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三角函數(shù)圖象的作法與圖象的運用
班級 姓名
學習目標
1．掌握三角函數(shù)、與圖象的作法；
2．會利用三角函數(shù)的圖象求解三角函數(shù)性質(zhì)問題。
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
圖象的作法與函數(shù)的性質(zhì) 例1、作出下列函數(shù)圖象并完成填空：(1)①增區(qū)間： ；減區(qū)間： .②對稱軸： ；對稱中心： .③當x= ， ；當x= ， .④若，則 .⑤將函數(shù)向 平移 個單位，可以得到偶函數(shù).
圖象的作法與函數(shù)的性質(zhì) (2)①增區(qū)間： ；減區(qū)間： .②對稱軸： ；對稱中心： .③當x= ， ；當x= ， .④若，則 .⑤若，則 .
圖象的作法與函數(shù)的性質(zhì) (3)①定義域： . ②增區(qū)間： . ③對稱中心： .④若，則 .⑤若，則 .
三角函數(shù)圖象的作法 1、函數(shù)與的圖象作法步驟：2、函數(shù)的圖象作法步驟：
三角函數(shù)圖象與性質(zhì) 變式1、作出下列函數(shù)圖象并完成填空：(1)①減區(qū)間： . ②對稱中心： .③若，則 .④若，則 .(2)①增區(qū)間： . ②對稱軸： .③當，x= .④當， .(3)①增區(qū)間： .②減區(qū)間： .③對稱軸： .④當，x= .
三角函數(shù)圖象的運用 例2、(1)(多選題)已知函數(shù)，下列四個結論中，正確的有(　　)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱C．函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱D．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增(2)(多選題)已知函數(shù)，下列結論中正確的是　　A．函數(shù)的圖象關于直線對稱 B．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù) C．若函數(shù)的定義域為，則值域為 D．函數(shù)的圖象與的圖象重合(3)(多選題)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則　　A．B．的最小正周期為C．的定義域為D．不等式的解集為，
三角函數(shù)圖象的運用 變式2、(1)(多選題)關于函數(shù)，下列說法正確的是(　　)A．函數(shù)在上最大值為 B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的最小正周期為(2)(多選題)已知函數(shù)滿足，則(　　)A．的圖象關于直線對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關于點對稱D．將的圖象向左平移個單位長度得到
課后作業(yè)
一、基礎訓練題
1．函數(shù)的部分圖象大致是(　　)
2．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象是(　　)
3．函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)
A．，k∈Z　　　　　　　　　　
B．，k∈Z　
C．，k∈Z　　　　　　　　　　　
D．，k∈Z
4．已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A． B．
C．， D．，
5．函數(shù)在上的值域為(　　)
A． B．
C． D．
6．若函數(shù)的最小正周期為，則在上的值域為(　　)
A． B．
C． D．
7．設函數(shù)(x∈R)，則f(x)(　　)
A．在區(qū)間上是減函數(shù)　　　　 B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．在區(qū)間上是增函數(shù)　　　　　 D．在區(qū)間上是減函數(shù)
8．(多選題)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．該圖象對應的函數(shù)解析式為
B．函數(shù)的圖象關于直線對稱
C．函數(shù)的圖象關于點對稱
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
9．(多選題)已知函數(shù)，，則　　
A．與的圖象關于原點對稱
B．將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象
C．在，上的最大值為
D．的對稱軸為，
10．(多選題)已知函數(shù)，則下列說法正確的是　　
A．的周期是
B．的值域是，且
C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D．的單調(diào)遞減區(qū)間是，，
11．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小值為　　．
二、綜合訓練題
12．(多選題)已知函數(shù)，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數(shù)是奇函數(shù)，則下列判斷正確的是(　　)
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的圖像關于點（，0）對稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖像關于直線對稱
13．若函數(shù)在，上的最小值小于零，則的取值范圍為　　
A．， B．，
C．， D．，
14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)a的最大值是________．
15．已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
三、能力提升題
16．(多選題)關于函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最大值是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到
D．若方程在區(qū)間有兩個實根，則
17．(多選題)函數(shù)與函數(shù)的圖象關于點對稱，記，則(　　)
A．的值域為
B．的圖象關于直線對稱
C．在所有實根之和為
D．在上解集為
18．函數(shù)的所有零點之和為______．
19．已知函數(shù)()的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到大依次為 ，求的值域.
三角函數(shù)圖象的作法與圖象的運用
參考答案
例2、(1)答案　AD
解析　對于A，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π，可知A正確；
對于B，當x＝時，2x－＝0，又x＝0不是y＝sin x的對稱軸，可知B錯誤；
對于C，當x＝時，2x－＝，又不是y＝sin x的對稱中心，可知C錯誤；
對于D，當x∈時，2x－∈，當x∈時，y＝sin x單調(diào)遞增，可知D正確．
(2)答案　AD
解析　函數(shù)，
對于：當時，，故正確；
對于：由于，則，故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故錯誤；
對于：由于，所以，所以函數(shù)的值域為，，故錯誤；
對于：函數(shù)，故正確．
(3)答案　BD
解析　對于A，由題知，則，因為，所以，A錯誤；
對于B，的最小正周期，B正確；
對于C，令，,則,,所以的定義域為，C錯誤；
對于D，令，則，
得，，即，，
所以不等式的解集為，，D正確．
變式2、(1)答案　BD
解析　對于A，當時，，，最大值為2，A錯誤；
對于B，因為，則函數(shù)的圖象關于點對稱，B正確；
對于C，當時，，函數(shù)在上不單調(diào)，
則在上不單調(diào)，C錯誤；
對于D，函數(shù)的最小正周期，D正確.
