資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時31)§4.1認識三角形（3）
一.選擇題：
1.如圖1,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC交BC于D,DE∥AB交AC于E,則∠ADE的大小是(　 )
A.30°　　　B.40°　　　C.50°　　　D.60°
2.如圖2，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為10cm2，則△ABD的面積是（ ）cm2．
A.5 B.6 C.7 D.8
3.三角形的角平分線是( )
A.射線 B.線段 C.直線 D.以上都有可能
4.如圖3,在△ABC中,∠A=56°,BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB,則∠BPC=(　 　)
A.102°　　　B.112°　　　　C.115°　　　　D.118°
5.如圖4，在△ABC中，已知點E、F分別是AD、CE邊上的中點，且S△BEF=4cm2，則S△ABC的值為（ ）
A．1cm2 　　 B． 2cm2 　　 C． 8cm2 　 D． 16cm2
二.填空題：
6.如圖5，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，且△ABD的周長為11，則的周長是_____．
7.如圖6,已知在△ABC中,AE平分∠BAC,過AE延長線上一點F作FD⊥BC于D,若∠F=6°,∠C=30°,則
∠B=42 .
8.如圖7,如圖，如果∠1＝∠2＝∠3，則AM為△_____的角平分線，AN為△_____的角平分線.
9.如圖8，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點，若△A1BlC1的面積是14，那么△ABC的面積是_____
10.如圖9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點I．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，則∠BIC=_____；（2）若∠ABC+∠ACB=120°，則∠BIC=_____；
（3）若∠A=60°，則∠BIC=_____；（4）若∠A=100°，則∠BIC=_____；
（5）若∠A=n°，則∠BIC=__________．
三.解答題：
11.如圖10，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）則∠BAE＝_____°；
（2）求∠DAE的度數．
12.如圖11，如圖,AD是△ABC的角平分線，點P為AD上一點，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求證：PA平分∠MPN.
13.如圖12,AD是∠CAB的平分線,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于點O.請問:
(1)DO是∠EDF的平分線嗎 給出結論并說明理由.
(2)假設：①DO是∠EDF的平分線，②AD是∠CAB的平分線,③DE∥AB,④DF∥AC；若將①與②③④中的任一條件交換,所得結論正確嗎 若正確,請選擇一個說明理由.
14.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，如果D點把三角形ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求此三角形各邊的長．
圖1
圖4
圖3
圖2
圖5
圖7
圖9
圖8
圖6
圖10
圖11
圖12
圖13
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(總課時31)§4.1認識三角形（3）
【學習目標】了解三角形的角平分線、中線的概念并掌握其性質，會畫出三角形的角平分線、中線.
【學習重難點】應用三角形的中線、三角形的角平分線解決相關的問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.把一條線段分成_____的兩條線段的點叫做線段的中點。
2.從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個_____的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
3.如圖1，△ABC中：
頂點A的對邊是_____，∠A的對邊是_____．
頂點B的對邊是_____，∠B的對邊是_____．
頂點C的對邊是_____,∠C的對邊是_____．
二.探究新知
1.情境引入
如圖2，△ABC是一張均勻的三角形卡片，你可以用鉛筆把它支起來嗎？
如何確定這個點的位置呢？這個點的位置和三角形的中線有密切關系.
2.知識點1 三角形中線的概念及性質
(1）概念：在三角形中,連接一個頂點與_______________,叫做三角形的中線；
(2）如圖3.性質：∵AD是△ABC的中線,∴BD＝_____＝_____BC；
判定：∵BD＝_____（或BD=_____BC）∴AD是△ABC的中線；
(3）畫一畫：分別作出下列三角形三邊上的中線
(4）結論：三角形的三條中線交于_____，這點稱為三角形的重心.該點在三角形的____部.
3.知識點2 三角形角平分線的概念及性質
（1）概念：在三角形中,一個內角的角平分線與_______________,
這個角的頂點與交點之間的_____叫做三角形的角平分線；如圖4.
注意：角平分線是條_____，三角形角平分線是條_____，如圖4線段AD.
