資源簡介

8.3　第2課時　平方差公式
素養目標
1.能用多項式乘法推導平方差公式,會用圖形的面積割補解釋平方差公式.
2.掌握平方差公式的結構特征,能運用公式進行計算.
3.知道對復雜算式進行轉化或應用整體的思想,會用乘法公式簡化運算.
◎重點:平方差公式.
預習導學
知識點一 平方差公式
閱讀教材本課時“思考”至“例2”,解決下列問題:
1.算一算:(a+b)(a-b)=　 　+　 　+　 　+　 　=　 　.
2.揭示概念:(a+b)(a-b)=　 　,稱為　 　公式.
3.思考:平方差公式的幾何解釋.
如圖,邊長為a的正方形紙板缺了一個邊長為b的正方形角,經裁剪后拼成了一個長方形,你能分別表示出裁剪前后的紙板的面積嗎 你能得到什么結論
【答案】1.a2　ab　(-ab)　(-b2)　a2-b2
2.a2-b2　平方差
3.裁剪前紙板的面積為a2-b2,裁剪后拼成的長方形紙板的面積為(a+b)(a-b),得到的結論是(a+b)(a-b)=a2-b2.
知識點二 乘法公式綜合應用
閱讀教材“例2、例3”,回答下列問題:
1.討論:(1)“例2(1)”中的算式,經過對數字的轉化,可將　 　當作平方差公式中的a, 當作平方差公式中的b.
(2)“例2(2)”中運用了　 　次平方差公式,第二次　 　當作平方差公式中的a, 當作平方差公式中的b.
2.討論:(1)“例3(1)”中運用了　 　次完全平方公式.第一次運用時,將　 　視為一個整體,當作完全平方公式中的a,把　 　當作完全平方公式中的b.
(2)“例3(2)”中對算式一部分　 　運用了完全平方公式,得到一個兩項式與　 　的乘法,再用普通的乘法法則運算.
【答案】1.(1)2000　1　(2)2　x2　9
2.(1)2　a+b　c　(2)(a-b)2　三項式
【歸納總結】能將復雜的算式通過　 　與　 　思維看作(a+b)2或(a-b)2或(a+b)(a-b)的形式的,即可使用　 　公式,不能使用公式的部分則根據多項式的乘法法則運算.
【答案】轉化　整體　乘法
對點自測
1.下列運算正確的是 ( )
A.2x2+3x3=5x5
B.(-2x)3=-6x3
C.(x+y)2=x2+y2
D.(3x+2)(2-3x)=4-9x2
2.計算:(1+a)(1-a)+(a+3)2.
【答案】1.D
2.解:原式=1-a2+a2+6a+9=6a+10.
合作探究
任務驅動一 運用平方差公式計算
1.(2m+1)(2m-1)(1+4m2)=　 　.
2.計算:(1)(-2x+5)(-2x-5)-(4+3x)(3x-4);(2)99×101×10001.
3.先化簡(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x-1),再選取一個你最喜歡的數代替x并求值.
4.計算:(2y-x-3z)(-x-2y-3z).
【答案】1.16m4-1
2.解:(1)原式=4x2-25-(9x2-16)=-5x2-9.
(2)原式=(10000-1)(10000+1)=99999999.
3.解:(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x-1)=4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x=-9x+2.
當x=0時,原式=2.(答案不唯一)
4.解:原式=[(-x-3z)+2y][(-x-3z)-2y]
=(-x-3z)2-(2y)2
=x2+6xz+9z2-4y2.
【方法歸納交流】此題從表面上看不能用平方差公式,仔細觀察,此題有三個特點:(1)兩因式的_________相同;(2)兩式中多項式的　 　相同;(3)兩式中相同字母的系數　 　或　 　.因此可以進行靈活組合轉化為平方差公式的結構.
【答案】項數　字母　相同　互為相反數
任務驅動二 平方差公式的幾何意義
5.如圖,在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b(a>b)的小正方形,把剩下的部分拼成一個梯形,分別計算這兩個圖形中陰影部分的面積,驗證的乘方公式為　 　.(方法指導:梯形的高為a-b)
【答案】5.(a+b)(a-b)=a2-b2
素養小測
1.下列運算結果正確的是 ( )
A.3a-a=2
B.a2·a4=a8
C.(a+2)(a-2)=a2-4
D.(-a)2=-a2
2.若x、y滿足則代數式x2-4y2的值為　 　.
3.填空:(3x+2)(　 　)=4-9x2,(x+2y-z)(x-2y+z)=　.
4.某學校有一塊邊長為(2a+b)米的正方形草坪,經統一規劃后,南北向要縮短3米,而東西向要加長3米,問改造后的長方形草坪的面積是多少
5.你可以逆用平方差公式求出1-1-·1-的值嗎
【答案】1.C　2.-6
3.-3x+2　x2-4y2+4yz-z2
4.解:改造后,南北向的長為(2a+b-3)米,東西向的長為(2a+b+3)米,則長方形草坪的面積為
(2a+b-3)(2a+b+3)=[(2a+b)-3][(2a+b)+3]
=(2a+b)2-9=4a2+4ab+b2-9.
答:改造后的長方形草坪的面積是(4a2+4ab+b2-9)平方米.
5.解:(1-)(1-)(1-)=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)=×××××=.

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