資源簡介

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19.2《平行四邊形的性質》(1)導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.聯系生活實例，通過觀察了解平行四邊形的定義及基本構成要素；
2.利用已學過的三角形的知識來探索平行四邊形中的邊角性質；
3.理解“兩平行線之間的距離”的概念及性質；
4.會應用平行四邊形的邊角性質、平行線之間的距離解決有關空間圖形問題，進一步發展對“空間與圖形”的學習興趣．
學習重難點
重點：掌握平行四邊形中的邊角性質，會運用平行四邊形的性質解題；
難點：探究平行四邊形的邊角性質，理解“平行線之間的距離”.
學法指導
聯系身邊生活實例，通過觀察、操作、比較來認識平行四邊形，掌握其圖形特征，把握平行四邊形中的邊角關系及性質.
學習過程
一、導學探究
知識點1：平行四邊形的定義
1.定義：_________________________________________叫做平行四邊形.
平行四邊形的定義有兩層意思：①是四邊形；②兩組對邊分別平行.這兩條缺一不可.
2.表示方法：平行四邊形用符號“”表示，平行四邊形ABCD，記作_____________，讀作“平行四邊形ABCD”.
知識2：平行四邊形的邊角性質
3.平行四邊形的對邊__________，對角__________.
知識點3：平行線之間的距離
4.兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的_______，叫做這兩條平行線之間的距離.
5.兩條平行線之間的距離________________.
二、課前體驗
如圖，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF與GH相交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數共有（ ）
A.7個 B.8個
C.9個 D.11個
三、課內探究，交流學習
1.觀察·思考
觀察下列圖案，想一想它們都是什么形狀？有何特點？
觀察圖形，說出各四邊形中的邊的位置有何特征？
兩組對邊 一組對邊平行，另 兩組對邊
都不平行 一組對邊不平行 分別平行
平行四邊形的定義：
______________________________________________________，叫做平行四邊形.
認識平行四邊形
（1）平行四邊形的表示法：____________，讀作：___________________；
（2）平行四邊形的四個頂點分別為____________________________；平行四邊形的四條邊分別為_______________________，其中，___與____是對邊，_____與____是對邊；
（3）平行邊形的四個內角分別為_________________________，其中，_____與______是對角，________與_______是對角.
2.探究1：
平行四邊形的對邊平行，相鄰的內角互為補角，除此以外，平行四邊形中，邊、角還有什么性質呢？
已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
求證：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
平行四邊形的性質：
性質1：平行四邊形的對邊相等；
性質2：平行四邊形的對角相等.
3.自主學習，合作交流
例1 已知：如圖，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，
（1）如果AE＝2，求CD的長；
（2）如果∠AEB＝40°，求∠C的度數.
.
4.探究2：
如圖，直線l1∥直線l2，AB，CD是夾在直線l1 ，l2之間的兩條平行線，
AB與CD相等嗎？為什么？
結論：夾在兩條平行線之間的平行線段相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，則AE與CF相等嗎？
結論：兩條平行線之間的距離處處相等.
什么叫做兩條平行線之間的距離？
你能舉一些日常生活中例子說明“兩條平行線之間的距離處處相等”嗎？
5.自主學習，合作交流
例2 已知：如圖，ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直線AD和直線BC之間的距離，直線AB和直線DC之間的距離.
例3 已知：如圖，過△ABC的三個頂點，分別作對邊的平行線，這三條直線兩兩相交，得△.
求證：△ABC的頂點分別是△三邊的中點.
6.隨堂練習
如圖，在中，，，于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，平行四邊形的頂點A，B，D的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，平行四邊形的對角線與交于點，若，，．
(1)猜想的度數，并證明你的猜想；
(2)求平行四邊形的周長．
4.如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，分別交，，于點M，O，N（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，，求證：；
(3)若，，求的長．
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
2．如圖，點是的對角線交點，為中點，交于點，若，則的值為( )
A．2 B．4 C． D．8
3.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
4.如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為 .
5.如圖，中，，，E、F分別是，上的點，且，連接交于O．
(1)求證：；
(2)若，延長交的延長線于G，當時，求的長．
6.探究：如圖①在的形外分別作等腰直角和等腰直角，，連接、．在圖中找一個與全等的三角形，并加以證明．
應用：以的四條邊為邊，分別向其形外作正方形，如圖②，連接、、、．若的面積為，則圖中陰影部分的四個三角形的面積和為______．
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19.2《平行四邊形的性質》(1)導學案
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.聯系生活實例，通過觀察了解平行四邊形的定義及基本構成要素；
2.利用已學過的三角形的知識來探索平行四邊形中的邊角性質；
3.理解“兩平行線之間的距離”的概念及性質；
4.會應用平行四邊形的邊角性質、平行線之間的距離解決有關空間圖形問題，進一步發展對“空間與圖形”的學習興趣．
學習重難點
重點：掌握平行四邊形中的邊角性質，會運用平行四邊形的性質解題；
難點：探究平行四邊形的邊角性質，理解“平行線之間的距離”.
