資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
19.1《多邊形內角和》(1)導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解多邊形的內角和定理，進一步了解轉化的數學思想；
2.通過把多邊形轉化為三角形，體會從特殊到一般的認識問題的方法；
3.通過探索多邊形的內角和，嘗試從不同的角度尋求解決問題的途徑，并能有效地解決多邊形問題.
學習重難點
重點：理解并會運用多邊形的內角和定理；
難點：多邊形的內角和定理的推導.
學法指導
要通過猜想、探索、推理、歸納等過程，培養自己的推理能力和語言表達能力，掌握復雜問題化為簡單問題，化未知為已知的思想方法.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
問題1：什么叫做三角形？
________________________________________________________________________________________________________.
【答案】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
問題2：你能不能類比說出四邊形，五邊形，n邊形的概念？
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________.
【答案】由不在同一條直線上的四條邊（五條邊、n條邊）首尾順次相接所組成的圖形叫四邊形（五邊形、n邊形）
問題3：你能不能指出下面圖形是幾邊形，且指出此圖形構成的基本元素？
此圖是______邊形；
圖中：（1）表示________________；
（2）表示__________________；
（3）表示________________；
（4）表示_________________.
【答案】四
（1）點 （2）邊 （3）內角 （4）外角
二、課內探究，交流學習
1.探究1：
（1）什么叫做多邊形？
【答案】在平面內,由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
（2）說說什么叫做多邊形的頂點、多邊形的邊、多邊形的內角、多邊形的外角？
組成多邊形的線段叫做多邊形的邊相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角,簡稱多邊形的角;在頂點處一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角.
2.觀察、思考
觀察下列兩個圖形，你能說說它們各自有什么特征，它們之間有什么不同？
圖1叫做_____多邊形；圖2叫做___多邊形.
【答案】凸；凹
3.探究2：
我們知道三角形的內角和為180°，那么多邊形的內角和是多少度？下面以四邊形為例.
（1）四邊形的內角和是多少？
我們來按下面兩種方法試一試：
①如圖 ，若連接AC，能得出四邊形的內角和嗎？
多邊形的對角線：多邊形中連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，
這里的AC是四邊形ABCD的一條對角線，這條對角線將四邊形分成2個三角形，由于三角形的內角和為180°，所以兩個三角形的內角和共360°，故四邊形的內角和為360°．
（2）如圖，若在四邊形內任取一點O，連接OA，OB，OC，OD，也能推得四邊形內角和嗎？
連接后將四邊形分成了四個三角形，四邊形的內角和為四個三角形的內角和減去360°，得四邊形的內角和等于360°.
結論：多邊形的內角和定理：______________________________________________
_______________________________________________________________________.
【答案】n 邊形的內角和等于(n-2)·180°(n為不小于3的整數).
4.探究3：多邊形的對角線的條數計算公式：
五邊形 六邊形 七邊形 n邊形
過一個頂點作多邊形的對角線的條數 2 3 4 （n-3)
所有對角線的條數 5 6 7 (n-3)
5.隨堂練習
1．下列各選項中，說法正確的是（ ）
A．直五棱柱有12個頂點 B．各邊相等的多邊形叫正多邊形
C．用平面截一個圓柱，截面不可能是正方形 D．繞半圓的直徑旋轉一周得到的幾何體是球體
【答案】D
【分析】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，利用空間幾何體的結構特征，綜合思考，逐一核對四個命題得答案．
【詳解】解：A. 直五棱柱有10個頂點，故選項A說法錯誤，不符合題意；
B. 各邊相等，各內角也相等的多邊形叫正多邊形，故選項B說法錯誤，不符合題意；
C. 用平面截一個圓柱，截面可能是正方形, 故選項C說法錯誤，不符合題意；
D. 繞半圓的直徑旋轉一周得到的幾何體是球體，故選項D說法正確，符合題意；
故選：D．
2.下面是樂樂在整理七年級上冊課本的知識點時得出的一些結論，①射線 與射線 是同一條射線；②連接兩點間的線段叫做這兩點間的距離；③要將一根木條固定在墻上至少需要兩顆釘子的原理依據是兩點確定一條直線；④將彎曲的河道改直，可以縮短航程，其依據是兩點之間直線最短⑤邊形從其中一個頂點出發連接其余各頂點，可以畫出 條對角線，這些對角線把這個 邊形分成了個三角形，你認為正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題主要考查了射線的表示方法，兩點之間的距離，兩點確定一條直線等等，熟知相關知識是解題的關鍵．根據射線的表示方法可以判斷①；根據兩點之間的距離可以判定②；根據兩點確定一條直線可以判定③；根據兩點之間，線段最短可以判定④；根據多邊形的對角線定義可以判斷⑤．
【詳解】解：①射線 與射線 是兩條不同的射線，故①錯誤；
②連接兩點間的線段的長度叫做這兩點間的距離，故②錯誤；
③要將一根木條固定在墻上至少需要兩顆釘子的原理依據是兩點確定一條直線，故③正確；
④將彎曲的河道改直，可以縮短航程，其依據是兩點之間線段最短，故④錯誤；
⑤邊形從其中一個頂點出發連接其余各頂點，可以畫出 條對角線，這些對角線把這個 邊形分成了個三角形，故⑤正確，
正確的有③⑤，共2個，
故選：C．
3.．如圖所示的多邊形分別是 、 、 、 和 ．

【答案】 四邊形 五邊形 八邊形 四邊形 五邊形
【分析】根據多邊形的定義，數出邊數即可求解．
