資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.2單項式的乘法+專題3.3多項式的乘法
模塊1：學習目標
1.掌握單項式乘單項式的法則，并運用它們進行運算。
2.熟悉單項式乘法運算變形。
3.掌握多項式乘單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。
4.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活的運用運算律進行混運算。
模塊2：知識梳理
1）單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
注：①單項式乘單項式，結果仍為單項式；②單項式相乘時，注意不要漏掉無相同之母的項。
2）單項式乘多項式:根據乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數與原多項式的項數相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。
3）多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。
模塊3：核心考點與典例
考點1、單項式乘單項式
例1．（2024上·云南保山·八年級統考期末）計算：的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了單項式乘單項式的法則，根據單項式乘單項式的法則：系數乘系數，相同字母按照同底數冪的乘法公式進行計算，不同字母連同指數作為積的因式，進行計算即可．
【詳解】解：，故選D．
變式1.（2023·浙江·七年級校考期中）x的m次方的5倍與的7倍的積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】x的m次方的5倍為，的7倍是，據此求解即可．
【詳解】解：根據題意得，x的m次方的5倍與x2的7倍的積為：．
故選C．
【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，正確理解題意是解題的關鍵．
變式2.（2023上·廣東河源·七年級校考期中）計算： ．
【答案】/
【分析】此題考查了整式的運算．根據單項式乘以單項式法則計算即可解答本題．
【詳解】解：
故答案為：．
變式3.（2023下·廣東清遠·七年級統考期末）若□，則□內應填的單項式是 ．
【答案】
【分析】根據整式的乘法運算法則即可求解．
【詳解】解：∵，
∴□內應填的單項式是：．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查整式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．
考點2、單項式乘單項式的應用
例1．（2024上·四川綿陽·八年級統考期末）在一塊邊長為的正方形紙板中，將四個角分別剪去邊長為的小正方形，然后將四周突出部分折起，折成一個無蓋的盒子，則該無蓋盒子的容積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查單項式的乘法和積的乘方，根據容積的公式為底面積乘以高即可計算，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵.
【詳解】解：紙盒的底面積為,高為，
故容積為 故選A
變式1.（2023上·山西呂梁·八年級校考期中）一頭非洲大象質量的最高紀錄為，則頭這樣的大象的質量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了單項式與單項式的乘法運算，根據運算法則計算，再寫成科學記數法的形式即可．
【詳解】解：．故選A．
變式2.（2023下·河北滄州·七年級統考期中）如圖，將一張長方形的鐵皮剪去一個小長方形，余下的陰影部分面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用大長方形的面積減去小長方形的面積列出算式，再根據整式的混合運算順序和運算法則計算可得．
【詳解】解：余下的陰影部分面積為：故選B．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是能根據圖形列出代數式及整式的混合運算順序和運算法則．
考點3、單項式乘多項式
例1．（2024上·湖北隨州·八年級統考期末）在“單項式乘多項式”的課堂上，有這樣一道題的計算過程：“□”內應填的符號為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了單項式乘多項式．熟練掌握單項式乘多項式是解題的關鍵．
根據單項式乘多項式的運算求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，，∴“□”內應填的符號為，故選：A．
變式1. （2024上·福建福州·八年級福建師大附中校考期末）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查單項式乘多項式，掌握單項式乘多項式的運算法則是解題關鍵．
根據單項式乘多項式的運算法則進行計算求解．
【詳解】解：，故答案為：．
變式2.（2023·四川達州·七年級校考期中）若a，b均為整數，且，則等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
【答案】C
【分析】根據得到，則，求出，代入即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，∴，解得，∴，故選：C
【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式相等，熟練掌握單項式乘多項式乘法法則是解題的關鍵．
變式3．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考期中）若對任意都成立，則 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用單項式乘多項式的法則對等式左邊進行整理，再結合等式的性質進行求解即可．
【詳解】解：，，，
原式子對任意都成立，，，解得：，，．答案：1．
考點4、單項式乘多項式的應用
例1．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）如圖，正方形的邊長為，點在射線上移動，以為邊作正方形，連接、、，在點移動的過程中，的面積（ ）

A．無法確定 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了整式的乘法與圖形面積；根據陰影部分面積就是兩個正方形面積和減去空白的三角形面積求解即可．
【詳解】解：設正方形邊長為，
，故選：D．
變式1.（2023上·四川巴中·八年級校考期中）三角形的一邊長為，這條邊上的高為，這個三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題是整式的乘法在實際中的應用，掌握單項式乘以多項式法則是解題的關鍵．根據三角形的面積等于底乘以底上高的一半，來解決此題．
【詳解】解：根據題意，得，即這個三角形的面積為．故選：C．
變式2.（2023·吉林·八年級校考期中）要使的展開式中不含項，則的值是 ．
【答案】2
【分析】直接利用單項式乘以多項式運算法則即可求出答案.
