資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五章 圓
第三節(jié) 與圓有關(guān)的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 正多邊形與圓 ☆☆ 從近年各地中考來，與圓相關(guān)的計算考查頻率還是比較高，主要結(jié)合圓周角和圓心角相關(guān)知識圍繞計算正多邊形相關(guān)知識、弧長、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關(guān)知識命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預(yù)測2024年各地中考還會延續(xù)這種命題趨勢，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目。
考點2 弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算 ☆☆
考點3 不規(guī)則圖形的面積的計算 ☆☆☆
■考點一　正多邊形的與圓
1）正多邊形的相關(guān)概念
正多邊形概念：各條邊 ，并且各個內(nèi)角也都 的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的 。
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的 。
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的 。
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的 。
2）正多邊形的常用公式 （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
邊長：；周長：；邊心距： ；面積： ；
內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長、半徑、邊心距的關(guān)系： 。
注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.
■考點二　弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算
1)設(shè)⊙O 的半徑為R，n°圓心角所對弧長為，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則
（1）弧長公式： ；（2）扇形面積公式： 或 ．
（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)= （其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）
（4）圓錐全面積公式：S圓錐全= （圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）
注：圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過程中進(jìn)行推導(dǎo)。
■考點三　不規(guī)則圖形的面積的計算
求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是 思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有： 法、 法、 法等。
■考點一　正多邊形與圓
◇典例1：（2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)為 ．
2．（2023·山東青島·一模）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
◇典例2：（2023·廣東湛江·校聯(lián)考三模）半徑為的圓內(nèi)接正六角形的邊長是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，若的半徑為2，則的邊長為 ．

2．（2022·甘肅武威·中考真題）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
◇典例3：（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））如圖，正八邊形的邊長為2，對角線、相交于點．則線段的長為 ．

2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的周長等于，則正六邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．
◇典例4：（2023年安徽省舒城縣中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，是的中點，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測）將正五邊形繞著它的中心O逆時針旋轉(zhuǎn)時，點A的對應(yīng)點為點，則的度數(shù)為 ．
■考點二　弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算
◇典例5：（2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長為 ．
3．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為，曲線終點為，過點的兩條切線相交于點，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為（ ）．

A． B． C． D．
◇典例6：（2023年內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的邊長為2，以點A為圓心，為半徑畫弧，得到扇形（陰影部分）．若扇形正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是 ．

◆變式訓(xùn)練
1．（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年新疆維吾爾自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是( )

A． B． C． D．
◇典例7：（2023年山東省東營市中考數(shù)學(xué)真題）如果圓錐側(cè)面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側(cè)面展開，展開圖（扇形）的圓心角是 度，該圓錐的側(cè)面積是 （結(jié)果用含的式子表示）．
2．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是 ．2．（2023.廣東九年級期末）若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120的扇形，則該圓錐的母線長是 ．
◇典例8：（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為，母線長為，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為 ．

2.（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是 ．
■考點三　不規(guī)則圖形的面積的計算
◇典例9：（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留與根號）

◆變式訓(xùn)練
1．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留）

2．（2023年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，分別過點A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點P，則圖中陰影部分的面積是 ．

◇典例10：（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為(　　)

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
3．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形內(nèi)接于，半徑，則圖中陰影部分的面積是 ，（結(jié)果保留）
◇典例11：（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，，，點為的中點，以為圓心，長為半徑作半圓，交于點，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．
2.（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，扇形中，，，點為上一點，將扇形沿折疊，使點的對應(yīng)點落在射線上，則圖中陰影部分的面積為_________．
3．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點與點重合，點與點重合，則圖中陰影部分的面積為 ．
◇典例12：（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則 ．（結(jié)果保留根號）

◆變式訓(xùn)練
1. （2023·吉林白山·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5，圓心角為的扇形中，陰影部分的面積；在半徑為2的圓中，陰影部分的面積為，則 （結(jié)果保留π）．
2.（2022·湖南婁底·中考真題）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在扇形中，，平分交于點D，點C是半徑上一動點，若，則陰影部分周長的最小值為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．20
5.（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（　　）
A． B． C．3 D．
6.（2023年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點C為圓錐母線的中點，為底面圓的直徑，，，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）

