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18.2《勾股定理的逆定理》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解證明勾股定理的逆定理的方法；
2.會運用勾股定理的逆定理來判斷三角形是直角三角形和勾股定理逆定理的應用；
3.經歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養與人合作、交流的團隊意識.
學習重難點
重點：探索勾股定理的逆定理的證明方法；
難點：勾股定理的逆定理在生活中的應用.
學法指導
通過對勾股定理的逆定理的探究和應用，加深對勾股定理的逆定理的理解，學會綜合運用勾股定理及逆定理來解決實際問題.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
1.①用文字來敘述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
②用字母來表示勾股定理：
設△ABC的兩條直角邊分別用a，b表示，斜邊用c表示，則△ABC的三邊有下列關系：
________________________________________________________________________.
2.寫出上述勾股定理的逆命題.
__________________________________________________________________________.
二、課內探究，交流學習
1.探究：
（1）.據說，幾千年前的古埃及人就已經知道，在一根繩子上連續打上等距離的13個結，然后，用釘子將第1個與第13個結釘在一起，拉緊繩子，再在第4個和第8個結處各釘上一個釘子，如圖所示，這樣圍成的三角形中，最長邊所對的角就是直角.
（2）用圓規、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如圖所示，量一量∠C，它是90°嗎？
想一想：為什么用上面三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能說出理由嗎？
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，這三條線段之間有何數量關系呢？
請你寫出勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________.
設在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果這三邊有下列關系：a2+b2＝c2，那么△ABC是________三角形，且∠___＝90°.
2.自主學習，探究解法
例1 根據下列三角形的三邊a，b，c的值，判斷△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪條邊所對的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝7，b＝8，c＝11；
想一想：什么叫做勾股數？
_________________________________________________________________________.
例2 已知：在△ABC中，三條邊長分別為a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求證： △ABC為直角三角形.
隨堂練習
1.城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態環境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業．某小區在社區管理人員及社區居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
2.如圖，在中，，，，點D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.下列各組的三個數值，分別以它們為邊長，能構成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
2．如圖，P是等邊三角形內的一點，連接，，，以為邊作，且，，，，連接．連接，則下列結論：①是直角三角形；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
4．如圖，點是某景點所在位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點到點段現暫時封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個臨時車站，由處亦可直達處，若．則路線的長為 ．
5.如圖，在中，，，，點D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
6.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，點、、均在格點上．
(1)圖中線段________，________，________；
(2)求證：是直角三角形．
7.如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)求的長.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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18.2《勾股定理的逆定理》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解證明勾股定理的逆定理的方法；
2.會運用勾股定理的逆定理來判斷三角形是直角三角形和勾股定理逆定理的應用；
3.經歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養與人合作、交流的團隊意識.
學習重難點
重點：探索勾股定理的逆定理的證明方法；
難點：勾股定理的逆定理在生活中的應用.
學法指導
通過對勾股定理的逆定理的探究和應用，加深對勾股定理的逆定理的理解，學會綜合運用勾股定理及逆定理來解決實際問題.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
1.①用文字來敘述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
②用字母來表示勾股定理：
設△ABC的兩條直角邊分別用a，b表示，斜邊用c表示，則△ABC的三邊有下列關系：
________________________________________________________________________.
2.寫出上述勾股定理的逆命題.
__________________________________________________________________________.
【答案】1.直角三角形兩條直角邊長的平方和，等于斜邊的平方。
a2＋b2=c2。
2.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
二、課內探究，交流學習
1.探究：
（1）.據說，幾千年前的古埃及人就已經知道，在一根繩子上連續打上等距離的13個結，然后，用釘子將第1個與第13個結釘在一起，拉緊繩子，再在第4個和第8個結處各釘上一個釘子，如圖所示，這樣圍成的三角形中，最長邊所對的角就是直角.
（2）用圓規、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如圖所示，量一量∠C，它是90°嗎？
想一想：為什么用上面三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能說出理由嗎？
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，這三條線段之間有何數量關系呢？
【答案】AC和BC兩條直角邊長的平方和，等于AB的平方
請你寫出勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________.