此題主要考查了單項式乘以多項式，正確掌握運算法則是解題關鍵．
【詳解】解：
的展開式中不含項，,解得：．故答案為：2．
變式3．（2023上·浙江·八年級專題練習）今天數學課上，老師講了單項式乘以多項式，放學后，小華回到家拿出課堂筆記，認真復習老師課上講的內容，他突然發現一道題　　，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認為橫線上應填寫 ．
【答案】
【分析】直接利用單項式乘以多項式運算法則計算得出答案．
【詳解】解：，橫線上應填寫，故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則是解此題的關鍵．
考點5、多項式乘多項式
例1．（2024上·山東臨沂·八年級統考期末）若的計算結果中項的系數為，則為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式的法則是解答本題的關鍵．根據多項式乘以多項式的法則，計算含項的系數之和，得到方程并求解，即得答案．
【詳解】在的計算過程中含項有和，
所以解得．故選B．
變式1. （2024·浙江臺州·七年級統考期末）已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查整式的乘法，代入求值，先運用整式的乘法展開，然后整體代入是解題的關鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
變式2.（2023下·浙江金華·七年級統考期末）要使的展開式中不含常數項，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式的法則，理解多項式中不含常數項是解題的關鍵．先根據多項式乘以多項式的法則，將展開，合并同類項之后令常數項為0，即可求解．
【詳解】解：，
的展開式中不含常數項，．故選：C．
考點6、多項式乘多項式的應用
例1．（2024下·廣東江門·八年級校考開學考試）通過計算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的計算式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，整式運算，需要利用圖形的一些性質得出式子，考查學生觀察圖形的能力．要求陰影部分面積，若不規則圖形可考慮利用大圖形的面積減去小圖形的面積進行計算，若規則圖形可以直接利用公式進行求解．
【詳解】解：圖1中，陰影部分長寬長方形面積，陰影部分的面積，
圖2中，陰影部分大長方形面積長寬長方形面積長寬長方形面積邊長的正方形面積，
陰影部分的面積，．故選：B
變式1. （2024上·四川宜賓·八年級統考期末）若，，則M與N的大小關系是（ ）
A． B． C． D．M與N的大小由x的取值而定
【答案】C
【分析】本題考查的是整式的混合運算，利用求差法、多項式乘多項式的運算法則進行計算，根據計算結果判斷即可．掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：，
∴，故選：C．
變式2.（2024下·浙江·七年級專題練習）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學給出了四種表示該長方形面積的多項式，你認為其中正確的有（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題主要考查了列代數式，根據最大長方形的面積的不同表示方式列出對應的代數式即可．
【詳解】解：最大長方形的長為，寬為，則最大長方形的面積可以表示為，故①正確；最大長方形面積可以表示為長為，寬為b的長方形面積加上2個長為，寬為a的長方形面積，則最大長方形的面積可以表示為，故②正確；
最大長方形面積可以表示為長為，寬為m的長方形面積加上長為，寬為n的長方形面積，則最大長方形的面積可以表示為，故③正確；
最大長方形面積可以表示為長為，寬為m的長方形面積加上長為，寬為n的長方形面積再加上2個長為a，寬為m的長方形面積再加上2個長a，寬為n的長方形面積，則最大長方形的面積可以表示為，故④正確；故選D．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·山西臨汾·八年級校考階段練習）計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用單項式乘單項式的法則，進行計算即可．
【詳解】解：．故選：B．
【點睛】本題考查單項式的乘法．熟練掌握單項式的乘法法則：系數乘系數，相同字母按照同底數冪的乘法進行計算，只在一個單項式中出現的字母連同指數寫在積里，作為積的一個因式，是解題關鍵．
2.（2023上·四川眉山·八年級校考期中）若，則m、n的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查多項式乘以多項式的法則，先根據多項式乘以多項式的法則計算，再根據多項式相等的條件即可求出、的值．
【詳解】解：∵，，
∴，∴，．故選：B．
3．（2023下·浙江杭州·七年級統考期末）一個長方體，它的底面是邊長為的正方形，高為，它的體積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】據長方體的體積公式列式，根據積的乘方和冪的乘方法則，單項式乘單項式的法則計算即可．
【詳解】解：它的體積為：，故選：D．
【點睛】本題考查了積的乘方和冪的乘方，單項式乘單項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
4．（2023上·廣東深圳·七年級校聯考期中）一個長方形的長為x，寬比長的一半多1，則這個長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題主要考查了列代數式及單項式乘多項式，先求出長方形的寬，然后根據長方形的面積公式進行計算是解題的關鍵．
