資源簡介

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專題2.1 一元二次方程
模塊1：學習目標
1. 掌握一元二次方程的相關概念；
2. 會把一元二次方程化為一般形式并確定各項及各項的系數；
3. 掌握一元二次方程的解（根）及方程的近似解，會運用其解決相關問題；
4. 掌握一元二次方程的特征根問題，會用整體思想求解相關問題。
模塊2：知識梳理
1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數整式方程，并且都可以化為 (a、b、c為常數）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。
注意：滿足是一元二次方程的條件有：（1）必須是一個整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2。（三個條件缺一不可）
如何理解 “未知數的最高次數是2”：①該項系數不為“0”； ②未知數指數為“2”；
③若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c為常數）。
其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。
注：①化為一般式時，右邊為0；②習慣上將二次項系數a化為正數
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知數的值稱為一元二次方程的解，我們也稱為一元二次方程的根。
2）一元二次方程的實數根有0個、1個或2個。
3）常考點:為利用根的概念求代數式的值；
4）一元二次方程近似解：兩端逼近法。
步驟：借助表格，找到兩個相近的數，一個使，一個使，則一元二次方程的解就介于這兩個數之間，再進一步逼近，縮小范圍獲得其近似解。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 一元二次方程的辨別
例1．（2023·江蘇九年級專題練習）下列關于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】依據一元二次方程的定義求解即可．
【詳解】①當a＝0時，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一元二次方程；
③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x 1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次項，不是一元二次方程．故選A．
【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
變式1. （2023 倉山區九年級校級月考）下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據一元二次方程的定義進行解答即可．
【解答】解：①ax2+bx+c＝0，當a＝0時，該方程不是一元二次方程；
②x24＝0屬于分式方程；③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定義；
④x2﹣2+x3＝0的最高次數是3，屬于一元三次方程；綜上所述，其中一元二次方程的個數是1個．故選：A．
【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
變式2. （2023·江蘇無錫市·九年級期中）下列方程為一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3＝x（x+4） B．x2﹣＝3 C．x2﹣10x＝﹣5 D．4x+6xy＝33
【答案】C
【分析】按照一元二次方程的定義判斷，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
【詳解】解：A、方程化簡得：4x+3＝0，是一元一次方程，不符合題意；
B、x2﹣＝3為分式方程，不符合題意；C、x2﹣10x＝﹣5是一元二次方程，符合題意；
D、4x+6xy＝5是二元二次方程，不符合題意．故選：C．
【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
考點2. 利用一元二次方程的概念求參數值
例1．（2023·江蘇九年級一模）若方程是關于x的一元二次方程，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】根據一元二次方程的定義列式求出m的值，即可進行選擇．
【詳解】解：∵(m-1)x2+x+=0是關于x的一元二次方程，∴m-1≠0，解得m≠1，故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．
變式1.（2023 綿陽市九年級期末）已知關于x的方程為一元二次方程，則a的取值范圍是　 　
【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同時有意義，a≥1，確定a的取值范圍．
【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得 a≠3，
又∵二次根式有意義，∴a﹣1≥0，得 a≥1，∴a≥1且a≠3．故本題的答案是a≥1且a≠3．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，要求二次項系數不能為0，同時要滿足二次根式有意義的條件，然后確定a的取值范圍．
變式2.（2023 新都區九年級校級月考）關于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，當m滿足　 　時，方程為一元二次方程，當m滿足　 　時，方程為一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程定義和一元一次方程定義進行解答即可．
【解答】解：由題意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，
由題意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案為：m≠±2；m＝﹣2．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程和一元一次方程定義，關鍵是掌握一元二次方程的定義和一元一次方程定義．
考點3. 一元二次方程的一般形式
例1．（2023 拱墅區校級九年級期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　；其中二次項系數是　 　．
【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）．ax2叫二次項，a叫二次項系數；bx叫一次項，b叫一次項系數；c叫常數項．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括號，再移項，后合并即可．
【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括號：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移項：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同類項：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式為：6x2﹣5x﹣11＝0，二次項系數為：6．
故答案為：6x2﹣5x﹣11＝0；6．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，通過去括號，移項，合并同類項，可以得到一元二次方程的一般形式，寫出二次項系數．
變式1. （2023·河南鄭州市·九年級期中）已知一元二次方程的常數項為4，則二次項系數和一次項系數分別為（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程中各項系數的確定方法分析得出答案．
【詳解】解：一元二次方程3x2=-4+2x化為一般形式可得：3x2-2x+4=0，
∴二次項系數、一次項系數分別為：3，-2．故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．
變式2. （2023 烏蘇市九年級月考）將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為二次項系數為“1”的一般形式是　 　，其中二次項系數是　 　，一次項系數是　 　，常數項是　 　．
【分析】首先把方程化成一般式，然后再確定二次項系數、一次項系數、常數項．
【解答】解：x（x﹣2）＝5，x2x﹣5＝0，x2﹣2x﹣15＝0，
二次項系數是1，一次項系數是﹣2，常數項是﹣15，
故答案為：x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是掌握任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