A．5 B． C． D．
7．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（　　）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
8．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點A，則的度數(shù)為______度．
9．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）．

10．（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是 ．

11．（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請說明理由．(3)從點A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
1．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為的小正六邊形的中心重合，且與邊，相交于點，．圖中陰影部分的面積記為，三條線段，，的長度之和記為，在大正六邊形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，和的值分別是( )
A．， B．， C．， D．和的值不能確定
2．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測）如圖，是正五邊形的內(nèi)切圓，分別切，于點M，N，P是優(yōu)弧上的一點，則的度數(shù)為( )

A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個半徑為R、圓心角為90°的扇形；和一半徑為的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與的關(guān)系為（ ）
　
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．如圖，若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積來近似估計的面積，設(shè)的半徑為2，則的值為 ．（結(jié)果保留和根號）
6．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，在圓中內(nèi)接一個正五邊形，有一個大小為的銳角頂點在圓心上，這個角繞點任意轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，扇形與扇形有重疊的概率為，求 ．
7．（2023·河南周口·校考模擬預(yù)測）如圖，扇形的圓心角，將扇形沿射線平移得到扇形，已知線段經(jīng)過的中點，若，則陰影部分的周長為 ．

8．（2023·陜西咸陽·校考三模）德國著名數(shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級時得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件．下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知是的直徑，分別以，為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點，兩點…”．若的長為，則圖中的長為 ．（結(jié)果保留）

9．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的中，沿弦折疊，恰好經(jīng)過圓心O，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π） ．
10．（2024·山東泰安·一模）如圖，把長為，寬為的矩形紙片分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則 ．
11．（2023·湖南湘西·校考二模）在數(shù)學(xué)實踐活動中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制作了一個扇形，并由這個扇形圍成一個圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為2，則此圓錐的母線長為 ．

12．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
1．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，點，分別在對角線和上，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣西欽州·校考模擬預(yù)測）如圖，在每個小正方形的邊長均為2的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，格點A，D的連線交圓弧于點E，則圖中陰影部分面積為 ．
3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個正六邊形組成的壁掛置物架，軸對稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計），，則的長為 ．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點到的距離與線段的長度之比為，則圓弧的半徑為 ．
4．（2023·浙江溫州·校考三模）杭州奧體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂點，正八邊形頂點與圓心O共線，正二十四邊形頂點，與正八邊形頂點，共線，則的值為 ；穹頂開啟時，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時繞著固定點，，…，逆時針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，以此類推，當(dāng)落在上時，若米，則的值為 米．

5．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【問題提出】
正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑和中心角有什么關(guān)系？
【問題探究】
如圖①，是等邊三角形，半徑，是中心角，是內(nèi)任意一點，到各邊距離、、分別為，設(shè)的邊長是，面積為．過點作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
聯(lián)立①②得
∴
∴
【問題解決】如圖②，五邊形是正五邊形，半徑，是中心角，是五邊形內(nèi)任意一點，到五邊形各邊距分別為、、、、，參照（1）的分析過程，探究的值與正五邊形的半徑及中心角的關(guān)系．
【性質(zhì)應(yīng)用】（1）正六邊形（半徑是）內(nèi)任意一點到各邊距離之和_______．
（2）如圖③，正邊形（半徑是）內(nèi)任意一點到各邊距離之和______．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五章 圓
第三節(jié) 與圓有關(guān)的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 正多邊形與圓 ☆☆ 從近年各地中考來，與圓相關(guān)的計算考查頻率還是比較高，主要結(jié)合圓周角和圓心角相關(guān)知識圍繞計算正多邊形相關(guān)知識、弧長、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關(guān)知識命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預(yù)測2024年各地中考還會延續(xù)這種命題趨勢，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目。
考點2 弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算 ☆☆
考點3 不規(guī)則圖形的面積的計算 ☆☆☆
■考點一　正多邊形與圓
1）正多邊形的相關(guān)概念
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
2）正多邊形的常用公式 （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
邊長：；周長：；邊心距： ；面積： ；
內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長、半徑、邊心距的關(guān)系： 。
注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.
■考點二　弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算
1)設(shè)⊙O 的半徑為R，n°圓心角所對弧長為，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則
（1）弧長公式： ；（2）扇形面積公式： 或 ．
（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=πrl （其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）
（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2 （圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）
注：圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過程中進(jìn)行推導(dǎo)。
■考點三　不規(guī)則圖形的面積的計算
求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：割補(bǔ)法、等積變換法、圖形變換法等。
■考點一　正多邊形與圓
◇典例1：（2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；
正三角形和正五邊形就不是中心對稱圖形，故②為假命題；
正六邊形中由外接圓半徑與邊長可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長相等，故③為真命題；
根據(jù)軸對稱圖形的定義和正多邊形的特點，可知正n邊形共有n條對稱軸，故④為真命題.故選：C．
【點睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)為 ．
【答案】18
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，則，
故這個正多邊形的邊數(shù)為18，故答案為：18．
【點睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東青島·一模）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．
【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，
∵，∴，∴這個正多邊形的邊數(shù)為．故選：A．
【點睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．
◇典例2：（2023·廣東湛江·校聯(lián)考三模）半徑為的圓內(nèi)接正六角形的邊長是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知進(jìn)而即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，∵正六邊形內(nèi)接于圓，∴，

∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故選B．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，若的半徑為2，則的邊長為 ．

【答案】
【分析】先在圖上作出邊心距對應(yīng)的線段，連接，在直角中，，求出的長即可．
【詳解】解：是的內(nèi)接正三角形；，
過作于，連接，則長為邊心距，如下圖，

在直角中，，，，
，，故答案為．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握基本概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·甘肅武威·中考真題）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如圖，連接CF與AD交于點O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【詳解】連接CF與AD交于點O，∵為正六邊形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長為4mm，故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
◇典例3：（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，由可得，可得，而，可得為等邊三角形，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，

∴，，，∴，∴，即，
∴，∴，而，∴為等邊三角形，
∴，∴多邊形的邊數(shù)為：，故選B
【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））如圖，正八邊形的邊長為2，對角線、相交于點．則線段的長為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，，即可．
【詳解】解：如圖，過點作于，由題意可知，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，

在中，，，，
同理，，故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的周長等于，則正六邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，根據(jù)圓的周長得到圓的半徑，再利用正六邊形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：連接，作于點，
∵的周長等于，∴的半徑為：，
∵六邊形是正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∴，
∴，∴，
∴，故選．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形中心角等于，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正六邊形的面積，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．
【答案】
【分析】如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得： 由正六邊形是中心對稱圖形可得： 可得直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，
由正六邊形是軸對稱圖形可得：
由正六邊形是中心對稱圖形可得：
∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，
由正六邊形的性質(zhì)可得：為等邊三角形， 而
則 故答案為：
【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．
◇典例4：（2023年安徽省舒城縣中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，是的中點，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先計算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計算即可．
【詳解】如圖，連接，∵正六邊形，是的中點，
∴，，
∴，∴，故選Ｃ．
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：

∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠COD= =60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答關(guān)鍵．
2．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測）將正五邊形繞著它的中心O逆時針旋轉(zhuǎn)時，點A的對應(yīng)點為點，則的度數(shù)為 ．
【答案】/138度
【分析】作出圖形，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角求出的度數(shù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，∵五邊形為正五邊形，

∴，，∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，，
∵，∴，
∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查正多邊形，旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正五邊形的特點．
■考點二　弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算
◇典例5：（2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，得到，，得出半徑，再計算弧長即可．
【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，，，，，
，，，，，
，，
故的半徑為，
的弧長．故選A
【點睛】此題考查弧長的計算，弧長的計算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．
【詳解】解：弧的半徑，圓心角，∴，故選：B．
【點睛】題目主要考查弧長公式，熟練掌握運用弧長公式是解題關(guān)鍵．
2．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，計算半徑為的圓周長的五分之一即可．
【詳解】解：由題意得，半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長是半徑為的圓周長的五分之一，所以，故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握弧長、圓周長計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
3．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為，曲線終點為，過點的兩條切線相交于點，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由轉(zhuǎn)角為可得，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)弧長公式計算即可．
【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵過點的兩條切線相交于點，∴,
∴,∴．故選B．
【點睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)、弧長公式等知識點，根據(jù)題意求得是解答本題關(guān)鍵．
◇典例6：（2023年內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的邊長為2，以點A為圓心，為半徑畫弧，得到扇形（陰影部分）．若扇形正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是 ．

