資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第六章 圖形的變化
第二節(jié) 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念 ☆ 圖形的相似是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是難度最大的考點(diǎn)之一。它不僅可以作為基礎(chǔ)考點(diǎn)單獨(dú)考查，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等知識點(diǎn)一起考查。而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段。需要考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視，扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆☆
考點(diǎn)4 相似三角形的應(yīng)用 ☆☆
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念
1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比。
2）比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的 。
3）比例的性質(zhì)
性質(zhì) 內(nèi)容
性質(zhì)1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性質(zhì)2 如果=，那么。
性質(zhì)3 如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）。
4）黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的 ，AC是BC與AB的 ，AC與AB的比叫做 。
5）平行線分線段成比例（定理）：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。
即： 。
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
1）相似三角形的定義：對應(yīng)角 ，對應(yīng)邊成 的兩個(gè)三角形叫做 ，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做 。
2）性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角 ；（2）相似三角形的對應(yīng) 成比例；（3）相似三角形的周長比等于 ，面積比等于相似比的 。
3）判定：（1）有兩角對應(yīng) ，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng) 且夾角 ，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng) ，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng) ，兩直角三角形相似。
4）相似多邊形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做 ，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的 。
5）相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)邊 ；（2）相似多邊形的對應(yīng)角 ；（3）相似多邊形周長的比等于 ，相似多邊形面積的比等于相似比的 。
■考點(diǎn)三　圖形的位似
1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相 ，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做 。
2）位似圖形的性質(zhì)：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比 ；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 或 。
3）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線 ，則該點(diǎn)即是 。
4）畫位似圖形的步驟：（1）確定 ；（2）確定原圖形的 ；（3）確定 ，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的 ；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各 。
■考點(diǎn)四　相似三角形的應(yīng)用
1）利用影長測量物體的高度
①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用 的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比 ”的原理解決。
②測量方法：在同一時(shí)刻測量出參照物和被測量物體的 來，再計(jì)算出被測量物的 。
2）利用相似測量河的寬度（測量距離）
①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上。必須保證在 上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造 三角形。
②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出 。
3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．
利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用 和 的知識構(gòu)建 ，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度。
■易錯(cuò)提示
1. 求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系。
2. 位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。
3. 兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點(diǎn)上。
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念
◇典例1：（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，再以為圓心，長為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，那么等于（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）在比例尺為：的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長，它的實(shí)際長度約為 ．
2．（2023·重慶·一模）已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項(xiàng)，a＝4，b＝9，則c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
◇典例2：（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識，動(dòng)物學(xué)家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為． 這個(gè)數(shù)據(jù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．黃金分割
2．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填：
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林長春·校考模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江大慶市·中考模擬預(yù)測）已知，則________
◇典例4：（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：
畫法 圖形
1．以A為端點(diǎn)畫一條射線； 2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE； 3．過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．
這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別交于點(diǎn)D，E，交于點(diǎn)F，，，則的長為（　　）

A． B． C．2 D．3
3．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
◇典例5：（2023·福建龍巖·校考模擬預(yù)測）如圖，由圖形改變?yōu)閳D形，這種圖形改變屬于（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．相似
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列圖形不是相似圖形的是（　　）
A．同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片 B．某人的側(cè)身照片和正面照片
C．用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案 D．大小不同的兩張中國地圖
2.（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（ ）
A．關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形 B．兩個(gè)正三角形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)半徑不等的圓
◇典例6：（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，中，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　　）
A． B． C．D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·四川瀘州·校考一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，要判定與相似，需添加一個(gè)條件，下列添加的條件中，不正確的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
2．（2023·浙江杭州·校考一模）如圖所示，在等腰三角形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，，點(diǎn)Q在線段上，且．求證：(1)；(2)．
◇典例7：（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)．若，則線段的長為（ ）

A． B．7 C． D．8
2．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則 ．

3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作交于E，將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為 ．

◇典例8：（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐．

(1)提出問題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長線于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________． ②__________．
(2)類比探究．如圖2，在和中，，且，連接并延長交于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________． ②___________．
(3)問題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上（不與A重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．①試說明為等腰三角形．②求的度數(shù)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．
(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對角線平分，，求證：和為疊似三角形．
(2)[嘗試應(yīng)用]在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，，求四邊形的周長．
(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且．若，，求的值．
2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）【例題探究】數(shù)學(xué)課上，老師給出一道例題，如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若求證：；請用你所學(xué)的知識進(jìn)行證明．
【拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若，，，則的值為______；（直接寫出）
【知識遷移】將此模型遷移到平行四邊形中，如圖，在平行四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)若求證：．
◇典例9：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若兩個(gè)相似三角形周長的比為，則這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）兩個(gè)相似圖形的周長比為，則面積比為 ．
3．（2024·四川瀘州·校考一模）若且面積比為，則與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·河北張家口·校考模擬預(yù)測）把一根鐵絲首尾相接圍成一個(gè)長為，寬為的矩形，要將它按如圖所示的方式向外擴(kuò)張得到矩形，使矩形矩形，則這根鐵絲需增加（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)三　圖形的位似
◇典例10：（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與的相似比為，點(diǎn)是位似中心，已知點(diǎn)，點(diǎn)，．則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．（結(jié)果用含，的式子表示）

◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，與是位似圖形，則位似中心為（ ）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）

A． B． C． D．
◇典例11：（2023·湖南湘潭·校考三模）（多選題）如圖，已知，任取一點(diǎn)，連接，，，并取它們的中點(diǎn)、、、順次連接得到，下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形
C．與的周長之比 D．與的面積之比為
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知與位似，位似中心為，且的面積與的面積之比是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長之比為 ．

3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，則與的面積比是 ．
◇典例12：（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為頂點(diǎn)的和格點(diǎn)．(1)在所給網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，將放大2倍得到（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是），畫出；(2)將進(jìn)行平移得到格點(diǎn)（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是），使，畫出．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成如下畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
(1)在圖1中，以為邊，畫出，使和全等，D為格點(diǎn)，請?jiān)趫D1中畫出滿足條件的所有；(2)在圖2中，以點(diǎn)C為位似中心．畫出，使與位似，且位似比，點(diǎn)E、F為格點(diǎn)；(3)在圖3中，在邊上找一個(gè)點(diǎn)P，且滿足．
2．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．
(1)以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到兩倍即新圖與原圖的相似比為，畫出圖形并寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求出點(diǎn)所經(jīng)過的路線長．

■考點(diǎn)四　相似三角形的應(yīng)用
◇典例13：（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一個(gè)卡鉗測量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑，量得的長為，則的長為 cm．

◆變式訓(xùn)練
1.（2023·吉林長春·校考模擬預(yù)測）凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體H到焦點(diǎn)F的距離與焦點(diǎn)F到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途徑了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達(dá)到了萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)，在近岸取點(diǎn)和，使點(diǎn)、、共線且與河垂直，接著在過點(diǎn)且與直線垂直的直線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，確定與過點(diǎn)且與垂直的直線交點(diǎn)．測得，，，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河的寬度．

◇典例14：（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且東塔、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，、、在一直線上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察A點(diǎn)，A、、三點(diǎn)也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．

◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，則樹高 m．

2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）攬?jiān)麻w是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，與唐大雁塔今古一線、遙相呼應(yīng)，聯(lián)袂彰顯西安具有歷史文化特色的現(xiàn)代化國際大都市風(fēng)貌．一天下午，小明和小麗來到了攬?jiān)麻w廣場，他們想用所學(xué)的知識，測量攬?jiān)麻w的高度．如圖，點(diǎn)為攬?jiān)麻w的頂部，點(diǎn)為攬?jiān)麻w的底部，小明在點(diǎn)處放一水平的平面鏡，然后沿著方向向前走米，到達(dá)點(diǎn)處，這時(shí)小明蹲下，恰好在鏡子里看到攬?jiān)麻w的頂端的像．接下來小明不動(dòng)，小麗在處豎起一根可調(diào)節(jié)高度的測量桿，并調(diào)節(jié)測量桿的高度，使得測量桿的頂端、攬?jiān)麻w的頂端、小明的眼睛在一條直線上，此時(shí)測得測量桿的高度米．已知小明蹲下時(shí)，眼睛到地面的距離米，點(diǎn)、、在一條直線上，，，，求攬?jiān)麻w的高度．（平面鏡的大小忽略不計(jì)）
1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是的重心，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若四邊形的面積為6，則的面積為（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)．若，，則（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線交，于點(diǎn)D，E，連接．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．直線是的垂直平分線 B． C． D．
4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，D，E分別是，的中點(diǎn)，連接，則＝ ．
5．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E若，則 （從“”中選擇一個(gè)符合要求的填空）； ．

6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是 ．

7．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線的軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長度為 ．

8．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，若四邊形與四邊形關(guān)于原點(diǎn)位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

9．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．

10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．
(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：_____；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則____．

1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時(shí)期的帕提農(nóng)神廟（ ），我們把圖中的虛線表示為矩形，并發(fā)現(xiàn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割
2．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接，并延長交于點(diǎn)D，若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形滿足，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形是黃金矩形，對角線，相交于且，則關(guān)于黃金矩形，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B． C． D．矩形的周長
4．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在外任取一點(diǎn)，連接、、，并分別取它們的中點(diǎn)、、，順次連接、、得到，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形
C．與的周長比是 D．與的面積比是
5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且．點(diǎn)P為線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則線段的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陜西西安·校考一模）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為8cm，則的長為 cm．（結(jié)果保留根號）

7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，則樹高 m．
8．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，，，點(diǎn)D、E分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，折疊得到，且點(diǎn)落在邊上，若恰好與相似，的長為 ．

9．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，連接并延長至點(diǎn)F，使，連接，，連接并延長交于點(diǎn)G．若，則 ．

10．（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，E是上一點(diǎn)，，連接，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，，則 ．

11．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若與是位似圖形且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；(2)與的位似比為__________，面積比為__________．

