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2024年中考數學一輪復習精講精練
模塊五 四邊形
專題1 多邊形與平行四邊形
多邊形 定義 在同一平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．[
對角線 從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數為．
內角和 n邊形的內角和為(n-2)·180°
外角和 外角和為360°
正多邊形 定義 在平面內,各內角都相等,各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形.
內角 外角 正n邊形的每個內角為，每一個外角為。
對稱性 （1）正n邊形有n條對稱軸. （2）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。
平行四邊形 定義 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
性質 （1）平行四邊形的對邊平行且相等，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四邊形的對角相等，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四邊形的對角線互相平分，即OA＝OC，OB＝OD .
判定 （1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是平行四邊形. （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是平行四邊形. （3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是平行四邊形. （4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是平行四邊形. （5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），則四邊形ABCD是平行四邊形.
【題型一】多邊形的有關計算
【例1.1】（2023 襄陽）五邊形的外角和等于（　?。?br/>A．180° B．360° C．540° D．720°
解：五邊形的外角和是360°．
故選：B．
【例1.2】（2023 蘭州）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1＝（　　）
A．45° B．60° C．110° D．135°
解：∵正八邊形的外角和為360°，
∴每一個外角為360°÷8＝45°．
故選：A．
【例1.3】（2023 新疆）若正多邊形的一個內角等于，則這個正多邊形的邊數是 ______．
解：設這個正多邊形是正n邊形，根據題意得：
，
解得：．
故答案為：10．
【例1.4】（2023 重慶）若七邊形的內角中有一個角為100°，則其余六個內角之和為 　800°?。?br/>解：由題意可得七邊形的內角和為：（7﹣2）×180°＝900°，
∵該七邊形的一個內角為100°，
∴其余六個內角之和為900°﹣100°＝800°，
故答案為：800°．
【例1.5】（2022 甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（　?。?br/>A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如圖所示，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，
∴AF約為4mm，
故選：D．
【題型二】平行四邊形的性質
【例2.1】（2023 成都）如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是（　?。?br/>A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
解：A．錯誤．平行四邊形的對角線互相平分，但不一定相等，不合題意；
B．正確．因為平行四邊形的對角線互相平分，符合題意；
C．錯誤．平行四邊形的對角線不一定垂直，不合題意；
D．錯誤．平行四邊形的對角相等，但鄰角不一定相等，不合題意；
故選：B．
【例2.2】（2023 涼山州）如圖， ABCO的頂點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點B的坐標是 　 ?。?br/>解：如圖，延長BC交y軸于點D，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y軸，
∴BC⊥y軸，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案為：（4，2）．
【例2.3】（2023 株洲）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分線AE交線段CD于點E，則EC＝　 　．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形；
∴AD∥BC，DC＝AB．
∴∠DEA＝∠EAB，
∵∠DAB的平分線AE交DC于點E，
∴∠EAB＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD＝3，AB＝5，
∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故答案為：2．
【例2.4】（2023 瀘州）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD＝4，CD＝6，則EO的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中點，O是BD的中點，
∴EO是△DPB的中位線，
∴EO＝PB＝1，
故選：A．
【例2.5】（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，FA．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面積＝1．
【例2.6】（2023 綿陽）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：BE∥DF；
（2）過點O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點M，若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE與△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周長為12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四邊形BEDF的周長為24．
【題型三】平行四邊形的判定
【例3.1】（2023 衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【答案】C
【解答】解：A．因為AD∥BC，AD＝BC，因此由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；
B．因為AD∥BC，AB∥DC，因此由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；
C．AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C符合題意；
D．因為AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意；
故選：C．
【例3.2】（2023 無錫）如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，延長DE到點F，使得EF＝DE，連接CF．求證：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四邊形DBCF是平行四邊形．
證明：（1）∵點D、E分別為AB、AC的中點，
∴AE＝CE，
在△CEF與△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（SAS）；
（2）由（1）證得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∵點D、E是AB、AC的中點，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四邊形DBCF是平行四邊形．
【例3.3】（2023 長沙）如圖，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長和△ADF的面積．
（1）證明：在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
過D作DH⊥AF交FA的延長線于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD=3，
∴DH=＝3，
∴△ADF的面積＝AF×DH=6×3=9．
【題型四】平行四邊形的性質與判定綜合
【例4.1】（2023 杭州）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若的面積等于2，求的面積．
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形．
（2）解：，，
，
四邊形是平行四邊形，
．
【例4.2】（2023 揚州）如圖，點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，連接AF、CE相交于點M，連接AG、CH相交于點N．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若 AMCN的面積為4，求 ABCD的面積．
解：（1）∵點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四邊形AFCH是平行四邊形，
∴AM∥CN，
同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，
∴AN∥CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）如圖所示，連接AC，
∵H，G分別是AD，CD的中點，
∴點N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
∴S△ACN＝S△ACH，
又∵CH是△ACD的中線，
∴S△ACN＝S△ACD，
又∵AC是平行四邊形AMCN和平行四邊形ABCD的對角線，
∴S平行四邊形AMCN＝S平行四邊形ABCD，
又∵ AMCN的面積為4，
∴ ABCD的面積為12．
【例4.3】（2022 賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．
(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形
，即．
四邊形AFCE是平行四邊形．
(2)解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，
平行四邊形AFCE是菱形．
，
在中，，
．
．
1．（2023 北京）正十二邊形的外角和為（　?。?br/>A．30° B．150° C．360° D．1800°
解：因為多邊形的外角和為360°，所以正十二邊形的外角和為：360°．
故選：C．
2．（2023 益陽）如圖， ABCD的對角線AC，BD交于點O，下列結論一定成立的是（　?。?br/>A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故選：C．
3．（2022 達州）如圖，在中，點D，E分別是，邊的中點，點F在的延長線上．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（ ）
A． B． C． D．
解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=AC，
A．根據∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．
B．根據DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確．
C．根據AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．
D．根據AD=CF，FD∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．故選：B．
4．（2022 嘉興）如圖，在中，，點E，F，G分別在邊，，上，，，則四邊形的周長是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
解∶∵，，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴FG=AE，AG=EF，
∵，∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，
∴四邊形的周長是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故選：C
5．（2022 恩施）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點P從點D出發，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動．設點P的運動時間為t（單位：s），下列結論正確的是（ ）
A．當時，四邊形ABMP為矩形 B．當時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當時， D．當時，或6s
解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、當時，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項不符合題意；
B、當時，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項不符合題意；
作CE⊥AD于點E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ與CD不平行，作MF⊥AD于點F，CE⊥AD于點E，
∴四邊形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，
∴四邊形CDPM是平行四邊形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4 s；
綜上，當PM=CD時，t=4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；故選：D．
6．（2023 揚州）如果一個多邊形每一個外角都是60°，那么這個多邊形的邊數為 　6　．
解：多邊形的邊數是：360°÷60°＝6，
∴這個多邊形的邊數是6．
故答案為：6．
7．（2022 泰安）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點B的坐標為 ?。ī?，﹣1）?。?br/>解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，且A（﹣1，2），D（3，2），
∴點A是點D向左平移4個單位所得，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1）．
答案：（﹣2，﹣1）．
8．（2023 蘭州）如圖，在 ABCD中，，于點E，若，則______．