【詳解】解：如圖所示的多邊形分別是（1）四邊形；（2）五邊形；（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形；
故答案為：（1）四邊形；（2）五邊形；（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形．
【點睛】本題考查了多邊形的定義，熟練掌握多邊形的定義是解題的關鍵．由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的 線段 首尾順次連接且不 相交 所組成的封閉圖形叫做多邊形．
4．如圖，你能數出多少個不同的四邊形？
【答案】27
【分析】根據四邊形的組成方式，分別數出由單個的四邊形，由2個四邊形，3個四邊形，4個四邊形，5個四邊形，6個四邊形，7個四邊形組成的大四邊形，從而可得答案．
【詳解】解：單個的四邊形：一共有9個，
由2個四邊形組成的四邊形有6個，
由3個四邊形組成的四邊形有4個，
由4個四邊形組成的四邊形有1個，
由5個四邊形組成的四邊形有4個，
由6個四邊形組成的四邊形有2個，
由7個四邊形組成的四邊形有1個，
故一共有27個四邊形．
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1．在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題考查多邊形定義，根據多邊形定義，逐個驗證即可得到答案．
【詳解】解：所示的圖形中，第一個是三角形、第二個是四邊形、第三個是圓、第四個是正六邊形、第五個是正方體，
是多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個，
故選：C．
2.下列圖形是正多邊形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了正多邊形，根據正多邊形的定義；各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．
【詳解】解：A.是等腰三角形，不是正多邊形，故選項A不符合題意；
B.是圓角矩形，不是正多邊形，故選項B不符合題意；
C.是正五邊形，符合題意；
D.是一般六邊形，不是正多邊形，故選項D不符合題意；
故選：C．
3.邊形所有對角線的條數有（ ）
A．條 B．條
C．條 D．條
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形對角線條數的計算公式，根據即可求解過邊形的一個頂點可以作條對角線，得到過個頂點可以作條對角線，但每條對角線重復一次，
由此可得為的一半，即可求解，掌握多邊形的對角線計算方法是解題的關鍵．
【詳解】解：∵過邊形的一個頂點可以作條對角線，
∴過個頂點可以作條對角線，
但每條對角線重復一次，
∴邊形所有對角線的條數有條，
故選：．
4.要使得一個多邊形具有穩定性，從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發，連接各個頂點轉化得到2023個三角形，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】本題考查多邊形分成三角形個數問題．根據題意利用三角形個數與多邊形邊數的關系即可得到本題答案．
【詳解】解：∵從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發，連接各個頂點轉化得到2023個三角形，
∴連接各個頂點的三角形個數等于多邊形邊數減1這個性質，
∴多邊形邊數為：，
故選：D．
5.個六邊形、個五邊形共有 條邊．
【答案】
【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計算．
【詳解】解：∵個六邊形有條邊，個五邊形有條邊，
∴個六邊形、個五邊形共有條邊，
故答案為：.
【點睛】本題考查多邊形的概念，關鍵是掌握n邊形有n條邊．
6.從多邊形的一個頂點出發引對角線，這些對角線把這個多邊形分割成了5個三角形，則這個多邊形是 邊形，共有對角線 條．
【答案】 七
【分析】本題主要考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關鍵是根據多邊形過一個頂點的對角線與分成的三角形的個數的關系列方程求解．多邊形過一個頂點引的對角線將多邊形分為個三角形，一共有條對角線．根據原理解答即可．
【詳解】解：設這個多邊形有n條邊，
，
解得：，
∴這個多邊形的對角線條數：．
故答案為：七，14．
7.三角形有幾個頂點，幾條邊，幾個內角？四邊形有幾個頂點，幾條邊，幾個內角？……n邊形呢？
【答案】見解析
【分析】根據圖形的特征作答即可．
【詳解】解：如圖所示，三角形有3個頂點，3條邊，3個內角；
四邊形有4個頂點，4條邊，4個內角；
五邊形有5個頂點，5條邊，5個內角；
……
可發現，多邊形的頂點個數和內角個數與邊數相同；
n邊形有n個頂點，n條邊，n個內角．
【點睛】本題考查了多邊形的有關概念，解題關鍵是準確識別多邊形，明確多邊形的頂點和內角概念．
8．若過邊形的一個頂點有7條對角線，過邊形的一個頂點有3條對角線．求代數式的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了代數式求值，多邊形對角線條數問題，根據邊形一個頂點可以引條對角線求出，據此代值計算即可．
【詳解】解：∵過邊形的一個頂點有7條對角線，過邊形的一個頂點有3條對角線，
∴，
∴，
∴．
9．已知從一個七邊形的某一個頂點出發的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數是y，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形的對角線，若多邊形為邊形，根據從多邊形一個頂點出發的所有對角線將多邊形分成個三角形，這些對角線有條，據此解答即可．
【詳解】解：根據題意可知，這個七邊形從一個頂點出發的對角線有4條，這些對角線將這個七邊形分成了5個三角形，
所以，，
所以
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19.1《多邊形內角和》(1)導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.了解多邊形的內角和定理，進一步了解轉化的數學思想；
2.通過把多邊形轉化為三角形，體會從特殊到一般的認識問題的方法；
3.通過探索多邊形的內角和，嘗試從不同的角度尋求解決問題的途徑，并能有效地解決多邊形問題.
