資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.4 乘法公式+專題3.5 整式的化簡
模塊1：學習目標
1. 掌握平方差公式、完全平方公式結構特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義。
2.學會運用平方差公式、完全平方公式進行計算；了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。
3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆運算解決問題。
5.掌握整式化簡的運算順序和運用乘法公式畫家。
模塊2：知識梳理
1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數的平方差。
注：①字母a、b僅是一個表達式，即可以表示一個數字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。
②在套用平方差公式時，要依據公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。
2）完全平方和（差）公式：
3）完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積
注：①a、b僅是一個符號，可以表示數、字母、單項式或多項式；②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式
4）拓展：利用可推導除一些變式
①；
②；
注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結合推導出來。
5）整式的化簡應遵循先乘方，再乘除、最后算加減的順序，能運用乘法公式的則運用公式。
模塊3：核心考點與典例
考點1、平方差公式及其運用
例1．（2023上·廣西南寧·八年級統考期末）下列式子可用平方差公式計算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的特點“一項的符號相同，另一項的符號相反”是解題的關鍵．根據平方差公式的特點：一項的符號相同，另一項的符號相反，逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. ，不可用平方差公式計算，不符合題意；
B. ，不可用平方差公式計算，不符合題意；
C. ，不可用平方差公式計算，不符合題意；
D. ，可用平方差公式計算，符合題意．故選：D．
變式1. （2023·上海嘉定·七年級校考階段練習）（ )．
【答案】
【分析】本題考查平方差公式，熟記平方差公式是解題的關鍵．利用完全平方差公式進行求解即可．
【詳解】解：．故答案為：．
變式2.（2024下·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）若，，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的特點是解決問題的關鍵．利用平方差公式進行計算，即可得出答案．
【詳解】解：，，，，故答案為：5
變式3.（2024上·河南洛陽·八年級統考期末）如果一個數大于0且等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為“幸福數”．下列數中為“幸福數”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】本題主要考查了平方差公式，根據題意設出兩個相鄰的奇數，進而求出它們的差，從而推出“幸福數”一定是8的倍數，據此可得答案．
【詳解】解：設兩個連續的奇數為（n為大于1的整數），
=，
∴“幸福數”一定是8的倍數，∴四個選項中只有D選項中的數是8的倍數，故選：D．
考點2、平方差公式與幾何圖形
例1．（2023·福建·八年級統考期末）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了幾何圖形與乘法公式；根據兩個圖形中陰影部分面積相等即可驗證．
【詳解】解：圖甲中陰影部分面積為邊長為a的正方形面積減去邊長為b的正方形面積，即；圖乙中陰影部分面積等于長為、寬為的長方形面積，即，
根據這兩部分面積相等有：；故選：A．
變式1.（2024·河南洛陽·八年級統考期末）如圖，從邊長為m的大正方形中剪掉一個邊長為n的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開拼成右邊的長方形，根據圖形的變化過程，寫出一個正確的等式是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應用，左邊一幅圖中，陰影部分的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，右邊一幅圖中，陰影部分面積是一個長為，寬為的長方形面積，據此分別表示出兩幅圖中陰影部分面積，再由兩幅圖陰影部分面積相等即可得到答案．
【詳解】解：左邊一幅圖中，陰影部分的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，即，
右邊一幅圖中，陰影部分面積是一個長為，寬為的長方形面積，即，
∵兩幅圖中陰影部分面積相等，∴，故選：B．
變式2.（2024上·山東臨沂·八年級統考期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一個矩形．
(1)通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是：________；
A． B． C． D．
(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知：，求的值；②計算：．
【答案】(1)B(2)①；②．
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，解題的關鍵是掌握平方差公式并能靈活應用．
（1）表示出兩個圖中陰影的面積可得答案；
（2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再約分即可．
【詳解】（1）解：第一個圖形面積為，第二個圖形的面積為，
∴可以驗證的等式是：，故答案為：B；
