資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
17.5《一元二次方程的應用》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.理解列一元二次方程應用題的步驟；
2.會審題找等量關系，會列一元二次方程解應用題；
3.提高分析問題、解決問題的能力.
學習重難點
重點：會審題找出等量關系，會判定方程有解是否符合題意；
難點：熟練地列出一元二次方程解應用題.
學法指導
通過問題的分析，找到解決問題的途徑，感悟解應用題的一般方法.
學習過程
一、課前預習
1.列方程（組）解應用題的一般步驟.
【答案】1.列方程（組）解應用題的一般步驟.
（1）審：讀題弄清題意，找出題中已知條件和所要求的問題，找出等量關系；
（2）設：根據問題設未知數（直接或間接設法）；
（3）列：根據等量關系列出方程；
（4）解：解所列方程，求出未知量的值；
（5）驗：檢驗所求的方程的根是否正確，是否符合題意；
（6）答：根據問題和所求寫出答案.
2.試試列一元二次方程解答下列問題.
在一塊寬20m、長32m的長方形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把這塊空地分成大小一樣的6塊，建成小花壇.如圖，要使花壇的總面積為570m2（圖中長度的單位：m），問小路的寬應是多少？
【答案】 解：設小路的寬是xm，根據題意，得：
32×20－(32x+2×20x)+2x2＝570
整理，得：x2－36x+35＝0，
(x－1)(x－35)＝0，
∴ x1＝1，x2＝35.
由題意，知：x＝35是不可能的，因此x只能取x＝1，
答：所求小路的寬應為1m.
二、課內探究，交流學習
1.問題1：
原來每盒27元的一種藥品（圖17-3），經兩次降價后每盒售價為9元，求該藥品兩次降價的平均降價率是多少（精確到1%）.
【答案】 解：設該種藥品兩次平均降價率是x，
根據題意，得：27(1－x)2＝9，
整理，得:(1－x)2＝ ，
解這個方程，得：x1≈1.58，x2≈0.42，
經檢驗：x1≈1.58不合題意舍去，所以x≈0.42，
答：該藥品兩次降價的平均降價率約是42%.
2.名師點撥：
（1）找出相等關系的關鍵是審題，審題是列方程（組）的基礎，找出相等關系是列方程（組）解應用題的關鍵.
（2）關于增長率問題：對于正的增長率問題，在弄清增長的次數n和問題中每一個數據的意義后，即可利用公式a(1+x)n＝b求解(其中a＜b).對于負的增長率問題，若經過n次相等下降后，則由公式a(1+x)n＝b(其中a＞b)即可求解.
問題2：
如圖17-4，一農戶原來種植的花生，每公頃產量為3000kg，出油率為50%（即每100kg花生可加工花生油50kg），現在種植新品種花生后，每公頃收獲的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增長率是產量增長率的，求新品種花生生產量的增長率.
【分析】設新品種花生產量的增長率為x,則新品種花生出油率的增長率為x,根據“新品種花生每公頃產量x新品種花生出油率=1980”可列出方程。
【答案】 解：設新品種花生產量的增長率為x，
根據題意，得：3000(1+x)[50%(1+x)]＝1980，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2（不合題意舍去），
答：新品種花生生產量的增長率為20%.