【分析】解：∵長方形的長為，寬比長的一半多1，∴長方形的長為，
∴長方形的面積為，故選：C．
5．（2024·浙江·七年級期中）小劉在一次數學課上，學習了單項式乘多項式，發現這樣一道題：，你認為“□”內應填寫（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴口=，故選：D．
6．（2024·福建泉州·八年級統考期末）若等式成立，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了多項式乘以多項式，將等式左側運算，利用對應項的系數相同即可求出的值，正確使用多項式的乘法法則是解題的關鍵．
【詳解】解：，
∵，∴，故選：．
7．（2023春·七年級課時練習）如圖，現有，兩類正方形卡片和類長方形卡片各若干張，如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，那么需要類卡片張數為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】應用多項式乘多項式的運算法則進行計算，再根據C類卡片的面積進行判斷即可得出答案．
【詳解】解：依題意，，
∵類卡片的面積為，∴需要類卡片張數為，故選：B．
【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則進行求解是解決本題的關鍵．
8．（2024·北京海淀·七年級統考期末）某玩具廠在生產配件時，需要分別從棱長為的正方體木塊中，挖去一個棱長為的小正方體木塊，得到甲、乙、丙三種型號的玩具配件（如圖所示）．將甲、乙、丙這三種配件的表面積分別記為、、，則下列大小關系正確的是（ ）注：幾何體的表面積是指幾何體所有表面的面積之和．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了單項式乘以單項式、整式的加減的應用，分別求出、、，進行比較即可得出答案，根據圖形求出、、是解此題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得：，
，，
，，故選：D．
9．（2023上·四川樂山·八年級校考階段練習）對于任意自然數n，代數式一定能被一個整數整除，那么這個整數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【分析】先將化簡為，由n是自然數，即可得出答案．
【詳解】解：，n是自然數，能被6整除，故選：C．
【點睛】本題考查整式乘法運算，加減運算及數的整除性，熟練掌握整式的混合運算法則是解題關鍵．
10．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學給出了四種表示該長方形面積的多項式：①；②；③；④，你認為其中正確的有（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了整式乘法的應用，根據長方形面積公式判斷各式是否正確即可，根據圖形正確列出算式是解題的關鍵．
【詳解】解：，該選項正確，符合題意；
，應為，該選項錯誤，不符合題意；
，該選項正確，符合題意；
，該選項正確，符合題意；∴正確的有，故選：．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下浙江·七年級專題練習）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查單項式乘以單項式，根據“單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中只含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式”計算即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
12．（2024上·河南駐馬店·八年級統考期末）計算 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據運算法則準確計算即可．
【詳解】解：，故答案為：．
13．（2022上·重慶·八年級重慶十八中校考期中）已知代數式的值是7，則代數式的值是 ．
【答案】18
【分析】先根據已知條件得到，則，再由進行求解即可．
【詳解】解：∵代數式的值是7，∴，∴，∴，
∴，故答案為：18．
【點睛】本題主要考查了代數式求值，單項式乘以多項式，利用整體代入的思想求解是解題的關鍵．
14．（2024下·浙江·七年級專題練習）長方形的長是，它的周長是，面積是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了整式乘法的應用，整式加減的應用，解題的關鍵是根據周長和一邊長求出另外一條邊長，再求出長方形的面積即可．
【詳解】解：∵長方形的長為，周長是，
∴長方形的寬為：，
∴它的面積是：．故答案為：．
15．（2023·廣東深圳·七年級校考期中）若恒成立，則 ．
【答案】0
【分析】將等式左邊按照單項式乘以多項式，再合并同類項，整理后形式和等式右邊一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案．
【詳解】解：根據題意可得：∵等式左邊，
∴，∴，解得：，
∴．故答案為：0
【點睛】本題主要考查的是整式的運算，掌握單項式與多項式的乘法運算，合并同類項即可求出結果，也是解題的關鍵．
16．（2023上·湖北荊門·八年級統考期末）已知的展開式中不含項，常數項是，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查整式的混合運算，整式中不含某項的運算，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．
根據多項式乘以多項式展開，再根據不含的項，含項的系數為零即可求解．
【詳解】解：，