（2）解：①
②原式
．
考點3、完全平方公式
例1．（2023·黑龍江大慶·八年級校考期末）已知，則代數式______．
【答案】
【分析】將所給式子變形為，再將所求式子利用完全平方公式變形，整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，∴，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了代數式求值，完全平方公式的應用，解題的關鍵是掌握整體思想的運用，不要盲目代入．
變式1.（2023·浙江七年級課時練習） (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據完全平方公式進行計算即可求解．
【詳解】解：原式，故選：B．
【點睛】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關鍵．
變式2.（2023·陜西咸陽·七年級校考階段練習）利用乘法公式進行計算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查平方差公式和完全平方公式．
（1）根據完全平方公式即可求出答案；
（2）根據平方差公式即可求出答案；
解題的關鍵是將各式化為完全平方公式或平方差公式進行運算．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
考點4、完全平方公式與幾何圖形
例1．（2020下·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖，根據標注該圖所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知邊長表示出各部分面積即可．
【詳解】解：由題意可得：陰影部分的面積為：，也可以表示為：，
能驗證的乘法公式是：．故選：C．
【點睛】本題考查了完全平方式的幾何背景，正確表示出各部分面積是解題關鍵．
變式1. （2023·江西宜春·八年級統考期末）圖（1）是一個長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，小長方形的長為，寬為，然后按圖（2）拼成一個正方形，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證的等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圖形的面積，根據圖形面積的關系，寫出等式即可．
【詳解】解：大正方形的邊長為：,空白正方形邊長：，
圖形面積：大正方形面積，空白正方形面積，四個小長方形面積為：，
∴=+．
故選擇：B．
【點睛】本題考查利用面得到的等式問題，掌握面積的大小關系，抓住大正方形面積=空白小正方形面積+四個小正方形面積是解題關鍵．
變式2.（2023·四川成都·七年級校考階段練習）若x滿足，求的值．
解：設，，則，，．
請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若滿足，求的值；
(2)，求與的值；
(3)已知正方形的邊長為，分別是、上的點，且，，長方形的面積是15，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．
【答案】(1)(2)，(3)
【分析】本題考查代數式求值，涉及完全平方公式、整體代入求值等，讀懂題意，找準條件與所求代數式的練習，利用完全平方公式變形，整體代入求值即可得到答案．
（1）設，，根據材料中的方法，求出和與差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；（2）設，，根據材料中的方法，求出和與差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；由，代值求解即可得到答案；
（3）根據題意，得到正方形邊長，數形結合得到，設，，利用材料中的方法，求出，代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：設，，則，，；
（2）解：，，設，，
則，，，即，解得，
；，
；
（3）解：根據題意可知正方形的邊長為，正方形的邊長為，
正方形的邊長為不為負值，，即，
，
長方形的面積是15，，
設，，則，，
，
即，負值舍去；，陰影部分的面積是．
考點5、完全平方公式的字母系數
例1．（2023·四川眉山·八年級統考期中）如果二次三項式是完全平方式，則常數的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查完全平方公式，解題時注意下面兩個公式的結構特征：和．
【詳解】由是完全平方式，故 得 故選：C．
變式1. （2023·四川宜賓·八年級統考期末）若代數式是一個完全平方式，則 ．
【答案】或4
【分析】本題考查了完全平方公式的應用：根據，結合，列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵是一個完全平方式
∴則解得或4。故答案為：或4
變式2. （2024上·重慶城口·八年級統考期末）已知是完全平方式，則a的值為 ．
【答案】
【分析】此題考查了完全平方式的應用能力，根據完全平方公式進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，解得，故答案為：．
考點6、完全平方公式中的知二求二
例1．（2024上·內蒙古赤峰·八年級統考期末）同學們在學習八年級上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》時，學習了重要的公式——完全平方公式，解答下列各題：
【基礎公式】請寫出完全平方公式______；
【公式變形】公式可以變形為______；
【基礎應用】（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值；
【拓展拔高】若，求的值．
【答案】基礎公式：；公式變形：或；基礎應用：（1）；（2）；拓展拔高：
【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式以及公式變形是解題的關鍵．
基礎公式：根據完全平方公式解答即可；公式變形：通過移項即可得出變形結果；
基礎應用：（1）根據公式變形中的結果代入計算即可；（2）根據公式變形中的結果代入計算即可；
