資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.6 同底數冪的除法+專題3.7 整式的除法
模塊1：學習目標
1.掌握正整數冪的除法運算性質，能用文字和符號語言正確地表述這些性質，并能熟練運算。
2.運用同底數冪的除法法則解決一下實際問題。
3.掌握單項式除以單項式，多項式除以單項式以及多項式除多項式的法則，并運用它們進行運算。
4.掌握整式的加、誠、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活的運用運算律進行混合運算。
模塊2：知識梳理
1）同底數冪的除法運算
同底數冪相除，底數不變，指數相減（與冪的乘法為逆運算），即am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數）。
2）與的應用
1）零指數冪：=1()； 2）負整數指數冪：=（，p為正整數）。
注意：；當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數，即“底倒指反”，即==；在混合運算中,始終要注意運算的順序。
3） ()的應用
注：，可能有三種情況：=1()； =1； =1（n為偶數）
4) 單項式除單項式
通常分為三個步驟：（1）將它們的系數相除作為上的系數；（2）對于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨有的字母，則連同它的指數一起作為商的因式。
5) 多項式除單項式：多項式的每一項分別除以單項式，然后再把所得的商相加。
注：計算時，多項式各項要包含它前面的符號，結果所得商的項數與原多項式的項數相同；當被除式的某一項與除式相同時，商為1，注意不能漏除某一項。
模塊3：核心考點與典例
考點1、同底數冪的除法運算
例1．（2023下·浙江·七年級專題練習）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查同底數冪的除法的性質，熟練掌握運算性質是解題的關鍵，運算式要注意符號和整體思想的運用．根據同數冪相除，底數不變，指數相減，對各選項計算后利用排除法求解．
【詳解】解：A、應為，故本選項錯誤；
B、應為，故本選項錯誤；
C、應為，故本選項錯誤；
D、，正確．故選：D．
變式1.（2024上·湖南衡陽·八年級統考期末）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法，冪的乘方等計算， 先計算冪的乘方，再根據同底數冪乘除法計算法則求解即可．
【詳解】解：，故選：B．
變式2.（2024上·河南商丘·八年級統考期末）若，，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪除法的計算．
根據同底數冪除法的計算法則進行求解即可．
【詳解】解：∵，，∴．故選：B．
變式3.（2024上·河南安陽·八年級統考期末）已知，n的值是（ ）
A． B．2 C．0.5 D．
【答案】B
【分析】此題考查了同底數冪除法法則，先將化為，根據同底數冪除法法則得到，計算可得答案．
【詳解】解：∴∴，故選：B．
考點2、同底數冪的除法的逆運算
例1．（2023上·遼寧盤錦·八年級校考期中）已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查整式乘除法，涉及同底數冪的乘法運算及其逆運算、冪的乘方運算及其逆運算、同底數冪的除法運算及其逆運算等，由，代值求解即可得到答案，熟記同底數冪的乘除運算法則是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，，
，故答案為：．
變式1. 7．（2024·浙江·八年級競賽）若，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了同底數冪的除法以及冪的乘方，解題的關鍵在于熟記同底數冪相除，底數不變，指數相減；冪的乘方，底數不變，指數相乘．
【詳解】 故選：A．
變式2. （2023上·四川南充·八年級統考期末）已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了同底數冪的除法，冪的乘方，關鍵是掌握同底數冪的除法與冪的乘方法則的逆用．
由同底數冪的除法和冪的乘方法則逆用，即可得到結論．
【詳解】解：∵，∴，
，，故答案為：．
變式3. （2023·上海七年級期末）如果，，那么________________．
【答案】
【分析】根據同底數冪除法的逆用和冪的乘方的逆用變形，然后利用整體代入法求值即可．
【詳解】解：∵，，
∴=====故答案為：．
【點睛】此題考查的是冪的運算性質的應用，掌握同底數冪除法的逆用和冪的乘方的逆用是解題關鍵．
考點3、同底數冪的除法的應用
例1．（2023上·四川資陽·八年級四川省安岳中學校考期中）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于 ．

【答案】2
【分析】本題主要考查了整式的加減計算，同底數冪除法的逆運算，先分別表示出經過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數分別為，，，再由題意可得最后三個袋子中的球都是21個，由此得到，即，最后根據進行計算求解即可．