∵常數項為，∴，∴，
∵不含項，∴，∴，∴，故答案為：．
17．（2024上·四川樂山·八年級統考期末）18世紀歐拉引進了求和符號“”（其中，且和表示正整數），對這個符號我們進行如下定義：表示從開始取數一直取到，全部加起來，即．例如：當時，．若，則 ， ， ．
【答案】 4 20
【分析】本題考查多項式乘多項式求和，恒等式的問題．先根據中二次項系數為3，得出，然后列出代數式，進行化簡，得出，即可求出結果．掌握求和符號的定義，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵中二次項系數為3，∴，
∴
，
∵，∴，
∴，，故答案為：4；；20．
18．（2024上·浙江臺州·八年級統考期末）若對任意x恒成立，其中均為整數，則m的值為 ．
【答案】/或/或
【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，有理數乘法．先根據多項式乘以多項式的計算法則得到，從而可得a、b的值，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵a、b為整數，∴或或或，∴，∴的值為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·江蘇·七年級專題練習）計算：．
【答案】．
【分析】根據積的乘方及單項式乘以單項式可進行求解．
【詳解】解：
．
【點睛】本題主要考查積的乘方及單項式乘以單項式，熟練掌握各個運算法則是解題的關鍵．
20．（2023·吉林四平·八年級校聯考期末）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了單項式乘多項式、化簡求值．先去括號再合并同類項，得，再把代入，即可作答．
【詳解】解：
，
當時，原式．
21．（2023下·湖南郴州·七年級校考階段練習）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】首先去括號、合并同類項，得到最簡式，把x、y的值代入最簡式，求出即可．
【詳解】

當，時，原式．
【點睛】本題考查了整式的混合運算和求值的應用，熟練掌握整式的混合運算和求值是解題的關鍵．
22．（2023·甘肅隴南·八年級統考期末）已知的展開式中不含項，常數項是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
【答案】(1)，(2)7
【分析】（1）直接利用多項式乘多項式將原式變形，進而得出，的值；
（2）先將原式進行化簡，然后將m與n的值代入原式即可求出答案．
【詳解】（1）解：原式
，
由于展開式中不含項，常數項是，則且，解得：，；
（2）由（1）可知：，，
原式．
【點睛】此題主要考查了多項式乘多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
23．（2023秋·河南安陽·八年級校考期末）在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙把a錯看成，得到結果是：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的條件下，計算的結果．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據題意得出，，得出，，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根據多項式乘以多項式法則求出即可．
【詳解】（1）根據題意得：，
，所以，，解得：，；
（2）當，時，．
【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．
24．（2024上·河北保定·七年級校聯考期中）為了優化宜居環境，某小區規劃修建一個“”形廣場，平面圖形如圖所示.(1)的長度可表示為_____；(2)求這個廣場的周長；(3)若，時，則該廣場的面積為_____
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查了整式的混合運算及化簡求值，注意計算的準確性即可．
（1）計算即可求解；（2）計算即可求解；
（3）根據計算出廣場的面積，再代值計算即可．
【詳解】（1）解：，故答案為：
（2）解：，答：這個廣場的周長為
（3）解：廣場的面積為：，
當，時，，故答案為：
25．（2023秋·江蘇·七年級統考期末）用“”定義一種新的運算：對于任意有理數x和y，規定：．如：．
(1)求的值；(2)若，求a的值；
(3)若，，試比較P與Q的大小，并說明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由見解析
【分析】(1)利用題中的新定義運算進行運算，即可求出其值；
(2)已知等式，利用題中的新定義運算，可得方程，解方程即可求出a的值；
(3)首先利用題中的新定義運算，分別求得P、Q的最簡式，再利用作差法進行大小的比較，即可判定．
【詳解】（1）解：
（2）解：，，解得；
（3）解：，理由如下：
，
，
，，，．
【點睛】此題考查了新定義運算，有理數及整式的混合運算，理解題意，準確計算是解決本題的關鍵．
26．（2023下·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為．
(1)小長方形的較長邊為 （用代數式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為，是 的（填正確/錯誤）；陰影A和陰影B的周長值之和與 （填有關/無關），與 （填有關/無關）；
(3)設陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請求出的值和該定值，若不存在請說明理由．
【答案】(1)(2)正確，有關，無關(3)存在使得S為定值，理由見解析