12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】
(1)如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，連結(jié)，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求證：．
【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，在平行四邊形中，對角線交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求的長．
【拓展提升】(3)如圖3，在菱形中，對角線交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求菱形的邊長．
1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（ ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)C與延長線上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長線于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）求的度數(shù)；（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，
①若，過作交于點(diǎn)，求證：；
②若時(shí)，則______．
（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．
（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請直接寫出的長．

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第六章 圖形的變化
第二節(jié) 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念 ☆ 圖形的相似是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是難度最大的考點(diǎn)之一。它不僅可以作為基礎(chǔ)考點(diǎn)單獨(dú)考查，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等知識點(diǎn)一起考查。而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段。需要考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視，扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆☆
考點(diǎn)4 相似三角形的應(yīng)用 ☆☆
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念
1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比。
2）比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)。
3）比例的性質(zhì)
性質(zhì) 內(nèi)容
性質(zhì)1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性質(zhì)2 如果=，那么。
性質(zhì)3 如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）。
4）黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比。
5）平行線分線段成比例（定理）：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。
即： 。
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
1）相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。
2）性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。
3）判定：（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似。
4）相似多邊形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比。
5）相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方。
■考點(diǎn)三　圖形的位似
1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2）位似圖形的性質(zhì)：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比。
3）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心。
4）畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)。
■考點(diǎn)四　相似三角形的應(yīng)用
1）利用影長測量物體的高度
①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決。
②測量方法：在同一時(shí)刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計(jì)算出被測量物的長度。
2）利用相似測量河的寬度（測量距離）
①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上。必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形。
②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度。
3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．
利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度。
■易錯(cuò)提示
1. 求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系。
2. 位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。
3. 兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點(diǎn)上。
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念
◇典例1：（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，再以為圓心，長為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，設(shè)，可用含的式子表示的長，再根據(jù)以為圓心，長為半徑作弧，可知的長，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，是等腰直角三角形，設(shè)，
∴，∵以為圓心，長為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，
∴，∴，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖求線段的比值，理解題意，找出線段之間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）在比例尺為：的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長，它的實(shí)際長度約為 ．
【答案】2.8
【分析】根據(jù)旅游圖上的距離與實(shí)際距離的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長度是，根據(jù)題意得：
：：，解得：，
．故它的實(shí)際長度約為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺的定義，實(shí)際就是比例的問題，解題的關(guān)鍵是由題意列出比例式求解．
2．（2023·重慶·一模）已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項(xiàng)，a＝4，b＝9，則c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出．
【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得，，
又線段不能是負(fù)數(shù)，應(yīng)舍去，取，故選：B．
【點(diǎn)睛】考查了比例中項(xiàng)的概念：解題的關(guān)鍵是當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)．這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．
◇典例2：（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為 ．
【答案】
【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．
【詳解】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，解方程得，，
點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，解方程得，，
∴之間的距離為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識，動(dòng)物學(xué)家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為． 這個(gè)數(shù)據(jù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．黃金分割
【答案】D
【分析】利用黃金分割比的意義解答即可．
【詳解】解：∵黃金分割比為：，∴動(dòng)物學(xué)家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)知識與自然界的聯(lián)系，熟練掌握線段的黃金分割比是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)．
【詳解】解：如圖，
∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，故選：A．
◇典例3：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填：

【答案】
【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵∴∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林長春·校考模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．設(shè)，，，代入求解即可．
【詳解】解：，可以假設(shè)，，．故選：B．
2．（2023·黑龍江大慶市·中考模擬預(yù)測）已知，則________
【答案】
【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．
【詳解】解：設(shè)，則，
故，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．
◇典例4：（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：
畫法 圖形
1．以A為端點(diǎn)畫一條射線； 2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE； 3．過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．
這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例
【答案】D
【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，即可求解．
【詳解】解：由步驟2可得：C、D為線段AE的三等分點(diǎn)
步驟3中過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例得：
M、N就是線段AB的三等分點(diǎn) 故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．掌握相關(guān)結(jié)論即可．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．
【詳解】解：∵中，，∴，
∵∴，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”．
2．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別交于點(diǎn)D，E，交于點(diǎn)F，，，則的長為（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先證得四邊形是平行四邊形，得到，再利用平行線截線段成比例列式求出即可．
【詳解】∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，∴
，，故B錯(cuò)誤，不符合題意；，故A正確，符合題意；
如果，則有，和不平行，，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
如果，則有∴，和不平行，
，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
◇典例5：（2023·福建龍巖·校考模擬預(yù)測）如圖，由圖形改變?yōu)閳D形，這種圖形改變屬于（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．相似
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的定義知，圖形改變?yōu)閳D形，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，據(jù)此作答即可．
【詳解】圖形改變?yōu)閳D形，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似變換，理解圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，是解答本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列圖形不是相似圖形的是（　　）
A．同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片 B．某人的側(cè)身照片和正面照片
C．用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案 D．大小不同的兩張中國地圖
【答案】B
【分析】利用相似圖形定義分別分析得出符合題意的圖形即可．
【詳解】解：A、同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、某人的側(cè)身照片和正面像，不是相似圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、大小不同的兩張中國地圖，是相似圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
2.（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（ ）
A．關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形 B．兩個(gè)正三角形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)半徑不等的圓
【答案】C
【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形全等，∴它們是相似圖形，不符合題意；
B、兩個(gè)正三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，∴它們是相似圖形，不符合題意；
C、兩個(gè)等腰三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊的比不一定相等，
∴它們不一定是相似圖形，符合題意； D、兩個(gè)半徑不等的圓是相似圖形，不符合題意． 故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．
◇典例6：（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，中，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　　）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可．此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定三角形相似的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角對應(yīng)相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角對應(yīng)相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、兩三角形的兩對應(yīng)邊成比例，但夾角不相等，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)符合題意；
D、陰影三角形中，的兩邊分別為，則兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·四川瀘州·校考一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，要判定與相似，需添加一個(gè)條件，下列添加的條件中，不正確的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解；
【詳解】解： 若 ，則 ，故選項(xiàng) A 不合題意；
若 ，則 ， 故選項(xiàng) B 不合題意；
若 ，則 ，故選項(xiàng) D 不合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江杭州·校考一模）如圖所示，在等腰三角形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，，點(diǎn)Q在線段上，且．求證：(1)；(2)．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）利用證明即可；（2）根據(jù)得出，，根據(jù)，，得出，利用相似三角形的判定得出結(jié)論即可．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）證明：∵，∴，，
∵，，∴，即，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
◇典例7：（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形， ∴，
∵，，
∴，∴∴
∵，∴，∴
∵∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)．若，則線段的長為（ ）

