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微專題01 向量共線定理與等和線
題型一：向量共線定理
題型二：“雞爪”模型
題型三：等和線
1.向量共線定理
如果a≠0，b與a平行的充要條件是，存在唯一實數λ，使得 b=λa.
2.三點共線
(1) A、B、C三點共線的充要條件是，存在唯一實數λ，使得
(2) A、B、C三點共線的充要條件是，平面上任取一點O，存在唯一實數對（λ，μ），使得，且λ+μ=1.
3.平面向量基本定理
e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
基底：若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
4.“雞爪”模型
三角形ABC中,當點D在直線BC上，若（注意向量的方向及的正負），則有
.
“雞爪”模型的系數具有以下性質:
(1) （參照三點共線的充要條件）
(2)當點D在線段BC內部時，系數都是正數.
(3)當點D在線段BC外部時，系數一正一負（離哪個點遠，則對應向量的系數為負）.
(4)當點D在線段BC端點時，系數一個為0，一個為1.
5.等和線
平面內一組基底及任一向量，，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立.則我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
(1)當等和線恰為直線AB時，k=1；
(2)當等和線在O點和直線AB之間時，；
(3)當直線AB在點O與等和線之間時，；
(4)當等和線過O點時，k=0；
(5)若兩等和線關于O點對稱，則定值k互為相反數.
(6) 定值的變化與等和線到點的距離成正比.
題型一：向量共線定理
【例1】（2023·高一期末測試）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·高一校聯考期中）已知所在平面內的一點滿足，則點必在（ ）
A．的外面 B．的內部
C．邊上 D．邊上
【變式2】已知與為非零向量，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式3】（2024·上海閔行·高一校考期末）是所在平面內一點，，則點必在（ ）
A．內部 B．在直線上
C．在直線上 D．在直線上
題型二：“雞爪”模型
【例2】在△ABC中，，，若點D滿足，以作為基底，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】如圖，在中，，是上的一點，若，則 .
【變式2】（2024·福建泉州·高一校考階段練習）如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點點N與點C不重合，設，，則的最小值為（ ）
A．2 B．
C． D．
【變式3】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯考期末）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式4】（2024·河北滄州·高三周測）如右圖所示，已知點是的重心，過點作直線與，兩邊分別交于，兩點，且，，則的最小值為
A． B．
C． D．
三、等和線
【例1】如圖，分別是射線上的點，給出下列以為起點的向量:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) .
其中終點落在陰影區域(不包括邊界)內的向量的序號是 . (寫出滿足條件的所有向量的序號).
【變式1】設向量 不共線( 為坐標原點)，若，且，則點所有可能的位置區域用陰影表示正確的是( )
A. B.
C. D. C
【變式2】在中，是邊上的動點且，則當 取得最大值時，的值為 .
【變式3】如圖所示，，點在由射線 、射線段 及 的延長線圍成的陰影區域內 (不含邊界) 運動，且 則的取值范圍是 ，當 時，的取值范圍是 .
【變式4】已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內一點(不含邊界)且，則實數x的取值范圍為 .
【例2】如圖，是圓上的三點，且線段的延長線與線段的延長線交于圓外的點，若 ，則的取值范圍是 .
【變式1】如圖，腰長為4的等腰三角形中，，動圓的半徑，圓心在線段（含端點）上運動，為圓上及其內部的動點，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如圖，在邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段（含端點）上運動，是圓上及內部的動點，設向量（，為實數），則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
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微專題01 向量共線定理與等和線
題型一：向量共線定理
題型二：“雞爪”模型
題型三：等和線
1.向量共線定理
如果a≠0，b與a平行的充要條件是，存在唯一實數λ，使得 b=λa.
2.三點共線
(1) A、B、C三點共線的充要條件是，存在唯一實數λ，使得
(2) A、B、C三點共線的充要條件是，平面上任取一點O，存在唯一實數對（λ，μ），使得，且λ+μ=1.
3.平面向量基本定理
e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
基底：若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
4.“雞爪”模型
三角形ABC中,當點D在直線BC上，若（注意向量的方向及的正負），則有
.
“雞爪”模型的系數具有以下性質:
(1) （參照三點共線的充要條件）
(2)當點D在線段BC內部時，系數都是正數.
(3)當點D在線段BC外部時，系數一正一負（離哪個點遠，則對應向量的系數為負）.
(4)當點D在線段BC端點時，系數一個為0，一個為1.
5.等和線
平面內一組基底及任一向量，，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立.則我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
(1)當等和線恰為直線AB時，k=1；
(2)當等和線在O點和直線AB之間時，；
(3)當直線AB在點O與等和線之間時，；
(4)當等和線過O點時，k=0；
(5)若兩等和線關于O點對稱，則定值k互為相反數.
