資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2.4向量的數量積（一）
班級 姓名
學習目標
1.掌握向量數量積的定義及投影向量.
2.會用兩個向量的數量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直.
3.掌握向量數量積的運算律及常用的公式.
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．(2)特例：①當θ＝0時，向量a，b ．②當θ＝π時，向量a，b ．③當θ＝時，向量a，b ，記作a⊥b.【即時訓練1】思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) 在銳角三角形ABC中(1)與的夾角是銳角. (　　) (2)與的夾角是銳角. (　　)(3)與的夾角是鈍角. (　　) (4)與的夾角是鈍角. (　　)
2．平面向量數量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數量|a||b|·cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.規定：零向量與任一向量的數量積為 .【即時訓練2】(1)已知單位向量a，b，夾角為30°，則a·b＝ .(2)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝－2，則a與b的夾角θ為 .
向量數量積的概念辨析 例1、思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)向量a在向量b上的投影向量一定與b共線. (　　) (2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0. (　　) (3)若λa＝0，則λ＝0或a＝0. (　　) (4)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角. (　　) (5)向量的數量積運算滿足(a·b)·c＝a·(b·c). (　　) (6)已知a≠0，且a·c＝a·b，則b＝c. (　　) (7)若a2＝b2，則a＝b或a＝－b. (　　)
向量數量積的求解 例2、(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．(2)如圖，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·.變式1、已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·＝________．(2)已知點A，B，C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值是________．
向量的模和夾角的計算 例3、(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.(2)已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，則|b|＝________.(3)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角是________.變式2、已知非零向量a，b滿足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.①求|b|；②當a·b＝－時，求向量a與a＋2b的夾角θ的值.
課后作業
一、基礎訓練題
1．下列說法正確的是(　　)
A．|a·b|≤a·b
B．若a·b<0，則a與b的夾角θ的范圍是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，則a⊥b
2．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角．則當小車向前運動10 m時，力F做的功為(　　)
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
3．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·a＋a·b等于(　　)
A．　　 　B．　　　 C．1＋　　 　D．2
4．已知單位向量a，b的夾角為，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
5．若向量a，b，c，滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
6．已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b的夾角為(　　)
A． B． C． D．
7．如圖所示，△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝1，則·等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
8．已知a，b均為單位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，則a與b的夾角為(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．150°
9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，則△ABC的形狀是________．
10．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|＝________.
11．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a與b的夾角為，且a＋b＋c＝0，求|c|的．
12．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是60°，計算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
二、綜合訓練題
13．(多選題)設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，則下列結論正確的是(　　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
14．已知a，b是非零向量，且向量a，b的夾角為，若向量p＝＋，則|p|＝(　　)
A．2＋ B．
C．3 D．
15．在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB＝，點E，F分別在BC，DC邊上，且＝2，＝，則·＝
6.2.4向量的數量積（一）
參考答案
1、【答案】B　
【解析】對于選項A，因為a·b是一個實數，應該有|a·b|≥a·b，故A不正確；
對于選項B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，則cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正確；
對于選項C，(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C錯誤；
對于選項D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D錯誤．故選A、B.
2、【答案】B　
【解析】由題意，根據向量的數量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)．
3、【答案】B　
【解析】a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
4、【答案】B　
【解析】|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.
5、【答案】D　
【解析】∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
6、【答案】C　
【解析】因為a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，
又因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
7、【答案】C　
【解析】因為△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，
所以·＝1××cos 150°＝－.]
8、【答案】A
【解析】∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，
∴a·b＝.設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
9、【答案】等邊三角形　
【解析】因為·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形．
10、【答案】5　
【解析】|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5.
11、解　因為a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2.因為|a|＝2，|b|＝3，
向量a與b的夾角為，所以c2＝4＋2×2×3×cos ＋9＝7，即|c|＝.
12、[解](1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
13、【答案】ACD　
【解析】根據向量積的分配律知A正確；
(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；
因為a，b不共線，所以|a|，|b|，
|a－b|組成三角形三邊，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正確；
D正確．
14、【答案】D
【解析】∵|p|2＝1＋1＋2cos ＝3，∴|p|＝.
【答案】2
【解析】因為＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝－·2＋2＋·
＝－×42＋×32＋×4×3×＝2.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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