（2）性質：∵AD是△ABC的角平分線∴∠1＝_____＝_____∠BAC;
判定：∵∠1＝∠2（或∠1＝_____∠BAC）∴AD是△ABC的角平分線.
（3）畫一畫：分別作出下列三角形三邊上的中線
(4）結論：三角形的三條角平分線交于_____,該點在三角形的_____部.
三.典例與練習
例1.如圖5：在Rt△ABC中，∠A=90 ，∠C=40 ，BD是角平分線，則∠CBA=_____ ，∠ABD=_____ .
練習1.如圖6，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，則∠ABD的度數是_____0.
例2.如圖7，在△ABC中,∠BAC=80°,BO、CO平分∠ABC、∠ACB，求∠BOC的度數。
練習2.如圖8，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ADB=110 ，∠B=40 ，則∠C=_____°
例3.如圖9,已知,AD是BC邊上的中線,AB=5cm,AD=4cm,△ABD的周長是12cm,則BC=_____.
練習3.如圖10,在△ABC中，∠A＝62°，∠B=74°，CD平分∠ACB，點E在AC上，且DE//BC，則∠EDC=____.
四.課堂小結
1.三角形的中線：
中線：在三角形中，連接一個頂點與對邊中點的_____，叫做這個三角形的中線.
重心：一個三角形有三條中線，都在三角形內部且相交于_____，這一點稱為三角形的_____.
2.三角形的角平分線：
角平分線：在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的_____叫做三角形的角平分線.
3.兩條重要結論：（1）如圖11，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點I,則∠BIC=__________.
（2）三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個面積_____的三角形.
五.分層過關
1.如圖12，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點，則下列說法不正確的是　 　
A．DE是△ABC的中線 B．BD是△ABC的中線 C．AD=DC，BE=EC D.DE是△BCD的中線
2.下列說法正確的是（ ）
A．三角形的角平分線是射線，而中線是線段；B．三角形的角平分線和中線都是射線
C．三角形的角平分線和中線都是線段； D．三角形的角平分線是線段，而中線是射線
3.如圖13，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中線，下列結論不正確的是（ ）
A.S△ADC=S△BDC B.S△ABE=S△CBE C.S△BDF=S△CEF D.S△ADE=S△BDC
4.如圖14，AD是△ABC的角平分線，則(　 　)
A．∠1==0.5∠BAC B．∠1=0.5∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC
5.如圖15，CD是△ABC的中線，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周長差是_____cm．
6.如圖16，△ABC的面積是56cm2，D是AB的中點，O是CD的中點，求圖中陰影部分的面積．
7.如圖17，已知∠XOY＝90°，點A，B分別在射線OX，OY上移動．BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，則∠ACB的大小是否變化 如果保持不變，請說明原因；如果隨點A，B的移動而發生變化，求出變化范圍．
圖1
圖2
圖3
A
C
B
A
C
B
圖4
A
C
B
A
C
B
圖6
圖7
圖8
圖5
圖10
A
I
圖12
圖11
C
B
圖9
圖9
圖15
圖14
圖13
圖16
圖17
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(總課時31)§4.1認識三角形（3）
一.選擇題：
1.如圖1,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC交BC于D,DE∥AB交AC于E,則∠ADE的大小是(　B)
A.30°　　　B.40°　　　C.50°　　　D.60°
2.如圖2，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為10cm2，則△ABD的面積是（ A ）cm2．
A.5 B.6 C.7 D.8
3.三角形的角平分線是(B)
A.射線 B.線段 C.直線 D.以上都有可能
4.如圖3,在△ABC中,∠A=56°,BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB,則∠BPC=(　D　)
A.102°　　　B.112°　　　　C.115°　　　　D.118°
5.如圖4，在△ABC中，已知點E、F分別是AD、CE邊上的中點，且S△BEF=4cm2，則S△ABC的值為（ D ）
A．1cm2 　　 B． 2cm2 　　 C． 8cm2 　 D． 16cm2
二.填空題：
6.如圖5，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，且△ABD的周長為11，則的周長是9．
7.如圖6,已知在△ABC中,AE平分∠BAC,過AE延長線上一點F作FD⊥BC于D,若∠F=6°,∠C=30°,則
∠B=42 .