A． B．7 C． D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：是的中位線，，，，
，，∴．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則 ．

【答案】
【分析】連接，證明是等邊三角形，則，，設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，求出，設(shè)，則，證明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，進(jìn)一步即可得到答案．
【詳解】解：連接，

∵將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，
∴是等邊三角形，∴，，
設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，
∴，，∴，
設(shè)，則，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
解得，即，∴，
∴，∴
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作交于E，將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為 ．

【答案】/0.8
【分析】首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，進(jìn)而得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵在中，，，，∴
∵∴，∴
∴∴∵∴
∴∴∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理．
◇典例8：（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐．

(1)提出問題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長線于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________． ②__________．
(2)類比探究．如圖2，在和中，，且，連接并延長交于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________． ②___________．
(3)問題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上（不與A重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．①試說明為等腰三角形．②求的度數(shù)．
【答案】(1)①．②(2)①．②(3)①見解析；②
【分析】（1）①證明得到，進(jìn)而證明，即可求出；②由全等三角形的性質(zhì)可得，則；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，得到，推出，則；②由相似三角形的性質(zhì)可得；
（3）①連接，延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O，證明分別是、的中位線，得到，再證明，得到，則，由此即可證明為等腰三角形；②由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，則，再由平行線的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）解：①，∴，即，
又∵，∴，∴，
∵即，
∴，即
∴，故答案為：；
②∵，∴，∴，故答案為：；
（2）解：①∵在和中，，且，
∴，，
∴，即，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案為：；
②∵，∴，故答案為：；
（3）解：①連接，延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O
在等邊中，于點(diǎn)D，為的中點(diǎn)
又為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)， 分別是、的中位線
∵都是等邊三角形，
∴，

在和中，
為等腰三角形．
②，∵，
∴，
∴，∴，∴
又，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確理解題意通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．
(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對角線平分，，求證：和為疊似三角形．
(2)[嘗試應(yīng)用]在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，，求四邊形的周長．
(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且．若，，求的值．
【答案】(1)見解析(2)23(3)
【分析】（1）根據(jù)題目所給“疊似三角形”的定義，即可求證；
（2）先證明，得出，則，且
根據(jù)，，求出，，，即可求出四邊形的周長為，
（3）過C作的平行線交的延長線于G，通過證明，得出，再證明，得出，，，根據(jù)，，得出，，最后根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解： 平分，，
在中，，
，，
，，所以 和為疊似三角形；
（2）解：∵，，
，．，
，，，且
，，，，
四邊形的周長為：．
（3）解：如圖，過C作的平行線交的延長線于G，，，