【詳解】解：經過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數分別為，，，
∵一共有個球，且最后三個袋子中的球的數量相同，
∴最后三個袋子中的球都是21個，∴，
∴，∴，故答案為：2．
變式1. （2024上·浙江杭州·七年級統考期末）是的（　　）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了同底數冪除法的應用，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，根據題意列出算式進行求解即可．
【詳解】解：，∴是的2024倍．故選：C．
考點4、與的相關計算
例1．（2023·浙江七年級期末）計算
【答案】1
【分析】先算冪運算，化簡后在算加減運算．
【詳解】原式．
【點睛】本題考查0指數冪、負指數冪和冪運算，把握運算規則是解題關鍵．
變式1.（2023·成都市七年級月考）無意義，則x的取值為 ________．
【答案】
【分析】根據底數不為0的數的0次冪是1，可得底數不為0，可得答案．
【詳解】解：由題意得，解得，故答案為：．
【點睛】本題考查了零指數冪，掌握零指數冪的底數不能為0是解決此題的關鍵．
變式2．（2023·江蘇南通市·八年級月考）當a______時，(a-2)0=1．
【答案】a≠2
【分析】根據零指數冪的定義進行求解即可．
【詳解】根據零指數冪的定義：任何非零數的零指數冪為1，
得到，解得故答案為．
【點睛】本題考查了零指數冪的性質，重點是熟記零指數冪的定義，即任何非零數的零指數冪為1．
變式3.（2023·陜西延安市·八年級期末）計算：．
【答案】7
【分析】原式利用負整數指數冪法則、零指數冪法則、絕對值的代數意義及乘方的意義計算即可得到結果．
【詳解】解：．
【點睛】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式4．（2023·山西八年級期末）英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，榮獲了諾貝爾物理學獎．石墨烯是目前世上最薄卻也是最堅硬的納米材料，同時還是導電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000034毫米，將數0.00000034用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10 n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解析】解：0.00000034=，故選：D．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10 n，其中1≤a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
考點5、 ()的應用
例1.（2023.成都市錦江區初一期中）已知,則x= 。
【答案】-2；0；1
【詳解】情況1: 解得：x=-2； 情況2：解得：x=1；
情況3：解得：x=0；x +2=2（偶數），故符合條件
故答案為：-2；1；0
變式1.（2023.成外初一月考）若，則x的值為 。
【答案】-2； 1
【詳解】情況1: 解得：x=-2； 情況2：解得：x=1；
情況3：解得：x=0；x +3=3（奇數），故不符合條件
故答案為：-2； 1
變式2．（2023·浙江杭州市·七年級模擬）已知，則______．
【答案】或
【分析】分三種情況討論，當或當或，分別解方程，再檢驗可得答案．
【詳解】解： ，當時， 當時，，
經檢驗： 不合題意舍去，
當時，時， 綜上：或
【點睛】本題考查的是乘方的意義，乘方符號的確定，零次冪的含義，掌握以上知識是解題的關鍵．
考點6、單項式除單項式
例1．（2024上·河南南陽·八年級統考期末）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了單項式除以單項式，熟練掌握單項式除以單項式是解題的關鍵．根據積的乘方進行計算，然后根據單項式除以單項式進行計算即可求解．
【詳解】解： 故答案為
變式1. （2024上·海南海口·八年級統考期末）計算: ．
【答案】
【分析】本題考查了單項式除以單項式，先根據積的乘方進行計算，然后根據單項式除以單項式進行計算即可求解．
【詳解】解：故答案為：．
變式2.（2024·陜西西安·校考一模）若，則★代表的代數式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了整式運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．利用單項式乘以單項式計算即可．
【詳解】解：根據題意，得，故選：D．
考點7、多項式除單項式
例1．（2024上·青海西寧·八年級統考期末）計算： ．
【答案】/
【分析】本題考查了整式的除法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