【分析】本題考查了列代數式以及整式的混合運算，根據圖形分別表示出相關邊長并能熟練運用整式加減的運算法則是解題的關鍵．（1）由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為；（2）由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為，據此求解即可；
（3）由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為4cm，
∴小長方形的長為，故答案為：；
（2）解：∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為，小長方形的寬為4cm，
∴陰影A的較短邊為，陰影B的較短邊為，
∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；
∵陰影A的較長邊為，較短邊為，
陰影B的較長邊為，較短邊為，
∴陰影A的周長為，
陰影B的周長為，
∴陰影A和陰影B的周長之和為，
∴陰影A和陰影B的周長之和與有關，與無關，故答案為：正確，有關，無關；
（3）解：∵陰影A的較長邊為，較短邊為，
陰影B的較長邊為，較短邊為，
∴陰影A的面積為，
陰影B的面積為，
∴陰影A和陰影B的面積之和為，
∴當時，為定值，定值為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題3.2單項式的乘法+專題3.3多項式的乘法
模塊1：學習目標
1.掌握單項式乘單項式的法則，并運用它們進行運算。
2.熟悉單項式乘法運算變形。
3.掌握多項式乘單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。
4.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活的運用運算律進行混運算。
模塊2：知識梳理
1）單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
注：①單項式乘單項式，結果仍為單項式；②單項式相乘時，注意不要漏掉無相同之母的項。
2）單項式乘多項式:根據乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數與原多項式的項數相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。
3）多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。
模塊3：核心考點與典例
考點1、單項式乘單項式
例1．（2024上·云南保山·八年級統考期末）計算：的結果是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023·浙江·七年級校考期中）x的m次方的5倍與的7倍的積是（　　）
A． B． C． D．
變式2.（2023上·廣東河源·七年級校考期中）計算： ．
變式3.（2023下·廣東清遠·七年級統考期末）若□，則□內應填的單項式是 ．
考點2、單項式乘單項式的應用
例1．（2024上·四川綿陽·八年級統考期末）在一塊邊長為的正方形紙板中，將四個角分別剪去邊長為的小正方形，然后將四周突出部分折起，折成一個無蓋的盒子，則該無蓋盒子的容積為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·山西呂梁·八年級校考期中）一頭非洲大象質量的最高紀錄為，則頭這樣的大象的質量為（ ）

A． B． C． D．
變式2.（2023下·河北滄州·七年級統考期中）如圖，將一張長方形的鐵皮剪去一個小長方形，余下的陰影部分面積是（ ）

A． B． C． D．
考點3、單項式乘多項式
例1．（2024上·湖北隨州·八年級統考期末）在“單項式乘多項式”的課堂上，有這樣一道題的計算過程：“□”內應填的符號為（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2024上·福建福州·八年級福建師大附中校考期末）計算： ．
變式2.（2023·四川達州·七年級校考期中）若a，b均為整數，且，則等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
變式3．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考期中）若對任意都成立，則 ．
考點4、單項式乘多項式的應用
例1．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）如圖，正方形的邊長為，點在射線上移動，以為邊作正方形，連接、、，在點移動的過程中，的面積（ ）

A．無法確定 B． C． D．
變式1.（2023上·四川巴中·八年級校考期中）三角形的一邊長為，這條邊上的高為，這個三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·吉林·八年級校考期中）要使的展開式中不含項，則的值是 ．
變式3．（2023上·浙江·八年級專題練習）今天數學課上，老師講了單項式乘以多項式，放學后，小華回到家拿出課堂筆記，認真復習老師課上講的內容，他突然發現一道題　　，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認為橫線上應填寫 ．
考點5、多項式乘多項式
例1．（2024上·山東臨沂·八年級統考期末）若的計算結果中項的系數為，則為（ ）
A． B．3 C． D．
變式1. （2024·浙江臺州·七年級統考期末）已知，，則 ．
變式2.（2023下·浙江金華·七年級統考期末）要使的展開式中不含常數項，則（ ）
A． B． C． D．
考點6、多項式乘多項式的應用
例1．（2024下·廣東江門·八年級校考開學考試）通過計算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的計算式子是（ ）
