資源簡介

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19.2《平行四邊形的判定》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.掌握平行四邊形的的判定方法（定理）；
2.利用平行四邊形的定義來探索判定四邊形是平行四邊形的方法；
3.會綜合應用平行四邊形的定義、性質和判定定理，進一步提高綜合運用知識的能力．
學習重難點
重點：理解并掌握平行四邊形的判定定理，并會運用；
難點：探究平行四邊形的判定方法.
學法指導
理解并記憶平行四邊形的判定方法.判定四邊形是平行四邊形共有四種方法，這四種方法分別從平行四邊形的邊、角和對角線方面而得出來的.
學習過程
一、導學探究
知識點：平行四邊形的判定方法
定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
除了以上定理外，要判斷一個四邊形是否是平行四邊形，還可以根據平行四邊形的定義來判定：即兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
二、課前操作
1.在平面內取一點A，過點A畫兩條線段AB，AD，以點B圓心、AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心、AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，連接BC、DC，這樣得到兩組對邊分別相等的四邊形ABCD.
2.在平面內，作兩條直線l1，l2相交于點O，在直線l1上截取OA＝OC，在直線l2上截取OB＝OD，連接AB，BC，CD，DA，這樣畫出來的一個對角線互相平分的四邊形ABCD.
三、知識回顧，溫故知新
1.寫出平行四邊形的定義.
2.寫出平行四邊形所有的性質.
四、課內探究，交流學習
我們知道：平行四邊形的定義有兩層意思：（1） 若一個四邊形是平行四邊形，則它的兩組對邊就分別平行；（2）若一個四邊形的兩組對邊分別平行，則它是平行四邊形.
1.操作·思考
將線段AB按圖上所給方向和距離平移，得到線段A′B′，
因此，線段A′B′與線段AB即平行又相等.
連接AA′，BB′得到四邊形ABB′A′.這樣這個四邊形的一組對邊平行且相等.
四邊形ABB′A′是平行四邊形嗎？為什么？
做一做：
已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，且AB＝DC.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.
結論：判定四邊形是平行四邊形的方法有：
定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖，
∵AB∥DC，且AB＝DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
2.操作·思考
如圖，過點A畫兩條線段AB，AD，以點B圓心、AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心、AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，連接BC、DC，這樣得到兩組對邊分別相等的四邊形ABCD.
思考：四邊形ABB′A′是平行四邊形嗎？為什么？
3. 操作·思考
在平面內，作兩條直線l1，l2相交于點O，在直線l1上截取OA＝OC，在直線l2上截取OB＝OD，連接AB，BC，CD，DA，這樣畫出來的一個對角線互相平分的四邊形ABCD.
思考：這樣做出來的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？
結論：判定四邊形是平行四邊形的方法還有：
定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖，
∵AB＝DC，BC＝AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
4.自主學習，合作交流
例1 已知：如圖，點E，F是 ABCD的對角線AC上兩點，且AE＝CF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形.
例2 已知,直線l1, l2, l3 互相平行,直線AC和直線A1C1分別交直線l1, l2, l3 于點A, B, C和點
A1,B1, C1,且AB = BC.
求證:A1B1 = B1.C1.
已知：如圖，點D，E分別為 ABC的邊AB,AC的中點。
求證：DE//BC,且DE=BC.
隨堂練習
1.如圖，點是內的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數為（ ）
A．4個 B．5個 C．8個 D．9個
2．如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
3.在四邊形中,,為兩條對角線,若,,則在下列結論中,不正確的是 ．
4.如圖，中，點D、E分別為、的中點．
(1)過點C作，并交延長線于點F（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）；
(2)求證：；
(3)若，求的長．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
2.如圖，在中，過點D作交于點E，過點E作交點F，與交于點N．若，，則長為（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
3.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　?。?br/>A． B． C． D．
4.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
5.如圖，在四邊形中，與相交于點O，，E、F分別是、的中點，連接，分別交、于點M、N，判斷的形狀．
6．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形為平行四邊形，點、均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：
(1)在圖①中，點、、為格點，在邊上找一點，連結，使得．
(2)在圖②中，點、為格點，點為邊上任意一點，連結，在上找一點，使得.（保留作圖痕跡）
(3)在圖③中，點、為為網格線上的點，點為邊上任意一點連結，在邊上找一點，連結，使得．（保留作圖痕跡）
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19.2《平行四邊形的判定》導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.掌握平行四邊形的的判定方法（定理）；
2.利用平行四邊形的定義來探索判定四邊形是平行四邊形的方法；
3.會綜合應用平行四邊形的定義、性質和判定定理，進一步提高綜合運用知識的能力．
學習重難點
重點：理解并掌握平行四邊形的判定定理，并會運用；
難點：探究平行四邊形的判定方法.