拓展拔高：先判斷出，即可得出，從而得到，然后根據公式變形中的結果代入計算即可．
【詳解】解：基礎公式：請寫出完全平方公式；故答案為：；
公式變形：公式可以變形為或；
故答案為：或； 基礎應用：（1）∵，
又∵，∴；
（2）∵，
拓展拔高： 方程兩邊同除以a得
即
變式1.（2023上·四川眉山·八年級校考期末）已知，，則的值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】此題主要考查了完全平方公式的應用，掌握完全平方公式及公式的變形是解題關鍵．
利用完全平方公式得出，整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，，∴，故選：C．
變式2.（2023上·山東臨沂·八年級統考期末）已知，則的值為（ ）
A．14 B． C．7 D．4
【答案】A
【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．利用完全平方公式變形，即可求解．
【詳解】解：∵，∴，解得：．故選：A．
變式3.（2023·山東日照·八年級統考期末）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查完全平方公式的變形，利用完全平方公式變形解決問題是解題關鍵．由可得答案．
【詳解】解：∵ ，
∴，故選B．
考點7、完全平方公式中應用--配方
例1．（2024·陜西西安·七年級校考期中）閱讀以下材料：若，求的值．
思路分析：一個方程求兩個未知數顯然不容易，考慮已知等式的特點，將其整理為兩個完全平方式的和，利用其非負性轉化成兩個一元一次方程，進而求出．
解：，
，，
又．
請你根據上述閱讀材料解決下列問題：(1)若，求的值；
(2)當分別取何值時，代數式有最小值？并求其最小值．
【答案】(1)；(2)代數式有最小值，最小值為．
【分析】本題考查完全平方公式的拓展應用，充分理解材料，掌握將多項式配成完全平方式的方法以及理解完全平方式的非負性是解題關鍵．（1）將等式左邊整理為兩個完全平方式和的形式，利用其非負性轉化成兩個一元一次方程，進而求解；（2）將其整理為三個完全平方式與的和的形式，利用其非負性求解即可．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∴，又，，
∴，，∴，，∴；
（2）解：∵，
又，，，
∴代數式有最小值，最小值為．
變式1.（2024·江蘇南通·八年級統考期末）已知滿足，則的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本題考查了配方法的應用，偶次方的非負性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．先將配方成，求出a，b，c的值，再代入計算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，解得，∴，故選：B．
變式2.（2023上·福建福州·八年級校考期中）我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列問題：(1)代數式有最 （填大或小）值，這個值= ．
(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設計一個盡可能大的花圃，如圖設長方形一邊長度為米，完成下列任務．
①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？
【答案】(1)小，(2)①平方米；②當時，花圃的最大面積為1250平方米
【分析】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵；（1）根據題中所給方法可進行求解；（2）①利用長方形的面積長寬可得結論；②利用題中所給方法即可解決問題．
【詳解】（1）解：，∵，∴，
∴代數式有最小值，最小值為；故答案為小，；
（2）解：①由圖可得花圃的面積：平方米；
②由①可知：，
當時，，且，
當時，花圃的最大面積為1250平方米．
考點8、整式的化簡與求值
例1．（2024上·海南海口·八年級統考期末）計算(1)；(2)；
(3)先化簡，再求值：，其中，．
【答案】(1)(2)(3)；
【分析】本題考查了整式的混合運算和化簡求值，主要考查學生的計算能力和化簡能力．
（1）根據多項式乘多項式和積的乘方計算可以解答本題；
（2）根據單項式乘多項式和完全平方公式可以解答本題；；
（3）先據單項式乘多項式和完全平方公式化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入即可解答本題．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
當，時，原式．
變式1.（2023下·陜西咸陽·七年級校聯考階段練習）先化簡，再求值： ，其中 ．
【答案】，1
【分析】本題考查了整式的乘除混合運算、平方差公式以及化簡求值：先根據平方差公式算乘法、以及根據多項式乘多項式法則展開運算，再合并同類項，得，再把代入計算，即可作答．
【詳解】解：
把代入上式 得
變式2.（2023·廣東·八年級校聯考期末）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，36
【分析】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握乘法公式是解題的關鍵．
根據完全平方公式及平方差公式進行化簡，然后代值求解即可．
【詳解】解：原式，
當，時，原式．
變式3.（2023上·江西贛州·八年級校考階段練習）先化簡，再求值：其中．
【答案】，原式
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據平方差公式，完全平方公式和單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：，
當時，原式．
模塊4：同步培優題庫
全卷共26題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024上·江西贛州·八年級統考期末）下列各式使用乘法公式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平方差公式和完全平方公式，根據平方差公式和完全平方公式的結構特征進行判斷即可．