學習重難點
重點：理解并會運用多邊形的內角和定理；
難點：多邊形的內角和定理的推導.
學法指導
要通過猜想、探索、推理、歸納等過程，培養自己的推理能力和語言表達能力，掌握復雜問題化為簡單問題，化未知為已知的思想方法.
學習過程
一、課前自習，溫故知新
問題1：什么叫做三角形？
________________________________________________________________________________________________________.
問題2：你能不能類比說出四邊形，五邊形，n邊形的概念？
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________；
__________________________________________________________________________.
問題3：你能不能指出下面圖形是幾邊形，且指出此圖形構成的基本元素？
此圖是______邊形；
圖中：（1）表示________________；
（2）表示__________________；
（3）表示________________；
（4）表示_________________.
二、課內探究，交流學習
1.探究1：
（1）什么叫做多邊形？
（2）說說什么叫做多邊形的頂點、多邊形的邊、多邊形的內角、多邊形的外角？
2.觀察、思考
觀察下列兩個圖形，你能說說它們各自有什么特征，它們之間有什么不同？
圖1叫做_____多邊形；圖2叫做___多邊形.
3.探究2：
我們知道三角形的內角和為180°，那么多邊形的內角和是多少度？下面以四邊形為例.
（1）四邊形的內角和是多少？
我們來按下面兩種方法試一試：
①如圖 ，若連接AC，能得出四邊形的內角和嗎？
多邊形的對角線：多邊形中連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，
這里的AC是四邊形ABCD的一條對角線，這條對角線將四邊形分成2個三角形，由于三角形的內角和為180°，所以兩個三角形的內角和共360°，故四邊形的內角和為360°．
（2）如圖，若在四邊形內任取一點O，連接OA，OB，OC，OD，也能推得四邊形內角和嗎？
連接后將四邊形分成了四個三角形，四邊形的內角和為四個三角形的內角和減去360°，得四邊形的內角和等于360°.
結論：多邊形的內角和定理：______________________________________________
______________________________________________________________.
4.探究3：多邊形的對角線的條數計算公式：
五邊形 六邊形 七邊形 n邊形
過一個頂點作多邊形的對角線的條數 2 3 4 （n-3)
所有對角線的條數 5 6 7 (n-3)
5.隨堂練習
1．下列各選項中，說法正確的是（ ）
A．直五棱柱有12個頂點 B．各邊相等的多邊形叫正多邊形
C．用平面截一個圓柱，截面不可能是正方形 D．繞半圓的直徑旋轉一周得到的幾何體是球體
2.下面是樂樂在整理七年級上冊課本的知識點時得出的一些結論，①射線 與射線 是同一條射線；②連接兩點間的線段叫做這兩點間的距離；③要將一根木條固定在墻上至少需要兩顆釘子的原理依據是兩點確定一條直線；④將彎曲的河道改直，可以縮短航程，其依據是兩點之間直線最短⑤邊形從其中一個頂點出發連接其余各頂點，可以畫出 條對角線，這些對角線把這個 邊形分成了個三角形，你認為正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3.如圖所示的多邊形分別是 、 、 、 和 ．

4．如圖，你能數出多少個不同的四邊形？
小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1．在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2.下列圖形是正多邊形的是（ ）
A． B．
C． D．
3.邊形所有對角線的條數有（ ）
A．條 B．條
C．條 D．條
4.要使得一個多邊形具有穩定性，從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發，連接各個頂點轉化得到2023個三角形，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5.個六邊形、個五邊形共有 條邊．
6.從多邊形的一個頂點出發引對角線，這些對角線把這個多邊形分割成了5個三角形，則這個多邊形是 邊形，共有對角線 條．
7.三角形有幾個頂點，幾條邊，幾個內角？四邊形有幾個頂點，幾條邊，幾個內角？……n邊形呢？
8．若過邊形的一個頂點有7條對角線，過邊形的一個頂點有3條對角線．求代數式的值．
9．已知從一個七邊形的某一個頂點出發的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數是y，求的值．
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