【答案】
【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計算即可．
【詳解】解：∵正六邊形的外角和為，∴每一個外角的度數(shù)為，
∴正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，
設(shè)這個圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意得，，解得，故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵，，，∴，，
∵，∴，
∴，∴，故選：C．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識，求出是解答的關(guān)鍵．
2．（2023年新疆維吾爾自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.
【點睛】本題考查圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
◇典例7：（2023年山東省東營市中考數(shù)學(xué)真題）如果圓錐側(cè)面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式，進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個圓錐的底面半徑是，依題意，∴故選：A．
【點睛】本題考查了求圓錐底面半徑，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側(cè)面展開，展開圖（扇形）的圓心角是 度，該圓錐的側(cè)面積是 （結(jié)果用含的式子表示）．
【答案】 120
【分析】根據(jù)勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進(jìn)而得出底面周長，即圓錐展開圖的弧長，根據(jù)圓錐母線為圓錐的側(cè)面展開圖的半徑，結(jié)合扇形弧長公式和面積公式，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：圓錐底面半徑，∴該圓錐底面周長，
∵圓錐母線長為3，∴該圓錐的側(cè)面展開圖的半徑為3，∴，解得：，
即展開圖（扇形）的圓心角是120度，圓錐的側(cè)面積，故答案為：120，．
【點睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握弧長，扇形面積．
2．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是 ．
【答案】12
【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高．
【詳解】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式變形可得，
根據(jù)圓錐母線公式，可得，故答案為：12．
【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023.廣東九年級期末）若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120的扇形，則該圓錐的母線長是 ．
【答案】6
【分析】先根據(jù)圓錐的底面半徑求出底面圓周長，也就是側(cè)面圖扇形的弧長，再利用弧長公式求出扇形半徑，也就是圓錐的母線．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑是2，∴底面圓周長是，即展開后的扇形弧長是，
根據(jù)弧長公式：，得，解得，即該圓錐的母線長是6．故答案是：6．
【點睛】本題考查扇形和圓錐的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式，以及圓錐和側(cè)面展開的扇形的關(guān)系．
◇典例8：（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長求得半徑為，根據(jù)母線長求得展開后的扇形的圓心角為，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵這個圓錐的底面圓周長為，∴解得：
∵解得：∴側(cè)面展開圖的圓心角為
如圖所示，即為所求，過點作，∵，，則
∵，則∴，，故選：B．

【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開圖的圓心角為解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為，母線長為，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為 ．

【答案】
【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，把圓錐的側(cè)面展開得到圓心角為，半徑為的扇形，求出扇形中的圓心角所對的弦長即為最短路徑．將圓錐中的數(shù)據(jù)對應(yīng)到展開圖中是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開如圖，過點S作，

∴，設(shè)，即：，得：，
∵，，∴，∴
∴，∴．故答案為：．
2.（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是 ．
【答案】18
【分析】連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角∠ABC為n．利用弧長公式可求出n的值，根據(jù)兩點間線段最短可得AC為這根繩子的最短長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用∠CBD的正弦值求出AC的長即可得答案．
【詳解】如圖，連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．
∵兩點間線段最短，∴AC為這根繩子的最短長度，
∵圓錐的底面半徑是，∴，∴=，解得：，
∵BD⊥AC，BC=AB，∴∠CBD=∠ABC=60°，CD=AC，
∴CD=BC·sin60°=×=9，∴AC=2CD=18，故答案為：18
【點睛】此題考查了圓錐的計算、等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
■考點三　不規(guī)則圖形的面積的計算
◇典例9：（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留與根號）

【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點

∵將沿弦翻折，使點與圓心重合，∴，
又∴，∴是等邊三角形，
∴，，∴,
∴陰影部分面積故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留）

