資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
微專題02 向量數(shù)量積的四種求解策略
題型一：公式法
題型二：幾何意義（投影）
題型三：轉(zhuǎn)化為基底表示
題型四：極化恒等式
1.公式法
(1)已知向量的模長(zhǎng)和夾角
(2)已知向量的坐標(biāo)或根據(jù)圖形將向量坐標(biāo)化
2.幾何意義(投影)
若所求的數(shù)量積中，只知道其中一個(gè)向量的模長(zhǎng)時(shí)，如：
當(dāng)已知時(shí)，則，其中是在方向上的投影.
3.轉(zhuǎn)化為基底表示
若所求的數(shù)量積中，均不知道時(shí)，但題中有兩個(gè)不共線的向量的模長(zhǎng)和夾角是已知的，則可以利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化
，
再帶入公式求解.
4.極化恒等式
(1)設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得．
這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式.
(2)在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常以平行四邊形（三角形）為題目背景考察，
設(shè)，則，
由，得．
將極化恒等式翻譯成文字就是：
“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的”．
“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差”.
通過(guò)上面我們可以發(fā)現(xiàn)，極化恒等式就是將向量的數(shù)量積問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為了幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)的計(jì)算問(wèn)題，從而可以快速的解決問(wèn)題.
題型一：公式法
【例1】已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，可知，故選D.
【變式1】已知向量滿足，則（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】.
故選：C
【變式2】已知向量滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用數(shù)量積的性質(zhì)，由可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
，.
故選：B.
【變式3】已知向量滿足，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】將平方結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
因?yàn)椋?br/>所以，
解得.
故選：A.
【例2】已知a=(cos 75°,sin 15°),b=(cos 15°,sin 75°),則a·b的值為(　　)
A.0 B. C. D.1
【答案】B.
【分析】a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,故選B.
【例3】如圖放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則·的最大值為　　　　　.
【答案】2
【分析】設(shè)∠DAO=θ,則∠BAx=-θ,
∴OA=cos θ, OD=sin θ,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos θ + sin θ , cos θ).
過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線CE,E為垂足,則∠CDE=θ,
由此可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(sin θ ,cos θ + sin θ),∴·=(cos θ + sin θ)sin θ + cos θ(cos θ+
sin θ)=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ=1+sin 2θ≤2,當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí),等號(hào)成立.
故·的最大值為2.
【變式4】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)校考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．

【答案】/
【解析】連接AC，因?yàn)椋?br/>所以，
又，所以，
所以.
過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線BF，垂足為F，
易知，在中，，
所以，
以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)，
則，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值.
故答案為：
【變式5】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，，分別是，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.由題意知，則，可設(shè)，，則，，所以.因?yàn)椋?
故答案為：
【變式6】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一統(tǒng)考期末）已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（ ）
A．76 B．78 C．80 D．82
【答案】A
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，
，，，即，
，，，
，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
.
故選：A.
【變式7】如圖，已知：，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以直線為軸，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，所以，，
設(shè)，則，
所以，其中（，），所以的最大值為．故選：A．
題型二：幾何意義(投影)
【例1】如圖,在圓C中弦AB的長(zhǎng)度為6,則·=(　　)
A.6 B.12 C.18 D.無(wú)法確定
【答案】C
【解析】如圖所示,取線段AB的中點(diǎn)D,連接CD,則CD⊥AB,所以||·cos A=||=||,所以·=||·||·cos A==18.故選C.
【變式1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________，·的最大值為________．
【答案】1　1
【解析】
如圖所示，由向量數(shù)量積的定義可得·＝·＝
||||cos θ.
由圖可知，||cos θ＝||，因此·＝||2＝1.
·＝||||cos α＝||cos α，而||cos α就是向量在上的投影向量的模，當(dāng)在上的投影向量的模最大，即為||時(shí)，·最大，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，所以·的最大值為1.
【變式2】（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知外接圓的圓心為，若，，則的值是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
【答案】C
【解析】如圖，取AC中點(diǎn)D，AB中點(diǎn)E，并連接OD，OE，
則；
故選：C.
題型三：轉(zhuǎn)化為基底表示
【例1】如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且＝3，已知||＝4，||＝2，且與的夾角為60°，求·的值．
【解析】因?yàn)椋?所以
又
=
=－3
【變式1】（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）四邊形為平行四邊形，，．若點(diǎn)滿足，，則（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，，
所以.
故選：B．
【變式2】如圖所示，四邊形OACB中，已知向量a，b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量的夾角θ的余弦值．
【解析】如圖，可知?jiǎng)t＝p＝a＋b，＝q＝a－b，
.
