(x,y)． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【變式4-1】如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).
【變式4-2】如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形中，與x軸正半軸成30°角，求點(diǎn)B，D的坐標(biāo)和，的坐標(biāo)．
【變式4-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求證：．
【變式4-4】在下列各小題中，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)： （1）；（2）；（3）；（4）．
【變式4-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求證：．
題型5：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 例5在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)： （1），； （2），； （3），； （4），．
【變式5-1】已知兩點(diǎn)，則與向量同向的單位向量是 ．
【變式5-2】已知，且點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D．
【變式5-3】已知點(diǎn)，向量，則（ ） A． B． C． D．
【變式5-4】已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
【變式5-5】已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式5-6】已知與，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為 .
【變式5-7】已知，，點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式5-8】已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式5-9】設(shè)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，. （1）當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）當(dāng)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
題型6：平面向量共線的坐標(biāo)表示 例6若點(diǎn)，，，，則與是否共線？
（多選）下列向量中與共線的是（ ） A． B． C． D．
【變式6-1】若，，與共線，則向量的坐標(biāo)可能為（ ） A． B． C． D．
【變式6-2】已知點(diǎn)，那么下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D．
【變式6-3】順次連接點(diǎn)，，，所構(gòu)成的圖形是（ ） A．等腰梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形
【變式6-4】已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值等于 ．
【變式6-5】已知向量，且，則實(shí)數(shù)m的值（ ） A． B．1 C． D．
【變式6-6】已知三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A． B． C． D．不確定
【變式6-7】已知向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則 ．
【變式6-8】已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（ ） A． B． C． D．
【變式6-9】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，，且A，B，C，D按逆時(shí)針方向排列，求： （1）AB，BC； （2）C點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式6-10】在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型7：平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示 例7已知．求．
已知向量，夾角為60°，且，則（ ） A．0 B．10 C． D．
【變式7-1】已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn). (1)求的值；(2)若，且，求的值.
【變式7-2】在直角梯形中，已知，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1)若，求的值； (2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.
【變式7-3】向量，已知與同向，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為 ．
【變式7-4】已知向量，，，． (1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
【變式7-5】已知 (1)求; (2)設(shè)的夾角為，求的值; (3)若向量與互相垂直，求的值.
【變式7-6】平面內(nèi)給定兩個(gè)向量. (1)求； (2)若，求實(shí)數(shù)的值.
【變式7-7】已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ） A． B． C． D．
【變式7-8】已知向量滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D．
【變式7-9】已知，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D．
【變式7-10】已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D．
【變式7-11】已知向量，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【變式7-12】已知向量，則“”是“與夾角為銳角”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式7-13】若向量，，則在上的投影為（ ） A． B． C． D．
【變式7-14】若向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D．
【變式7-15】設(shè)平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ） A． B． C． D．
【變式7-16】已知，為單位向量，，則在方向上的投影與在方向上的投影分別為（ ） A． B． C． D．
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6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
題型匯總
題型1：平面向量基本定理的理解 例1.已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（ ） A．若實(shí)數(shù)m，n使，則 B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù) C．對(duì)于m，，不一定在該平面內(nèi) D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使 【答案】AB 【分析】根據(jù)基底的定義逐項(xiàng)判斷即可. 【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確； 對(duì)于C，對(duì)于m，，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，m，n是唯一的，故D錯(cuò)誤. 故選:AB.