【答案】
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，
∵，∴，∴的半徑為，
∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，分別過點A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點P，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】
【分析】連接，，證明四邊形是正方形，由勾股定理求得，根據(jù)陰影部分面積求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，

∵、是的切線，∴，，
∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴四邊形是正方形，
∵，∴，∴，
∴陰影部分面積故答案為：．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)、正方形的判定得出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
◇典例10：（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是正方形，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，∴四邊形是矩形，

∵，∴四邊形是正方形，∴，，
∴圖中陰影部分面積，故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先證明，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．
【詳解】如圖，連接，，
∵等圓和相交于A，B兩點∴,
∵和是等圓∴∴是等邊三角形∴
∵,,∴
∴．故選：D．
【點睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，
由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點共線，為等邊三角形，

∴，，∴，
∴扇形與扇形重合，∴，
∵為等邊三角形，，過作于，
∴，，，
∴；故選C
【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形內(nèi)接于，半徑，則圖中陰影部分的面積是 ，（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】本題主要考查三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，利用扇形面積的公式計算可求解．
【詳解】解：為等邊三角形，，，
的半徑為3，，故答案為：．
◇典例11：（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形和扇形的面積，再減去的面積即可得．
【詳解】解：是等腰直角三角形，，
，∴圖中陰影部分的面積是
，故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，，，點為的中點，以為圓心，長為半徑作半圓，交于點，則圖中陰影部分的面積是（　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，，作交于點，首先根據(jù)勾股定理求出的長度，然后利用解直角三角形求出、的長度，進(jìn)而得到是等邊三角形，，然后根據(jù)角直角三角形的性質(zhì)求出的長度，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，作交于點

∵在中，，，，∴，
∵點為的中點，以為圓心，長為半徑作半圓，∴是半圓的直徑，∴，
∵，∴，，
又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，
∵，，∴，
∴．故選：C．
【點睛】本題考查了角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾股定理等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
2.（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，扇形中，，，點為上一點，將扇形沿折疊，使點的對應(yīng)點落在射線上，則圖中陰影部分的面積為_________．
【答案】2π+4–4
【分析】連接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，求得AB=，由折疊可得：，，則，設(shè)OC=x，則=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S陰影=S扇形-2S△AOC求解即可．
【詳解】解：連接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=，
由折疊可得：，，∴，設(shè)OC=x，則=2-x，
在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，
S陰影=S扇形-2S△AOC===2π+4–4，故答案為：2π+4–4．
【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求出OC長是解題關(guān)鍵．
3．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點與點重合，點與點重合，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】連接，作于點，，即可求得弧和以及圍成的重疊部分的面積，則重疊部分的面積即可求得．本題考查了扇形的面積的計算，正確理解不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和、差計算是關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，作于點．
，，，，
在直角中，，則，
則弧和以及圍成的陰影部分的面積是：，
則．故答案是：．
◇典例12：（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則 ．（結(jié)果保留根號）

【答案】/
【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計算圓錐的底面半徑即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，∵，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，
解得：，，∴；故答案為：
【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長的計算，圓錐的底面半徑的計算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長是解本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·吉林白山·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5，圓心角為的扇形中，陰影部分的面積；在半徑為2的圓中，陰影部分的面積為，則 （結(jié)果保留π）．
【答案】
【分析】此題主要考查了扇形面積公式以及陰影部分面積求法，正確轉(zhuǎn)化陰影圖形的形狀是解題關(guān)鍵．由圖形可知等于半徑為5，圓心角為的扇形的面積減去半徑為2的圓的面積．
【詳解】解：，故答案為．
2.（2022·湖南婁底·中考真題）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)勾股定理，得出AD=，同時在Rt△BOD中，OD=，進(jìn)而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出答案．
【詳解】解：令內(nèi)切圓與BC交于點D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，
由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，
令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圓中的黑色部分的面積與的面積之比為．故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積，等邊三角形的面積以及勾股定理求邊長，正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵．
1．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，
，，的長．故選：．
【點睛】本題考查的是弧長的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在扇形中，，平分交于點D，點C是半徑上一動點，若，則陰影部分周長的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作點D關(guān)于對稱點，連接、、，則最小值為的長度，即陰影部分周長的最小值為．利用角平分線的定義可求得，進(jìn)而利用勾股定理和弧長公式求得和即可．
【詳解】解：如圖，作點D關(guān)于對稱點，連接、、，