∵，，，，
，，，，
為中點(diǎn)，，又，，
，，，即
，，，，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例以及題目所給“疊似三角形”的定義．
2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）【例題探究】數(shù)學(xué)課上，老師給出一道例題，如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若求證：；請用你所學(xué)的知識進(jìn)行證明．
【拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)在的延長線上，且，若，，，則的值為______；（直接寫出）
【知識遷移】將此模型遷移到平行四邊形中，如圖，在平行四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)若求證：．
【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析
【分析】（1）由，，推出，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在上截取，連接，可證得，從而，進(jìn)而得出；（3）以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，可得出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：，，，
，；
（2）解：如圖，
在上截取，連接，
，是等邊三角形，，，
，，
，由（1）知：，
，，故答案為：；
（3）證明：如圖，
以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，，，
四邊形是平行四邊形，，，，
，，由（1）知：，
，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造“一線三等角”．
◇典例9：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
【詳解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若兩個(gè)相似三角形周長的比為，則這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比即可解答．
【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形周長的比為，∴相似三角形的對應(yīng)邊比為，故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似三角形的對應(yīng)邊比，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）兩個(gè)相似圖形的周長比為，則面積比為 ．
【答案】
【分析】由兩個(gè)相似圖形，其周長之比為，根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【詳解】解：兩個(gè)相似圖形，其周長之比為，其相似比為，
其面積比為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是關(guān)鍵．
3．（2024·四川瀘州·校考一模）若且面積比為，則與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出相似比，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比的得出答案．
【詳解】∵且面積比為，∴和的相似比為，
∴和的周長比為．故選：C．
◇典例8：（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．
【詳解】解：，由折疊可得：，，
∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，
∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，
∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·河北張家口·校考模擬預(yù)測）把一根鐵絲首尾相接圍成一個(gè)長為，寬為的矩形，要將它按如圖所示的方式向外擴(kuò)張得到矩形，使矩形矩形，則這根鐵絲需增加（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圖形知，擴(kuò)張后的長方形寬為，設(shè)長為，根據(jù)相似長方形的性質(zhì)列式計(jì)算求得，再計(jì)算即可求解．
【詳解】解：原長方形的長和寬分別為和，由圖形知，擴(kuò)張后的長方形寬為，設(shè)長為，
∵矩形矩形，∴，∴，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，∴擴(kuò)張后的長方形長為，
原長方形的周長為，擴(kuò)張后長方形的周長為，
，∴這根鐵絲需增加，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個(gè)四邊形的四條邊對應(yīng)成比例，且四個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)四邊形相似，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，，2，．
選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為，2，2，，兩個(gè)四邊形的四條邊對應(yīng)不成比例，不符合題意；選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對應(yīng)成比例，故選項(xiàng)中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；
選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對應(yīng)成比例，故選項(xiàng)中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；
選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，4，，兩個(gè)四邊形的四條邊對應(yīng)成比例．
將已知四邊形表示為四邊形，將選項(xiàng)中的四邊形表示為．
如圖，連接、，則，．
在與中，，，
，，．
在與中，，，
，，，
，，，，
又，四邊形四邊形．故選：D．
■考點(diǎn)三　圖形的位似
◇典例10：（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與的相似比為，點(diǎn)是位似中心，已知點(diǎn)，點(diǎn)，．則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．（結(jié)果用含，的式子表示）

【答案】
【分析】過點(diǎn)分別作軸的垂線垂足分別為，根據(jù)題意得出，則，得出，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)分別作軸的垂線垂足分別為，

∵與的相似比為，點(diǎn)是位似中心，∴
∵，∴,∴，
∴∴ 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，與是位似圖形，則位似中心為（ ）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)判斷即可．
【詳解】如圖，根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)，可知點(diǎn)P為位似中心，故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵的位似比為2的位似圖形是，且，
，即，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
◇典例11：（2023·湖南湘潭·校考三模）（多選題）如圖，已知，任取一點(diǎn)，連接，，，并取它們的中點(diǎn)、、、順次連接得到，下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形
C．與的周長之比 D．與的面積之比為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，，，進(jìn)而證明，根據(jù)位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：、、的中點(diǎn)分別為、、，
∴，，，，，，∴，
與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)，A選項(xiàng)符合題意；
與是相似圖形，B選項(xiàng)符合題意；
與的周長比是，C選項(xiàng)符合題意；
與的面積比是，D選項(xiàng)不符合題意；故選：ABC．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握位似圖形的概念、相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知與位似，位似中心為，且的面積與的面積之比是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的概念得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案．
【詳解】解：∵與位似，位似中心為，∴，，
∵的面積與的面積之比是，
∴的面積與的相似比是，即，
∵，∴，∴，∴，故選：D．
2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長之比為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：，，設(shè)周長為，設(shè)周長為，
和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
．．和的周長之比為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì)．
3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，則與的面積比是 ．
【答案】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出和的面積比即可．
【詳解】解：∵與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，
∴與的面積比為：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了位似變換，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
◇典例12：（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為頂點(diǎn)的和格點(diǎn)．(1)在所給網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，將放大2倍得到（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是），畫出；(2)將進(jìn)行平移得到格點(diǎn)（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是），使，畫出．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查格點(diǎn)作圖，作位似圖形和平移圖形：（1）將點(diǎn)A與點(diǎn)O連接并延長至，使得，得到，同理得到，，即可求解；（2）利用格點(diǎn)作找到點(diǎn)，從而得到的平移方式，進(jìn)而得到，，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：如圖所示，即為所求．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成如下畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
(1)在圖1中，以為邊，畫出，使和全等，D為格點(diǎn)，請?jiān)趫D1中畫出滿足條件的所有；(2)在圖2中，以點(diǎn)C為位似中心．畫出，使與位似，且位似比，點(diǎn)E、F為格點(diǎn)；(3)在圖3中，在邊上找一個(gè)點(diǎn)P，且滿足．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【分析】本題主要考查了作圖﹣相似變換，熟練掌握全等圖形、位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出；（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可畫出；（3）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．
【詳解】（1）如圖，和和即為所作，
（2）如圖，即為所作，
（3）如圖所示，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，交于點(diǎn)P．
；
∵，∴，∴．
2．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．
(1)以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到兩倍即新圖與原圖的相似比為，畫出圖形并寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求出點(diǎn)所經(jīng)過的路線長．