學法指導
理解并記憶平行四邊形的判定方法.判定四邊形是平行四邊形共有四種方法，這四種方法分別從平行四邊形的邊、角和對角線方面而得出來的.
學習過程
一、導學探究
知識點：平行四邊形的判定方法
定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
除了以上定理外，要判斷一個四邊形是否是平行四邊形，還可以根據平行四邊形的定義來判定：即兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
二、課前操作
1.在平面內取一點A，過點A畫兩條線段AB，AD，以點B圓心、AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心、AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，連接BC、DC，這樣得到兩組對邊分別相等的四邊形ABCD.
2.在平面內，作兩條直線l1，l2相交于點O，在直線l1上截取OA＝OC，在直線l2上截取OB＝OD，連接AB，BC，CD，DA，這樣畫出來的一個對角線互相平分的四邊形ABCD.
三、知識回顧，溫故知新
1.寫出平行四邊形的定義.
【答案】兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2.寫出平行四邊形所有的性質.
【答案】性質1 平行四邊形的對邊相等
性質2 平行四邊形的對角相等
性質3 平行四邊形對角線互相平分
四、課內探究，交流學習
我們知道：平行四邊形的定義有兩層意思：（1） 若一個四邊形是平行四邊形，則它的兩組對邊就分別平行；（2）若一個四邊形的兩組對邊分別平行，則它是平行四邊形.
1.操作·思考
將線段AB按圖上所給方向和距離平移，得到線段A′B′，
因此，線段A′B′與線段AB即平行又相等.
連接AA′，BB′得到四邊形ABB′A′.這樣這個四邊形的一組對邊平行且相等.
四邊形ABB′A′是平行四邊形嗎？為什么？
【答案】這樣的四邊形是平行四邊形，因為符合平行四邊形的定義，即兩組對邊分別平行且相等。
做一做：
已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，且AB＝DC.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.
證明：連接 AC.
∵ AB // DC,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵ AB=CD,AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA.
∴ ∠ACB=∠CAD.
∴ AD // BC.
因此,四邊形ABCD是平行四邊形.
結論：判定四邊形是平行四邊形的方法有：
定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖，
∵AB∥DC，且AB＝DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
2.操作·思考
如圖，過點A畫兩條線段AB，AD，以點B圓心、AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心、AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，連接BC、DC，這樣得到兩組對邊分別相等的四邊形ABCD.
思考：四邊形ABB′A′是平行四邊形嗎？為什么？
【答案】是平行四邊形。
分析：根據題意可得，BC=AD，AB=DC，符合平行四邊形定義
3. 操作·思考
在平面內，作兩條直線l1，l2相交于點O，在直線l1上截取OA＝OC，在直線l2上截取OB＝OD，連接AB，BC，CD，DA，這樣畫出來的一個對角線互相平分的四邊形ABCD.
思考：這樣做出來的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？
【答案】是平行四邊形。
分析：根據題意可知，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD
所以，AD=BC，AB=CD
所以四邊形ABCD是平行四邊形。
結論：判定四邊形是平行四邊形的方法還有：
定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖，
∵AB＝DC，BC＝AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
應用：如右圖
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
4.自主學習，合作交流
例1 已知：如圖，點E，F是 ABCD的對角線AC上兩點，且AE＝CF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形.
證明：連接BD交AC于點O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴OE＝AO－AE＝CO－CF＝OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
例2 例6已知,直線l1, l2, l3 互相平行,直線AC和直線A1C1分別交直線l1, l2, l3 于點A, B, C和點
A1,B1, C1,且AB = BC.
求證:A1B1 = B1.C1.
證明: 過點B1 作EF//AC,分別交直線l1, l3于點E, F.
∴四邊形 ABB1E, BCFB1都是平行四邊形.