【詳解】解：A. ，計算正確，故選項A不符合題意；
B. ，計算正確，故選項B不符合題意；
C. ，計算錯誤，故選項C符合題意；
D. ，計算正確，故選項D不符合題意；故選：C．
2．（2024上·陜西商洛·八年級校考期末）若，則m的值為（ ）
A．4 B．1 C．－1 D．－4
【答案】B
【分析】本題考查完全平方公式應用．根據題意將展開整理后對應相等即可得到本題答案．
【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．
3．（2023上·河南漯河·八年級校考階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】題目主要考查整式的乘法運算，包括平方差公式及完全平方公式的計算，先運用平方差公式，然后再利用完全平方公式計算即可，熟練掌握運算法則是解題關鍵
【詳解】解：，故選：C
4．（2024上·山東德州·八年級統考期末）已知，則的值是（ ）
A．4 B．9 C．36 D．144
【答案】C
【分析】本題主要考查了平方差公式，根據，利用平方差公式得到，則．
【詳解】解：∵，∴，
∴，∴，∴，故選：C．
5．（2024下·陜西西安·七年級校考期中）若一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，則稱這個正整數為“好數”．下列正整數中能稱為“好數”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了新概念和平方差公式，兩個連續奇數分別為，，利用平方差公式計算，得到兩個連續奇數構造的“好數”是的倍數，據此解答即可，熟練掌握平方差公式：是解題的關鍵．
【詳解】設兩個連續奇數分別為，，
∴，
∴兩個連續奇數構造的“好數”是的倍數，
、是的倍數，符合題意；、不是的倍數，不符合題意；
、不是的倍數，不符合題意；、不是的倍數，不符合題意；故選：．
6．（2023上·云南德宏·八年級統考期末）如圖所示，將（甲）圖中陰影部分的小長方形變換到（乙）圖的位置，根據兩個圖形的面積關系得到的數學公式是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了平方差公式與幾何圖形的應用；分別表示出兩個圖形陰影部分的面積，再根據應用部分面積相等即可得到答案．
【詳解】解：圖甲中，陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分的面積為，
∵圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，∴，故選：A．
7．（2024下·陜西西安·七年級陜西師大附中校考開學考試）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方公式，根據完全平方公式，將變形，然后將整體代入即可解答熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關鍵．
【詳解】解：由得，，
∵，∴，∴，故選：．
8．（2024上·廣東珠海·八年級校考開學考試）a、b為實數，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本題考查完全平方公式的應用和偶次方的非負性，正確運用該完全平方公式是解答本題的關鍵．先分組，然后運用配方法得到，最后利用偶次方的非負性得到最小值．
【詳解】解：，
∵，，∴的最小值是，故選A．
9．（2023上·河南商丘·八年級校聯考期末）圖1為某校八（1）（2）兩個班級的勞動實踐基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為、的正方形，其中重疊部分為池塘，陰影部分、分別表示八（1）（2）兩個班級的基地面積．若，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．22
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方式，正方形的面積和整式的混合運算等知識點，先求出，，然后計算出，再根據，求出，最后整體代入計算即可．
【詳解】解：根據題意，得，，
∴，
∵，，∴，∴（負值舍去），
∴．故選：C．
10．（2023·浙江·七年級專題練習）已知a，b，c滿足，，，則的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】將已知三個等式的左右分別相加，然后根據配方法將其轉化為偶次方的和的形式；最后根據非負數的性質解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，∴，
即，∴，
∴，∴．故選：C．
【點睛】本題考查了配方法的應用、非負數的性質，解題的關鍵是根據完全平方和公式將代數式轉化為偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·浙江金華·七年級校聯考期中）在數學中，有時會出現大數值的運算．在學習了整式的乘法以后，通過用字母代替數轉化成整式乘法來解決，能達到化繁為簡的效果。例：若，，比較、的大小時，設，則，．∵，∴．參考上述解題過程，計算： ．
【答案】
【分析】根據平方差公式進行計算即可求解．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
12．（2022下·陜西咸陽·七年級校考階段練習）若，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是根據完全平方公式將展開，然后根據兩個多項式相等，即可得出的值．
【詳解】解：∵，，
∴，∴．故答案為：．
13．（2023下·四川成都·七年級校考階段練習） ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘多項式的運算，利用平方差公式和完全平方公式進行計算即可．
【詳解】解：，故答案為：．
14．（2023·江蘇蘇州·七年級統考期中） 已知，那么 ．
【答案】11
【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，對已知條件兩邊平方，整理后不難求解.
【詳解】解: 即 故答案為 11.