【答案】(1)見解析，、的坐標(biāo)分別為：，(2)見解析，
【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)得出，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn) 、的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)、的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)弧長公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：如圖所示：、的坐標(biāo)分別為：，；

（2）解：如圖所示：即為所求，點(diǎn)所經(jīng)過的路線長為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，弧長的計(jì)算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)四　相似三角形的應(yīng)用
◇典例13：（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一個(gè)卡鉗測量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑，量得的長為，則的長為 cm．

【答案】18
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得的長．
【詳解】解：，，，，
，，故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的值．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·吉林長春·校考模擬預(yù)測）凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體H到焦點(diǎn)F的距離與焦點(diǎn)F到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，從實(shí)際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．先證出四邊形為矩形，得到，再根據(jù)，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．
【詳解】解：∵，∴四邊形為矩形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即,∴物體被縮小到原來的．故選：C．
2．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途徑了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達(dá)到了萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)，在近岸取點(diǎn)和，使點(diǎn)、、共線且與河垂直，接著在過點(diǎn)且與直線垂直的直線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，確定與過點(diǎn)且與垂直的直線交點(diǎn)．測得，，，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河的寬度．

【答案】
【分析】根據(jù)題意證明，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴，解得：，答：的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
◇典例14：（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且東塔、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，、、在一直線上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察A點(diǎn)，A、、三點(diǎn)也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．

【答案】36m
【分析】設(shè)，則，通過證明，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)，則
∵，，∴，∴，
∴，即，同理可證，
∴，即，∴，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，∴，∴該古建筑的高度為36m．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，則樹高 m．

【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵和均為直角∴，∴，∴
∵，∴,故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）攬?jiān)麻w是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，與唐大雁塔今古一線、遙相呼應(yīng)，聯(lián)袂彰顯西安具有歷史文化特色的現(xiàn)代化國際大都市風(fēng)貌．一天下午，小明和小麗來到了攬?jiān)麻w廣場，他們想用所學(xué)的知識，測量攬?jiān)麻w的高度．如圖，點(diǎn)為攬?jiān)麻w的頂部，點(diǎn)為攬?jiān)麻w的底部，小明在點(diǎn)處放一水平的平面鏡，然后沿著方向向前走米，到達(dá)點(diǎn)處，這時(shí)小明蹲下，恰好在鏡子里看到攬?jiān)麻w的頂端的像．接下來小明不動(dòng)，小麗在處豎起一根可調(diào)節(jié)高度的測量桿，并調(diào)節(jié)測量桿的高度，使得測量桿的頂端、攬?jiān)麻w的頂端、小明的眼睛在一條直線上，此時(shí)測得測量桿的高度米．已知小明蹲下時(shí)，眼睛到地面的距離米，點(diǎn)、、在一條直線上，，，，求攬?jiān)麻w的高度．（平面鏡的大小忽略不計(jì)）
【答案】攬?jiān)麻w的高度為米
【分析】延長交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意知，根據(jù)垂直的定義得，，得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，求得，設(shè)，，則，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出方程組，即可．
【詳解】延長交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意知

∵，，，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
∵，，，∴，
∴，，∴，，
設(shè)，，則，，，
∴，解得：，∴（米），答：攬?jiān)麻w的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是的重心，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若四邊形的面積為6，則的面積為（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】連接,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在上，由三角形中線平分三角形的面積可知：，證明和,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．
【詳解】解：如圖，連接，

點(diǎn)P是的重心，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，P在上，
，，，，
，，，
設(shè)的面積為m，則的面積為，的面積為，
四邊形的面積為6，，，
的面積為9，的面積是18．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)．若，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而可得，根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，
∴，，，
∵，∴∴，，
∴，則，∴，
∵，∴，∴∴，
在中，，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線交，于點(diǎn)D，E，連接．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．直線是的垂直平分線 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線是的垂直平分線、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．由作圖過程可知，直線是的垂直平分線，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．由作圖過程可知，直線是的垂直平分線，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，
在中，，∴，∴，
即點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，
∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．∵，∴，∴，
∴，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，D，E分別是，的中點(diǎn)，連接，則＝ ．
【答案】/0.25
【分析】證明，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，
又∵，∴，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E若，則 （從“”中選擇一個(gè)符合要求的填空）； ．

【答案】 （答案不唯一）
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可推出；通過證明，得出，求出，設(shè)，，則，，證明，得出，則，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，∴，即，
∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，∴，
∴，∴，即，解得：，
∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，
設(shè)，，則，，
∵，∴，
∴，∴，整理得：，
把代入解得： 故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．
6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是 ．