考點4. 利用一元二次方程的解求參數（代數式）值
例1．（2023·河南九年級期末）關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一個根為0，則a的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的解定義把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后根據一元二次方程的定義確定滿足條件的a的值．
【詳解】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，所以a的值為﹣2．故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的 定義以及一元二次方程的根，掌握以上定義的解題的關鍵．
變式1.（2023·江蘇新北初三一模）若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一個解，則代數式1﹣8a+4b的值是_____．
【答案】7
【分析】先把代入方程可得，從而可得，再化簡所求的代數式，然后利用整體思想代入求值即可得．
【解析】把代入方程得，即，
則，故答案為：7．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解定義、代數式求值，根據一元二次方程的解得出關于a、b的等式是解題關鍵．
變式2. （2023 黃岡九年級月考）關于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一個根為﹣2，則m的值等于（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【分析】把x＝﹣2代入原方程得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，然后解關于m的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15
得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，解得m．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
考點5、 賦值法求一元二次方程的定根
例1．（2023 蕭山區九年級期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，則一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，設t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021得到x﹣1＝2021，從而可判斷一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2022．
【解答】解：對于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
設t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021，則x﹣1＝2021，解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為x＝2022．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
變式1. （2023·安徽合肥市·九年級期中）若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】根據一元二次方程的根的定義，將未知數的值代入方程，計算后即可得出結論．
【詳解】解：∵，把代入得：，即方程的一個解是，
把代入得：，即方程的一個解是；故選：A．
【點睛】本題考查了方程的解的定義，掌握方程的解的定義并能準確利用定義進行判斷是解題的關鍵．
變式2. （2023·浙江初二期末）若則關于x的方程的解是______.
【答案】或
【分析】由，即可得到方程的解．
【解析】解：
令時，有；令時，有；∴，
則關于x的方程的解是：或；故答案為：或．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解進行解題．
考點6. 一元二次方程的近似解（根）問題
例1．（2023·浙江·衢州市興華中學九年級階段練習）下表是用計算器探索函數y＝2x2﹣2x﹣10所得的數值，則方程2x2﹣2x﹣10＝0的一個近似解為（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
【答案】C
【分析】根據表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一個解應在﹣2.3與﹣2.4之間，再由y的值可得，它的根近似的看作是﹣2.3．
【詳解】∵當x＝﹣2.3時，y＝﹣0.11，當x＝﹣2.4時，y＝0.56，則方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，
∵|﹣0.11|＜|0.56|，∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一個近似解為x≈﹣2.32．故選：C．
【點睛】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是看y值的變化．
變式1. （2023·山西太原·九年級期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解時，小明所在的小組采用了賦值法，計算結果如表：
　x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小組同學說，他們發現了該方程的一個近似解．這個近似解的十分位是 ___．
【答案】1
【分析】由表格可知當時，；時，，故方程的一個解在1.1和1.2之間，即可得出答案．
【詳解】由表可知，當x取1.1與1.2之間的某個數時，，即此時這個數是方程的一個解，
∴方程的一個解x的取值范圍是．故答案為1．
【點睛】本題考查一元二次方程的近似解．仔細觀察表中對應數據，找到x的取值范圍是解答本題的關鍵．
變式2. （2023·山東·八年級期末）觀察下列表格，一元二次方程的一個近似解為（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】根據表格中的數據，可判斷代數式的值為4.61和4.56時，對應的值為-1.12和-1.11，觀察原方程可理解為求代數式的值為4.6時，對應的的值，由此判斷即可．
【詳解】解：∵時，；時，；
∴時，對應應滿足，∴原方程的近似解為：-1.118，故選：B．
【點睛】本題考查一元二次方程的近似解，理解表格中的數據，掌握求近似解的方法是解題關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023 揚州九年級期末）下列方程中，一元二次方程共有（　　）個．
①x2﹣2x﹣1＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③3x﹣5＝0；
④﹣x2＝0； ⑤（x﹣1）2+y2＝2； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本題根據一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，沒有二次項系數不為0這個條件，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
③3x﹣5＝0不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有兩個未知數，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知數的最高次數是1，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程．綜上所述，一元二次方程共有2個．故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
2．（2023·湖北伍家崗初三月考）已知一元二次方程，若把二次項系數變為正數，且使得方程根不變的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將方程的兩邊同時乘以，可以把二次項系數化成正數且使得方程根不變.
【解析】將方程的兩邊同時乘以，得： 故選：B.
【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式和等式的基本性質：①等式兩邊同時加上相等的數或式子，兩邊依然相等；②等式兩邊同時乘（或除）相等的數或式子，兩邊依然相等；③等式兩邊同時乘方（或開方），兩邊依然相等.熟練掌握等式的基本性質是關鍵.
