資源簡介

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2024年中考數(shù)學一輪復(fù)習精講精練
模塊五 四邊形
專題1 特殊的平行四邊形
矩形 定義 有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
性質(zhì) （1）平行四邊形全部性質(zhì) （2）特殊性質(zhì)：①四個角都是直角. ②矩形的對角線互相平分且相等
判定 ①有三個角是直角的四邊形是矩形; ②對角線相等的平行四邊形是矩形; ③有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
面積 設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,則S矩形=ab.
菱形 定義 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
性質(zhì) （1）平行四邊形全部性質(zhì) （2）特殊性質(zhì)： ①菱形的四條邊相等 ②兩條對角線互垂直平分,且每一條對角線平分一組對角.
判定 ①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形; ②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形; ③四條邊都相等的四邊形是菱形.
面積 方法一：菱形的面積等于對角線乘積的一半。 方法二：菱形的面積等于底乘高。
正方形 定義 有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形.
性質(zhì) （1）正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì). （2）正方形的四個角都是直角，四條邊相等. （3）正方形的對角線相等且互相垂直平分.
判定 （1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形. （2）對角線互相垂直的矩形是正方形. （3）有一個角是直角的菱形是正方形. （4）對角線相等的菱形是正方形.
正方形的模型 十字架模型 條件：正方形ABCD，AM⊥BN 條件：正方形ABCD，EF⊥HQ 結(jié)論：AM=BN 結(jié)論：EF=FQ
對角線模型
半角模型 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°連接EF． 結(jié)論：EF=BE+DF． 證明：延長CD至點G使得DG=BE【截長】 易證：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45° 易證：△AFE≌△AFG（SAS）→ EF=GF 綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．
中點+折疊模型
【題型一】矩形的性質(zhì)與判定
【例1.1】（2023 杭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若∠AOB＝60°，則（　?。?br/>A． B． C． D．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BCAB，
∴，
答案：D．
【例1.2】（2023 臺州）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點E，使BE＝BC，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，則BF的長為 　?。?br/>解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
答案：．
【例1.3】（2023 濱州）如圖，矩形的對角線相交于點，點分別是線段上的點．若，則的長為___________．

解：如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，

∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
設(shè)
在中，
∴
∴，
∴
∴
解得：
∴
在中，，
在中，
∴，
故答案為：．
【例1.4】（2023 大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點，連接AC，AE，延長AE，BC交于點F，連接DF，∠ACF＝90°．
（1）求證：四邊形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）45．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E為線段CD的中點，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∵∠ACF＝90°，
∴四邊形ACFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面積＝△ACF的面積＝××5×12＝15，
平行四邊形ABCD的面積＝BC AC＝5×12＝60，
∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．
【例1.5】（2023 北京）如圖，在 ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求證：四邊形AECF是矩形；
（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB，求BC的長．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC＝EF，
∴平行四邊形AECF是矩形；
（2）解：∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE，AB＝2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BEAB，
∵tan∠ACB，
∴EC＝2AE＝2，
∴BC＝BE+EC23，
即BC的長為3．
【例1.6】（2023 新疆）如圖，AD和BC相交于點O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點E、F分別是AO、DO的中點．
（1）求證：OE＝OF；
（2）當∠A＝30°時，求證：四邊形BECF是矩形．
證明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AOB與△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AO＝DO，
∵點E、F分別是AO、DO的中點，
∴OE=OA，OF=OD，
∴OE＝OF；
（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∵∠A＝30°，
∴OB=OA=OE，
∵OE＝OF，
∴OB=EF，
∴∠EBF＝90°，
∴四邊形BECF是矩形．
【題型二】菱形的性質(zhì)與判定
【例2.1】（2023 湖南）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
解：∵四邊形是菱形
∴，
∴，
∵，
∴,
故選：C．
【例2.2】（2023 麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（　?。?br/>A． B．1 C． D．
解：如圖，連接BD交AC于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故選：D．
【例2.3】（2023 樂山）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（　?。?br/>A．2 B． C．3 D．4
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB＝＝5，
∵E為邊BC的中點，
∴OE＝BC＝．
故選：B．
【例2.4】（2023 湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點M，N，連接MD，BN．
（1）求證：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點O，如圖：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四邊形BMDN為平行四邊形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形．
【例2.5】（2023 嘉興）如圖，在菱形中，于點，于點，連接