利用多項式除以單項式的法則進行計算，即可解答．
【詳解】解：，故答案為：．
變式1. （2023·河北滄州·八年級聯考階段練習）若______，則橫線上的式子為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了多項式除以單項式，多項式除以單項式，先把多項式的每一項都分別除以這個單項式，然后再把所得的商相加．
【詳解】根據乘除法互逆運算可知，橫線上的式子為，選：．
變式2.（2024上·河北邯鄲·八年級統考期末）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查多項式除以單項式，根據多項式除以單項式法則：用多項式的每項去除以單項式即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，，答案：．
變式3.（2023下·四川成都·七年級校考階段練習）已知多項式除以一個多項式A，得商式為，則這個多項式 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項式除以單項式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．直接用多項式除以單項式即可得到答案．
【詳解】解：多項式除以一個多項式A，得商式為，
；；，故答案為：．
考點8、整式除法的應用
例1．（2023上·河北廊坊·八年級校考階段練習）若三角形的面積為，底邊上的高為，則三角形的底邊長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了多項式除以單項式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：三角形的底邊長為，故選C．
變式1. （2024上·陜西延安·八年級統考期末）一個長方形的面積為，其中一邊長為，則長方形的另一邊長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的除法，解題的關鍵是的正確計算．
【詳解】解：一個長方形的面積為，一邊長為，
它的另一邊長為：，故答案為：．
變式2. （2023上·吉林長春·八年級校考期末）小明在做作業的時候，不小心把墨水滴到了作業本上，，陰影部分即為被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了整式的除法，掌握多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加是解題的關鍵．
【詳解】解：，故選：A．
考點9、整式混合運算
例1．（2024上·河南南陽·八年級校考階段練習）先化簡，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】應用完全平方公式和平方差公式，將中括號中的式子展開，合并同類項后，在根據多項式除單項式進行化簡，將代入，即可求值，本題考查了完全平方公式，平方差公式，多項式除單項式，解題的關鍵是：熟練掌握完全平方公式和平方差公式．
【詳解】解：
當時，．
變式1．（2024上·四川眉山·八年級期中）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查整式的化簡求值，先根據完全平方公式和平方差公式以及多項式乘多項式法則進行計算，再將括號內合并同類項，再進行除法計算，最后代入計算即可．
【詳解】
將代入，可得原式．
變式2．（2023上·湖北襄陽·八年級統考期末）計算：
(1)；(2)求的值，其中，．
【答案】(1)(2)，
【分析】本題考查了多項式除以單項式，整式的化簡求值．(1)根據多項式除以單項式的運算法則計算即可．(2)根據去括號，合并同類項，進行化簡，后代入求值即可．
【詳解】（1）解：＝ ＝．
（2）解：
當，時，．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024上·浙江臺州·八年級統考期末）的運算結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查單項式除以單項式，根據單項式除以單項式的法則解題即可得到答案．
【詳解】解：，故選D．
2．（2023上·湖北荊門·八年級統考期末）信息技術的存儲設備常用B，，，等作為存儲量的單位，其中，，（字節）．對于一部存儲量為8的數碼相機，它最多能拍攝并保存大小為的數碼相片（ ）
A．張 B．張 C．張 D．張
【答案】B
【分析】本題主要考查有理數的乘方．根據乘方的定義，得．再根據同底數冪的乘法法則（m，n是正整數），可得答案．
【詳解】解：∵，，，
∴．,
∴最多能拍攝并保存大小為的數碼相片張, 故選：B．
3．（2023上·河南周口·八年級校聯考期中）若，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪的除法法則，根據同底數冪的除法法則進行計算，建立關于m，n的方程求解即可．
【詳解】解：，，，故選：B．
4．（2023上·河南新鄉·八年級校考階段練習）下列四個算式：①；②；③；④．其中計算不正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】B