則，，，
∴，當(dāng)A、C、共線時取等號，此時，最小，即陰影部分周長的最小，最小值為．
∵平分，，∴，∴，
在中，，∴，
又，∴陰影部分周長的最小值為，故選：A．
【點睛】本題考查弧長公式、勾股定理、角平分線的定義、軸對稱性質(zhì)，能利用軸對稱性質(zhì)求解最短路徑問題是解答的關(guān)鍵．
3．（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點作的垂直平分線，作的垂直平分線，設(shè)與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后根據(jù)，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：如圖：作的垂直平分線，作的垂直平分線，設(shè)與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，

由題意得：，，，
∴，∴是直角三角形，∴，
∵，∴
，故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．20
【答案】D
【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵矩形內(nèi)接于，∴
∴陰影部分的面積是
，故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5.（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．
【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形，過點作交于點于點，
∵，∴，則，
故正十二邊形的面積為，圓的面積為，
用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計的面積可得，故選：C．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
6.（2023年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點C為圓錐母線的中點，為底面圓的直徑，，，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，先根據(jù)直徑求出底面周長，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可求出圓錐的側(cè)面展開后的圓心角，可得是等邊三角形，即可求解．
【詳解】解：連接，如圖所示，

∵為底面圓的直徑，，設(shè)半徑為r,∴底面周長，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的圓心角為，∵圓錐母線，
根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可得：，解得：，∴，
∵半徑，∴是等邊三角形，
在中，，∴螞蟻爬行的最短路程為，故選：B．
【點睛】本題考查平面展開—最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，化曲面為平面，用三角函數(shù)求解．
7．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（　　）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【分析】連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長公式求出弧的長即可．
【詳解】解：連接、，
六邊形為正六邊形，，
，為等邊三角形，，
，，
的長為．故選：D．
【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點A，則的度數(shù)為______度．
【答案】12
【分析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．
【詳解】連接AO，如圖，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多邊形AHIJK是正五邊形，∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案為：12．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識，掌握正多邊形中心角的計算方法是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正八邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）．

【答案】
【分析】先利用正八邊形求出圓心角的度數(shù)，再利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：由題意，，∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形與圓，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積，正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為．
10．（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是 ．

【答案】
【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設(shè)正六邊形的邊長為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內(nèi)角為，∴

過點作于，∴
設(shè)正六邊形的邊長為1，則，，∴故答案為：．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請說明理由．(3)從點A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
【答案】(1)(2)是正三角形，理由見解析(3)
【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；
（3）運用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．
(1)解：∵正五邊形．∴，
∴，
∵，∴(優(yōu)弧所對圓心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：連接，
由作圖知：,∵，∴，
∴是正三角形，∴，∴，
同理，∴，即，∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
1．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為的小正六邊形的中心重合，且與邊，相交于點，．圖中陰影部分的面積記為，三條線段，，的長度之和記為，在大正六邊形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，和的值分別是( )
A．， B．， C．， D．和的值不能確定
【答案】A
【分析】連接，作，垂足為，證明，再利用平行四邊形的面積公式和正六邊形的性質(zhì)即可得到陰影部分的面積和的長度．
【詳解】解：連接，作，垂足為，
∵多邊形是正六邊形，∴，
∵，∴和是等邊三角形，∵，∴，，
∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，掌握全等三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測）如圖，是正五邊形的內(nèi)切圓，分別切，于點M，N，P是優(yōu)弧上的一點，則的度數(shù)為( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出，根據(jù)切線的定義得出，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得．
【詳解】解：五邊形是正五邊形，，
切，于點M，N，，
又五邊形的內(nèi)角和為，
，，故選C．
【點睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和問題，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)圓錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點E，過點E作DE⊥AC于點D，則AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC為等腰直角三角形， ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，圓柱體內(nèi)液體的體積為：
圓錐的體積為，設(shè)此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此時“沙漏”中液體的高度3cm．故選：B．
【點睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．
4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個半徑為R、圓心角為90°的扇形；和一半徑為的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與的關(guān)系為（ ）
　
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
【答案】B
【分析】根據(jù)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，根據(jù)弧長公式計算即可得答案．
【詳解】扇形的弧長是：=，圓的半徑為r，則底面圓的周長是，
∵恰好圍成如圖所示的圓錐，∴=，∴R=4r，故選：B．
【點睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．如圖，若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積來近似估計的面積，設(shè)的半徑為2，則的值為 ．（結(jié)果保留和根號）
【答案】
【分析】根據(jù)中心角公式得到，過作于，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：由題意得，，
過作于，則是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形和圓、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
6．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，在圓中內(nèi)接一個正五邊形，有一個大小為的銳角頂點在圓心上，這個角繞點任意轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，扇形與扇形有重疊的概率為，求 ．
【答案】/度
【分析】根據(jù)題意可得出扇形與扇形有重疊的概率即為組成的扇形圓心角與的比值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵在圓中內(nèi)接一個正五邊形，∴每個正五邊形的中心角為，
∵轉(zhuǎn)動過程中，扇形與扇形有重疊的概率為
∴解得：．故答案為：．
【點睛】此題考查了幾何概率以及正五邊形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出概率與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
7．（2023·河南周口·校考模擬預(yù)測）如圖，扇形的圓心角，將扇形沿射線平移得到扇形，已知線段經(jīng)過的中點，若，則陰影部分的周長為 ．