設在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果這三邊有下列關系：a2+b2＝c2，那么△ABC是________三角形，且∠___＝90°.
【答案】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
直角，ACB
2.自主學習，探究解法
例1 根據下列三角形的三邊a，b，c的值，判斷△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪條邊所對的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝7，b＝8，c＝11；
解：（1）∵最大邊是c＝25，c2＝625，
a2+b2＝72+242＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大邊C所對角是直角.
（2）∵最大邊是c＝11，c2＝121，
a2+b2＝72+82＝113，
∴a2+b2≠c2，
∴ △ABC不是直角三角形.
想一想：什么叫做勾股數？
_________________________________________________________________________.
【答案】能夠成為直角三角形三條邊長度的三個正整數，稱為勾股數。
例2 已知：在△ABC中，三條邊長分別為a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求證： △ABC為直角三角形.
證明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2
＝n4－2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
隨堂練習
1.城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態環境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業．某小區在社區管理人員及社區居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，求陰影部分的面積，先根據勾股定理求出，再根據逆定理說明是直角三角形，然后根據得出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：這塊可綠化的空地的面積為．
2.如圖，在中，，，，點D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方；垂直平分線上的點到兩端距離相等．
（1）根據勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求證；
（2）連接，根據垂直平分線的性質得出，．設，則．根據勾股定理可得，列出方程求出，則，，最后根據即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：連接，如圖．
∵DE為線段AC的垂直平分線，
∴，．
設，則．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.下列各組的三個數值，分別以它們為邊長，能構成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理逆定理．若兩條短邊的平方和等于最長邊的平方，根據勾股定理的逆定理，該三角形為直角三角形，否則不是直角三角形．據此依次判斷即可．
【詳解】解：A：∵，∴不能構成直角三角形；
B：∵，∴不能構成直角三角形；
C：∵，∴能構成直角三角形；
D：∵，∴不能構成直角三角形．
故選：C
2．如圖，P是等邊三角形內的一點，連接，，，以為邊作，且，，，，連接．連接，則下列結論：①是直角三角形；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定及全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
連接，證明為正三角形．得出，，根據等邊三角形的性質利用判定，得出，，證出，得出，則可得出結論．
【詳解】解：連接，
，，
為正三角形．
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
是直角三角形，
，
，
，
若，則，
由題意可知，，
故①②③正確，
故選：C．
3.在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
【答案】3
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形內角和定理．根據勾股定理的逆定理以及三角形內角和定理，逐項判斷即可．
【詳解】解：①由題意知，，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
②由題意知，，則是直角三角形，但不是符合的條件形，故不符合題意；
③由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
④由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
即符合要求的只有3個，
故答案為：3．
4．如圖，點是某景點所在位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點到點段現暫時封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個臨時車站，由處亦可直達處，若．則路線的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關鍵．先根據勾股定理逆定理判斷是直角三角形，再根據勾股定理計算求解．
【詳解】解：是直角三角形．
理由如下：
，，，
，，，
，
是直角三角形；
，
設，則，
由勾股定理得：，
即，
解得，
．
故答案為：．
5.如圖，在中，，，，點D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方；垂直平分線上的點到兩端距離相等．
（1）根據勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求證；
（2）連接，根據垂直平分線的性質得出，．設，則．根據勾股定理可得，列出方程求出，則，，最后根據即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：連接，如圖．
∵DE為線段AC的垂直平分線，
∴，．
設，則．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
6.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，點、、均在格點上．
(1)圖中線段________，________，________；
(2)求證：是直角三角形．
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，化為最簡二次根式，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．
（1）根據勾股定理，即可求解；
（2）根據勾股定理逆定理，即可求解；
【詳解】（1）解：，
，
，
故答案為：；
（2）證明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形
7.如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)求的長.
【答案】(1)是直角三角形；
(2)．
【分析】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理的應用．
（1）根據勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）由是的邊上的高，利用面積法計算即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
根據勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的邊上的高，
∴，
∴．
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