【分析】本題考查冪的運算，涉及同底數冪的除法、積的乘方、冪的乘方等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．根據同底數冪的除法、積的乘方、冪的乘方法則逐個解題
【詳解】解：①，錯誤，②，正確，
③，錯誤，④，正確故①③錯誤，故選：B．
5．（2023·浙江杭州·七年級校考階段練習）是的（　）倍．
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查同底數冪的除法，運用同底數冪除法法則進行計算即可得到答案
【詳解】解：，即：是的4倍．故選：C．
6．（2023上·吉林四平·八年級校聯考期末）有下列式子：①；②；③；④，其中計算正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查了整式的乘除，涉及同底數冪除法、積的乘方、整式乘法，根據相關運算法則逐一計算，即可得出答案．
【詳解】解：，故此選項錯誤；，故此選項錯誤；
，故此選項錯誤；，正確．故選：C．
7．（2024上·四川瀘州·八年級統考期末）已知，，m，n為正整數，則＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查同底數冪的乘法，冪的乘方，利用同底數冪的乘法的法則及冪的乘方的法則進行運算即可．
【詳解】解：當，時，
．故選：B．
8．（2024上·湖南永州·八年級統考期末）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C．12 D．21
【答案】A
【分析】本題考查同底數冪除法運算逆運算，根據，將，代入求值，即可解題．
【詳解】解：，將，代入上式，有，故答案為：A．
9．（2024上·湖北襄陽·八年級統考期末）三角形的面積是，它的一條高是，這條高對應的底邊長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了整式的除法運算：根據三角形的面積等于底乘高的一半，故底邊長等于面積除以高，列式計算即可作答．
【詳解】解：∵三角形的面積是，它的一條高是，
∴這條高對應的底邊長故選：A
10．（2023·浙江·七年級校聯考期末）小亮在計算時，錯把括號內的減號寫成了加號，那么正確的結果與錯誤的結果的乘積是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查整式的乘除運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．分別計算出與的結果，然后將它們相乘計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，故答案為：．故選：C
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024上·廣西河池·八年級統考期末）計算的結果是 ．
【答案】
【分析】本題考查了單項式除以單項式，掌握單項式除以單項式的法則是解題的關鍵．
把系數相除得，同底數的冪相除得，再把所得的商相乘即可．
【詳解】解： 故答案為：．
12．（2023·江西八年級月考）正常情況下，一個成年人的一根頭發大約是0.0000012千克，將0.0000012用科學記數法表示應該是______．
【答案】1.2×10﹣6
【分析】根據科學記數法的表示方法解答即可．
【詳解】解：將0.0000012用科學記數法表示應該是1.2×10﹣6．故答案為：1.2×10﹣6．
【點睛】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
13．（2023上·福建福州·八年級統考期末）若，則的值是 ．
【答案】4
【分析】本題考查同底數冪除法．根據同底數冪除法法則計算即可．
【詳解】解：，，，解得：，故答案為：4．
14．（2024上·陜西商洛·八年級校考期末）已知，，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算．根據同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算法則求解即可．
【詳解】解：∵，，∴故答案為：．
15．（2024上·四川樂山·八年級統考期末）若，則 ．
【答案】16
【分析】本題考查了冪的運算，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵；
把化簡為同底數冪的運算，由得，代入即可求解；
【詳解】，
∴，，，，故答案為：16
16．（2023·四川郫都·初一期末）計算：（）2019×（）﹣2020＝_____．
【答案】
【分析】根據負整數指數冪的定義以及同底數冪的乘法法則計算即可．
【解析】解：（）2019×（）﹣2020＝．故答案為：．
【點睛】本題主要考查同底數冪的運算及負指數冪，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
17．（2023·遼寧鞍山·八年級統考階段練習）若A與的積為，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項式除以單項式，根據乘除法互為逆運算，只需要計算出的結果即可得到答案．