15．（2023·浙江七年級課時練習）若n滿足，_____．
【答案】4
【分析】設，則：，利用完全平方公式進行求解即可．
【詳解】解：設，則：，
∵，∴，
∴，∴，∴；故答案為：．
【點睛】本題考查完全平方公式．解題的關鍵是構造完全平方公式，利用整體思想，進行求解．
16．（2024·四川成都·七年級校考期末）如圖，一塊總面積為的型空地，可以看成由兩個正方形和拼成，現計劃在長方形區域種植格桑花．若的長為，則格桑花的種植面積為 ．
【答案】50
【分析】本題考查了完全平方公式，根據，兩邊平方后把正方形和的面積為代入即可求解．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵正方形和的面積為，∴，∴，
∴，即格桑花的種植面積為．故答案為：50．
17．（2023秋·山東濟寧·八年級統考期末）請你計算：，…猜想的結果是____（n為大于2的正整數）
【答案】##
【分析】各式計算得到結果，歸納總結得到一般性規律，寫出即可．
【詳解】解：∵，，；
∴猜想，故答案為：
【點睛】此題考查了平方差公式，多項式乘多項式，以及規律型：數字的變化類，弄清題中的規律是解本題的關鍵．
18．（2023·四川成都·模擬預測）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了（n為非負整數）展開式的各項系數的規律，例如：
，展開式有兩項，系數分別為1，1；
，展開式有三項，系數分別為1，2，1；
，展開式有四項，系數分別為1，3，3，1；
…
根據以上規律，（a＋b）4展開式共有五項，系數分別為 ．
【答案】1、4、6、4、1
【分析】此題考查完全平方公式，多項式展開式，數字的變化規律，正確觀察已知的式子與對應的三角形之間的關系是關鍵．
觀察可得（n為非負整數）展開式的各項系數的規律：首尾兩項系數都是1，中間各項系數等于相鄰兩項的系數和．
【詳解】解：根據題意知，的各項系數分別為1、、、、1，
即：1、4、6、4、1；
∴． 故答案為：1、4、6、4、1．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·河南安陽·八年級校聯考階段練習）先化簡，再求值：，其中
【答案】；．
【分析】此題主要考查了整式的混合運算化簡求值．直接利用乘法公式以及整式的混合運算法則化簡，再利用已知變形代入即可．
【詳解】
把代入得，．
20．（2024下·浙江·七年級專題練習）用乘法公式計算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)4899.91(2)(3)(4)
【分析】本題主要考查乘法公式里的完全平方公式和平方差公式，找出算式里的規律，把原式變成完全平方和平方差的形式是解題的關鍵．（1）把原式化成再利用平方差公式計算；（2）把原式化成再利用完全平方公式計算；（3）把看成一個整體，原式就可以看成是的平方差，就可以利用平方差公式計算；（4）先把看成一個整體，原式就可以看成是的完全平方，就可以利用完全平方公式計算．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
21．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）李老師在黑板上寫了三個算式，希望同學們認真觀察，發現規律，請你結合這些算式解答下列問題.請觀察以下算式：
①；
②；
③；……
(1)請結合上述三個算式的規律，寫出第④個算式：______；(2)設兩個連續奇數為，（其中n為正整數）、寫出它們的平方差，并說明結果是8的倍數．
【答案】(1)(2)，說明見解析
【分析】本題考查了數字類規律探索，完全平方公式，整式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）根據已知算式得規律，即可得出答案；
（2）將利用完全平方公式展開，再合并同類項，得到結果，即可得出結論．
【詳解】（1）解：觀察可知，第④個算式為，故答案為：；
（2）解：設兩個連續奇數為，（n為正整數）
，結果是8的倍數．
22．（2024上·山東濟寧·八年級統考期末）當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如，由圖1，可得等式：．

(1)由圖2，可得等式：______．(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值．
【答案】(1)；(2)88．
【分析】本題考查的是多項式的乘法與幾何圖形面積的關系，完全平方公式的幾何意義以及靈活應用，熟練的利用面積法得到代數恒等式是解本題的關鍵．（1）由圖2的面積可表示為：或，再利用面積的不變性可得等式；（2）把，代入，從而可得答案．
【詳解】（1）解：由圖（2）的面積可表示為：或；
∴可得等式為：；
（2）解：∵，，，
∴，∴．
23．（2023·廣東東莞·八年級校考期末）如圖，六邊形是一個軸對稱圖形，請將該圖形沿對稱軸剪開，將得到的兩個全等圖形拼成一個新的軸對稱圖形（兩個全等圖形不重疊）．(1)請畫出新的軸對稱圖形；(2)設六邊形的面積為，新的軸對稱圖形面積為，判斷，的大小關系，并直接用含的式子表示出來；(3)計算：．
【答案】(1)見解析(2)，，(3)
【分析】此題主要考查了平方差公式，畫軸對稱圖形，解題關鍵是熟記平方差公式：即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差．對于有圖形的題需要注意利用數形結合求解更形象直觀．
（1）將邊長為的兩邊分別結合即可；
（2六邊形的面積為等于正方形面積減小正方形面積，由（1）可知為梯形，由梯形面積公式計算即可，最后由平方差公式即可求解；（3）運用平方差公式求解即可．
【詳解】（1）解：新的軸對稱圖形如圖所示．（答案不唯一）
（2）由題意可知：；．
，，
（3）
24．（2023上·廣東江門·八年級江門市怡福中學校考階段練習）（1）下圖中的①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個如圖中的②所示的正方形．小明用兩種不同的方法求圖中②的陰影部分的面積，發現了以下等量關系：________．
（2）利用（1）中的等量關系解決下面的問題：
①，，求和的值；②已知，求的值．