【答案】
【分析】連接，根據(jù)為的中點，扇形的圓心角，得出，求出，證明，根據(jù)求出結(jié)果即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：

∵為的中點，扇形的圓心角，∴，
∵，∴，∴，
根據(jù)平移可知，，∴，∴，
∴，∴陰影部分的周長為：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·陜西咸陽·校考三模）德國著名數(shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級時得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件．下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知是的直徑，分別以，為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點，兩點…”．若的長為，則圖中的長為 ．（結(jié)果保留）

【答案】/
【分析】連接，，，，根據(jù)，是等邊三角形，則，推出，根據(jù)弧長公式：，即可．
【詳解】連接，，，，∴，
∴，是等邊三角形，∴，∴，
∵，∴的長為：，故答案為：．

【點睛】本題考查圓的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，得到圓心角，弧長公式：．
9．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的中，沿弦折疊，恰好經(jīng)過圓心O，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π） ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積計算，解直角三角形；
過O作于D，交劣弧于E，易得陰影部分面積與扇形的面積相等，然后根據(jù)求出，再利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過O作于D，交劣弧于E，
由題意可得，陰影部分面積與扇形的面積相等，
∵的半徑為2，恰好經(jīng)過圓心O，∴，，
∴在中，，∴，
∴陰影部分的面積，故答案為：．
10．（2024·山東泰安·一模）如圖，把長為，寬為的矩形紙片分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
設(shè)圓錐的底面的半徑為，，則，，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到，解方程求出r，然后計算即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為，則，，
根據(jù)題意得，整理，得，
則， 即：故答案為：．
11．（2023·湖南湘西·校考二模）在數(shù)學(xué)實踐活動中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制作了一個扇形，并由這個扇形圍成一個圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為2，則此圓錐的母線長為 ．

【答案】
【分析】設(shè)此圓錐的母線長為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到，然后解方程即可．
【詳解】解：設(shè)母線長為l，則，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
12．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
【答案】/
【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角的度數(shù)，然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得．
【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開圖如下：
如圖，連接、，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為，
因為圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，
所以，解得，則，
又，是等邊三角形，
點為的中點，，，在中，，
由兩點之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓錐側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．
1．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，點，分別在對角線和上，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作交于，連接，，交于點，與相交于點，設(shè)，則，同時可說明為的中位線，得，，分別求出兩個三角形的面積，可得答案．
【詳解】解：在正六邊形中，設(shè)，
作交于，連接，，交于點，與相交于點，