三、典例精析
例1.正方形金屬片一塊，將其四個角各截去一個相同大小的小正方形，圍成高20cm,容積為2880cm3的開口方盒，問原金屬片的邊長是多少？
解：設原金屬片的邊長為xcm,則方盒的底邊長是（x-40)cm
根據題意，得
20（x-40)2=2880
整理，得
(x-40)2=144
解方程，得
x1=52,x2=58
x2=58不合題意，所以x=52
答：原金屬片的邊長是52cm
例2.一組學生組織春游，預計共需費用120元，后來又有2人參加進來，費用不變，這樣每人可少分攤3元，問原來這組學生的人數是多少？
分析：設原來這組學生的人數是x人，則把題中信息整理成下表：
本題的等量關系是：
原來這組學生每人分攤的費用-加人后該組學生每人分攤的費用=3元
由此可得方程
解：設原來這組學生的人數是x人，那么每人分攤的費用是元，增加2人后這組學生每人分攤的費用是元，根據增加2人后每人可少分攤3元，得
-=3
方程兩邊同乘以x(x+2),整理，得
x2-2x-80=0
解這個方程，得
x1=-10,x2=8
經檢驗，x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不合題意，所以取x=8
答：原來這組學生是8人
四、隨堂練習
1.受經濟不景氣大環境的影響，某商品店月銷售額逐月下降，據統計，2023年10月該店銷售額為42萬元，2023年12月該店銷售額為27萬元，設每月平均銷售額降低的百分率為，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程是實際應用——增長率問題，解題的關鍵是掌握：增長率問題中可以設基數為a，平均增長率為x，增長的次數為n，則增長后的結果為；而增長率為負數時，則降低后的結果為．
【詳解】解：設每月平均銷售額降低的百分率為，
則可列方程為，
故選：C．
2．如圖，要設計一本書的封面，封面長，寬，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？若設上、下邊符等寬均為，左、右邊襯等寬為，則滿足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據中央矩形的長=封面的長上下邊襯的寬，中央矩形的寬封面的寬左右邊襯的寬，再根據矩形的面積長寬列式即可，解題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系．
【詳解】解：由題意得：上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，
設上、下邊符等寬均為，左、右邊襯等寬為
∴，
故選：．
3.隨著人民生活水平的不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加． 據統計，某小區2017年底擁有家庭轎車81輛，2019年底家庭轎車的擁有量達到144輛．
(1)若該小區2017年底到2021年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，估計該小區到2021年底家庭轎車的擁有量將達到多少輛？
(2)為緩解停車壓力，該小區決定投資25萬元再建造若干個停車位．據測算，建造費用分別為室內車位6000元/個，露天車位2000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位數量的4.5倍，求該小區最少可建車位多少個？
【答案】(1)256輛
(2)93個
【分析】（1）設年平均增長率為x，根據題意列方程列出方程求解即可；
（2）設構建室內車位x個，則露天車位為個，構建總車位數為w個，根據題意，，，求解即可．本題考查了一元二次方程在實際問題中的應用，理清題中的數量關系并正確列出方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設年平均增長率為x，由題意得：256
，
解得：，（舍去）．
∴．
答：小區到2021年底家庭轎車的擁有量將達到256輛．
（2）設構建室內車位x個，則露天車位為個，構建總車位數為w個，根據題意，，，
∴，根據一次函數的性質，w隨x的增大而減小，當時，w有最小值，
此時，
答：至少建立93個車位．
五、達標檢測
1.隨著新能源電動汽車的快速增加，綿陽市正在快速推進全市電動汽車的充電樁建設，已知到2023年底，綿陽全市約有萬個充電樁，根據規劃到2025年底，全市的充電樁數量將會達到萬個，則從2023年底到2025年底，全市充電樁數量的年平均增長率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用，熟練掌握解一元二次方程是解題的關鍵．根據題意列出方程即可得到答案．
【詳解】解：設全市充電樁數量的年平均增長率為，
根據題意得，
解得（舍去），
故全市充電樁數量的年平均增長率為．
故選C．
2．如圖，張老漢想用長為70米的棚欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈，并在邊上留一個2米寬的門（建在處，門用其他材料）．設的長為米，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，矩形面積公式．根據題意用含的代數式表示出長度，再利用矩形面積公式即可得到本題答案．
【詳解】解：矩形在邊上留一個2米寬的門，設的長為米，共用長為70米的棚欄圍成矩形，
∴（米），
∵圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈，
∴，
故選：D．
3．元旦快到了，已知九年五班同學們要互贈賀卡共張，設該班共有名同學，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意是解題關鍵．
【詳解】解：∵該班共有名同學，