(6) 定值的變化與等和線到點的距離成正比.
題型一：向量共線定理
【例1】（2023·高一期末測試）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵與共線，∴存在實數，使得.①
又∵與共線，
∴存在實數，使得.②
由①得，.
∴，
∴即.
∴
故選：D.
【變式1】（2024·高一校聯考期中）已知所在平面內的一點滿足，則點必在（ ）
A．的外面 B．的內部
C．邊上 D．邊上
【答案】C
【解析】因為，可得，所以.
可得A、B、C三點共線，所以點P在邊AB上.
故選：C.
【變式2】已知與為非零向量，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】由題意知，三點共線，故,
且共線，
故不妨設，則，
所以，解得，
故選：D
【變式3】（2024·上海閔行·高一校考期末）是所在平面內一點，，則點必在（ ）
A．內部 B．在直線上
C．在直線上 D．在直線上
【答案】B
【解析】
，
，
，即與共線
∴點一定在邊所在直線上.
故選：B．
題型二：“雞爪”模型
【例2】在△ABC中，，，若點D滿足，以作為基底，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，因，則，即，解得：.
也可以直接利用“雞爪”模型，因為，所以
故選：A.
【變式1】如圖，在中，，是上的一點，若，則 .
【答案】
【解析】通過圖形可知，三點共線，設，則，又，即，所以.
可得，解得.
【變式2】（2024·福建泉州·高一校考階段練習）如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點點N與點C不重合，設，，則的最小值為（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】為的重心，
又在線段上，
故選：．
【變式3】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯考期末）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】若是的中點，連接，點G是的重心，則必過，且，
由題設，又共線，
所以，即，注意，

由
，當且僅當，即時等號成立，
故目標式最小值為1.
故選：A
【變式4】（2024·河北滄州·高三周測）如右圖所示，已知點是的重心，過點作直線與，兩邊分別交于，兩點，且，，則的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，，三點共線，
所以，所以
又因為是重心，
所以，
所以，
所以，化簡得，
由基本不等式得
當且僅當即時，等號成立，
故選：C
三、等和線
【例1】如圖，分別是射線上的點，給出下列以為起點的向量:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) .
其中終點落在陰影區域(不包括邊界)內的向量的序號是 . (寫出滿足條件的所有向量的序號).
【答案】(1)(3)
【解析】由向量共線的充要條件可得，當點在直線上時，存在唯一的一對有序實數 ，使得 成立，且，
所以點落在陰影區域內的充要條件是:滿足，且 .
(1)因為，所以點落在陰影區域內，故正確: 同理(3)正確，(2)(4)不正確，
(5)原式 ，而，故不符合條件，
綜上可知，只有(1)(3)正確.
【變式1】設向量 不共線( 為坐標原點)，若，且，則點所有可能的位置區域用陰影表示正確的是( )
A. B.
C. D. C
【答案】
【解析】利用特殊情況排除：
當時，，故點所有可能的位置區域應該包括邊界 或 的一部分，故排除 項.故選.
【變式2】在中，是邊上的動點且，則當 取得最大值時，的值為 .
【答案】
【解析】因為點在邊上，且，所以，
當 取得最大值時，根據均值不等式可知，此時是的中點，
所以.
【變式3】如圖所示，，點在由射線 、射線段 及 的延長線圍成的陰影區域內 (不含邊界) 運動，且 則的取值范圍是 ，當 時，的取值范圍是 .
【答案】； .
【解析】根據題意，由平行四邊形法則易得；
如圖，作直線，交直線于點，點，點，且，
當 時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，，
故的取值范圍為.
【變式4】已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內一點(不含邊界)且，則實數x的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖所示，在線段BD上取一點G，使得，
設DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；
過點G作GH∥DE，分別交DF AE于K H，
連接FH，則點K H為臨界點；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以實數x的取值范圍是().
故答案為：().
【例2】如圖，是圓上的三點，且線段的延長線與線段的延長線交于圓外的點，若 ，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】令，則由點在圓外，且在的延長線上可知.
由 得.
由 三點共線可得.
【變式1】如圖，腰長為4的等腰三角形中，，動圓的半徑，圓心在線段（含端點）上運動，為圓上及其內部的動點，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當點取圓與交線上的點時，
由平面向量基本定理可知：，故排除，.
當點與點重合，且點取圓與的交線上最靠近的點時，
如圖所示：
，，，，故排除
故選：A
【變式2】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如圖，在邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段（含端點）上運動，是圓上及內部的動點，設向量（，為實數），則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由，
根據題設，，
又，當且僅當時等號成立，
所以，即，
如上圖知：當圓心在上運動時，有，此時共線，
所以，當且僅當時等號成立，故．
故選：C
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