學法指導
聯系身邊生活實例，通過觀察、操作、比較來認識平行四邊形，掌握其圖形特征，把握平行四邊形中的邊角關系及性質.
學習過程
一、導學探究
知識點1：平行四邊形的定義
1.定義：_________________________________________叫做平行四邊形.
平行四邊形的定義有兩層意思：①是四邊形；②兩組對邊分別平行.這兩條缺一不可.
2.表示方法：平行四邊形用符號“”表示，平行四邊形ABCD，記作_____________，讀作“平行四邊形ABCD”.
【答案】1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
ABCD
知識2：平行四邊形的邊角性質
3.平行四邊形的對邊__________，對角__________.
【答案】相等，相等
知識點3：平行線之間的距離
4.兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的_______，叫做這兩條平行線之間的距離.
5.兩條平行線之間的距離________________.
【答案】4.距離
5.處處相等
二、課前體驗
如圖，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF與GH相交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數共有（ ）
A.7個 B.8個
C.9個 D.11個
【答案】C
三、課內探究，交流學習
1.觀察·思考
觀察下列圖案，想一想它們都是什么形狀？有何特點？
觀察圖形，說出各四邊形中的邊的位置有何特征？
兩組對邊 一組對邊平行，另 兩組對邊
都不平行 一組對邊不平行 分別平行
平行四邊形的定義：
______________________________________________________，叫做平行四邊形.
【答案】兩組對邊分別平行的四邊形
認識平行四邊形
（1）平行四邊形的表示法：____________，讀作：___________________；
（2）平行四邊形的四個頂點分別為____________________________；平行四邊形的四條邊分別為_______________________，其中，___與____是對邊，_____與____是對邊；
（3）平行邊形的四個內角分別為_________________________，其中，_____與______是對角，________與_______是對角.
【答案】(1)ABCD，“平行四邊形ABCD”
（2）ABCD；AB,CD,AD,CB；AB,CD,AD,CB
（3）∠DAB,∠ABC,∠DCB,∠ADC;∠DAB,∠DCB;∠ABC，∠ADC
2.探究1：
平行四邊形的對邊平行，相鄰的內角互為補角，除此以外，平行四邊形中，邊、角還有什么性質呢？
已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
求證：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
證明：連接AC.
(1)∵AB//DC,AD//BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在 ABC和 CDA中,
∴△ABC≌△CDA. (ASA)
∴AB=DC,AD=BC.
(2)由(1)知△ABC≌ △CDA.
∴AB = DC, AD = BC,∠B=∠D.
平行四邊形的性質：
性質1：平行四邊形的對邊相等；
性質2：平行四邊形的對角相等.
3.自主學習，合作交流
例1 已知：如圖，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，
（1）如果AE＝2，求CD的長；
（2）如果∠AEB＝40°，求∠C的度數.
解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AE＝2，
又∵CD＝AB，
∴CD＝2；
（2）由（1）知： ∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠A＝180°－∠1－∠3＝100°，
又∵∠C＝∠A，
∴∠C＝100°.
4.探究2：
如圖，直線l1∥直線l2，AB，CD是夾在直線l1 ，l2之間的兩條平行線，
AB與CD相等嗎？為什么？
【答案】相等
分析：根據平行四邊形的定義可知。
結論：夾在兩條平行線之間的平行線段相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，則AE與CF相等嗎？
【答案】相等
分析：因為AE⊥l2，CF⊥l2，所以AE//CF
根據平行四邊形的定義可知相等。
結論：兩條平行線之間的距離處處相等.
什么叫做兩條平行線之間的距離？
兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條直線之間的距離.
你能舉一些日常生活中例子說明“兩條平行線之間的距離處處相等”嗎？
【答案】如：鐵軌中間的枕木，大門上的平行線等
5.自主學習，合作交流
例2 已知：如圖，ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直線AD和直線BC之間的距離，直線AB和直線DC之間的距離.
