資源簡介

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(總課時32)§4.1認識三角形（4）
一.選擇題：
1.下列說法中正確的是(　C　)
A. 三角形的三條高都在三角形內 B. 直角三角形只有一條高
C. 銳角三角形的三條高都在三角形內 D. 三角形每一邊上的高都小于其他兩邊
2.如圖1,在△ABC中,∠C=90°,D、E為AC上的兩點,且AE=DE,BD平分∠EBC,則下列說法不正確的是(　D　)
A.BC是△ABE的高　　B.BE是△ABD的中線 C.BD是△EBC的角平分線　　D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
3.如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點,那么這個三角形是(　B　)
A.銳角三角形　　　B.直角三角形　　　C.鈍角三角形　　　D.不能確定
4.如圖2，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分別是D、C、F，下列說法中，錯誤的是（　B?。?br/>A. △ABC中，AD是邊BC上的高 B. △ABC中，GC是邊BC上的高
C. △GBC中，GC是邊BC上的高 D. △GBC中，CF是邊BG上的高
5.如圖3，△ABC的角平分線AD、中線BE相交于點O，則①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線；③DE是△ADC的中線；④ED是△EBC的角平分線的結論中正確的有（　B?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題：
6.如圖4，已知AE＝3，BD＝2，則△ABC中BC邊上的高的長度為　3　．
7.如圖5，AB⊥BC于點B，則圖中以AB為高線的三角形有　3　個．
8.如圖6，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為11，則△BCD的周長是　9　．
9.如圖7，已知AD為△ABC的中線，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周長為19cm，則△ABD的周長為　22cm　．
10.下列說法正確的是　②④　 （只填序號）
①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于一點；
③三角形的三條高都在三角形內部；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．
三.解答題：
11.已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度數.
解：①如圖1，當高AD在△ABC的內部時，∠BAC=∠BAD+∠CAD=72°+21°=93°；
②如圖2，當高AD在△ABC的外部時，∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=72°﹣21°=51°．
綜上所述：∠BAC的度數為93°或51°．故答案為：93°或51°．
12.如圖8,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC邊上任一點,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E為垂足.若△ABC的面積為6,問:PD+PE的值能否確定 若能確定,值是多少 請說明理由.
解：如圖，連接AP．由圖可得S△ABC=S△ABP+S△ACP．
因為PD⊥AB，PE⊥AC，AB=AC=4，△ABC的面積為6，
所以6=0.5×4×PD+0.5×4×PE=2（PD+PE）．
所以PD+PE=3．
13.如圖9，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE和∠BOA的度數．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∴∠BOA＝180°-(∠EAB+∠ABF）＝180°-(25°+35°）＝120°，
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
圖3
圖2
圖1
圖4
圖6
圖5
圖7
圖8
圖9
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(總課時32)§4.1認識三角形（4）
【學習目標】認識、畫出三角形的高線，理解三角形的高線的性質.
【學習重難點】能用三角形的高的性質解決簡單的數學問題.
【導學過程】
一.知識回顧
你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎 如圖1，你能過點P作直線l的垂線嗎？
畫法：①放，②靠，③推，④畫.
你能過三角形一個頂點畫對邊的垂線嗎？
二.探究新知
1.三角形高線的定義：
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高。
注意：三角形的高是條線段。如圖2，線段CD是AB邊上的高。
在△ABC中：①CD是AB邊上的高，②CD⊥AB，垂足為點D.
③∠ADC=∠BDC=90°
2.認識三角形高線
（1）如圖3，△ABC中，BC邊上的高是AD，AB邊上的高是CF，AC邊上的高是BE.
△AOB中，AB邊上的高是OF，OB邊上的高是AE，AO邊上的高是BD。
（2）如圖3，OD是△BOC的BC邊上的高也是△BOD和△COD的高 。
3.畫一畫
（1）用三角尺畫出下列三角形的高線：
（2）做一做：每人準備一個銳角三角形紙片，你能用折紙的辦法得到三角形的高線嗎
（3）觀察得出結論：銳角三角形的三條高相交于一點，這點在三角形的內部；直角三角形的三條高交于一點，這點就是直角頂點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點，這點在三角形的外部。
總之，三角形的三條高所在的直線交于一點。
三.典例與練習
例1.分別指出圖4，圖5中△ABC的三條高.