【變式1-1】設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有　(　　) A．，一定平行 B．，的模相等 C．同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) D．若，不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) 【答案】D 【詳解】由已知，，是是平面內(nèi)的兩個(gè)向量不一定平行，向量長(zhǎng)度不一定相等，即模不一定相等；所以A，B錯(cuò)誤； 同理，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)共線向量，C 錯(cuò)誤； 由平面向量基本定理可得，D正確； 故選：D．
【變式1-2】若向量與是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（ ） A．與 B．與 C．與 D．與 【答案】C 【分析】根據(jù)向量共線定理逐一判斷. 【詳解】對(duì)于A，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，A不選； 對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，B不選； 對(duì)于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C； 對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，D不選； 故選：C
【變式1-3】設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】利用基底的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證. 【詳解】，是平面內(nèi)所有向量的一組基底. 對(duì)于A：和不共線，可以作為平面的一組基底. 對(duì)于B：和不共線，可以作為平面的一組基底. 對(duì)于C：和不共線，可以作為平面的一組基底. 對(duì)于D：因?yàn)椋院凸簿€，所以不能作為平面的一組基底. 故選：D
【變式1-4】如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（ ） 與 B．與 C．與 D．與 【答案】BC 【分析】根據(jù)平面向量基底的定義，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】A項(xiàng)中與共線，D項(xiàng)中與共線，B，C項(xiàng)中兩向量不共線， 故選：BC
【變式1-5】如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，則下面結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D．向量與能構(gòu)成一組基底 【答案】A 【分析】由正六邊形性質(zhì)及向量加法的線性運(yùn)算可判斷每一個(gè)選項(xiàng). 【詳解】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可知，所以，故A正確； 對(duì)于B，由正六邊形的性質(zhì)可知，從而可知與不可能共線，故B不正確； 對(duì)于C，，故C不正確； 對(duì)于D，由正六邊形的性質(zhì)可知與平行，故向量與不能構(gòu)成一組基底，故D不正確. 故選：A
題型2：用基底表示向量：線性運(yùn)算法則+列方程 例2.在中，D在上，，設(shè)，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，計(jì)算即可得出答案. 【詳解】解：因?yàn)椋裕?則. 故選：D.
【變式2-1】如圖，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加減法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求解即可． 【詳解】解：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則． 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則． 所以，即. 故選：A．
【變式2-2】如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且．記，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由題，，，結(jié)合向量加法法則即可求得 【詳解】 ， 故選：D
【變式2-3】在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，，，且，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】運(yùn)用向量的分解和加減運(yùn)算即可得出結(jié)果. 【詳解】解析： ． 故選：C．
【變式2-4】如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)，，試用基底表示向量. 【答案】 【詳解】試題分析： 根據(jù)N，E，B三點(diǎn)共線和C，E，M三點(diǎn)共線分別得到向量關(guān)于基底的分解式，根據(jù)分解式的唯一性可得系數(shù)相等，由此可得向量關(guān)于基底的表達(dá)式． 試題解析： 由題意得，， 由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m，滿足. 由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足. 所以. 由于為基底， 所以，解得 所以.
【變式2-5】如圖所示，在△OAB中，，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)．若OM與BN相交于點(diǎn)P，求. 【答案】 【解析】由，轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)，求出用基底表示，由三點(diǎn)共線，和三點(diǎn)共線，將用表示，結(jié)合向量基本定理建立等量關(guān)系，即可求解. 【詳解】點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，, ， ， 因?yàn)榕c共線， 故可設(shè)， 又共線，可設(shè)， 所以解得 所以. 【點(diǎn)睛】本題考查向量線性關(guān)系、向量基本定理，要注意三點(diǎn)共線充要條件的應(yīng)用，屬于中檔題.
【變式2-6】如圖．在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)．若，求的值． 【答案】 【分析】設(shè)，，由向量線性運(yùn)算得， 由此可構(gòu)造方程組求得，由可求得，由此可得結(jié)果. 【詳解】設(shè)，又，則； 設(shè)， ， 又，，， ，解得：，，， ， ，，即.
【變式2-7】如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G是的三等分點(diǎn)． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？ 【答案】（1），，；（2） 【解析】（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。 （2）利用（1）的結(jié)果找出的關(guān)系即可得出，的關(guān)系 【詳解】解：（1） ， ， ． （2）由（1）知，，，∴，即．
【變式2-8】如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量. 【答案】＝a＋b. 【詳解】設(shè)＝ma＋nb， 則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， ＝－＝－＝－a＋b. 又∵A，M，D三點(diǎn)共線，∴與共線． ∴存在實(shí)數(shù)t，使得＝t， 即(m－1)a＋nb＝t. ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb. ∴消去t得m－1＝－2n， 即m＋2n＝1.① 又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 又∵C，M，B三點(diǎn)共線，∴與共線． ∴存在實(shí)數(shù)t1，使得＝t1， ∴a＋nb＝t1， ∴消去t1得4m＋n＝1.② 由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.