【答案】（1）（2）①1，，②
【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關系得到完全平方公式是解題的關鍵．（1）可以用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；也可以直接利用正方形的面積公式得到；（2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值；
②由完全平方公式可知，，即則的值可求．
【詳解】（1）方法一：圖②中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即；
方法二：圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于，所以其面積為；
∴；故答案為：；
（2）①由（1）可知
∵，，∴，解得，，
∵，∴，∴．
②∵，∴即，∴．
25．（2023上·山東臨沂·八年級統考期末）多項式乘法的學習中，等式可以用平面圖形（圖1）的面積來說明．
(1)【探究】請使用（圖2）的2種規格的正方形，設計一個平面圖形方案說明等式是正確的；(2)【拓展】為進一步探索部分平面圖形的面積與等式的關系，在某次數學活動中，準備了（圖3）所示的三種規格的正方形、長方形卡片若干張．小明從中選取9張，拼成一個邊長為的正方形，請你寫出與其面積相應的等式；(3)【應用】請利用（2）中得到的等式解答以下問題：若實數滿足，，求的值．
【答案】(1)見解析(2)(3)
【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，冪的運算法則．（1）將該圖形的面積用兩種方式表示，即可解答；（2）將該圖形的面積用兩種方式表示，即可解答；
（3）根據，得出， 根據，得出，則，由（2）可得：，即可解答．
【詳解】（1）解：設計圖形如圖所示：∵將該圖形看做一個大正方形，則面積，
將該圖形看做兩個正方形和兩個長方形，則面積，
∴．
（2）解：∵將該圖形看做一個大正方形，則面積，
將該圖形看做3個正方形和6個長方形，則面積，
∴．
（3）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
由（2）可得：，
∴，∴．
26．（2024上·山東濟南·八年級統考期末）閱讀材料：
利用完全平方公式可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．
例如：求代數式的最小值
．
，當時，有最小值是2．
根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)求代數式的最小值；
(2)若，當　　　時，y有最　　　值（填“大”或“小”），這個值是　　　．
(3)試說明：無論取任何實數時，多項式的值總為正數．
【答案】(1)的最小值是3(2)；大；－2(3)說明見解析
【分析】本題考查配方法，涉及完全平方公式、平方非負性等知識，讀懂題意，利用配方法，結合平方非負性即可得到答案，熟練掌握配方法是解決問題的關鍵．
（1）根據閱讀材料，利用配方法，結合平方的非負性求解即可得到答案；
（2）根據閱讀材料，利用配方法，結合平方的非負性求解即可得到答案；
（3）根據閱讀材料，利用配方法，結合平方的非負性求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，的最小值是3；
（2）解：
，當時，y有最大值，這個值是，故答案為：，大，；
（3）解：，
，，，
無論取任何實數時，多項式的值總為正數．
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專題3.4 乘法公式+專題3.5 整式的化簡
模塊1：學習目標
1. 掌握平方差公式、完全平方公式結構特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義。
2.學會運用平方差公式、完全平方公式進行計算；了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。
3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆運算解決問題。
5.掌握整式化簡的運算順序和運用乘法公式畫家。
模塊2：知識梳理
1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數的平方差。
注：①字母a、b僅是一個表達式，即可以表示一個數字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。
②在套用平方差公式時，要依據公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。
2）完全平方和（差）公式：
3）完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積
注：①a、b僅是一個符號，可以表示數、字母、單項式或多項式；②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式
4）拓展：利用可推導除一些變式
①；
②；
注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結合推導出來。
5）整式的化簡應遵循先乘方，再乘除、最后算加減的順序，能運用乘法公式的則運用公式。
模塊3：核心考點與典例
考點1、平方差公式及其運用
例1．（2023上·廣西南寧·八年級統考期末）下列式子可用平方差公式計算的是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023·上海嘉定·七年級校考階段練習）（ )．
變式2.（2024下·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）若，，則 ．
變式3.（2024上·河南洛陽·八年級統考期末）如果一個數大于0且等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為“幸福數”．下列數中為“幸福數”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
