資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
18.1《勾股定理》（1）導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解勾股定理的由來；
2.探索直角三角形的三邊之間關系，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；
3.掌握勾股定理并會用它解決身邊與實際生活相關的數學問題.
學習重難點
重點：探索和驗證勾股定理的過程；
難點：通過面積計算探索勾股定理.
學法指導
通過勾股定理的探究和驗證，學會用直角三角形的三邊關系解決實際問題.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
1.查找相關資料或上網查找有關勾股定理的由來.
（1）勾股定理是一個基本的幾何定理，它在許多領域都有著廣泛的應用，國內外都有很多科學家、知名人士對此都有過研究，至今已有500多種證明方法。
（2）國內：公元十一世紀周朝數學家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算經》中有所記載。公元3世紀三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，創制了一幅“勾股圓方圖”，把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦。
（3）國外：公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。1876年4月1日，加菲樂德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的一個證法。
2.寫出勾股定理的內容.
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。
二、課內探究，交流學習
1.探究1：在行距、列距都是1的方格網中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖，并以S1，S2 與S3分別表示幾個正方形的面積．
觀察圖（1），并填寫：
S1＝________個單位面積；S2＝_________個單位面積；S3＝_________個單位面積．
觀察圖（2），并填寫：
S1＝________個單位面積；S2＝_________個單位面積；S3＝_________個單位面積．
圖（1），（2）中三個正方形面積之間有怎樣的關系，用它們的邊長表示，
是：___________________________.
【答案】（1）9，9，18
（2）9，16，25
32+32=（3）2
問題：通過以上探究，你能得出什么結論嗎？
用文字敘述：_____________________________________________________________
______________________________________________________.
【答案】直角三角形兩條直角邊長的平方和，等于斜邊的平方。
如圖1，用字母表述：
在△ABC中，∠C＝90°，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，
則△ABC的三邊a，b，c三邊的關系為:
____________________________.
【答案】a2＋b2=c2
填一填：
我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為________，較長的直角邊稱為_________，斜邊稱為__________，因此，我們稱上述定理為__________________.
國外稱之為__________________定理.
【答案】勾，股，弦，勾股定理，畢達哥拉斯定理
2.動手拼一拼：
請同學們用紙剪四個全等的直角三角形（兩直角邊分別為a，b，斜邊為c），然后動手拼成如下圖形：
3.探究2：
我們怎樣用面積計算的方法來證明勾股定理呢？
已知：如圖，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求證：a2+b2＝c2.
【答案】
證明：取4個與Rt ABC全等的直角三角形，把它們拼成如圖所示的邊長為a+b的正方形EFGH
從圖中可見，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c
因為 ∠B1A1E+∠A1B1E=90°,而∠A1B1E=∠D11AH,
因此： ∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.
同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°,
所以四邊形A1B1C1D1是邊長為c的正方形.
正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面積分別記作S正方形EFCH和S正方形A1B1C1D1 ,則
S正方形EFGH-4S ABC=S正方形A1B1C1D1，
即(a +b)2 -4 xab = c2.
化簡,得
a2 +b2=c2.