練習1.下列各組圖中哪一組圖形中AD是△ABC的高( D )
例2.已知，如圖6,△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點O．若∠BAC=60°，求∠BOC的度數．
解：在△ABC中，∵∠BAC=60°，三條高AD、BE、CF相交于點O．
∴∠BEA=90°，∠CFA=90°，
∴∠ABE=30°，∠ACF=30°，
∴∠OBD+∠OCB=180°﹣∠BAC﹣∠OBF﹣∠OCE=60°，
所以∠BOC=180°﹣60°=120°．
練習2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ B ）
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.銳角三角形
例3.如圖7，銳角△ABC中，BD和CE是兩條高，相交于點M，BF和CG是兩條角平分線，相交于點N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度數.
解：∵BD、CE是△ABC的高∴∠BDC=∠CEB=90°∴∠ABC=90°－∠BCE
∠ACB=90°－∠CBD，又∵∠BMC=100°
∴∠DBC+∠BCE=80°∴∠ABC+∠ACB=100°∴∠A=80°
∵BF、CG是△ABC的角平分線.
∴∠BNC=90°+∠A=130°.
練習3.如圖8，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
則△ABC的面積=54；BC=10.8．
四.課堂小結
1.記憶：頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.
2.三角形的三條高所在直線交于一點.
3.三角形的三條高的特性
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
三角形內部高的數量 3 1 1
三條高是否相交 是 是 否
三條高所在直線的交點位置 三角形內部 直角頂點 三角形外部
五.分層過關
1.△ABC中，∠B=24°，∠BCA=104°，則∠A的平分線AD和BC邊上的高AE的夾角為（ D ）
A、45° B、30° C、50° D、40°
2.如圖9，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,分別交BC,AB,BC于C,D,E,下列說法中不正確的是（ B）
AC是△ABC的高 B、DE是△ABC的高 C、AC是△ABE的高 D、AD是△ACD的高
3.如圖10，△ABC的三條高AD，BE,CF相交于點H.
△ABH的三條高是AE，BD，HF，這三條高相交于點C。
點A到點B的距離是AB的長度，點A到BH的距離是AE的長度。
BC×HD=BH×CE=CH×BF.
4.如圖11，在△ABC中，是中線，是角平分線，是高，，，，，填空：（1）35°．（2）25°．（3）求S△ABC的值．
解：（3）在△ABC中，AE是中線，
∴EC=BE=2，．
5.如圖12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∠B=54°，∠C=76°。
求∠ADB和∠ADC的度數；
若DE⊥AC，求∠EDC的度數。
解：(1)、∵∠B＝54°，∠C＝76° ， ∴∠BAC=180°-54°-76°=50°，
∵AD是角平分線， ∴∠BAD=∠DAC=25°，∴∠ADB=180°-54°-25°=101°，
∠ADC=79°；(2)∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠EDC=90°-76°=14°．
6.如圖13，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的長．(2)求△ABE的面積．
解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴（cm），即AD的長度為cm；
（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴S△ABC=AB AC=×3×4=6（cm2）．又∵AE是邊BC的中線，∴BE=EC，
∴S△ABE=S△ABC=3（cm2）．∴△ABE的面積是3cm2．
圖1
圖2
圖3
AB邊上的高是：BC
BC邊上的高是：AB
AC邊上的高是：BD
AB邊上的高是：CE
BC邊上的高是：AD
AC邊上的高是：BF
圖5
圖4
圖6
圖7
圖8
圖9
圖11
H
圖10
圖12
圖13
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一.選擇題：
1.下列說法中正確的是(　　)
A. 三角形的三條高都在三角形內 B. 直角三角形只有一條高
C. 銳角三角形的三條高都在三角形內 D. 三角形每一邊上的高都小于其他兩邊
2.如圖1,在△ABC中,∠C=90°,D、E為AC上的兩點,且AE=DE,BD平分∠EBC,則下列說法不正確的是(　　)
A.BC是△ABE的高　　B.BE是△ABD的中線 C.BD是△EBC的角平分線　　D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
3.如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點,那么這個三角形是(　　)
A.銳角三角形　　　B.直角三角形　　　C.鈍角三角形　　　D.不能確定
4.如圖2，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分別是D、C、F，下列說法中，錯誤的是（　?。?br/>A. △ABC中，AD是邊BC上的高 B. △ABC中，GC是邊BC上的高
C. △GBC中，GC是邊BC上的高 D. △GBC中，CF是邊BG上的高
5.如圖3，△ABC的角平分線AD、中線BE相交于點O，則①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線；③DE是△ADC的中線；④ED是△EBC的角平分線的結論中正確的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題：
6.如圖4，已知AE＝3，BD＝2，則△ABC中BC邊上的高的長度為　?。?br/>7.如圖5，AB⊥BC于點B，則圖中以AB為高線的三角形有　　個．
8.如圖6，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為11，則△BCD的周長是　　．
9.如圖7，已知AD為△ABC的中線，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周長為19cm，則△ABD的周長為____cm．
10.下列說法正確的是　　 （只填序號）
①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于一點；
③三角形的三條高都在三角形內部；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．
三.解答題：
11.已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度數.