(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
（1）證明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
（2）解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等邊三角形．
．
【例2.6】（2023 隨州）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求四邊形的面積．
（1）解：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵矩形中，，
∴平行四邊形是菱形；
（2）解：矩形的面積為，
∴的面積為，
∴菱形的面積為．
【例2.7】（2023 蘭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點F，G，連接DE．
（1）判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；
（2）當CD＝4時，求EG的長．
解：（1）四邊形OCDE是菱形，理由如下：
∵CD∥OE，
∴∠FDC＝∠FOE，
∵CE是線段OD的垂直平分線，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，
在△FDC和△FOE中，
，
∴△FDC≌△FOE（ASA），
∴CD＝OE，
又ED＝OE，CD＝CO，
∴ED＝OE＝CD＝CO，
∴四邊形OCDE是菱形．
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，
∵CE是線段OD的垂直平分線，
∴CD＝CO，
∴CD＝CO＝DO，
∴△ODC為等邊三角形，
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，
∴，
在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，
由勾股定理得：，
由（1）可知：四邊形OCDE是菱形，
∴，
∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，
∴，
∴，
∴．
【題型三】正方形的性質(zhì)與判定
【例3.1】（2023 丹東）如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE＝CF＝5，則BG的長為 　　．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠C，
又∵∠EBG＝∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，
∴BF＝，
∴，
∴BG=．
故答案為：．
【例3.2】（2023 宜賓）如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（　?。?br/>
A． B． C． D．
解：四邊形是邊長為6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
設(shè)，則，，
，
解得，
，，
，
故選：C．
【例3.3】（2023 重慶）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于（　?。?br/>A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，如圖所示：
則AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，
答案：A．
【例3.4】（2023 綿陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點G是BC上的一點，且BG＝3GC，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F，則tan∠EDF的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AGB，
∵BG＝3CG，
∴BG＝3，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴AG，
∵DE⊥AG，
∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△GAB，
∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，
∴4：5＝AE：3＝DE：4，
∴AE，DE，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴EF＝AF﹣AE，
∴tan∠EDF，
答案：A．
【例3.5】（2023 大連）如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在BC的延長線上，且CE＝2．連接AE，∠DCE的平分線與AE相交于點F，連接DF，則DF的長為 　 ?。?br/>解：如圖，過F作FM⊥BE于M，F(xiàn)N⊥CD于 N，則四邊形CMFN是矩形，F(xiàn)M∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四邊形CMFN是正方形，
設(shè)FM＝CM＝NF＝CN＝a，則ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得：DF，
答案：．
【例3.6】（2023 十堰）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請說明當平行四邊形ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形是正方形？
（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：
∵平行四邊形ABCD的對角線交于點，
∴，
∵以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，
∴且時，四邊形是正方形．
【例3.7】（2023 黃石）如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，且BM＝CN，AN與DM相交于點P．
（1）求證：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大?。?br/>（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°，
∵BM＝CN，
∴BC﹣CN＝AB﹣BM，即BN＝AM，
在△ABN和△DAM中，
∴△ABN≌△DAM（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP＝∠ADM，
∴∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，
∴∠APM＝180°﹣（∠MAP+∠AMP）＝90°．
【例3.8】（2023 紹興）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點（與點B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足．連接EF，AG，并延長AG交EF于點H．
（1）求證：∠DAG＝∠EGH；
（2）判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．
（1）證明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH．
（2）解：AH⊥EF，理由如下．
連結(jié)GC交EF于點O，如圖：
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四邊形FCEG為矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
【題型四】特殊的平行四邊形的折疊問題
【例4.1】（2023 武威）如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6
解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，
∴，與互相平分，
∴四邊形是菱形，
∵，，
∴菱形的面積為．
故選：B
【例4.2】（2022 雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為 _____．
解：∵ 把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3
∴AD=BC=9，AD//BC，AB=CD=3，∠EBD=∠CBD
∴∠ADB=∠CBD
∴∠EBD=∠ADB
∴FB=DF
∴AF=AD-FD=9-FB
∴FB2=32+(9-FB)2
∴FB=DF=5
∴S陰影=×FD×AB=×5×3=7.5
故答案為：7.5
【例4.3】（2023 揚州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長為 　 ?。?br/>解：如圖，連接BB'，過點F作FH⊥AD，
∵已知正方形ABCD的邊長為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，
∴S四邊形ABFE，
設(shè)CF＝x，則DH＝x，BF＝1﹣x，
∴S四邊形ABFE，
即，
解得AE＝x，
∴DE＝1﹣AE，
∴EH＝ED﹣HD，
由折疊的性質(zhì)可得BB'⊥EF，
∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C，
∴△EHF≌△B'CB（ASA），
∴EH＝B'C，
在Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2，
∴（1﹣x）2＝x2+（）2，
解得x．
答案：．
【例4.4】（2023 湖北）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應(yīng)點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．
∴．
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如圖，延長交于點．
∵，
∴．
又∵，正方形邊長為3，
∴
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．