【詳解】解：∵A與的積為
∴，故答案為：．
18．（2023上·山西臨汾·八年級校聯考期中）第七屆山西（運城）國際果品交易博覽會于10月23日到30日在運城市舉辦．本屆果博會以“果蔬運城，走向世界”為主題，努力將果博會辦成果農的豐收節、果業的嘉年華、果企的狂歡季、果品的競秀場．小玲家的蘋果園呈長方形，果園的面積為平方米，一邊長為米，則該蘋果園的另一邊長為 米．
【答案】/
【分析】本題考查了整式的除法，由長方形的面積求法可知由一邊乘以另一邊而得，則本題由面積除以邊長可求得另一邊．
【詳解】解：∵長方形面積是，一邊長為，
∴它的另一邊長是：．故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024上·吉林·八年級統考期末）計算：．
【答案】．
【分析】本題考查了整式的乘除混合運算，根據積的乘方、同底數冪相乘、同底數冪相除法則化簡，即可作答．
【詳解】解：
20．（2024上·湖北武漢·八年級統考期末）化簡：
【答案】
【分析】本題考查了冪的相關運算，涉及了同底數冪的乘除法、冪的乘方，合并同類項法則，掌握相關運算法則是解題關鍵．
【詳解】原式
21．（2023·浙江·七年級課堂例題）已知的值為64，求的值．
【答案】．
【分析】本題考查同底數冪相乘，同底數冪相除．根據題意先將每項均換成以為底的，再將64寫成，最后指數相等即可得到本題答案．
【詳解】解：由題意得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴．
22．（2023上·湖北恩施·八年級統考期末）仔細閱讀下列計算過程：
（________）
（________）
．
①在________上填寫恰當的運算根據；
②上述計算是否正確，若錯誤，請你寫出你認為正確的計算．
【答案】①積的乘方、冪的乘方；同底數冪相乘（或單項式乘以單項式的法則）
②不正確 ，見解析．
【分析】本題主要考查了冪的混合運算，整數除法，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵．
①根據積的乘方、冪的乘方；同底數冪相乘（或單項式乘以單項式的法則）分析填空；
②先算乘方，然后再算除法．
【詳解】解：①
（積的乘方、冪的乘方）
（同底數冪相乘）
．
故答案為：積的乘方、冪的乘方；同底數冪相乘（或單項式乘以單項式的法則）；
②不正確，正確的計算如下：
．
23．（2024下·浙江·七年級專題練習）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的混合運算，完全平方公式，平方差公式和多項式除以單項式，先根據完全平方公式，平方差公式和多項式除以單項式法則進行化簡，然后把進行代入即可，熟練熟練運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
，，；
∵，∴原式．
24．（2023·河北唐山·一模）某市計劃修建一個長為米，寬為米的矩形市民休閑廣場．
(1)請計算該廣場的面積S（結果用科學記數法表示）；
(2)如果用一種正方形大理石地磚鋪裝該廣場地面，請計算需要多少塊大理石地磚．
【答案】(1) (2)塊
【分析】(1)根據面積公式，單項式乘以單項式法則計算即可．
(2)根據總面積除以單塊大理石的面積計算即可．
【詳解】（1）根據題意，得（）．
答：廣場的面積為．
（2）∵單塊大理石的面積是，
∴．
答：需要塊大理石地磚．
【點睛】本題考查了整式的除法與乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
25．（2023·北京西城·八年級校考期中）愛思考的小郭同學發現教科書中介紹了多項式除以單項式的方法，并沒有介紹多項式除以多項式的方法，通過查閱資料小郭同學發現了多項式除以多項式的一種方法叫“綜合除法”，綜合除法主要用于一元多項式，除以一次多項式的演算，以便獲得商式和余式，具體方法如下：
①寫出分離系數豎式：
②進行相關計算：
將落下得到，計算并置于下方，計算得到；計算并置于下方，計算得到……計算并置于下方，計算得到．
③寫出計算結果：除以得到商式
和余式．
解決問題：利用綜合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
【答案】 ； 2．
【分析】根據題中“綜合除法”的運算方法進行計算即可．
【詳解】解：由題意得：
∴商式為，余式為2，
故答案為：①，②2．
【點睛】本題考查了整式的除法運算，正確理解“綜合除法”的運算方法是解題的關鍵．
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專題3.6 同底數冪的除法+專題3.7 整式的除法
模塊1：學習目標
1.掌握正整數冪的除法運算性質，能用文字和符號語言正確地表述這些性質，并能熟練運算。
2.運用同底數冪的除法法則解決一下實際問題。
3.掌握單項式除以單項式，多項式除以單項式以及多項式除多項式的法則，并運用它們進行運算。
4.掌握整式的加、誠、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活的運用運算律進行混合運算。
模塊2：知識梳理