∴EB1=AB,B1F=BC.
∵AB = BC,
∴EB = BF.
又 ∵∠A1EB1, =∠B1FC1,∠A1B1E =∠C1B1F,
∴△A1B1E≌△C1B1F.
A1B1= B1C1.
由此得到如下結論:
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
作為上述結論的特例，應有如下推論:
經過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.
已知：如圖，點D，E分別為 ABC的邊AB,AC的中點。
求證：DE//BC,且DE=BC.
證明：過點 D作DE' //BC,DE'交AC于點E'.
根據上面得到的結論,點E'應與點E重合.
∴DE // BC.
同理,過點D作DF //AC,DF交BC于點F，則點F為BC的中點.
∴ 四邊形DFCE為平行四邊形.
∴ DE=FC=BC.
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
由此得到:
三角形中位線定理 三角形兩邊中點連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
隨堂練習
1.如圖，點是內的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數為（ ）
A．4個 B．5個 C．8個 D．9個
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，根據兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵過點作直線、分別平行于、，
∴，
∴四邊形均為平行四邊形，
∴加上共9個；
故選D．
2．如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，根據平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B．由，，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平形四邊形，故該選項正確，符合題意；
C．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
D．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
3.在四邊形中,,為兩條對角線,若,,則在下列結論中,不正確的是 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質,平行四邊形的性質及判定．通過證明,根據得到,根據已知條件即可判定三角形全等,繼而根據全等三角形性質得出結論．
【詳解】解:∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,故正確；
∴,故正確；
∴,故錯誤；
∴四邊形是平行四邊形,,故正確．
故答案為:．
4.如圖，中，點D、E分別為、的中點．
(1)過點C作，并交延長線于點F（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）；
(2)求證：；
(3)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用尺規作一個角等于已知角的方法作，根據平行線的判定可得；
（2）求出，，利用可直接證明；
（3）根據是的中位線求出，再利用全等三角形的性質得出答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：點F，即為所求；
（2）證明：由作圖知，，
∵點E為的中點，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵點D、E分別為、的中點，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了尺規作圖，平行線的判定，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，靈活運用相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．
B、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
C、對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
D、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
故選：A．
2.如圖，在中，過點D作交于點E，過點E作交點F，與交于點N．若，，則長為（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，證明四邊形是平行四邊形，得到，然后由，求得，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵
∴
∴
故選：A．
3.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的周長的計算，正確的找出規律是解題的關鍵．根據三角形的中位線定理得到的周長的周長，各的周長，于是得到結論．
【詳解】解：以的各邊的中點為頂點作，
的周長的周長的周長，
以各邊的中點為頂點作，
的周長各的周長的周長，
，
的周長
故選：A．
4.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查三角形的中位線性質，熟練掌握三角形的中位線性質是解答的關鍵．利用三角形的中位線得到，進而求得即可求解．
【詳解】解：∵在中，點D、E分別是、的中點，，
∴，即，
∵以A為圓心，為半徑作圓弧交于點F，，
∴，
∴，
故答案為：3．
5.如圖，在四邊形中，與相交于點O，，E、F分別是、的中點，連接，分別交、于點M、N，判斷的形狀．
【答案】是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質與判定，平行線的性質，如圖所示，取中點H，連接，則分別是的中位線，據此得到，，再由得到，進而推出，得到，由此即可得到結論．
【詳解】解：是等腰三角形，理由如下：
如圖所示，取中點H，連接，
∵E、F分別是、的中點，H是的中點，
∴分別是的中位線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
6．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形為平行四邊形，點、均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：
(1)在圖①中，點、、為格點，在邊上找一點，連結，使得．
(2)在圖②中，點、為格點，點為邊上任意一點，連結，在上找一點，使得.（保留作圖痕跡）
(3)在圖③中，點、為為網格線上的點，點為邊上任意一點連結，在邊上找一點，連結，使得．（保留作圖痕跡）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了無刻度直尺作圖，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的性質；
（1）取的中點，連接即可；
（2）取BC的中點，的中點，連接交一點，點即為所求；
（3）取BC的中點，的中點，連接交一點，連接交于點，連接即可．
【詳解】（1）如圖①中，線段即為所求；
（2）如圖②中，點即為所求；
（3）如圖③中，線段即為所求．
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