資源簡介

8.5　綜合與實踐　納米材料的奇異特性
素養目標
1.了解納米材料體積小,表面積大的特點,感受納米技術的巨大應用前景.
2.能計算將一個正方體進行n×n×n細分后表面積的變化情況.
3.體會數學知識與先進科學技術的緊密聯系.
◎重點:計算正方體的表面積.
預習導學
知識點 納米材料的奇異特征
閱讀教材本課時所有內容,解決下列問題:
1.找一找:形成納米材料這些新奇異特性的原因是什么
2.填一填:(1)將棱長為1 cm的正方體分成棱長為0.5 cm的正方體,一共可以分成　 　個,每個小正方體的表面積為　 　cm2,所有小正方體的表面積之和為　 　cm2,大正方體的表面積為　 　cm2,則小正方體的表面積之和與大正方體的表面積之比為　 　.
(2)將棱長為1 cm的正方體分成棱長為0.2 cm的正方體,一共可以分成　 　個,每個小正方體的表面積為　 　cm2,所有小正方體的表面積之和為　 　cm2,則小正方體的表面積之和與大正方體的表面積之比為　 　.
(3)將棱長為1 cm的正方體,分成棱長為0.1 cm的正方體,一共可以分成　 　個,每個小正方體的表面積為　 　cm2,所有小正方體的表面積之和為　 　cm2,則小正方體的表面積之和與大正方體的表面積之比為　 　.
3.填一填:
大正方 體棱長 分成的小正方體的棱長 分成小正方體的個數 所有小正方體的 表面積之和 小正方體的表面積之和與 大正方體的表面積之比
1 　 　 　 　 　 　
a 　 　 　 　 　 　
【答案】1.納米材料顆粒的表面積之和與同體積的常規材料相比成倍增長.
2.(1)8　1.5　12　6　2∶1
(2)125　0.24　30　5∶1
(3)1000　0.06　60　10∶1
3.n3　6n　n∶1　n3　6na2n∶1
【歸納總結】將一個正方體分割為a3(a為正整數)個小正方體,總的體積　 　,小正方體的表面積之和是大正方體的　 　倍.
【答案】不變　a
對點自測
將棱長為2 cm的正方體,分割成棱長為0.5 cm的正方體,一共可以分成　 　個,每個小正方體的表面積為　 　cm2,所有小正方體的表面積之和為　 　cm2,則小正方體的表面積之和與大正方體的表面積之比為　 　.
【答案】64　1.5　96　4∶1
合作探究
任務驅動 正方體的分割
1.一個立方體木塊的體積是64 cm3,把它切成大小相等的27個小立方體,其表面積之和是(方法指導:先求出一個小正方體的棱長) ( )
A.96 cm2 B.128 cm2
C.196 cm2 D.288 cm2
2.把一個棱長為1米的正方體分割成棱長為1分米的小正方體,并把它們排列成一排,可排成_______米.
【答案】1.D　2.100
【方法歸納交流】把正方體分成小正方體,如果小正方體棱長是大正方體的棱長的,那么可以分成　 　個小正方體.
【答案】n3
3.把一個長為20 cm、寬為10 cm、高為5 cm的長方體分割成若干個同樣大小的小正方體,再把這些小正方體拼成一個大的正方體,求大正方體的表面積.
【答案】3.解:20、10與5的最大公因數是5,所以可分割成棱長是5 cm的小正方體,
(20÷5)×(10÷5)×(5÷5)=4×2×1=8(個).
因為2×2×2=8,
所以把這8個小正方體拼組成一個大正方體后的棱長是5×2=10 cm,
所以大正方體的表面積是10×10×6=600 cm2.
4.有一個棱長為9厘米的正方體木塊,每一面都涂上紅色.現在把它鋸成棱長為3厘米的小正方體.(方法指導:可通過“魔方”模型幫助理解)
(1)能鋸成多少個小正方體
(2)三面、二面、一面有紅色的各有多少個
(3)沒有紅色的有多少個
【答案】4.解:(1)能鋸成27個小正方體.
(2)三面有紅色的正方體處在大正方體的八個頂角處,共有8個;二面有紅色的正方體有12個,一面有紅色的正方體處在大正方體每個面的正中間位置,有6個.
(3)沒有紅色的有一個,在大正方體的正中心處.
素養小測
1.如圖,將一個棱長為3的正方體的表面涂上顏色,分割成棱長為1的小正方體.設其中一面、兩面、三面涂色的小正方體的個數分別為x1、x2、x3,則x1、x2、x3之間的關系為( )
A.x1-x2+x3=1 B.x1+x2-x3=1
C.x1-x2+x3=2 D.x1+x2-x3=2
2.在邊長為6的正方體的表面刷上藍色的漆,再將它分割為邊長是1的小正方體,那么三面有藍色的小正方體有　 　個,兩面有藍色的有　 　個,一面有藍色的有　 　個.
3.【知識生成】一般地,用兩種不同的方法計算同一圖形的面積,可以得到一個等式.
(1)如圖1,根據圖中陰影部分的面積可得等式　 　.
【知識遷移】類似地,用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積,也能得到一個等式.
圖2是邊長為a+b的正方體,按如圖所示的方式分割成8塊.
(2)用不同的方法計算這個正方體的體積可得等式　　　　　　　　　.
(3)已知a+b=3,ab=1,利用上面的規律求a3+b3的值.
【答案】1.C
2.8　48　96
3.解:(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(3)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
所以a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b).
因為a+b=3,ab=1,
所以a3+b3=33-3×1×3=18.

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