1）同底數冪的除法運算
同底數冪相除，底數不變，指數相減（與冪的乘法為逆運算），即am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數）。
2）與的應用
1）零指數冪：=1()； 2）負整數指數冪：=（，p為正整數）。
注意：；當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數，即“底倒指反”，即==；在混合運算中,始終要注意運算的順序。
3） ()的應用
注：，可能有三種情況：=1()； =1； =1（n為偶數）
4) 單項式除單項式
通常分為三個步驟：（1）將它們的系數相除作為上的系數；（2）對于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨有的字母，則連同它的指數一起作為商的因式。
5) 多項式除單項式：多項式的每一項分別除以單項式，然后再把所得的商相加。
注：計算時，多項式各項要包含它前面的符號，結果所得商的項數與原多項式的項數相同；當被除式的某一項與除式相同時，商為1，注意不能漏除某一項。
模塊3：核心考點與典例
考點1、同底數冪的除法運算
例1．（2023下·浙江·七年級專題練習）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
變式1.（2024上·湖南衡陽·八年級統考期末）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024上·河南商丘·八年級統考期末）若，，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
變式3.（2024上·河南安陽·八年級統考期末）已知，n的值是（ ）
A． B．2 C．0.5 D．
考點2、同底數冪的除法的逆運算
例1．（2023上·遼寧盤錦·八年級校考期中）已知，，則的值為 ．
變式1. （2024·浙江·八年級競賽）若，則（ ）．
A． B． C． D．
變式2. （2023上·四川南充·八年級統考期末）已知，，則的值為 ．
變式3. （2023·上海七年級期末）如果，，那么________________．
考點3、同底數冪的除法的應用
例1．（2023上·四川資陽·八年級四川省安岳中學校考期中）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于 ．

變式1. （2024上·浙江杭州·七年級統考期末）是的（　　）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
考點4、與的相關計算
例1．（2023·浙江七年級期末）計算
變式1.（2023·成都市七年級月考）無意義，則x的取值為 ________．
變式2．（2023·江蘇南通市·八年級月考）當a______時，(a-2)0=1．
變式3.（2023·陜西延安市·八年級期末）計算：．
變式4．（2023·山西八年級期末）英國曼徹斯特大學的兩位科學家因為成功地從石墨中分離出石墨烯，榮獲了諾貝爾物理學獎．石墨烯是目前世上最薄卻也是最堅硬的納米材料，同時還是導電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000034毫米，將數0.00000034用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
考點5、 ()的應用
例1.（2023.成都市錦江區初一期中）已知,則x= 。
變式1.（2023.成外初一月考）若，則x的值為 。
變式2．（2023·浙江杭州市·七年級模擬）已知，則______．
考點6、單項式除單項式
例1．（2024上·河南南陽·八年級統考期末）計算： ．
變式1. （2024上·海南海口·八年級統考期末）計算: ．
變式2.（2024·陜西西安·校考一模）若，則★代表的代數式是（ ）
A． B． C． D．
考點7、多項式除單項式
例1．（2024上·青海西寧·八年級統考期末）計算： ．
變式1. （2023·河北滄州·八年級聯考階段練習）若______，則橫線上的式子為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024上·河北邯鄲·八年級統考期末）計算： ．
變式3.（2023下·四川成都·七年級校考階段練習）已知多項式除以一個多項式A，得商式為，則這個多項式 ．
考點8、整式除法的應用
例1．（2023上·河北廊坊·八年級校考階段練習）若三角形的面積為，底邊上的高為，則三角形的底邊長為（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2024上·陜西延安·八年級統考期末）一個長方形的面積為，其中一邊長為，則長方形的另一邊長為 ．
變式2. （2023上·吉林長春·八年級校考期末）小明在做作業的時候，不小心把墨水滴到了作業本上，，陰影部分即為被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一項是（ ）
A． B． C． D．
考點9、整式混合運算
例1．（2024上·河南南陽·八年級校考階段練習）先化簡，再求值：，其中.