【答案】
【分析】由矩形的性質(zhì)得，從而得到，由折疊的性質(zhì)可得：，從而得到，由此推斷出．
【詳解】解：四邊形是矩形，，，
由折疊的性質(zhì)可得：，
，，
，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線的軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長度為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)等邊對等角和折疊的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，則，然后代值計(jì)算求出，則．
【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，
又∵，∴，∴，即，
∴，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角等等，證明是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，若四邊形與四邊形關(guān)于原點(diǎn)位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到四邊形和四邊形相似，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形的面積是四邊形面積的4倍，
∴四邊形和四邊形的相似比為，
∵，∴第一象限內(nèi)點(diǎn) ，即，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換的概念和性質(zhì)，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．
9．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．

【答案】(1)，；(2)；(3)．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形和矩形可得，，，證明，進(jìn)而得出，設(shè)，則，根據(jù)，得出，求出，進(jìn)而可得出答案；（3）連接，先證明是等邊三角形，，得出，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，進(jìn)而求出，，，得出，可得當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．
【詳解】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，∴，∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如答案圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由矩形和矩形可得，，，
∴，，∴，
∴，，∴，，
∴，∴，
設(shè)，則，∴，
∵，∴，解得，∴；
（3）解：如答案圖2，連接，
∵矩形中，，，∴，，
∵，∴，，
∴，∴是等邊三角形，，∴，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，
∴，，，∴，
∴當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．
(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：_____；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則____．

【答案】(1)，(2)，，證明見解析
(3)(4)或
【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，
設(shè)交于點(diǎn)，∵
∴，故答案為：，．

（2）結(jié)論：，；
證明：∵，∴，即，
又∵，，∴∴，
∵，，∴，
∴，
（3），理由如下，∵，
∴，即，
又∵和均為等腰直角三角形∴，
∴，∴，
在中，，∴，∴；
（4）解：如圖所示，
連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，
延長至，使得，則是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵，∴∴，∴，
∵，在中，，
∴∴
過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，
在中，，在中，
∴∴解得：，則，
設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴
在中，∴∴
又，∴∴
∴，∴∴，
在中，
∴，
綜上所述，或 故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時(shí)期的帕提農(nóng)神廟（ ），我們把圖中的虛線表示為矩形，并發(fā)現(xiàn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割
【答案】D
【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案．
【詳解】解：∵，∴體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接，并延長交于點(diǎn)D，若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】證，再證，得則，則點(diǎn)D是的黃金分割點(diǎn)，求出的長，即可求解．
【詳解】解：，，
由題意得：平分，，
，，
∵，∴，
∴，∴，∴點(diǎn)D是的黃金分割點(diǎn)，，
，，，．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形滿足，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形是黃金矩形，對角線，相交于且，則關(guān)于黃金矩形，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B． C． D．矩形的周長
【答案】C
【分析】計(jì)算得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)求得各項(xiàng)，即可判斷．
【詳解】解：∵，且，∴，
∵四邊形是矩形，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
∴矩形的周長，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在外任取一點(diǎn)，連接、、，并分別取它們的中點(diǎn)、、，順次連接、、得到，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形
C．與的周長比是 D．與的面積比是
【答案】D
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出與是位似圖形，根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出與是相似圖形，再根據(jù)周長比等于位似比以及根據(jù)面積比等于相似比的平方即可解答．
【詳解】解：根據(jù)位似性質(zhì)可得：A、與是位似圖形，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、與是相似圖形，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，為中點(diǎn)，∴將的三邊縮小到原來的得到，
∴與的周長之比為1：2，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵面積比等于相似比的平方，
∴與的面積之比為1：4，故D選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且．點(diǎn)P為線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則線段的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作軸，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，得到，，設(shè)，，推出過點(diǎn)的直線是上，記直線與x軸交與點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，的長最短，證明，利用相似的性質(zhì)即可解題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作軸，即，
直線l：與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，，，
由旋轉(zhuǎn)可知：，，
，，
在和中，，，，，
設(shè)，．點(diǎn)中，．，即，
點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，記直線與x軸交與點(diǎn)N，
則，，，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，的長最短，
，，，，，
，，，．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、三角形全等的性質(zhì)和判定、垂線段最短，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造全等三角形，再靈活的運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理即可解題．
6．（2023·陜西西安·校考一模）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為8cm，則的長為 cm．（結(jié)果保留根號）

【答案】
【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)（），線段的長為，
∴，∴，
∴故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，則樹高 m．
【答案】6
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，證明，則，即，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，∵，∴，
∴，即，解得，，故答案為：6．
8．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，，，點(diǎn)D、E分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，折疊得到，且點(diǎn)落在邊上，若恰好與相似，的長為 ．

【答案】或
【分析】設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得到，分兩種情況：或，即可解決問題．
【詳解】解：設(shè)，∴，∵折疊得到，∴，
當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴；
當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，
∴長是或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是注意要分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可解決問題．
9．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，連接并延長至點(diǎn)F，使，連接，，連接并延長交于點(diǎn)G．若，則 ．