【題型五】特殊的平行四邊形的線段最值問題
【例5.1】（2023 雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為 　?。?br/>解：如圖，連接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝6，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四邊形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂線段最短可得，當CP⊥AB時，線段DE的值最小，
此時，AP＝BP，
∴CP＝AB＝3，
∴DE的最小值為3，
故答案為：3．
【例5.2】（2023 德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（　?。?br/>A．1 B． C． D．3
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四邊形OCFD為菱形，
∵點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，
∴當GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．
過D點作DM⊥AC于M，過G點作GP⊥AC與P，則GP∥MD，
∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G為CD的中點，
∴GP為△DMC的中位線，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值為1．
故選：A．
【例5.3】（2022 赤峰）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
解：如圖：連接BE，
，
∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對稱，
∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小
∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，點，∴，，
∴∴△CDB是等邊三角形 ∴
∵點是的中點，∴,且BE⊥CD，
∴
故選：A．
【例5.4】（2022 賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．
解：如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH為等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，
∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四邊形ADKF為矩形，
∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周長最小為．
故答案為：
【例5.5】（2023 隨州）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為___________；的最大值為___________．

解：由題意可得的面積等于矩形的一半，
∴的面積為，
在中，，
∴當最大時，即最大，
由題意可得點N是在以D為圓心4為半徑的圓上運動，當射線與圓相切時，最大，此時C、N、M三點共線，如圖：

由題意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案為：，．
1．（2023 上海）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項A不符合題意；
B、∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項B不符合題意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的長為AD與BC間的距離，
∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，故選項D不符合題意；
答案：C．
2．（2023 呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（　?。?br/>A．2 B．3 C．2 D．3
解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點O．
∵線段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝＝6．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．
故選：A．
3．（2023 西藏）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（　?。?br/>A． B．3 C． D．6
解：過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵兩條紙條寬度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
，在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AE＝3cm，
∴AB＝＝2（cm），
∴BC＝2cm，
∴四邊形ABCD的面積＝AE BC＝6cm2．
故選：D．
4．（2022 營口）如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵，∴∠BFC=∠CDE，
∵把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，
∴BC=EC，
在△BFC與△CDE中，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=，
故選：A．
5．（2023 常德）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（　?。?br/>A．80° B．90° C．105° D．115°
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故選：C．
6．（2022 廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE + PF的最小值是（　?。?br/>A．2 B． C．1.5 D．
解：取AB中點G點，連接PG，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E點、G點分別為AD、AB的中點，
∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點E、點G關(guān)于對角線AC軸對稱，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知當G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，
如下圖，G、P、F三點共線，連接FG，
∵F點是DC中點，G點為AB中點，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四邊形AGFD是平行四邊形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值為2，
故選：A．
7．（2023 聊城）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點O，連接，，過點C作，交的延長線于點F，連接．若，，則四邊形的面積為______．
.
解：∵，
∴，
∵的垂直平分線交于點，
∴，，
∴，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，，，
∴平行四邊形為菱形，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故菱形的面積為，
故答案為：24．
8．（2022 畢節(jié)）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．
解：∵，
∴，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴則PQ的最小值為，
故答案為：．
9．（2023 內(nèi)江）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則___________．

解：連接，

四邊形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
10．（2023 棗莊）如圖，在正方形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，F(xiàn)為的中點，若的周長為32，則的長為___________．

