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第8章 整式乘法與因式分解 復習課
復習目標
1.掌握與冪相關的運算,整式的乘法運算.
2.掌握乘法公式,能應用乘法公式簡化整式的乘法運算.
3.能運用提公因式法與乘法公式,將一個多項式因式分解.
◎重點:整式的乘法與因式分解.
預習導學
核心梳理
1.冪的運算性質
(1)同底數冪相乘,底數　 　,指數　 　.am·an=　 　(m、n都是正整數).
(2)冪的乘方,底數　 　,指數　 　.(am)n=　 　(m、n都是正整數).
(3)積的乘方等于　 　.(ab)n=　 　,(n是正整數).
(4)同底數冪相除,底數　 　,指數　 　.am÷an=　 　.(a≠0,m、n都是正整數)
(5)任何一個不等于零的數的零指數冪都等于1,即a0=　 　(a≠0).
(6)a-p=　 　.(a≠0,p為正整數)
(7)絕對值小于1的數可記成±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整數,n等于　 　(包括小數點前面的一個零),這種記數的方法叫科學記數法.
2.整式的乘法
(1)單項式相乘,把系數、同底數冪分別　 　,作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為　 　.
(2)單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的　 　,再把所得的積　 　.符號表示:m(a+b+c)=　 　(m、a、b、c都是單項式).
(3)多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的　 　,再把所得的積　 　.符號表示:(a+b)(m+n)=　 　.
3.整式的除法
(1)單項式相除,把系數、同底數冪分別　 　,作為商的因式;對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數作為　.
(2)多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商　 　.符號表示:(a+b+c)÷m=　 　.
4.乘法公式
(1)完全平方公式:兩個數的和(或差)的平方,等于這兩個數的平方和加(或減)　 　.(a+b)2=　 　;(a-b)2=　 　.
(2)平方差公式:兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的　 　.(a+b)(a-b)=　 　.
5.因式分解
(1)把一個多項式化成幾個整式的　 　的形式的變形叫做把這個多項式因式分解.
(2)如果一個多項式的各項含有公因式,把該公因式提取出來進行因式分解的方法叫做　 　.確定公因式的一般步驟:①系數:取各項系數的　 　;②字母:取各項都含有的相同字母;③指數:取相同字母的　 　.
(3)運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用.①完全平方公式:a2+2ab+b2=　 　,a2-2ab+b2=　 　;②平方差公式:a2-b2=　 　.
(4)如果一個多項式的項多于三項,那么這個多項式分解因式就要采用　 　.四項式的分組分解有兩種形式:　 　分法,　 　分法.
【答案】1.(1)不變　相加　am+n　(2)不變　相乘　amn
(3)各因式乘方的積　anbn　(4)不變　相減　am-n　(5)1　(6)
(7)原數中從左邊數第一個不等于零的數字前面的零的個數
2.(1)相乘　積的一個因式
(2)每一項　相加　ma+mb+mc
(3)每一項　相加　am+an+bm+bn
3.(1)相除　商的一個因式
(2)相加　a÷m+b÷m+c÷m
4.(1)這兩個數乘積的2倍　a2+2ab+b2　a2-2ab+b2　(2)平方差　a2-b2
5.(1)積　(2)提公因式法　最大公約數　最低次冪
(3)(a+b)2　(a-b)2　(a+b)(a-b)
(4)分組分解法　二二　三一
合作探究
專題一 冪的運算
1.下列運算正確的是 ( )
A.a3·a4=a12 B.(-y3)3=y9
C.(m3n)2=m5n2 D.(m2)3÷(m3)2=1
2.已知2m=3,2n=4,則23m+2n的值是　 　.
3.計算:(1)[(a3b)3·(-a4)3]÷(a2)3÷(a3)2;
(2)-1+(-2)0+|-2|-(-3).
4.已知10x=2,10y=3,求103x+2y的值.
5.現在,計算機技術發展迅速,硬盤的存儲量也越來越大,計算機的硬盤的存儲量是以“GB”來計算的,比“GB”小的計量單位是“MB”,兩者的關系是1 GB=1024 MB,那么32 MB的U盤的存儲量是多少GB (用科學記數法表示)
【答案】1.D　2.432
3.解:(1)原式=[a9b3·(-a12)]÷a6÷a6=-a21b3÷a6÷a6=-a21-6-6b3=-a9b3.
(2)原式=2+1+2+3=8.
4.因為103x=(10x)3=23=8,102y=(10y)2=32=9,
所以103x+2y=103x·102y=8×9=72.
5.解:32 MB=32× GB=0.031 25 GB=3.125×10-2 GB.
專題二 整式乘除
6.現規定一種運算:a*b=ab+a-b,其中a,b為實數,則a*b+(b-a)*b等于 ( )
A.a2-b B.b2-b C.b2 D.b2-a
7.設M=(x-2)(x-3),N=(x+3)(x-8),則M與N的關系為(方法指導:作差法進行判斷) ( )
A.M>N B.M=N
C.M8.設(1+x)2(1-x)=a+bx+cx2+dx3,則a+b+c+d=　 　.(方法指導:令x=1)
9.計算:[3(a+b)3-2(a+b)2-4a-4b]÷(a+b).(方法指導:將a+b當作一個整體看)
10.新知識一般有兩類:第一類是不依賴于其他知識的新知識,如“數”“字母表示數”這樣的初始性的知識;第二類是在某些舊知識的基礎上進行聯系、拓展等方式產生的知識,大多數知識是這樣的知識.