解：∵，，
∴，，
∵ ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
9．（2023 淄博）如圖，在 ABCD中，E，F分別是邊BC和AD上的點，連接AE，CF，且AE∥CF．
求證：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF．
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴∠1＝∠2（平行四邊形對角相等）．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE＝FC，AF＝CE，
∴BE＝FD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
10．（2023 涼山州）如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB＝∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的長．
（1）證明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知， ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝=＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的長為．
11．（2023 青島）如圖，在 ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠DCB的平分線交AD于點F，點G，H分別是AE和CF的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF．若EF＝AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結論．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分線AE、CF分別交BC、AD于點E、F，
∴∠BAE＝∠DAE∠BAD，∠BCF＝∠DCF∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．
（2）證明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵點G、H分別為AE、CF的中點，
∴GE∥FH，GE＝FH，
∴四邊形FGEH是平行四邊形
∵EF＝AF，G為AE的中點，
∴GF⊥AE，
∴四邊形FGEH是矩形．
1．（2023 永州）下列多邊形中，內角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．三角形內角和是，故選項不符合題意；
B．四邊形內角和為，故選項符合題意；
C．五邊形內角和為，故選項不符合題意；
D．六邊形內角和為，故選項不符合題意．
故選：B．
2．（2023 綿陽）蜜蜂的蜂巢美觀有序，從入口處看，蜂巢由許多正六邊形構成，則正六邊形的對稱軸有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．9條
解：如圖，正六邊形的對稱軸有6條．
故答案為：C．
3．（2023 安徽）如圖，正五邊形內接于，連接，則（ ）