A． B．
C． D．
變式1. （2024上·四川宜賓·八年級統考期末）若，，則M與N的大小關系是（ ）
A． B． C． D．M與N的大小由x的取值而定
變式2.（2024下·浙江·七年級專題練習）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學給出了四種表示該長方形面積的多項式，你認為其中正確的有（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·山西臨汾·八年級校考階段練習）計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·四川眉山·八年級校考期中）若，則m、n的值分別為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江杭州·七年級統考期末）一個長方體，它的底面是邊長為的正方形，高為，它的體積是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023上·廣東深圳·七年級校聯考期中）一個長方形的長為x，寬比長的一半多1，則這個長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·七年級期中）小劉在一次數學課上，學習了單項式乘多項式，發現這樣一道題：，你認為“□”內應填寫（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建泉州·八年級統考期末）若等式成立，則的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·七年級課時練習）如圖，現有，兩類正方形卡片和類長方形卡片各若干張，如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，那么需要類卡片張數為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024·北京海淀·七年級統考期末）某玩具廠在生產配件時，需要分別從棱長為的正方體木塊中，挖去一個棱長為的小正方體木塊，得到甲、乙、丙三種型號的玩具配件（如圖所示）．將甲、乙、丙這三種配件的表面積分別記為、、，則下列大小關系正確的是（ ）注：幾何體的表面積是指幾何體所有表面的面積之和．

A． B． C． D．
9．（2023上·四川樂山·八年級校考階段練習）對于任意自然數n，代數式一定能被一個整數整除，那么這個整數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
10．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學給出了四種表示該長方形面積的多項式：①；②；③；④，你認為其中正確的有（ ）

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下浙江·七年級專題練習）計算： ．
12．（2024上·河南駐馬店·八年級統考期末）計算 ．
13．（2022上·重慶·八年級重慶十八中校考期中）已知代數式的值是7，則代數式的值是 ．
14．（2024下·浙江·七年級專題練習）長方形的長是，它的周長是，面積是 ．
15．（2023·廣東深圳·七年級校考期中）若恒成立，則 ．
16．（2023上·湖北荊門·八年級統考期末）已知的展開式中不含項，常數項是，則 ．
17．（2024上·四川樂山·八年級統考期末）18世紀歐拉引進了求和符號“”（其中，且和表示正整數），對這個符號我們進行如下定義：表示從開始取數一直取到，全部加起來，即．例如：當時，．若，則 ， ， ．
18．（2024上·浙江臺州·八年級統考期末）若對任意x恒成立，其中均為整數，則m的值為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·江蘇·七年級專題練習）計算：．
20．（2023·吉林四平·八年級校聯考期末）先化簡，再求值：，其中．
21．（2023下·湖南郴州·七年級校考階段練習）先化簡，再求值：，其中，．
22．（2023·甘肅隴南·八年級統考期末）已知的展開式中不含項，常數項是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
23．（2023秋·河南安陽·八年級校考期末）在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙把a錯看成，得到結果是：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的條件下，計算的結果．
24．（2024上·河北保定·七年級校聯考期中）為了優化宜居環境，某小區規劃修建一個“”形廣場，平面圖形如圖所示.(1)的長度可表示為_____；(2)求這個廣場的周長；(3)若，時，則該廣場的面積為_____
25．（2023秋·江蘇·七年級統考期末）用“”定義一種新的運算：對于任意有理數x和y，規定：．如：．
(1)求的值；(2)若，求a的值；
(3)若，，試比較P與Q的大小，并說明理由．
26．（2023下·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為．
(1)小長方形的較長邊為 （用代數式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為，是 的（填正確/錯誤）；陰影A和陰影B的周長值之和與 （填有關/無關），與 （填有關/無關）；
(3)設陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請求出的值和該定值，若不存在請說明理由．
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