考點2、平方差公式與幾何圖形
例1．（2023·福建·八年級統考期末）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（　　）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·河南洛陽·八年級統考期末）如圖，從邊長為m的大正方形中剪掉一個邊長為n的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開拼成右邊的長方形，根據圖形的變化過程，寫出一個正確的等式是（ ）

A． B．
C． D．
變式2.（2024上·山東臨沂·八年級統考期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一個矩形．
(1)通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是：________；
A． B． C． D．
(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知：，求的值；②計算：．
考點3、完全平方公式
例1．（2023·黑龍江大慶·八年級校考期末）已知，則代數式______．
變式1.（2023·浙江七年級課時練習） (　　)
A． B． C． D．
變式2.（2023·陜西咸陽·七年級校考階段練習）利用乘法公式進行計算：(1)；(2)．
考點4、完全平方公式與幾何圖形
例1．（2020下·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖，根據標注該圖所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．C． D．
變式1. （2023·江西宜春·八年級統考期末）圖（1）是一個長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，小長方形的長為，寬為，然后按圖（2）拼成一個正方形，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證的等式是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·四川成都·七年級校考階段練習）若x滿足，求的值．
解：設，，則，，．
請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若滿足，求的值；
(2)，求與的值；
(3)已知正方形的邊長為，分別是、上的點，且，，長方形的面積是15，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．
考點5、完全平方公式的字母系數
例1．（2023·四川眉山·八年級統考期中）如果二次三項式是完全平方式，則常數的值為（　　）
A． B． C． D．
變式1. （2023·四川宜賓·八年級統考期末）若代數式是一個完全平方式，則 ．
變式2. （2024上·重慶城口·八年級統考期末）已知是完全平方式，則a的值為 ．
考點6、完全平方公式中的知二求二
例1．（2024上·內蒙古赤峰·八年級統考期末）同學們在學習八年級上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》時，學習了重要的公式——完全平方公式，解答下列各題：
【基礎公式】請寫出完全平方公式______；
【公式變形】公式可以變形為______；
【基礎應用】（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值；
【拓展拔高】若，求的值．
變式1.（2023上·四川眉山·八年級校考期末）已知，，則的值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
變式2.（2023上·山東臨沂·八年級統考期末）已知，則的值為（ ）
A．14 B． C．7 D．4
變式3.（2023·山東日照·八年級統考期末）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
考點7、完全平方公式中應用--配方
例1．（2024·陜西西安·七年級校考期中）閱讀以下材料：若，求的值．
思路分析：一個方程求兩個未知數顯然不容易，考慮已知等式的特點，將其整理為兩個完全平方式的和，利用其非負性轉化成兩個一元一次方程，進而求出．
解：，
，，
又．
請你根據上述閱讀材料解決下列問題：(1)若，求的值；
(2)當分別取何值時，代數式有最小值？并求其最小值．
變式1.（2024·江蘇南通·八年級統考期末）已知滿足，則的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
變式2.（2023上·福建福州·八年級校考期中）我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列問題：(1)代數式有最 （填大或小）值，這個值= ．
(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設計一個盡可能大的花圃，如圖設長方形一邊長度為米，完成下列任務．
①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？
考點8、整式的化簡與求值
例1．（2024上·海南海口·八年級統考期末）計算(1)；(2)；
(3)先化簡，再求值：，其中，．
變式1.（2023下·陜西咸陽·七年級校聯考階段練習）先化簡，再求值： ，其中 ．
變式2.（2023·廣東·八年級校聯考期末）先化簡，再求值：，其中，．
變式3.（2023上·江西贛州·八年級校考階段練習）先化簡，再求值：其中．
模塊4：同步培優題庫
全卷共26題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024上·江西贛州·八年級統考期末）下列各式使用乘法公式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·陜西商洛·八年級校考期末）若，則m的值為（ ）