解：的周長為32，
．
為DE的中點，
．
，
，
，
，
．
四邊形是正方形，
，O為BD的中點，
是的中位線，
．
故答案為：．
11．（2022 內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
12．（2023 浙江）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連結(jié)EF．
（1）求證：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE與△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等邊三角形．
∴∠AEF＝60°．
13．（2022 邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴平行四邊形AECF是矩形，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
14．（2023 云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE＝AF，
∴四邊形AECF是菱形；
（2）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵△ABE的面積等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四邊形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一個外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行線AB與DC間的距離是．
15．（2022 泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．
（1）求證：AF與DE互相平分；
（2）當線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．
（1）證明：∵點D是AB的中點，
∴AD＝AB，
∵點E是AC的中點，點F是BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；
（2）解：當AF＝BC時，四邊形ADFE為矩形，
理由：∵線段DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四邊形ADFE是平行四邊形，
∴四邊形ADFE為矩形．
16．（2022 廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
（1）證明：∵E為AB中點，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
1．（2023 南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（　　）
A． B． C． D．
解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，
∴△CBD≌△EBD（SSS），
∴∠CBD＝∠EBD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴OB＝OD，
設(shè)AO＝x，則OD＝8﹣x，
∴OB＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴tan∠ABE＝＝．
故選：C．
2．（2023 重慶）如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（ ）

A．2 B． C．1 D．
解：如圖，連接，

四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在與,
，
，
，
，
O為對角線的中點，
，
故選：D．
3．（2023 福建）如圖，在菱形中，，則的長為___________．

解：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴．
故答案為：10．
4．（2023 甘肅武威）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．

解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案為：．
5．（2023 懷化）如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．

(1)證明：；
(2)連接、，證明：四邊形是菱形．
（1）證明：如圖所示，

∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
在與中
，
∴；
（2）∵
∴，
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是菱形．
6．（2022 聊城）如圖，△ABC中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．
（1）求證：AD＝CF；
（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．
（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵點E是AC的中點，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：當AC⊥BC時，四邊形ADCF是菱形，證明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵點D是AB的中點，
∴CD＝AB＝AD，
∴四邊形ADCF是菱形．
7．（2023 云南）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．
（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵分別是的平分線，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：連接，

∵，，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵的面積等于，
∴，
∴平行線與間的距離．
8．（2022 德陽）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設(shè)點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴EH∥FG，
由題意知BF＝2t cm，EH＝t cm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝t cm，
∴EH＝FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵∠FGH＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）△BFC與△DCE能夠全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，sin∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2t cm，
∴EH＝t cm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴當BF＝DE時，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
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模塊五 四邊形
專題1 特殊的平行四邊形
矩形 定義 有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
性質(zhì) （1）平行四邊形全部性質(zhì) （2）特殊性質(zhì)：①四個角都是直角. ②矩形的對角線互相平分且相等
判定 ①有三個角是直角的四邊形是矩形; ②對角線相等的平行四邊形是矩形; ③有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
面積 設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,則S矩形=ab.
菱形 定義 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
性質(zhì) （1）平行四邊形全部性質(zhì) （2）特殊性質(zhì)： ①菱形的四條邊相等 ②兩條對角線互垂直平分,且每一條對角線平分一組對角.
判定 ①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形; ②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形; ③四條邊都相等的四邊形是菱形.
面積 方法一：菱形的面積等于對角線乘積的一半。 方法二：菱形的面積等于底乘高。
正方形 定義 有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形.
性質(zhì) （1）正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì). （2）正方形的四個角都是直角，四條邊相等. （3）正方形的對角線相等且互相垂直平分.
判定 （1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形. （2）對角線互相垂直的矩形是正方形. （3）有一個角是直角的菱形是正方形. （4）對角線相等的菱形是正方形.
正方形的模型 十字架模型 條件：正方形ABCD，AM⊥BN 條件：正方形ABCD，EF⊥HQ 結(jié)論：AM=BN 結(jié)論：EF=FQ
對角線模型
半角模型 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°連接EF． 結(jié)論：EF=BE+DF． 證明：延長CD至點G使得DG=BE【截長】 易證：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45° 易證：△AFE≌△AFG（SAS）→ EF=GF 綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．
中點+折疊模型
【題型一】矩形的性質(zhì)與判定
【例1.1】（2023 杭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若∠AOB＝60°，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【例1.2】（2023 臺州）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點E，使BE＝BC，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，則BF的長為 　?。?br/>【例1.3】（2023 濱州）如圖，矩形的對角線相交于點，點分別是線段上的點．若，則的長為___________．