A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故選D．
4.（2022 樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，∴BF=3，故選：B．
5．（2023 湖北）若正n邊形的一個外角為72°，則n＝　5　．
解：∵正n邊形的一個外角為72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案為：5．
6．（2023 福建）如圖，在 ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F．若AE＝10，則CF的長為 　10　．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O為BD的中點，
∴OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD﹣DF＝AB﹣BE，
∴CF＝AE＝10．
故答案為：10．
7．（2023 濟南）已知：如圖，點O為 ABCD對角線AC的中點，過點O的直線與AD，BC分別相交于點E，F．求證：DE＝BF．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵點O為對角線AC的中點，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
8．（2023 南充）如圖，在 ABCD中，點E，F在對角線AC上，∠CBE＝∠ADF．
求證：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF與△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
9．（2023 雅安）如圖，已知E，F是 ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延長線于點H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求 ABCD的面積．
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，
∴CH＝3BH，
∵CH⊥AB于H，
∴∠H＝90°，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，
∴（）2＝BH2+（3BH）2，
解得BH＝1，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，
∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
∴S ABCD＝AB CH＝3×3＝9．
10．（2022 溫州）如圖，在中，于點D，E，F分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當，時，求的長．
(1)解：（1）∵E，F分別是，的中點，
∴，
∴，，
∵O是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
(2)
∵，E是中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴．
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模塊五 四邊形
專題1 多邊形與平行四邊形
多邊形 定義 在同一平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．[
對角線 從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數為．
內角和 n邊形的內角和為(n-2)·180°
外角和 外角和為360°
正多邊形 定義 在平面內,各內角都相等,各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形.
內角 外角 正n邊形的每個內角為，每一個外角為。
對稱性 （1）正n邊形有n條對稱軸. （2）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。
平行四邊形 定義 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
性質 （1）平行四邊形的對邊平行且相等，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四邊形的對角相等，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四邊形的對角線互相平分，即OA＝OC，OB＝OD .
判定 （1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； 即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是平行四邊形. （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是平行四邊形. （3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是平行四邊形. （4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是平行四邊形. （5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），則四邊形ABCD是平行四邊形.
【題型一】多邊形的有關計算
【例1.1】（2023 襄陽）五邊形的外角和等于（　?。?br/>A．180° B．360° C．540° D．720°
【例1.2】（2023 蘭州）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1＝（　?。?br/>A．45° B．60° C．110° D．135°
【例1.3】（2023 新疆）若正多邊形的一個內角等于，則這個正多邊形的邊數是 ______．
【例1.4】（2023 重慶）若七邊形的內角中有一個角為100°，則其余六個內角之和為 　 　．
【例1.5】（2022 甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（　　）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【題型二】平行四邊形的性質
【例2.1】（2023 成都）如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是（?。?br/>A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
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【例2.2】（2023 涼山州）如圖， ABCO的頂點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點B的坐標是 　 ?。?br/>【例2.3】（2023 株洲）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分線AE交線段CD于點E，則EC＝　 ?。?br/>【例2.4】（2023 瀘州）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD＝4，CD＝6，則EO的長為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【例2.5】（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，FA．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
【例2.6】（2023 綿陽）如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：BE∥DF；
（2）過點O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點M，若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長．
【題型三】平行四邊形的判定
【例3.1】（2023 衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【例3.2】（2023 無錫）如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，延長DE到點F，使得EF＝DE，連接CF．求證：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四邊形DBCF是平行四邊形．
【例3.3】（2023 長沙）如圖，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長和△ADF的面積．
【題型四】平行四邊形的性質與判定綜合
【例4.1】（2023 杭州）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若的面積等于2，求的面積．
【例4.2】（2023 揚州）如圖，點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，連接AF、CE相交于點M，連接AG、CH相交于點N．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若 AMCN的面積為4，求 ABCD的面積．
【例4.3】（2022 賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．
1．（2023 北京）正十二邊形的外角和為（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
2．（2023 益陽）如圖， ABCD的對角線AC，BD交于點O，下列結論一定成立的是（　?。?br/>A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
3．（2022 達州）如圖，在中，點D，E分別是，邊的中點，點F在的延長線上．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 嘉興）如圖，在中，，點E，F，G分別在邊，，上，，，則四邊形的周長是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
5．（2022 恩施）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點P從點D出發，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動．設點P的運動時間為t（單位：s），下列結論正確的是（ ）
A．當時，四邊形ABMP為矩形 B．當時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當時， D．當時，或6s
6．（2023 揚州）如果一個多邊形每一個外角都是60°，那么這個多邊形的邊數為 　 ?。?br/>7．（2022 泰安）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點B的坐標為 　 　．
8．（2023 蘭州）如圖，在 ABCD中，，于點E，若，則______．

9．（2023 淄博）如圖，在 ABCD中，E，F分別是邊BC和AD上的點，連接AE，CF，且AE∥CF．
求證：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
10．（2023 涼山州）如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB＝∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的長．
11．（2023 青島）如圖，在 ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠DCB的平分線交AD于點F，點G，H分別是AE和CF的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF．若EF＝AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結論．
1．（2023 永州）下列多邊形中，內角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 綿陽）蜜蜂的蜂巢美觀有序，從入口處看，蜂巢由許多正六邊形構成，則正六邊形的對稱軸有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．9條
3．（2023 安徽）如圖，正五邊形內接于，連接，則（ ）

A． B． C． D．
4.（2022 樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（ ）
A．4 B．3 C． D．2
5．（2023 湖北）若正n邊形的一個外角為72°，則n＝ ?。?br/>6．（2023 福建）如圖，在 ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F．若AE＝10，則CF的長為 　 ?。?br/>7．（2023 濟南）已知：如圖，點O為 ABCD對角線AC的中點，過點O的直線與AD，BC分別相交于點E，F．求證：DE＝BF．
8．（2023 南充）如圖，在 ABCD中，點E，F在對角線AC上，∠CBE＝∠ADF．
求證：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
9．（2023 雅安）如圖，已知E，F是 ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延長線于點H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求 ABCD的面積．
10．（2022 溫州）如圖，在中，于點D，E，F分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當，時，求的長．

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