解：過點A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E、F，
∴線段AE，AF的長分別為點A到直線BC和直線CD的距離，
∴線段AE的長為直線AD和直線BC之間的距離，
線段AF的長為直線AB和直線CD之間的距離，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，AB＝4，
∴∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE，
又∵AE2+BE2＝AB2，
∴2AE2＝16，
∴AE＝2，
同理：AF＝，
所以直線AD和直線BC之間的距離為2，直線AB和直線CD之間的距離為.
例3 已知：如圖，過△ABC的三個頂點，分別作對邊的平行線，這三條直線兩兩相交，得△.
求證：△ABC的頂點分別是△三邊的中點.
證明：∵AB∥C，BC∥A，
∴＝BC，
同理：＝BC，
∴＝，
同理：＝，＝，
∴△ABC的頂點分別是△三邊的中點.
6.隨堂練習
如圖，在中，，，于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行四邊形的性質，等邊對等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質；根據等邊對等角求出，得到，根據平行四邊形的對邊平行得到，再根據直角三角形兩銳角互余求出度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
2.如圖，平行四邊形的頂點A，B，D的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查坐標與圖形，平行四邊形的性質，根據平行四邊形對邊平行且相等可得，，再根據頂點A，B，D的坐標求出長及點C的縱坐標即可．
【詳解】四邊形是平行四邊形，
，，
A，B，D的坐標分別是，，，
，，
，點C的縱坐標為2，
頂點C的坐標是．
故選B．
3.如圖，平行四邊形的對角線與交于點，若，，．
(1)猜想的度數，并證明你的猜想；
(2)求平行四邊形的周長．
【答案】(1)的度數為，證明見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、勾股定理的逆定理：
（1）先根據平行四邊形的性質可得，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出結論；
（2）先利用勾股定理可得，再根據平行四邊形的周長公式即可得解．
【詳解】（1）解：的度數為，證明如下：
∵四邊形是平行四邊形，且，，
，，
，
，
∴是直角三角形，且；
（2）解：，，，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
4.如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，分別交，，于點M，O，N（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，，求證：；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
(3)
【分析】（1）根據垂直平分線的作圖方法進行作圖即可；
（2）根據證明即可；
（3）根據，得出，根據勾股定理求出，即可求出結果．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作；

（2）證明：∵垂直平分，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，尺規作垂直平分線，勾股定理三角形全等的判斷和性質，平行線的性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握三角形全等的判定方法．
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流；
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
課課練
1.如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定；證明，得出，，進而可得四邊形的周長為，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
．
在和中，
， ，，
，
，．
又，，，，
四邊形的周長為：．
故選C．
2．如圖，點是的對角線交點，為中點，交于點，若，則的值為( )
A．2 B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】由本題考查平行四邊形的性質，三角形中線的性質；利用平行四邊形的性質得出，根據三角形中位線的性質得出，即可得出答案．
【詳解】解：點是 的對角線交點，
，
為中點，
∴
，
．
故選：A．
3.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
【答案】16
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質是解答本題的關鍵；
由中垂線的作法可知，然后由的周長為8，可知，繼而可求出平行四邊形的周長．
【詳解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周長為8，
即，
，
即，
四邊形是平行四邊形，
，，
平行四邊形的周長．
故答案為：16．
4.如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為 .
【答案】3
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊；熟練掌握平行四邊形的性質，得出是解題的關鍵．
根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，，；根據兩直線平行，內錯角相等可得；根據從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線可得；推得，根據等角對等邊可得，，即可列出等式，求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
則，
∴，
同理可證：，
∵，
即，
解得：；
故答案為：3．
5.如圖，中，，，E、F分別是，上的點，且，連接交于O．
(1)求證：；
(2)若，延長交的延長線于G，當時，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）通過證明和全等即可．
（2）由為等腰直角三角形得出，由得，所以與都是等腰直角三角形，從而求得、的長，然后由（1）中和全等得出，進而求得的長，的長即可求得．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質及平行線的性質，熟練掌握各定理是解決本題的關鍵．
6.探究：如圖①在的形外分別作等腰直角和等腰直角，，連接、．在圖中找一個與全等的三角形，并加以證明．
應用：以的四條邊為邊，分別向其形外作正方形，如圖②，連接、、、．若的面積為，則圖中陰影部分的四個三角形的面積和為______．
【答案】（1），理由見解析；（2）
【分析】考查了平行四邊形的性質，以及全等三角形的判定與性質，首先證明：，則陰影部分四個三角形的面積和是 的面積的倍，據此即可求解．
【詳解】．
證明：在平行四邊形中，，，
等腰直角和等腰直角中，，，則，
，
，
，
，
，
，
同理，在圖形②中，，
四個三角形的面積和為．
故答案為：．
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