4.隨堂練習
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理：
（1）根據證明即可得到結論；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根據勾股定理得．
【詳解】（1）∵四邊形為矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，勾股定理
（1）由線段垂直平分線的性質可得，可得，由外角的性質可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性質可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【詳解】（1）證明：線段的垂直平分線交于點，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條雙腰分割線；
（2）解：是三角形的雙腰分割線，且．
，
，
，
；
（3）解：過點作于點，
，
，
設為，
中，，
中，，
，
解得，，
．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.已知點M在y軸上，點，若線段的長為5，則點M的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了用勾股定理求兩點之間的距離，先設出點M的坐標，根據直角三角形三邊的關系得到一個等式，求出結果即可，注意分情況討論是解題的關鍵．
【詳解】解：當點M位于y軸正半軸時，此時設點，過點P作y軸的垂線交y軸于一點N，如圖所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此時點；
當點M位于y軸負半軸時，此時設點，過點P作y軸的垂線交y軸于一點N，如圖所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此時點，
綜上點M的坐標為或，
故選：D．
2.如圖，在中，于點D，在上取點F，使得，，連結并延長交于點E，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，全等三角形的性質和判定．首先根據勾股定理求出，然后證明出，得到，然后利用等面積法求出，進而求解即可．
【詳解】∵
∴
∵，
∴
∵，
又∵，
∴
∴
∴，
∴
∴
解得
∴．
故選：B．
3.小明求代數式的最小值時，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標平面內，設為軸上的一個動點，選取點和，根據兩點的距離公式得，，通過構造，將求代數式的最小值轉化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，根據原式表示的幾何意義是點M到點的距離之和的最小值，利用軸對稱作出圖形求出的長即可，正確轉化代數式為兩點之間距離問題是解題關鍵．
【詳解】如圖所示，根據原式表示的幾何意義是點M到點的距離之和的最小值，可作B點關于x軸的對稱點，連接，此時的長即為所求代數式的最小值，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∴的最小值等于5 ，
故答案為：5．
4．如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據已知條件得出，過點作于點，設交于點，根據三角形的面積求得，構造等腰直角三角形，進而額電池的長，即可求解．
【詳解】解：∵，設，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如圖所示，過點作于點，設交于點，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面積為2，
∴
∴，則，
在中，，
如圖所示，作關于的對稱點，連接，交于點，

∵，則是等腰直角三角形，
則，
設，則，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，勾股定理，軸對稱的性質，熟練掌握以上知識，得出解題的關鍵．
5.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，根據題意，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
（）由，得到，由得到，根據，即可求證；
（）：過點作，證明，得到，，由勾股定理得到，根據即可求證；
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：過點作，交于點M，
∵點關于直線的對稱點為點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
18.1《勾股定理》（1）導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解勾股定理的由來；
2.探索直角三角形的三邊之間關系，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；
3.掌握勾股定理并會用它解決身邊與實際生活相關的數學問題.
學習重難點
重點：探索和驗證勾股定理的過程；
難點：通過面積計算探索勾股定理.
學法指導
通過勾股定理的探究和驗證，學會用直角三角形的三邊關系解決實際問題.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
1.查找相關資料或上網查找有關勾股定理的由來.
（1）勾股定理是一個基本的幾何定理，它在許多領域都有著廣泛的應用，國內外都有很多科學家、知名人士對此都有過研究，至今已有500多種證明方法。
（2）國內：公元十一世紀周朝數學家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算經》中有所記載。公元3世紀三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，創制了一幅“勾股圓方圖”，把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦。
（3）國外：公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。1876年4月1日，加菲樂德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的一個證法。
2.寫出勾股定理的內容.
二、課內探究，交流學習
1.探究1：在行距、列距都是1的方格網中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖，并以S1，S2 與S3分別表示幾個正方形的面積．
觀察圖（1），并填寫：
S1＝________個單位面積；S2＝_________個單位面積；S3＝_________個單位面積．
觀察圖（2），并填寫：
S1＝________個單位面積；S2＝_________個單位面積；S3＝_________個單位面積．
圖（1），（2）中三個正方形面積之間有怎樣的關系，用它們的邊長表示，
是：___________________________.
問題：通過以上探究，你能得出什么結論嗎？
用文字敘述：_____________________________________________________________
______________________________________________________.
如圖1，用字母表述：
在△ABC中，∠C＝90°，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，
則△ABC的三邊a，b，c三邊的關系為:
____________________________.
填一填：
我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為________，較長的直角邊稱為_________，斜邊稱為__________，因此，我們稱上述定理為__________________.
國外稱之為__________________定理.
2.動手拼一拼：
請同學們用紙剪四個全等的直角三角形（兩直角邊分別為a，b，斜邊為c），然后動手拼成如下圖形：
3.探究2：
我們怎樣用面積計算的方法來證明勾股定理呢？
已知：如圖，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求證：a2+b2＝c2.
4.隨堂練習
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
2.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.已知點M在y軸上，點，若線段的長為5，則點M的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
2.如圖，在中，于點D，在上取點F，使得，，連結并延長交于點E，則（ ）
A． B． C． D．
3.小明求代數式的最小值時，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標平面內，設為軸上的一個動點，選取點和，根據兩點的距離公式得，，通過構造，將求代數式的最小值轉化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
4．如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

5.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數量關系，并說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