，，
：：：，，，為的中位線，
，，，
，：的值為：，故選：D．
【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，表示出兩個三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣西欽州·校考模擬預(yù)測）如圖，在每個小正方形的邊長均為2的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，格點A，D的連線交圓弧于點E，則圖中陰影部分面積為 ．
【答案】
【分析】找出圓心，根據(jù)勾股定理即可求出半徑，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式求出即可．
【詳解】解：如圖，作、的垂直平分線，兩線交于，連接、、，
由圖形可知是等腰直角三角形，，，
，，
．故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，確定圓心，扇形的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．
3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個正六邊形組成的壁掛置物架，軸對稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計），，則的長為 ．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點到的距離與線段的長度之比為，則圓弧的半徑為 ．
【答案】 20
【分析】設(shè) 的圓心是 ，作 于 ，連接 ，由正六邊形的性質(zhì)求出 ， 的長， 由直角三角形的性質(zhì)， 等腰三角形的性質(zhì)求出 的長，得到 的長，由勾股定理列出關(guān)于 半徑的方程， 即可解決問題；
【詳解】解：設(shè) 的圓心 是 ，作 于 ，連 接 ，
∵ 是圓弧最高點，∴ 在 上，∵兩個多邊形是正六邊形，
∴ ，
∴，∴ 是等邊三角形，
三點共線，
∵四邊形 是矩形，∴
∵圓弧最高點 到 的距離與線段 的長度之 比為 ，
∴ 到 的距離是 ，
設(shè) 的半徑是 ，
∴ 的半徑是 故答案為：
【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識點求出正六邊形的邊長， 的長， 的長得到 的長，由勾股定理列出關(guān)于 半徑的方程
4．（2023·浙江溫州·校考三模）杭州奧體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂點，正八邊形頂點與圓心O共線，正二十四邊形頂點，與正八邊形頂點，共線，則的值為 ；穹頂開啟時，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時繞著固定點，，…，逆時針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，以此類推，當(dāng)落在上時，若米，則的值為 米．

【答案】 /
【分析】如圖：過O作,連接，運用正多邊形的性質(zhì)說明,,進(jìn)而得到、，然后代入計算即可；如圖：由題意可得,，，運用勾股定理可求得，再運用計算即可．
【詳解】解：如圖：過O作,連接，
∴，,
∵，∴,,
∴， ∴,,∴，
∵∴，
∴，∴，
∴,∴．

由題意可知：,，，
∴，即，解得：，
∴．故答案為，．
【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識點，理解題意、正確計算是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【問題提出】
正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑和中心角有什么關(guān)系？
【問題探究】
如圖①，是等邊三角形，半徑，是中心角，是內(nèi)任意一點，到各邊距離、、分別為，設(shè)的邊長是，面積為．過點作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
聯(lián)立①②得
∴
∴
【問題解決】如圖②，五邊形是正五邊形，半徑，是中心角，是五邊形內(nèi)任意一點，到五邊形各邊距分別為、、、、，參照（1）的分析過程，探究的值與正五邊形的半徑及中心角的關(guān)系．
【性質(zhì)應(yīng)用】（1）正六邊形（半徑是）內(nèi)任意一點到各邊距離之和_______．
（2）如圖③，正邊形（半徑是）內(nèi)任意一點到各邊距離之和______．
【答案】【問題解決】：；【性質(zhì)應(yīng)用】：（1）；（2）
【分析】問題解決：設(shè)正五邊形的邊長是a，面積為S，得到，O為正五邊形的中心，連接、、、、，它們將五邊形分成五個全等的等腰三角形，過點O作，垂足為Q，中表示出、、后即可表示出與正多邊形的半徑R的關(guān)系式；
性質(zhì)應(yīng)用：（1）同【問題探究】的方法，可得答案；（2）總結(jié)規(guī)律可表示出正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和與半徑R和中心角的關(guān)系．
【詳解】解：【問題解決】設(shè)正五邊形的邊長是，面積為，顯然，
為正五邊形的中心，連接，它們將五邊形分成五個全等的等腰三角形，
過點作，垂足為，
∴，，∴，
∴，，
∴，∴，
∴∴
即：∴
【性質(zhì)應(yīng)用】（1）同【問題解決】可得：正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和，故答案為：；
（2）正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和，
.
【點睛】本題考查多邊形的綜合題，涉及正多邊形和圓，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知正多邊形各元素與外接圓之間的關(guān)系．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