∴每個同學要給個同學贈賀卡，
∴，
故選：C
4.對于平面內的圖形和圖形，記平面內一點P到圖形上各點的最短距離為d，點P到圖形上各點的最短距離為，若，就稱點P是圖形和圖形的一個“等距點”．在平面直角坐標系中，若直線上存在到點和直線的等距點，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題考查兩點間的距離公式、一元二次方程根的判別式，根據題意利用點間的距離公式建立一元二次方程，利用根的判別式即可解決．
【詳解】解：如圖：設直線上的點Q為到點和到的等距點，
連接，過點Q作直線的垂線，垂足為C，則，
，
∵Q在直線上，
∴設，
，
整理得：，
，
，
故答案為：．
5．騎行戴頭盔，安全有保障，“一盔一帶”政策的推行致頭盔銷量大幅增長，從2019年到2021年我國頭盔銷售額從23.4億元增長到39.546億元，則我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的應用．
設我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是x，根據“從2019年到2021年我國頭盔銷售額從23.4億元增長到39.546億元”即可列出方程，求解即可解答．
【詳解】設我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是x，根據題意，得
，
解得：，（不合題意，舍去）
∴我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是．
故答案為：
6.某商店購進一批800個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周商店為了適當增加銷量，決定降價銷售，根據市場調查，旅游紀念品的單價每降低1元，可多售出50個．
(1)若為了使第二周的銷售利潤達到600元，商店的售價應定為每個多少元？
(2)在（1）的條件下，若在兩周銷售后，商店對剩余旅游紀念品進行清倉處理，以每個低于進價的價格全部售出．如果這批800個旅游紀念品全部售完后所獲利潤不少于1250元，問剩余旅游紀念品的清倉價格為每個至少多少元？
【答案】(1)商店的售價應定為每個元
(2)剩余旅游紀念品的清倉價格為每個至少為元
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，易于一次不等式的實際應用．找準等量關系，正確的列出方程和不等式，是解題的關鍵．
（1）設商店的售價應定為每個元，利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出方程進行求解即可；
（2）設剩余旅游紀念品的清倉價格為每個元，根據這批800個旅游紀念品全部售完后所獲利潤不少于1250元，列出不等式進行求解即可．
【詳解】（1）解：設商店的售價應定為每個元，由題意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：商店的售價應定為每個元．
（2）由（1）可知：第二周賣出的數量為個，
∴還剩下：個，
設剩余旅游紀念品的清倉價格為每個元，
由題意，得：，
解得：，
∴剩余旅游紀念品的清倉價格為每個至少為元．
7．數學楊老師與學生學習一元二次方程應用有關面積問題時，他指導學生計劃制作一個有蓋的長方體盒子．他用一塊長，寬的矩形紙板．為了合理使用材料，小凱同學設計了如圖的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側兩個空白部分為正方形，問能否裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀完全相同）？如果能，請你求出裁去的左側正方形的邊長；如果不能，請說明理由．

【答案】能折成的有蓋盒子，裁去左側的正方形邊長是
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設裁去左側正方形的邊長為，則折成的長方體盒子的底面長為，再根據矩形面積計算公式列出方程求解即可．
【詳解】解：設裁去左側正方形的邊長為，則折成的長方體盒子的底面長為，
列方程為：，
整理得：，
解得： (不合題意，舍去)
答：能折成的有蓋盒子，裁去左側的正方形邊長是．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）列一元二次方程根解應用題的步驟；
（2）關于增長率問題.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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17.5《一元二次方程的應用》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.理解列一元二次方程應用題的步驟；
2.會審題找等量關系，會列一元二次方程解應用題；
3.提高分析問題、解決問題的能力.
學習重難點
重點：會審題找出等量關系，會判定方程有解是否符合題意；
難點：熟練地列出一元二次方程解應用題.
學法指導
通過問題的分析，找到解決問題的途徑，感悟解應用題的一般方法.
學習過程
一、課前預習
1.列方程（組）解應用題的一般步驟.
2.試試列一元二次方程解答下列問題.
在一塊寬20m、長32m的長方形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把這塊空地分成大小一樣的6塊，建成小花壇.如圖，要使花壇的總面積為570m2（圖中長度的單位：m），問小路的寬應是多少？
二、課內探究，交流學習
1.問題1：
原來每盒27元的一種藥品（圖17-3），經兩次降價后每盒售價為9元，求該藥品兩次降價的平均降價率是多少（精確到1%）.