題型3：利用平面向量基本定理求參數(shù) 例3.如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是 . 【答案】## 【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示即可求出的值 【詳解】因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以， 所以, 因?yàn)椋?所以， 故答案為：
【變式3-1】如圖，在中，M為BC的中點(diǎn)，則=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以為基底，表示，又，則可得出的關(guān)系式，求解計(jì)算可得結(jié)果. 【詳解】，，故. 故選：C
【變式3-2】如圖，A，B，C，D為平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，若，則 ． 【答案】##1.25 【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合平面向量基本定理求解. 【詳解】因?yàn)椋矗裕?又為線段的中點(diǎn)，所以，所以，，則． 故答案為:
【變式3-3】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若，則 【答案】##0.4 【分析】利用表示向量，再借助平面向量基本定理計(jì)算作答. 【詳解】在長(zhǎng)方形ABCD中，向量不共線，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)， 則有，， ，因， 則有， 于是得，解得，所以. 故答案為：
【變式3-4】如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1. 【答案】證明見解析 【分析】由三點(diǎn)共線計(jì)算可得，由三點(diǎn)共線，計(jì)算可得，即可求得，由三點(diǎn)共線，計(jì)算可得，消去,即可證得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得 ， 又三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得, 由于不共線，所以,解得. 故. 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得, 消去,得＋＝1.
【變式3-5】如圖所示，是△ABC的一條中線，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線分別與射線，射線交于，兩點(diǎn). (1)若，求的值； (2)設(shè)，，，，求的值； 【答案】(1)；(2)3. 【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示，將用表示，進(jìn)而即得； （2）由，將用表示，利用三點(diǎn)共線即得. 【詳解】（1）因， 所以， 又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)， 所以， 所以，又， 所以； （2）因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三點(diǎn)共線， 所以，即.
題型4：平面向量的正交分解 例4.已知向量=(1,0)，=(0,1)，對(duì)于該坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，則x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，則的始點(diǎn)是原點(diǎn)O； ④若x，y∈R，≠，且的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)，則=(x,y)． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根據(jù)平面向量的基本定理、向量的坐標(biāo)表示，及向量始點(diǎn)、終點(diǎn)與向量坐標(biāo)的關(guān)系，即可判斷各項(xiàng)的正誤. 【詳解】由平面向量基本定理，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使，①正確； 舉反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②錯(cuò)誤； 由向量可以平移，所以=(x,y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，③錯(cuò)誤； 當(dāng)?shù)慕K點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)時(shí)，=(x,y)是以的始點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，④錯(cuò)誤． 故選：A
【變式4-1】如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo). 解：由圖6.3-10可知，， 所以. 同理， ， ， .
【變式4-2】如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形中，與x軸正半軸成30°角，求點(diǎn)B，D的坐標(biāo)和，的坐標(biāo)． 【答案】；；； 【解析】依題意，分別是，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)，．由三角函數(shù)的定義，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)表示計(jì)算可得. 【詳解】解：由題知，分別是，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)． 設(shè)，．由三角函數(shù)的定義， 得，，∴． ，，∴． ∴，．
【變式4-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求證：． 【答案】(1) (2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)結(jié)合，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系結(jié)合求解即可； （2）先求得，再根據(jù)向量平行的性質(zhì)證明即可 【詳解】（1）由題意，因?yàn)椋剩剩袋c(diǎn)B的坐標(biāo)為 （2）由題意，，又，故，且不共線，故
【變式4-4】在下列各小題中，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；． 【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求法，向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). 【詳解】解：（1）, ；． （2）， ；． （3）， ；． （4）， ；． 【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
【變式4-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求證：． 【答案】(1) (2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)結(jié)合，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系結(jié)合求解即可； （2）先求得，再根據(jù)向量平行的性質(zhì)證明即可 【詳解】（1）由題意，因?yàn)椋剩剩袋c(diǎn)B的坐標(biāo)為 （2）由題意，，又，故，且不共線，故
題型5：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 例5在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；． 【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得. 【詳解】解： （1）； ． （2）；． （3）；． （4）；． 【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
【變式5-1】已知兩點(diǎn)，則與向量同向的單位向量是 ． 【答案】 【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后代入即可求出與向量同向的單位向量的坐標(biāo)． 【詳解】解：因?yàn)?所以，所以 與向量同向的單位向量是． 故答案為：．
【變式5-2】已知，且點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，化簡(jiǎn)即得解. 【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則， 所以，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為． 故選：B
【變式5-3】已知點(diǎn)，向量，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可. 【詳解】，所以. 故選：D.