(2)答案　BC
解析　，，即
整理得，又，，即，
令，則，即，可得圖象關于點對稱，故A錯誤，C正確；
當時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
把將的圖象向左平移個單位長度，可得，故D錯誤.
1、答案　A　
解析　由可知，函數(shù)的最大值為2，故排除D；
又因為函數(shù)圖象過點，故排除B；又因為函數(shù)圖象過點，故排除C．
2、答案　A　
解析　由題意得函數(shù)的周期為T＝2π，故可排除B，D.對于C，圖象過點，代入解析式，不成立．
3、答案　D　
解析　由圖象知，周期T＝2＝2，∴＝2，
∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos．由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z，故選D．
4、答案　D
解析　可化為，
故單調(diào)增區(qū)間：，，解得，.
令，，令，.
，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是
5、答案　A
解析　由，可得，則.
6、答案　B
解析　因為,所以,，
因為,所以,，所以
7、答案　B　
解析　由可知，f(x)的最小正周期為π．由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增；
由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞減．
將各選項逐項代入驗證，可知B正確．
8、答案　C
解析　由圖象可知，即，又，所以，
又，可得，又因為所以，所以，故A錯誤；
當時，.故B錯誤；
當時，，故C正確；
當時，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯誤．
9．答案　AB
解析　,,，
即，即與的圖象關于原點對稱，故正確，
將的圖象向左平移個單位長度，得到，故正確，
當，，則，，，，即當時，取得最大值1，故錯誤，
由，，得，即，，
即的對稱軸方程為，，故正確，
10．答案　AD
解析　A、的周期和周期相同，即，故正確，
B、的值域為，，即函數(shù)的值域為，，故錯誤，
C、由絕對值的意義知當，即對稱軸為，
則直線不是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故錯誤，
D、由，得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，，
故正確．
11．答案
解析　 將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象；
由于所得圖象關于軸對稱，，，則的最小值為，此時，．
12．答案 ABD
解析　因為函數(shù)圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則，又，
又函數(shù)是偶函數(shù)，因為，
所以，即，又，，則.
函數(shù)最小正周期，故選項A正確；
函數(shù)圖像對稱點的橫坐標為：，即，
令時，，故選項B正確；又由：，得到
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，
令時，得到一個增區(qū)間為：，故選項C錯誤；函數(shù)圖像的對稱所在直線方程為；，令時，，故選項D正確.
13．答案 D
解析　，，，，
設，則，，作出函數(shù)的圖象如圖，
由得，則或，
則當時的，第一個零點為，即當時，，
要使在，上的最小值小于0，
則只需要，即可，得，得，的取值范圍為，．
14、答案　　
解析　法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函數(shù)
f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以a的最大值為．
法二：因為≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，而f(x)在上單調(diào)，所以a＋≤，即 a≤，所以a的最大值為．
15、解（1）由，則，
令或，解得或，
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）由，即，所以，
所以，，解得，，
所以不等式的解集為.
（3）由，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
因為方程在上有兩個不同的實數(shù)解，
所以與在上有兩個不同的交點，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
16、答案　BCD
解析　
.
對于A：函數(shù)的最大值是，A選項錯誤；
對于B：時，，是正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，故B選項正確；
對于C：函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象，C選項正確；
對于D：當時，，
令，則，
由題意可知，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：
當時，，
由圖可知，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
因此，實數(shù)的取值范圍是，D對.
17、答案　BC
解析　在函數(shù)的圖象上任取一點，
則點關于點的對稱點在函數(shù)的圖象，
所以，，
所以，，
對于A選項，
，
所以，函數(shù)的值域為，A錯；
對于B選項，
因為，
所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，B對；
對于C選項，當時，，
作出函數(shù)在上的圖象如圖所示：
令，可得，
由圖可知，直線與函數(shù)在上的圖象有四個交點，
設這四個交點的橫坐標由小到大分別為、、、，
由圖象可知，點、關于直線對稱，點、關于直線對稱，
所以，在所有實根之和為，C對；
對于D選項，由可得，
當時，，可得，解得，
所以，不等式在上解集為，D錯.
18、答案　6
解析　令，得，解得或，即為零點，
令，，
可知的周期，對稱軸，且的對稱軸，
做出和的圖象如圖所示：
顯然，在和上各存在一個零點，
在處的切線為x軸，
在上存在零點，
同理在上存在零點，
所以在上存在6個零點，
因為和的函數(shù)圖象關于對稱，
則零點關于對稱，
所以的所有零點之和為.
19、解：（1）函數(shù)
，
因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，所以.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
由方程，即，即，
因為，可得，
設，其中，即，
結合正弦函數(shù)的圖象，方程在區(qū)間要有5個解，
則，即.
其中，
即，，，，
解得，，，.
所以
.
因為，.
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