12.如圖8,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC邊上任一點,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E為垂足.若△ABC的面積為6,問:PD+PE的值能否確定 若能確定,值是多少 請說明理由.
13.如圖9，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE和∠BOA的度數．
圖3
圖2
圖1
圖4
圖6
圖5
圖7
圖8
圖9
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(總課時32)§4.1認識三角形（4）
【學習目標】認識、畫出三角形的高線，理解三角形的高線的性質.
【學習重難點】能用三角形的高的性質解決簡單的數學問題.
【導學過程】
一.知識回顧
你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎 如圖1，你能過點P作直線l的垂線嗎？
畫法：①____，②靠，③____，④畫.
你能過三角形一個頂點畫對邊的垂線嗎？
二.探究新知
1.三角形高線的定義：
從三角形的____________向它的____所在直線作____，頂點和垂足之間的____叫做三角形的高線，簡稱____________。
注意：三角形的高是條____。如圖2，線段CD是AB邊上的高。
在△ABC中：①CD是AB邊上的高，②________，垂足為____.
③∠________=∠________=90°
2.認識三角形高線
（1）如圖3，△ABC中，BC邊上的高是____，AB邊上的高是____，AC邊上的高是____.
△AOB中，AB邊上的高是____，OB邊上的高是____，AO邊上的高是____。
（2）如圖3，OD是△BOC的____邊上的高也是△________和△________的高 。
3.畫一畫
（1）用三角尺畫出下列三角形的高線：
（2）做一做：每人準備一個銳角三角形紙片，你能用折紙的辦法得到三角形的高線嗎
（3）觀察得出結論：銳角三角形的三條高相交于一點，這點在三角形的____；直角三角形的三條高交于一點，這點就是________；鈍角三角形的三條高所在直線交于____點，這點在三角形的____。
總之，三角形的三條高所在的直線交于一點。
三.典例與練習
例1.分別指出圖4，圖5中△ABC的三條高.
練習1.下列各組圖中哪一組圖形中AD是△ABC的高( )
例2.已知，如圖6,△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點O．若∠BAC=60°，求∠BOC的度數．
練習2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ）
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.銳角三角形
例3.如圖7，銳角△ABC中，BD和CE是兩條高，相交于點M，BF和CG是兩條角平分線，相交于點N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度數.
練習3.如圖8，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
則△ABC的面積=____；BC=____．
四.課堂小結
1.記憶：頂點和垂足之間的____叫做三角形的高.
2.三角形的三條高____________交于一點.
3.三角形的三條高的特性
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
三角形內部高的數量 3 1 1
三條高是否相交 是 是 否
三條高所在直線的交點位置 三角形內部 直角頂點 三角形外部
五.分層過關
1.△ABC中，∠B=24°，∠BCA=104°，則∠A的平分線AD和BC邊上的高AE的夾角為（ ）
A、45° B、30° C、50° D、40°
2.如圖9，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,分別交BC,AB,BC于C,D,E,下列說法中不正確的是（ ）
AC是△ABC的高 B、DE是△ABC的高 C、AC是△ABE的高 D、AD是△ACD的高
3.如圖10，△ABC的三條高AD，BE,CF相交于點H.
△ABH的三條高是____________，這三條高相交于點____。
點A到點B的距離是____的長度，點A到BH的距離是____的長度。
________________________________.
4.如圖11，在△ABC中，是中線，是角平分線，是高，，，，，填空：（1）____．（2）____．（3）求S△ABC的值．
5.如圖12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∠B=54°，∠C=76°。
求∠ADB和∠ADC的度數；
若DE⊥AC，求∠EDC的度數。
6.如圖13，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的長．(2)求△ABE的面積．
圖1
圖2
圖3
AB邊上的高是：____
BC邊上的高是：____
AC邊上的高是：____
AB邊上的高是：____
BC邊上的高是：____
AC邊上的高是：____
圖5
圖4
圖6
圖7
圖8
圖9
圖11
H
圖10
圖12
圖13
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