【變式5-4】已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 . 【答案】 【分析】根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合，求得的坐標(biāo)求解. 【詳解】解：由題意得， 所以. 設(shè)， 則， ∴解得 故點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 故答案為：
【變式5-5】已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． 【答案】 【分析】設(shè)，表示出，由建立方程求解即可. 【詳解】設(shè)，則， 又，則，解得，即. 故答案為：.
【變式5-6】已知與，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為 . 【答案】或 【分析】根據(jù)題意，可得或，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得到滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)． 【詳解】由點(diǎn)P在直線AB上，且，可得或， 當(dāng)時(shí)，設(shè)，有，解得，， 點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)時(shí)，設(shè)，有，解得，， 點(diǎn)坐標(biāo)為. 故答案為：或.
【變式5-7】已知，，點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． 【答案】 【分析】設(shè)，根據(jù)即可求出P的坐標(biāo). 【詳解】由題可知， 設(shè)，則，， ， ∴，即 故答案為：.
【變式5-8】已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】或 【解析】．由于點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，或者．即可得出． 【詳解】解：， ． 點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)， ，或者． ， 或． 或． ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算、線段的三等分點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式5-9】設(shè)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，. （1）當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）當(dāng)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運(yùn)算可知 . 所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是. （2）如圖6.3-17，當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即或. 如果（圖6.3-17（1）），那么 ， 即點(diǎn)P的坐標(biāo)是. 同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
題型6：平面向量共線的坐標(biāo)表示 例6若點(diǎn)，，，，則與是否共線？ 【答案】共線 【解析】首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理判斷即可. 【詳解】解：，，， ，． ∵， ∴與共線． 【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
（多選）下列向量中與共線的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根據(jù)給定向量，利用向量共線的坐標(biāo)表示判斷作答. 【詳解】向量，因，則與不共線，A不是； 因，則與不共線，B不是； 而，，則與都共線，即C，D是. 故選：CD
【變式6-1】若，，與共線，則向量的坐標(biāo)可能為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判定可得答案. 【詳解】若，則，，故A正確； 若，則，，故B錯(cuò)誤； 若 ，則，，故C錯(cuò)誤； 若，則，，故D錯(cuò)誤. 故選：A.
【變式6-2】已知點(diǎn)，那么下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由題意根據(jù)兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論． 【詳解】解：，，，， ，，，， 對(duì)于與，由，則與不平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 由，則與不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤； 對(duì)于與，由，則與不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 由，可得，即，故選項(xiàng)D正確. 故選：D．
【變式6-3】順次連接點(diǎn)，，，所構(gòu)成的圖形是（ ） A．等腰梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】由題可得，利用共線及數(shù)量積即得. 【詳解】因?yàn)椋? 所以，， ∴，且,與不垂直， 所以四邊形是平行四邊形. 故選：B.
【變式6-4】已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值等于 ． 【答案】 【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)運(yùn)算即可. 【詳解】由題知，，，， 所以，解得 故答案為：.
【變式6-5】已知向量，且，則實(shí)數(shù)m的值（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求得，再利用向量平行的坐標(biāo)表示可求解. 【詳解】 又，，解得 故選：D
【變式6-6】已知三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A． B． C． D．不確定 【答案】C 【分析】將點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解. 【詳解】由題得, 由 三點(diǎn)共線，可得 ，故 ， 故選：C
【變式6-7】已知向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則 ． 【答案】0 【分析】利用向量坐標(biāo)線性運(yùn)算可得，再由向量共線定理有且，列方程求參數(shù)m. 【詳解】由，又A，B，D三點(diǎn)共線， 所以且，則，可得. 故答案為：0
【變式6-8】已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)題意得到與不共線，從而列出不等式，求出答案. 【詳解】若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線， ∵，，， ∴，， ∴，解得. 故選：B．
【變式6-9】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，，且A，B，C，D按逆時(shí)針方向排列，求： （1）AB，BC； （2）C點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由兩點(diǎn)間距離公式，及平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，即得解； （2）利用，即，即得解 【詳解】（1）由兩點(diǎn)距離公式得． 又因?yàn)椋?所以． （2）由題意知，，所以， 因此，， 從而． 【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.
【變式6-10】在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】 【詳解】
題型7：平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示 例7已知．求． 【答案】， 【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算求解即可. 【詳解】解：,, , 【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.