【答案】
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．如圖，延長、交于點(diǎn)H，由是等邊三角形，可知，，由，可得，證、是等邊三角形，則，，證明，則，即，證明，則，解得，證明，則，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，延長、交于點(diǎn)H，

∵是等邊三角形，∴，，
∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，
∵，，∴是等邊三角形，
∴，，∴，
∴，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，解得，
∵，，∴，∴，故答案為：．
10．（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，E是上一點(diǎn)，，連接，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，，則 ．

【答案】
【分析】根據(jù)，設(shè)，過作交于，根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)可得，，再延長、交于點(diǎn)，即可得到，求出，，然后根據(jù)得到，可以求出，最后求出即可．
【詳解】過作交于，延長、交于點(diǎn)，

∵∴設(shè)，
∵，∴設(shè)，，∴，
∵∴，∴，∴,
∵矩形，∴，
∴，∴
∴，，∴，
∵，∴
∴，整理得，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，難度比較大，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)表示線段并求出不同未知數(shù)的關(guān)系．
11．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若與是位似圖形且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；
(2)與的位似比為__________，面積比為__________．
【答案】(1)見解析(2)，
【分析】（1）連接、，兩線相交于點(diǎn)D，根據(jù)位似中心的概念、結(jié)合圖形解答即可；
（2）根據(jù)，，即可得出相似比和面積比．
【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標(biāo)為：．

（2）解：∵，，∴與的位似比為：，
與的面積比為：．故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】
(1)如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，連結(jié)，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求證：．
【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，在平行四邊形中，對角線交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求的長．
【拓展提升】(3)如圖3，在菱形中，對角線交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求菱形的邊長．
【答案】(1)見解析；(2)18；(3)．
【分析】（1）可證得 ， 從而 ， 進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）可證得 ，從而得出 ，進(jìn)而得出 ，從而 ， 設(shè) ，則 ， 從而得出 ， 從而求得 的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3） 延長 ，交于點(diǎn) ， 可得出 ， 從而 ， 進(jìn)而表示出 ，可證得 ， 從而 ，進(jìn)而求得 的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；
【詳解】（1）證明：∵，
（2）解：∵四邊形 是平行四邊形，
設(shè)，則
（舍），設(shè) ， 則 ，
（舍去），
（3）解：如圖，延長 ，交于點(diǎn) ，設(shè)則
∵四邊形 是菱形，
即
在 中，∵ 為 的中點(diǎn)，∴，∴，
∵，∴，∴，即 ，
∴ (舍去)，∴，即菱形 的邊長為
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、菱形的性質(zhì)，直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)， 相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形
1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，∵，，
∴，∴，
∵，∴，∵軸軸，，∴，
∵，∴，∴即，解得，
同理可得，，∴即，解得，
∴，
∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（ ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．
【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；
如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；
如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，
，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，∴，，
∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，
∴，即，在中，，
∴，∴，
當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)C與延長線上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長線于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤．
【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，
∵，∴．∴．∴．故正確；
∵，，∴．
∵，∴．故正確；
∵，∴．∴．
∵，∴．故正確；∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．∴與不相似．
∴．∴與不平行．故錯(cuò)誤；故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或
【分析】（1），點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則是的中位線，即可得出結(jié)論；（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，得出，則在同一個(gè)圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時(shí)，可得在同一個(gè)圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示與，即可求解．
【詳解】初步嘗試：（1）∵，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，∴；；故答案是：；
（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，∴，∴
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，
∴；
∵點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∴
又∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，∴
∴∴是等邊三角形，∴，即旋轉(zhuǎn)角
∴∴是等邊三角形，
又∵，∴,∴,
∴,∴,
（2）如圖所示，連接，∵，，
∴，,

∵,∴,
∴,設(shè)，則，
在中，，則，
在中，,∴,
解得：或（舍去）∴,
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，
∵，∴，設(shè)，則，
∵是的中位線，∴∴，
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，
∴∴，∵點(diǎn)在同一直線上，
∴∴，∴在同一個(gè)圓上，

∴∴
∵，∴；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，

∵∴在同一個(gè)圓上，
設(shè)，則，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
設(shè)，則，則，∴，
∵,∴，
∵∴∴
綜上所述，或
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，
①若，過作交于點(diǎn)，求證：；
②若時(shí)，則______．
（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．
（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請直接寫出的長．

【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或
【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，連接，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．
【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，
又∵，∴，，∴，
又∵，∴；②由①可得，
∴∴，又∵∴,故答案為：．
（2）∵在菱形中，，∴，，則，
∵，∴，∵∴，
∴，∵，∴,
又，∴，∴，
∴；
（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平行四邊形中，，，∴，,
∵，∴∴，∴∴
在中，，則，，
∴∴，∵，
∴∴∴∴
設(shè)，則，，，
∴解得：或，即或，
②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，
連接，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，，
∵∴∴∴∴，
∵∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，∴，，
∴，則，∴，
∴，
，∴∴，
即，∴即解得：（舍去）即；
③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，
∴，∵，∴，
∵，∴點(diǎn)不可能在邊上，綜上所述，的長為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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