【例1.4】（2023 大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點，連接AC，AE，延長AE，BC交于點F，連接DF，∠ACF＝90°．
（1）求證：四邊形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．
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【例1.5】（2023 北京）如圖，在 ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求證：四邊形AECF是矩形；
（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB，求BC的長．
【例1.6】（2023 新疆）如圖，AD和BC相交于點O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點E、F分別是AO、DO的中點．
（1）求證：OE＝OF；
（2）當∠A＝30°時，求證：四邊形BECF是矩形．
【題型二】菱形的性質(zhì)與判定
【例2.1】（2023 湖南）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【例2.2】（2023 麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（　　）
A． B．1 C． D．
【例2.3】（2023 樂山）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（　?。?br/>A．2 B． C．3 D．4
【例2.4】（2023 湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點M，N，連接MD，BN．
（1）求證：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．
【例2.5】（2023 嘉興）如圖，在菱形中，于點，于點，連接

(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【例2.6】（2023 隨州）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求四邊形的面積．
【例2.7】（2023 蘭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點F，G，連接DE．
（1）判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；
（2）當CD＝4時，求EG的長．
【題型三】正方形的性質(zhì)與判定
【例3.1】（2023 丹東）如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE＝CF＝5，則BG的長為 　　．
【例3.2】（2023 宜賓）如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【例3.3】（2023 重慶）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于（　?。?br/>A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
【例3.4】（2023 綿陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點G是BC上的一點，且BG＝3GC，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F，則tan∠EDF的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【例3.5】（2023 大連）如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在BC的延長線上，且CE＝2．連接AE，∠DCE的平分線與AE相交于點F，連接DF，則DF的長為 　 　．
【例3.6】（2023 十堰）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請說明當平行四邊形ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形是正方形？
【例3.7】（2023 黃石）如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，且BM＝CN，AN與DM相交于點P．
（1）求證：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大?。?br/>【例3.8】（2023 紹興）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點（與點B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足．連接EF，AG，并延長AG交EF于點H．
（1）求證：∠DAG＝∠EGH；
（2）判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．
【題型四】特殊的平行四邊形的折疊問題
【例4.1】（2023 武威）如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6
【例4.2】（2022 雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為 _____．
【例4.3】（2023 揚州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長為 　 ?。?br/>【例4.4】（2023 湖北）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應(yīng)點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【題型五】特殊的平行四邊形的線段最值問題
【例5.1】（2023 雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為 　　．
【例5.2】（2023 德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（　?。?br/>A．1 B． C． D．3
【例5.3】（2022 赤峰）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【例5.4】（2022 賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．
【例5.5】（2023 隨州）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當射線交線段于點P時，連接，則的面積為___________；的最大值為___________．

1．（2023 上海）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
2．（2023 呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
3．（2023 西藏）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（　?。?br/>A． B．3 C． D．6
4．（2022 營口）如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023 常德）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（　　）
A．80° B．90° C．105° D．115°
6．（2022 廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE + PF的最小值是（　?。?br/>A．2 B． C．1.5 D．
7．（2023 聊城）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點O，連接，，過點C作，交的延長線于點F，連接．若，，則四邊形的面積為______．
.
8．（2022 畢節(jié)）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．
9．（2023 內(nèi)江）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則___________．

10．（2023 棗莊）如圖，在正方形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，F(xiàn)為的中點，若的周長為32，則的長為___________．

11．（2022 內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
12．（2023 浙江）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連結(jié)EF．
（1）求證：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．
13．（2022 邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．
14．（2023 云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．
15．（2022 泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．
（1）求證：AF與DE互相平分；
（2）當線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．
16．（2022 廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
1．（2023 南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023 重慶）如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（ ）

A．2 B． C．1 D．
3．（2023 福建）如圖，在菱形中，，則的長為___________．

4．（2023 甘肅武威）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．

5．（2023 懷化）如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．

(1)證明：；
(2)連接、，證明：四邊形是菱形．
6．（2022 聊城）如圖，△ABC中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．
（1）求證：AD＝CF；
（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．
7．（2023 云南）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．
8．（2022 德陽）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設(shè)點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

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