資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2.4向量的數量積（二）
班級 姓名
學習目標
1.掌握向量數量積的定義及投影向量.
2.會用兩個向量的數量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直.
3.掌握向量數量積的運算律及常用的公式.
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1．平面向量數量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數量|a||b|·cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝ .2．投影向量設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，這種變換為向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．a在向量b上的投影為： ；b在向量a上的投影為： ．3．數量積的幾何意義設a在向量b上的投影為m，夾角為θ，則a·b=設b在向量a上的投影為n，夾角為θ，則a·b=【即時訓練1】(1)已知等邊△ABC的邊長為2，則向量在向量方向上的投影向量為 (2)若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則|γ|＝
數量積的性質與運算律 4．向量數量積的性質設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|； 當a與b反向時，a·b＝－|a||b|. 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.【即時訓練2】已知單位向量a與b的夾角為，若x a＋b與a垂直，則實數x的值為
投影向量與數量積的幾何意義的運用 例1、已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．例2、(1)已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列給出的向量的數量積中最大的是(　　)A．· B．·C．· D．·(2)△ABC的外接圓圓心為O，AB＝2，AC＝3，求·.
向量的垂直關系與夾角問題 例3、(1)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，m與n夾角的余弦值為，若n⊥(tm＋n)，則實數t的值為________．(2)若向量a，b滿足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝________．例4、(1)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，求k的取值范圍．(2)設向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．
課后作業
一、基礎訓練題
1．在四邊形ABCD中，·＝0，＝，則四邊形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量為b，則a·b的值為( )
A．3 B． C．2 D．
3．設e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夾角為60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值為( )
A． B． C． D．
5．(多選題)已知a，b，c是三個非零向量，則下列命題中，真命題是( )
A．|a·b|＝|a|·|b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a|·|b|
C．a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
6．(多選題)如圖，在平面內放置兩個相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三點共線，則下列結論成立的是( )
A．＝
B．·＝0
C．與共線
D．·＝·
7．(多選題)在Rt△ABC中，BD為斜邊AC上的高，下列結論中正確的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝·＝·
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b方向上的投影向量為________．
10．若a，b均為非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為________．
11．已知|a|＝5，|b|＝4，
(1)若a與b的夾角θ＝120°.
①求a·b；
②求向量a在向量b上的投影向量．
(2)若a∥b，求a·b.
二、綜合訓練題
12．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，則·等于( )
A．2 B．
C． D．
13．如圖，e1，e2為互相垂直的兩個單位向量，則|a+b|＝( )
A．20 B．
C．2 D．
14．已知向量a，b滿足|a|＝1，a⊥b，則向量a－2b在向量a方向上的投影向量為( )
A．a B．1
C．－1 D．－a
三、能力提升題
15．定義：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·＝( )
A． B．－
C． D．－
6.2.4向量的數量積（二）
參考答案
1、【答案】C
【解析】由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四邊形ABCD是矩形．
2、【答案】B
【解析】設a與b的夾角為θ，∵|a|·cos θ＝b，∴|a|·cos θ＝，
∴|a|·cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
3、【答案】B
【解析】因為|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故選B.
4、【答案】C
【解析】由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,
3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.故選C.
5、【答案】ABC
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a，b為非零向量可得|cos θ|＝1，
∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命題A是真命題；
若a，b反向，則a，b的夾角為π，∴a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|且以上各步均可逆，故命題B是真命題；當a⊥b時，將向量a，b的起點確定在同一點，則以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反過來，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a⊥b，故命題C是真命題；
當|a|＝|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時，就有|a·c|≠|b·c|，反過來由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命題D是假命題．
6、【答案】ABC
【解析】設BC＝DE＝m，∵∠A＝30°，且B，C，D三點共線，∴∠ACB＝∠CED＝60°，∠ACE＝90°，CD＝AB＝m，AC＝EC＝2m，∴＝，·＝0，∥，故A、B、C成立；·＝2m·m·cos 60°＝m2，·＝2m·m·cos 30°＝3m2，故·＝·不成立．
7、【答案】AD
【解析】·＝||||cos A＝||||＝||2，A正確；
·＝||||cos(π－C)＝－||||cos C＝－||||＝－|CB|2，B錯誤；
·＝||||cos(π－∠ABD)＝－||||cos∠ABD＝－||||＝－||2，C錯誤；
·＝||||cos∠ABD＝||||＝||2，·＝||||cos∠CBD＝||||＝||2，D正確．故選AD.
8、【答案】120°
【解析】由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.設向量a與b的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝－，所以向量a與b的夾角θ＝120°.
9、【答案】b
【解析】∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量為b.
10、【答案】
【解析】由題知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，
即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因為 0≤θ≤π，故θ＝.
11、解 (1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
②向量a在向量b上的投影向量為|a|·cos θ＝5××＝－b.
(2)∵a∥b，∴a與b的夾角θ＝0°或180°.
當θ＝0°時，a·b＝|a||b|cos 0°＝20.
當θ＝180°時，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
12、【答案】D
【解析】·＝||||cos∠DAC＝||cos＝||sin∠BAC＝||sin B
＝||sin B＝||＝.
13、【答案】C
【解析】由題意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|＝＝＝＝2.故選C.
14、【答案】A
【解析】設θ為向量a－2b與向量a的夾角，則向量a－2b在向量a方向上的投影向量為|a－2b|cos θ .
又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ ＝|a－2b|·＝a.故選A.
15、【答案】A
【解析】cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故選A.
16、【答案】A
【解析】易知四邊形EFGH為平行四邊形，連接HF(圖略)，取HF的中點為O，
則·＝·＝(－)·(＋)＝2－2＝1－2＝，
·＝·＝2－2＝1－2＝，
因此·＋·＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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