8.如圖7,如圖，如果∠1＝∠2＝∠3，則AM為△ABN的角平分線，AN為△AMC的角平分線.
9.如圖8，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點，若△A1BlC1的面積是14，那么△ABC的面積是2
10.如圖9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點I．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，則∠BIC=120°；（2）若∠ABC+∠ACB=120°，則∠BIC=120°；
（3）若∠A=60°，則∠BIC=120°；（4）若∠A=100°，則∠BIC=140°；
（5）若∠A=n°，則∠BIC=90°+n°．
三.解答題：
11.如圖10，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）則∠BAE＝40°；
（2）求∠DAE的度數．
解：（2）∵AD⊥BC，，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝20°．
12.如圖11，如圖,AD是△ABC的角平分線，點P為AD上一點，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求證：PA平分∠MPN.
解析：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，
∵PM∥AC，PN∥AB∴∠APM＝∠PAN，∠APN＝∠PAM，
∴∠APM＝∠APN，∴PA平分∠MPN．
13.如圖12,AD是∠CAB的平分線,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于點O.請問:
(1)DO是∠EDF的平分線嗎 給出結論并說明理由.
(2)假設：①DO是∠EDF的平分線，②AD是∠CAB的平分線,③DE∥AB,④DF∥AC；若將①與②③④中的任一條件交換,所得結論正確嗎 若正確,請選擇一個說明理由.
解：（1）DO是∠EDF的平分線．理由如下：
∵AD是∠CAB的平分線，∴∠EAD=∠FAD．
∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD，∴∠EDA=∠FDA，∴DO是∠EDF的平分線．
（2）正確．若將①和③DE∥AB交換．
理由：∵DF∥AC，∴∠FDA=∠EAD．∵AD是∠CAB的平分線，∴∠EAD=∠FAD，∴∠FAD=∠FDA．
又∵DO是∠EDF的平分線，∴∠EDA=∠FDA．∴∠EDA=∠FAD，∴DE∥AB．
（答案不唯一）
14.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，如果D點把三角形ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求此三角形各邊的長．
解：∵AB＝AC，BD是AC邊上的中線，∴AB＝2AD＝2CD，∴AB＋AD＝3AD.
①當AB與AD的和是12厘米時，AD＝12÷3＝4（厘米），
所以AB＝AC＝2×4＝8（厘米），BC＝12＋15－8×2＝12＋15－16＝11（厘米）；
②當AB與AD的和是15厘米時，AD＝15÷3＝5（厘米），
所以AB＝AC＝2×5＝10（厘米），BC＝12＋15－10×2＝12＋15－20＝7（厘米）.
所以三角形的三邊可能是8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米．
圖1
圖4
圖3
圖2
圖5
圖7
圖9
圖8
圖6
圖10
圖11
圖12
圖13
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(總課時31)§4.1認識三角形（3）
【學習目標】了解三角形的角平分線、中線的概念并掌握其性質，會畫出三角形的角平分線、中線.
【學習重難點】應用三角形的中線、三角形的角平分線解決相關的問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.把一條線段分成相等的兩條線段的點叫做線段的中點。
2.從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
3.如圖1，△ABC中：
頂點A的對邊是BC，∠A的對邊是BC．
頂點B的對邊是AC，∠B的對邊是AC．
頂點C的對邊是AB,∠C的對邊是AB．
二.探究新知
1.情境引入
如圖2，△ABC是一張均勻的三角形卡片，你可以用鉛筆把它支起來嗎？
如何確定這個點的位置呢？這個點的位置和三角形的中線有密切關系.
2.知識點1 三角形中線的概念及性質
(1）概念：在三角形中,連接一個頂點與它所對邊中點的線段,叫做三角形的中線；
(2）如圖3.性質：∵AD是△ABC的中線,∴BD＝CD＝0.5BC；
判定：∵BD＝CD（或BD=0.5BC）∴AD是△ABC的中線；
(3）畫一畫：分別作出下列三角形三邊上的中線
(4）結論：三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心.該點在三角形的內部.