2.名師點撥：
（1）找出相等關系的關鍵是審題，審題是列方程（組）的基礎，找出相等關系是列方程（組）解應用題的關鍵.
（2）關于增長率問題：對于正的增長率問題，在弄清增長的次數n和問題中每一個數據的意義后，即可利用公式a(1+x)n＝b求解(其中a＜b).對于負的增長率問題，若經過n次相等下降后，則由公式a(1+x)n＝b(其中a＞b)即可求解.
問題2：
如圖17-4，一農戶原來種植的花生，每公頃產量為3000kg，出油率為50%（即每100kg花生可加工花生油50kg），現在種植新品種花生后，每公頃收獲的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增長率是產量增長率的，求新品種花生生產量的增長率.
三、典例精析
例1.正方形金屬片一塊，將其四個角各截去一個相同大小的小正方形，圍成高20cm,容積為2880cm3的開口方盒，問原金屬片的邊長是多少？
例2.一組學生組織春游，預計共需費用120元，后來又有2人參加進來，費用不變，這樣每人可少分攤3元，問原來這組學生的人數是多少？
四、隨堂練習
1.受經濟不景氣大環境的影響，某商品店月銷售額逐月下降，據統計，2023年10月該店銷售額為42萬元，2023年12月該店銷售額為27萬元，設每月平均銷售額降低的百分率為，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，要設計一本書的封面，封面長，寬，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？若設上、下邊符等寬均為，左、右邊襯等寬為，則滿足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3.隨著人民生活水平的不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加． 據統計，某小區2017年底擁有家庭轎車81輛，2019年底家庭轎車的擁有量達到144輛．
(1)若該小區2017年底到2021年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，估計該小區到2021年底家庭轎車的擁有量將達到多少輛？
(2)為緩解停車壓力，該小區決定投資25萬元再建造若干個停車位．據測算，建造費用分別為室內車位6000元/個，露天車位2000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位數量的4.5倍，求該小區最少可建車位多少個？
五、達標檢測
1.隨著新能源電動汽車的快速增加，綿陽市正在快速推進全市電動汽車的充電樁建設，已知到2023年底，綿陽全市約有萬個充電樁，根據規劃到2025年底，全市的充電樁數量將會達到萬個，則從2023年底到2025年底，全市充電樁數量的年平均增長率為（　　）
A． B． C． D．
2．如圖，張老漢想用長為70米的棚欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈，并在邊上留一個2米寬的門（建在處，門用其他材料）．設的長為米，則下面所列方程正確的是（ ）
B．
C． D．
3．元旦快到了，已知九年五班同學們要互贈賀卡共張，設該班共有名同學，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
4.對于平面內的圖形和圖形，記平面內一點P到圖形上各點的最短距離為d，點P到圖形上各點的最短距離為，若，就稱點P是圖形和圖形的一個“等距點”．在平面直角坐標系中，若直線上存在到點和直線的等距點，則實數a的取值范圍為 ．
5．騎行戴頭盔，安全有保障，“一盔一帶”政策的推行致頭盔銷量大幅增長，從2019年到2021年我國頭盔銷售額從23.4億元增長到39.546億元，則我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是 ．
6.某商店購進一批800個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周商店為了適當增加銷量，決定降價銷售，根據市場調查，旅游紀念品的單價每降低1元，可多售出50個．
(1)若為了使第二周的銷售利潤達到600元，商店的售價應定為每個多少元？
(2)在（1）的條件下，若在兩周銷售后，商店對剩余旅游紀念品進行清倉處理，以每個低于進價的價格全部售出．如果這批800個旅游紀念品全部售完后所獲利潤不少于1250元，問剩余旅游紀念品的清倉價格為每個至少多少元？
7．數學楊老師與學生學習一元二次方程應用有關面積問題時，他指導學生計劃制作一個有蓋的長方體盒子．他用一塊長，寬的矩形紙板．為了合理使用材料，小凱同學設計了如圖的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側兩個空白部分為正方形，問能否裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀完全相同）？如果能，請你求出裁去的左側正方形的邊長；如果不能，請說明理由．

小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）列一元二次方程根解應用題的步驟；
（2）關于增長率問題.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
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