資源簡介

10.1　第2課時　垂線中的兩條基本事實
素養目標
1.知道垂直的概念,會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.
2.通過實際操作,理解與垂線相關的兩條基本事實.
3.知道垂線段的概念,會度量點到直線的距離.
◎重點:垂線中的兩條基本事實.
預習導學
知識點一 認識垂線
閱讀教材本課時“思考”部分到“操作”之前的內容,回答下列問題:
1.討論:如圖,在兩條相交直線所形成的四個角中,若∠AOC=90°,則對頂角∠BOD=　 　,補角∠BOC=　 　,∠AOD=　 　.
2.揭示概念:兩條直線AB和CD相交所成的4個角中,有一個角是　 　,就說這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫做另一條直線的垂線,記作　 　,交點O叫做　 　.
3.(1)如圖,若∠BOC=90°,則AB　 　CD.
(2)如圖,若AB⊥CD,則∠BOC=　 　.
【答案】1.90°　90°　90°
2.直角　AB⊥CD　垂足
3.(1)⊥　(2)90°
【學法指導】垂直是一種相互的關系,兩條互相垂直的直線,其中任意一條直線都是另外一條線的垂線.
知識點二 垂線的基本事實
閱讀教材“操作”部分的內容,回答下列問題:
1.操作:圖1中直線a上有一點M,圖2中直線a外有一點M,請用三角板或直尺過點M作直線a的垂線.
2.討論:通過上面的操作,過一點畫已知直線的垂線,你能畫出幾條 與點M的位置有關系嗎
【答案】1.解:
2.一條,無關.
【歸納總結】(1)過一點　 　條直線與已知直線垂直.
(2)過一點用三角尺畫垂線的方法可以簡單概括如下:一放(直尺),二靠(線),三過(點),四畫(線).
【答案】(1)有且只有一
知識點三 垂線段最短
閱讀教材“觀察”與“交流”的相關內容,回答下列問題:
1.觀察:如圖所示的是一條馬路上的人行橫道線,即斑馬線的示意圖.
(1)量一量:請用直尺測量線段AC、AB、AD的長度,最短的線段是　 　.
(2)討論:在點A與直線CD上任意一點的連線中,有沒有比線段AB更短的線段
2.揭示概念:(1)連接直線外一點與垂足形成的線段是　 　.
(2)垂線段的長度叫做　 .
【答案】1.(1)AB　(2)沒有.
2.(1)垂線段　(2)點到直線的距離
【歸納總結】連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.
對點自測
1.如圖,OA⊥OB,OC⊥OD,若∠1=50°,則∠2的度數是 ( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
2.如圖,如果直線ON⊥直線a,直線OM⊥直線a,那么OM與ON重合(即O,M,N三點共線),其理由是 ( )
A.兩點確定一條直線
B.在同一平面內,過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直
C.在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D.兩點之間,線段最短
3.如圖,AB,CD交于點O,OE⊥CD于點O.若∠AOC=25°,則∠BOE=　 　°;若OC=2cm,OE=1.5 cm,CE=　 　cm,則點E到直線CD的距離是　 　cm.
【答案】1.C　2.C　3.65　2.5　1.5
合作探究
任務驅動一 垂線的定義
1.如圖,直線AB⊥CD,垂足為點O,射線OP在∠AOD的內部,且∠POA=4∠POD,則∠COP與∠BOP的度數比為　 　.
【答案】1.3∶2
[變式訓練]如圖,直線AB、CD、EF交于點O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,若∠COG∶∠COE=1∶2,則∠DOF與∠BOG的度數比為　 　.
【答案】2∶5
任務驅動二 垂線的畫法與基本事實
2.在圖1中,過點B分別畫兩條直線的垂線;在圖2中,過點B畫AC的垂線,過點C畫AB的垂線.
【答案】2.解:
【方法歸納交流】過一點畫已知直線的垂線的步驟可簡記為　 　.
【答案】一靠,二過,三畫線
任務驅動三 垂線段最短
3.直線l上有A、B、C三點,直線l外有一點P,若PA=5 cm,PB=4 cm,PC=3 cm,則點P到直線l的距離 ( )
A.等于3 cm
B.小于3 cm
C.不大于3 cm
D.大于3 cm而小于4 cm
4.如圖,P、Q分別是在公路l兩旁的兩個村莊,現要在公路上建一個購物中心,要使P村的人購物方便,購物中心該建在何處 畫圖表示,并說明理由.
【答案】3.C
4.解:如圖,過點P作PE垂直于公路l,交公路于點E,由垂線段最短可得點E就是購物中心的位置.
[變式訓練]對于上題,其余條件不變,若要使P、Q兩村人到購物中心都方便,這個購物中心到兩村的距離之和最短,則購物中心應建在何處 為什么
【答案】解:如圖,連接PQ交直線于點F,則點F就是購物中心的位置.因為兩點之間線段最短.
素養小測
1.如圖,直線AB,CD相交于點O,下列條件中能說明AB⊥CD的有 ( )
①∠AOD=90°;②∠AOD=∠AOC;③∠AOC+∠BOC=180°;④∠AOC+∠BOD=180°.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖,OA⊥OB,∠BOC=50°,OD平分∠AOC,則∠BOD的度數是　 　.
3.已知∠1和∠2有公共頂點,且∠1的兩邊分別垂直于∠2的兩邊,若∠1=35°時,則∠2=　 　.
4.如圖,點P在射線AC上,點Q在∠BAC內部.
(1)完成下列作圖:
①過點Q作QD⊥AB,垂足為D;
②過點P作PE⊥AB,垂足為E;
③過點Q作QF⊥AC,垂足為F.
(2)根據所作圖形填空:
①點Q到直線AB的距離是線段　 　的長度;
②點Q到直線AC的距離是線段　 　的長度;
③點P到直線AB的距離是線段　 　的長度.
5.已知∠AOC=144°,OD為∠AOC的平分線,射線OB⊥OA于O,部分圖形如圖所示.請補全圖形,并求∠BOD的度數.
【答案】1.C　2.20°
3.35°或145°
4.解:(1)如圖,
(2)QD;QF;PE.
5.解:因為OD為∠AOC的平分線,所以∠1=∠AOC=72°,又因為OB⊥OA,∠AOB=90°,
①如圖1,當射線OB在∠AOC的內部時,∠BOD=∠AOB-∠1=18°;
②如圖2,當射線OB在∠AOC的外部時,∠BOD=∠AOB+∠1=162°.
綜上所述,∠BOD的度數為18°或162°.

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