A．4 B．1 C．－1 D．－4
3．（2023上·河南漯河·八年級校考階段練習）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·山東德州·八年級統考期末）已知，則的值是（ ）
A．4 B．9 C．36 D．144
5．（2024下·陜西西安·七年級校考期中）若一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，則稱這個正整數為“好數”．下列正整數中能稱為“好數”的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·云南德宏·八年級統考期末）如圖所示，將（甲）圖中陰影部分的小長方形變換到（乙）圖的位置，根據兩個圖形的面積關系得到的數學公式是（ ）
A． B． C．D．
7．（2024下·陜西西安·七年級陜西師大附中校考開學考試）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·廣東珠海·八年級校考開學考試）a、b為實數，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
9．（2023上·河南商丘·八年級校聯考期末）圖1為某校八（1）（2）兩個班級的勞動實踐基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為、的正方形，其中重疊部分為池塘，陰影部分、分別表示八（1）（2）兩個班級的基地面積．若，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．22
10．（2023·浙江·七年級專題練習）已知a，b，c滿足，，，則的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·浙江金華·七年級校聯考期中）在數學中，有時會出現大數值的運算．在學習了整式的乘法以后，通過用字母代替數轉化成整式乘法來解決，能達到化繁為簡的效果。例：若，，比較、的大小時，設，則，．∵，∴．參考上述解題過程，計算： ．
12．（2022下·陜西咸陽·七年級校考階段練習）若，則的值是 ．
13．（2023下·四川成都·七年級校考階段練習） ．
14．（2023·江蘇蘇州·七年級統考期中） 已知，那么 ．
15．（2023·浙江七年級課時練習）若n滿足，_____．
16．（2024·四川成都·七年級校考期末）如圖，一塊總面積為的型空地，可以看成由兩個正方形和拼成，現計劃在長方形區域種植格桑花．若的長為，則格桑花的種植面積為 ．
17．（2023秋·山東濟寧·八年級統考期末）請你計算：，…猜想的結果是____（n為大于2的正整數）
18．（2023·四川成都·模擬預測）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了（n為非負整數）展開式的各項系數的規律，例如：
，展開式有兩項，系數分別為1，1；
，展開式有三項，系數分別為1，2，1；
，展開式有四項，系數分別為1，3，3，1；
…
根據以上規律，（a＋b）4展開式共有五項，系數分別為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·河南安陽·八年級校聯考階段練習）先化簡，再求值：，其中
20．（2024下·浙江·七年級專題練習）用乘法公式計算：
(1) (2) (3) (4)
21．（2023上·山東濟寧·八年級校考階段練習）李老師在黑板上寫了三個算式，希望同學們認真觀察，發現規律，請你結合這些算式解答下列問題.請觀察以下算式：
①；
②；
③；……
(1)請結合上述三個算式的規律，寫出第④個算式：______；(2)設兩個連續奇數為，（其中n為正整數）、寫出它們的平方差，并說明結果是8的倍數．
22．（2024上·山東濟寧·八年級統考期末）當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如，由圖1，可得等式：．

(1)由圖2，可得等式：______．(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值．
23．（2023·廣東東莞·八年級校考期末）如圖，六邊形是一個軸對稱圖形，請將該圖形沿對稱軸剪開，將得到的兩個全等圖形拼成一個新的軸對稱圖形（兩個全等圖形不重疊）．(1)請畫出新的軸對稱圖形；(2)設六邊形的面積為，新的軸對稱圖形面積為，判斷，的大小關系，并直接用含的式子表示出來；(3)計算：．
24．（2023上·廣東江門·八年級江門市怡福中學校考階段練習）（1）下圖中的①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個如圖中的②所示的正方形．小明用兩種不同的方法求圖中②的陰影部分的面積，發現了以下等量關系：________．
（2）利用（1）中的等量關系解決下面的問題：
①，，求和的值；②已知，求的值．
25．（2023上·山東臨沂·八年級統考期末）多項式乘法的學習中，等式可以用平面圖形（圖1）的面積來說明．
(1)【探究】請使用（圖2）的2種規格的正方形，設計一個平面圖形方案說明等式是正確的；(2)【拓展】為進一步探索部分平面圖形的面積與等式的關系，在某次數學活動中，準備了（圖3）所示的三種規格的正方形、長方形卡片若干張．小明從中選取9張，拼成一個邊長為的正方形，請你寫出與其面積相應的等式；(3)【應用】請利用（2）中得到的等式解答以下問題：若實數滿足，，求的值．
26．（2024上·山東濟南·八年級統考期末）閱讀材料：
利用完全平方公式可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．
例如：求代數式的最小值
．
，當時，有最小值是2．
根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)求代數式的最小值；
(2)若，當　　　時，y有最　　　值（填“大”或“小”），這個值是　　　．
(3)試說明：無論取任何實數時，多項式的值總為正數．
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