變式1．（2024上·四川眉山·八年級期中）先化簡，再求值：，其中．
變式2．（2023上·湖北襄陽·八年級統考期末）計算：
(1)；(2)求的值，其中，．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024上·浙江臺州·八年級統考期末）的運算結果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北荊門·八年級統考期末）信息技術的存儲設備常用B，，，等作為存儲量的單位，其中，，（字節）．對于一部存儲量為8的數碼相機，它最多能拍攝并保存大小為的數碼相片（ ）
A．張 B．張 C．張 D．張
3．（2023上·河南周口·八年級校聯考期中）若，則有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南新鄉·八年級校考階段練習）下列四個算式：①；②；③；④．其中計算不正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
5．（2023·浙江杭州·七年級校考階段練習）是的（　）倍．
A．2 B．3 C．4 D．8
6．（2023上·吉林四平·八年級校聯考期末）有下列式子：①；②；③；④，其中計算正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
7．（2024上·四川瀘州·八年級統考期末）已知，，m，n為正整數，則＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2024上·湖南永州·八年級統考期末）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C．12 D．21
9．（2024上·湖北襄陽·八年級統考期末）三角形的面積是，它的一條高是，這條高對應的底邊長是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·七年級校聯考期末）小亮在計算時，錯把括號內的減號寫成了加號，那么正確的結果與錯誤的結果的乘積是( )
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024上·廣西河池·八年級統考期末）計算的結果是 ．
12．（2023·江西八年級月考）正常情況下，一個成年人的一根頭發大約是0.0000012千克，將0.0000012用科學記數法表示應該是______．
13．（2023上·福建福州·八年級統考期末）若，則的值是 ．
14．（2024上·陜西商洛·八年級校考期末）已知，，則的值是 ．
15．（2024上·四川樂山·八年級統考期末）若，則 ．
16．（2023·四川郫都·初一期末）計算：（）2019×（）﹣2020＝_____．
17．（2023·遼寧鞍山·八年級統考階段練習）若A與的積為，則 ．
18．（2023上·山西臨汾·八年級校聯考期中）第七屆山西（運城）國際果品交易博覽會于10月23日到30日在運城市舉辦．本屆果博會以“果蔬運城，走向世界”為主題，努力將果博會辦成果農的豐收節、果業的嘉年華、果企的狂歡季、果品的競秀場．小玲家的蘋果園呈長方形，果園的面積為平方米，一邊長為米，則該蘋果園的另一邊長為 米．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024上·吉林·八年級統考期末）計算：．
20．（2024上·湖北武漢·八年級統考期末）化簡：
21．（2023·浙江·七年級課堂例題）已知的值為64，求的值．
22．（2023上·湖北恩施·八年級統考期末）仔細閱讀下列計算過程：
（________）
（________）
．
①在________上填寫恰當的運算根據；
②上述計算是否正確，若錯誤，請你寫出你認為正確的計算．
23．（2024下·浙江·七年級專題練習）先化簡，再求值：，其中．
24．（2023·河北唐山·一模）某市計劃修建一個長為米，寬為米的矩形市民休閑廣場．
(1)請計算該廣場的面積S（結果用科學記數法表示）；
(2)如果用一種正方形大理石地磚鋪裝該廣場地面，請計算需要多少塊大理石地磚．
25．（2023·北京西城·八年級校考期中）愛思考的小郭同學發現教科書中介紹了多項式除以單項式的方法，并沒有介紹多項式除以多項式的方法，通過查閱資料小郭同學發現了多項式除以多項式的一種方法叫“綜合除法”，綜合除法主要用于一元多項式，除以一次多項式的演算，以便獲得商式和余式，具體方法如下：
①寫出分離系數豎式：
②進行相關計算：
將落下得到，計算并置于下方，計算得到；計算并置于下方，計算得到……計算并置于下方，計算得到．
③寫出計算結果：除以得到商式
和余式．
解決問題：利用綜合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
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