【變式3】（2024·江蘇南京·高一校考期末）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，，若點(diǎn)N，N滿足，，則 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
【答案】B
【解析】，
，
所以.
故選：B.
題型四：極化恒等式
【例1】如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】依題意，D是邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
則，
，
因此，
故選：B.
【變式1】如圖，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為 ．
【答案】72
【解析】方法1： 以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)，
則，， 設(shè)，則易得， 因?yàn)镺AOB，所以， 從而， 化簡(jiǎn)得，，所以．
方法2：極化恒等式
.
【變式2】如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別是邊上的中點(diǎn)，則
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取HF中點(diǎn)O，則 , ，因此，選A.
【例2】正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，則的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】解法1：建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，
圓的半徑為，故，，
所以，，
從而.
解法2：如圖2，設(shè)中點(diǎn)為D，圓的半徑為，
由極化恒等式，，由圖可知當(dāng)F與點(diǎn)B重合時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，取得最大值3，所以.
【變式3】已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，是邊所在直線上的一點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】
取的中點(diǎn)，連接，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最小值，
此時(shí)菱形的面積，
最小值為，
因?yàn)槭沁吽谥本€上的一點(diǎn)，所以無(wú)最大值，無(wú)最大值，
的取值范圍為，
故答案為：
【變式3】(2024·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因?yàn)槭莾?nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因?yàn)镸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以；當(dāng)與重合時(shí)，，
所以的取值范圍是，
故選：C
【變式3】（2024下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，
所以的取值范圍是，即，
又由，
所以.
故選：B.
【變式4】（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)P，恒有.則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，取的中點(diǎn)D，
由極化恒等式可得：，
同理，，由于，
則，所以，
因?yàn)椋珼是的中點(diǎn)，于是.
故選：D.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
微專題02 向量數(shù)量積的四種求解策略
題型一：公式法
題型二：幾何意義（投影）
題型三：轉(zhuǎn)化為基底表示
題型四：極化恒等式
1.公式法
(1)已知向量的模長(zhǎng)和夾角
(2)已知向量的坐標(biāo)或根據(jù)圖形將向量坐標(biāo)化
2.幾何意義(投影)
若所求的數(shù)量積中，只知道其中一個(gè)向量的模長(zhǎng)時(shí)，如：
當(dāng)已知時(shí)，則，其中是在方向上的投影.
3.轉(zhuǎn)化為基底表示
若所求的數(shù)量積中，均不知道時(shí)，但題中有兩個(gè)不共線的向量的模長(zhǎng)和夾角是已知的，則可以利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化
，
再帶入公式求解.
4.極化恒等式
(1)設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得．
這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式.
(2)在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常以平行四邊形（三角形）為題目背景考察，
設(shè)，則，
由，得．
將極化恒等式翻譯成文字就是：
“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的”．
“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差”.
通過(guò)上面我們可以發(fā)現(xiàn)，極化恒等式就是將向量的數(shù)量積問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為了幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)的計(jì)算問(wèn)題，從而可以快速的解決問(wèn)題.
題型一：公式法
【例1】已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】已知向量滿足，則（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【變式2】已知向量滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知向量滿足，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例2】已知a=(cos 75°,sin 15°),b=(cos 15°,sin 75°),則a·b的值為(　　)
A.0 B. C. D.1
【例3】如圖放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則·的最大值為　　　　　.
【變式4】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)校考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．

【變式5】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，，分別是，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足，則的取值范圍是 .
【變式6】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一統(tǒng)考期末）已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（ ）
A．76 B．78 C．80 D．82
【變式7】如圖，已知：，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
題型二：幾何意義(投影)
【例1】如圖,在圓C中弦AB的長(zhǎng)度為6,則·=(　　)
A.6 B.12 C.18 D.無(wú)法確定
【變式1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________，·的最大值為________．
【變式2】（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知外接圓的圓心為，若，，則的值是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
題型三：轉(zhuǎn)化為基底表示
【例1】如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且＝3，已知||＝4，||＝2，且與的夾角為60°，求·的值．
【變式1】（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）四邊形為平行四邊形，，．若點(diǎn)滿足，，則（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
【變式2】如圖所示，四邊形OACB中，已知向量a，b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量的夾角θ的余弦值．
【變式3】（2024·江蘇南京·高一校考期末）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，，若點(diǎn)N，N滿足，，則 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
題型四：極化恒等式
【例1】如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式1】如圖，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為 ．
【變式2】如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別是邊上的中點(diǎn)，則
A． B． C． D．
【例2】正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，則的取值范圍為_______.
【變式3】已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，是邊所在直線上的一點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【變式3】(2024·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)P，恒有.則（ ）
A． B． C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