3.知識點2 三角形角平分線的概念及性質
（1）概念：在三角形中,一個內角的角平分線與它的對邊相交,
這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線；如圖4.
注意：角平分線是條射線，三角形角平分線是條線段，如圖4線段AD.
（2）性質：∵AD是△ABC的角平分線∴∠1＝∠2＝0.5∠BAC;
判定：∵∠1＝∠2（或∠1＝0.5∠BAC）∴AD是△ABC的角平分線.
（3）畫一畫：分別作出下列三角形三邊上的中線
(4）結論：三角形的三條角平分線交于一點,該點在三角形的內部.
三.典例與練習
例1.如圖5：在Rt△ABC中，∠A=90 ，∠C=40 ，BD是角平分線，則∠CBA=50 ，∠ABD=25 .
練習1.如圖6，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，則∠ABD的度數是360.
例2.如圖7，在△ABC中,∠BAC=80°,BO、CO平分∠ABC、∠ACB，求∠BOC的度數。
解：∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=100°（三角形內角和定理），
又∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，∴∠OBC+∠OCB=0.5(∠ABC+∠ACB)=50°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=130°；
練習2.如圖8，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ADB=110 ，∠B=40 ，則∠C=80°
例3.如圖9,已知,AD是BC邊上的中線,AB=5cm,AD=4cm,△ABD的周長是12cm,則BC=6cm.
練習3.如圖10,在△ABC中，∠A＝62°，∠B=74°，CD平分∠ACB，點E在AC上，且DE//BC，則∠EDC=22°.
四.課堂小結
1.三角形的中線：
中線：在三角形中，連接一個頂點與對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.
重心：一個三角形有三條中線，都在三角形內部且相交于一點，這一點稱為三角形的重心.
2.三角形的角平分線：
角平分線：在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
3.兩條重要結論：（1）如圖11，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點I,則∠BIC=90°+0.5∠A.
（2）三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個面積相等的三角形.
五.分層過關
1.如圖12，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點，則下列說法不正確的是　A　
A．DE是△ABC的中線 B．BD是△ABC的中線 C．AD=DC，BE=EC D.DE是△BCD的中線
2.下列說法正確的是（ C）
A．三角形的角平分線是射線，而中線是線段；B．三角形的角平分線和中線都是射線
C．三角形的角平分線和中線都是線段； D．三角形的角平分線是線段，而中線是射線
3.如圖13，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中線，下列結論不正確的是（ D ）
A.S△ADC=S△BDC B.S△ABE=S△CBE C.S△BDF=S△CEF D.S△ADE=S△BDC
4.如圖14，AD是△ABC的角平分線，則(　A　)
A．∠1==0.5∠BAC B．∠1=0.5∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC
5.如圖15，CD是△ABC的中線，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周長差是6_cm．
6.如圖16，△ABC的面積是56cm2，D是AB的中點，O是CD的中點，求圖中陰影部分的面積．
解：∵ABC的面積是56cm2，D是AB的中點，
∴CD是ABC的中線
∴=28 cm2，
∵O是CD的中點，∴BO為BCD的中線∴S陰影==14cm2
7.如圖17，已知∠XOY＝90°，點A，B分別在射線OX，OY上移動．BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，則∠ACB的大小是否變化 如果保持不變，請說明原因；如果隨點A，B的移動而發生變化，求出變化范圍．
解：作∠ABO的平分線交AC于點D，
則∠BDA＝90°+∠OAB＝135°，∴∠BDC=45°
由BD，BE分別是∠OBA和∠YBA的平分線，
可知BD⊥CB，∴∠DCB＝∠BDC＝45°．
可見∠ACB的大小始終為45°．
圖1
圖2
圖3
A
C
B
A
C
B
圖4
A
C
B
A
C
B
圖6
圖7
圖8
圖5
圖10
A
I
圖12
圖11
C
B
圖9
圖9
圖15
圖14
圖13
圖16
圖17
D
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