已知向量，夾角為60°，且，則（ ） A．0 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng)，然后根據(jù)數(shù)量積的公式即可求解. 【詳解】由可得，故， 故選：C
【變式7-1】已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn). (1)求的值；(2)若，且，求的值. 【答案】(1)9(2) 【分析】（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，分別求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解； （2）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示球的，由，得，從而可得出答案. 【詳解】（1）解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則， 則， 所以； （2）解：，， 因?yàn)椋?所以，解得．
【變式7-2】在直角梯形中，已知，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1)若，求的值； (2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求. （2）設(shè)，可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)求閉區(qū)間上的值域，即可得答案. 【詳解】（1）由，以為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系， 由和得：， 若，則為中點(diǎn)，， 因此，，則； （2）當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)， 因此，則， 由于在上遞增，在上遞減， 且， 故在上的值域?yàn)椋?因此，的取值范圍是.
【變式7-3】向量，已知與同向，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為 ． 【答案】或 【分析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示求出，注意排除反向這一情況，設(shè)與垂直的向量為，，求出的關(guān)系式，再根據(jù)單位向量的坐標(biāo)公式計(jì)算即可得解. 【詳解】解：由， 得， 因?yàn)榕c同向， 所以， 則，解得或， 當(dāng)時(shí)，，同向， 當(dāng)時(shí)，，反向， 所以， 故， 設(shè)與垂直的向量為，， 則，所以， 故與垂直的向量為， 則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為， 即與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或. 故答案為：或.
【變式7-4】已知向量，，，． (1)求； (2)若，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果；（2）由即可得到. 【詳解】（1）； （2）由可得，， 又，則，解得.
【變式7-5】已知 (1)求; (2)設(shè)的夾角為，求的值; (3)若向量與互相垂直，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根據(jù)向量的減法的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案； （2）求出向量的數(shù)量積和模，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案; （3）根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，列方程即可求得答案. 【詳解】（1）因?yàn)椋?所以； （2）由題意得， ， 故； （3）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，故， 即.
【變式7-6】平面內(nèi)給定兩個(gè)向量. (1)求； (2)若，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則與模的計(jì)算公式即可求解； （2）根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可. 【詳解】（1）解：因?yàn)椋?所以. （2）解：因?yàn)椋?所以， 若，則，解得：.
【變式7-7】已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知與同向，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值. 【詳解】因?yàn)椋瑒t，由已知可得， 等式兩邊平方可得，則， 故與同向，所以，. 故選：A.
【變式7-8】已知向量滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐標(biāo)表示求，然后根據(jù)向量的平方等于模長(zhǎng)的平方和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可. 【詳解】由可得， 因?yàn)椋獾茫?所以， 又因?yàn)椋?所以與的夾角為， 故選：D
【變式7-9】已知，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)已知求得，平方可得，繼而求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案. 【詳解】由可得， 則，即得，故， 則， 故， 由于，故， 故選：B.
【變式7-10】已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】?jī)蛇吰椒胶罂傻茫儆蓨A角公式求解即可. 【詳解】∵，平方得， ∵，，∴， 設(shè)，的夾角為，其中，可得， 所以. 故選：C.
【變式7-11】已知向量，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】由兩向量夾角為鈍角得到數(shù)量積小于0，且不反向共線，列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍. 【詳解】， 因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以 所以，解得：， 且與不反向共線， 即，解得：， 綜上：， 故答案為：.
【變式7-12】已知向量，則“”是“與夾角為銳角”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，由題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件即可得答案. 【詳解】由題設(shè)： 當(dāng)時(shí)， ， ，注意當(dāng)時(shí)， ，故充分性不成立. 當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，，解得. 故必要性成立. 故選：B.
【變式7-13】若向量，，則在上的投影為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)向量投影的定義計(jì)算在上的投影即可. 【詳解】因?yàn)椋?所以向量在向量方向上的投影為：． 故選：A
【變式7-14】若向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的模，根據(jù)投影向量的概念，即可求得答案. 【詳解】由題意得， ， 則向量在向量上的投影向量為 ， 故選：B
【變式7-15】設(shè)平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式求解． 【詳解】解：，， 在方向上的投影向量. 故選：A.
【變式7-16】已知，為單位向量，，則在方向上的投影與在方向上的投影分別為（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先確定的模長(zhǎng)，由投影的定義可直接求得結(jié)果. 【詳解】由得：，又， 在方向上的投影為；在方向上的投影為. 故選：AC.
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