(1)多項式乘以多項式的法則,是第幾類知識
(2)在多項式乘以多項式之前,你已擁有的有關知識是哪些 (寫出三條即可)
(3)請你用已擁有的有關知識,通過數和形兩個方面說明多項式乘以多項式的法則是如何獲得的 (用(a+b)(c+d)來說明)
【答案】6.B　7.A
8.0
9.解:原式=[3(a+b)3-2(a+b)2-4(a+b)]÷(a+b)=3(a+b)3÷(a+b)-2(a+b)2÷(a+b)-4(a+b)÷(a+b)=3(a+b)2-2(a+b)-4=3a2+3b2+6ab-2a-2b-4.
10.解:(1)二.
(2)單項式乘以多項式(分配律),單項式乘以單項式,字母表示數,數可以表示線段的長或圖形的面積等等.
(3)用數來說明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用形來說明:如右圖,邊長為a+b和c+d的矩形,分割前后的面積相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
【方法歸納交流】整式的乘除中蘊含了轉化思想,如多項式乘以多項式是轉化為　 　,單項式除以單項式是轉化為　 　等.
【答案】單項式乘以單項式　同底數的冪的除法
專題三 乘法公式
11.(a+b-c)(a-b+c)等于 ( )
A.a2-(b-c)2 B.a2+(b+c)2
C.(a-b)2-c2 D.(a+b)2-c2
12.已知x+y=1,則x2+xy+y2=　 　.
【答案】11.A　12.
[變式訓練]已知a-b=-2,b-c=5,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.
【答案】解:由a-b=-2,b-c=5,
所以a-c=(a-b)+(b-c)=3.
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=[(-2)2+52+32]=19.
13.已知x2+xy=12,xy+y2=15,求代數式(x+y)2-2y(x+y)的值.
14.已知a2-2a+b2+4b+5=0,試求的算術平方根.(方法指導:逆用完全平方公式)
【答案】13.解:原式=x2+2xy+y2-2xy-2y2=x2-y2.
因為x2+xy=12①,xy+y2=15②,
①-②,得x2-y2=-3.所以原式=-3.
14.解:由已知,得a2-2a+1+b2+4b+4=0,
所以(a-1)2+(b+2)2=0,
所以a-1=b+2=0,所以a=1,b=-2,
所以===2,2的算術平方根為.
【方法歸納交流】完全平方公式和平方差公式除了要會正用外,還要會　 　,將不符合公式特點的多項式變形后再用公式.
【答案】逆用
專題四 因式分解
15.已知4x2+x4+M是一個完全平方式,則M可以有幾種結果(方法指導:M可以是公式中的平方項,也可以是乘積項) ( )
A.一種 B.兩種 C.三種 D.四種
16.分解因式:xy2-2xy+2y-4=　 　.
17.給出三個多項式X=2a2+3ab+b2,Y=3a2+3ab,Z=a2+ab,請你任選兩個進行加(或減)法運算,再將結果分解因式.
18.老師在黑板上寫出三個算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.王華接著又寫了兩個具有同樣規律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22.
(1)請你再寫出兩個(不同于上面算式)具有上述規律的算式.
(2)用文字寫出反映上述算式的規律.
(3)證明這個規律的正確性.
【答案】15.D
16.(y-2)(xy+2)
17.解:本題答案不唯一,如:
X-Y=(2a2+3ab+b2)-(3a2+3ab)=b2-a2=(a+b)·(b-a);
X-Z=(2a2+3ab+b2)-(a2+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2;
Y+Z=(3a2+3ab)+(a2+ab)=4a2+4ab=4a(a+b);
Y-Z=(3a2+3ab)-(a2+ab)=2a2+2ab=2a(a+b).
18.解:(1)如72-52=8×3,92-52=8×7.
(2)任意兩個奇數的平方差等于8的倍數.
(3)設m、n為整數,兩個奇數可以表示為2m+1和2n+1,則(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).當m、n同為奇數或同為偶數時,m-n一定是偶數,所以4(m-n)是8的倍數;當m、n中有一個奇數一個偶數時,m+n+1一定是偶數,所以4(m+n+1)是8的倍數.
素養小測
1.多項式2x3-4x2+2x因式分解為( )
A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2
C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2
2.若4x2+kx+25=(2x+a)2,則k+a的值可以是 ( )
A.-25 B.-15 C.15 D.20
3.若a+=5,則a2+=　 　;若a2-3a+1=0,則a2+=　 　.
4.計算:
(1)(m4)2÷m3;
(2)-t3·(-t)4·(-t)5;
(3)[a3·a5+(3a4)2]÷a2;
(4)(-x)3+(-4x)2x;
(5)x3·x5-(2x4)2+x10÷x2.
5.因式分解:
(1)a2(x-y)+9(y-x);
(2)x4-6x2+8;
(3)(x2+x)(x2+x-8)+16.
【答案】【答案】1.A　2.A
3.23　7
4.解:(1)原式=m8÷m3=m5.
(2)原式=t3·t4·t5=t12.
(3)原式=(a8+9a8)÷a2=10a8÷a2=10a6.
(4)原式=-x3+16x3=15x3.
(5)原式=x8-4x8+x8=-2x8.
5.解:(1)原式=a2(x-y)-9(x-y)=(x-y)(a2-9)=(x-y)(a+3)(a-3).
(2)原式=(x2)2-2·x2·3+32-1=(x2-3)2-12
=(x2-3+1)(x2-3-1)=(x2-2)(x2-4)=(x2-2)(x+2)(x-2).
(3)原式=(x2+x)2-8(x2+x)+16=(x2+x-4)2.

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