3.（2023 鳳凰縣九年級期末）關于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，則（　　）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【分析】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定義即可得出答案．
【解答】解：∵關于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，
∴|a|+1＝2且a+1≠0，∴a＝1，故選：C．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的定義，要注意二次項的系數不等于0．
4.（2023·上海九年級專題練習）下列方程中，常數項為0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
【答案】D
【分析】要確定方程的常數項，首先要把方程化成一般形式．
【詳解】A、x2+x+1=0，常數項為1，故本選項不符合；
B、2x2-x-24=0，常數項為-24，故本選項不符合；
C、2x2-3x+1=0，常數項為1，故本選項不符合；
D、2x2-x=0，常數項為0，故本選項符合．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意一元二次方程的一般形式是：a+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
5.（2023 浙江九年級期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數式1+6m﹣2m2的值為（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】根據m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代數式的值，本題得以解決．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確題意，求出代數式的值．
6.（2022·杭州市 八年級期中）若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根為x＝2019，則一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根為（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】對于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，設t＝x﹣1得到at2＋bt＋2＝0，利用at2＋bt＋2＝0有一個根為t＝2019得到x﹣1＝2019，從而可判斷一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2020．
【詳解】解：對于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，設t＝x﹣1，所以at2＋bt＋2＝0，
而關于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根為x＝2019，
所以at2＋bt＋2＝0有一個根為t＝2019，則x﹣1＝2019，解得x＝2020，
所以一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2020．故選：B．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的根，考查方程中的整體未知數，掌握以上知識是解題的關鍵．
7.（2023 東城區九年級期中）若關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一個根為0，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
【分析】把x＝0代入方程計算，檢驗即可求出a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，
當a＝2時，a﹣2＝0，此時方程不是一元二次方程，舍去；則a的值為﹣2．故選：A．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關鍵．
8.（2023 阜陽九年級月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個根，則代數式2a的值為（　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】利用一元二次方程解的定義得到a2﹣3a+1＝0，兩邊除以a得到a3，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個根，∴a2﹣3a+1＝0，
∵a≠0，∴a﹣30，即a3，∴2a＝2﹣（a）＝2﹣3＝﹣1．故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
9.（2023 麥積區九年級期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根，則的值為（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一個根，將x＝a代入方程，得到關于a的等式，變形后代入所求式子中計算，即可求出值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
則2020a﹣1﹣2019aa﹣111＝2019．故選：C．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
10．（2022·上海·八年級專題練習）方程x3+x﹣1＝0的實數根所在的范圍是（　　）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
【答案】C
【分析】當時，方程無解，可知，方程兩邊都除以x，得，根據可得的范圍，從而得到縮小的x的范圍，進一步根據，再得到縮小的的范圍，進而可確定x的更小范圍．
【詳解】解：將代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化為，
∵，∴，∴，當時，，∴，∴，∴，
故選C．
【點睛】本題考查了高次方程根的估計方法．兩邊除以x，得到降次的方程是本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023 南崗區九年級校級月考）已知關于x的方程是一元二次方程，則m的值為　　．
【分析】直接利用一元二次方程的定義得出關于m的等式，進而得出答案．
【解答】解：∵關于x的方程是一元二次方程，
∴m2﹣1＝2且m0，解得：m．故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，注意未知數的最高次數是2是解題的關鍵．
12.（2023 渝北區九年級校級月考）若關于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次項系數為0，則a的值為　 　．
【分析】利用一元二次方程定義進行計算即可．
【解答】解：由題意得：﹣（4a2﹣1）＝0，且a0，解得：a，故答案為：．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程，關鍵是掌握只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
13．（2024·湖北·九年級一模）方程化為一般形式后，的值分別是 。
【答案】
【分析】先通過移項把方程化成一般形式，再找二次項系數 一次項系數和常數項即可．
【詳解】解：由原方程移項，得，
所以．．
【點睛】本題考查一元二次方程的一般形式，確定二次項系數，一次項系數，常數項，解題關鍵是利用移項化一元二次方程一般式．
14.（2023 瑤海區九年級期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），滿足3a﹣bc＝0，則方程必有一根為　 　．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：當把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣bc＝0，
即方程一定有一個根為x＝﹣3，故答案是：x＝﹣3．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的應用．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
15．（2023·浙江杭州市·八年級期中）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為________．
【答案】x=2019
【分析】對于一元二次方程，設t=x+1得到at2+bt=1，利用at2+bt-1=0有一個根為t=2020得到x+1=2020，從而可判斷一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0必有一根為x=2019．
【詳解】解：對于一元二次方程，設t=x+1，所以at2+bt=1，即at2+bt-1=0，
而關于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根為x=2020，
所以at2+bt-1=0有一個根為t=2020，則x+1=2020，解得x=2019，
所以必有一根為x=2019．故答案為：x=2019．
【點睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
16．（2023 寶應縣九年級月考）小剛在解關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝1、b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發現所抄的c比原方程的c值小1，則原方程的根為　 　．
【分析】把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0中計算求出
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0得：a﹣b+c﹣1＝0，
把a＝1，b＝4代入得：1﹣4+c﹣1＝0，解得：c＝4，
方程為x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣2．故答案為：x1＝x2＝﹣2．
【點睛】此題考查了一元二次方程的解，確定出正確的c值是解本題的關鍵．
17．（2023.浙江八年級期中）關于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，則a的值為______．
【答案】##1.5##
【分析】根據方程根的定義得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54變形后，利用整體代入，得到關于a的一元二次方程，解方程后去掉不合題意的解即可．
【詳解】解：∵關于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，
∴，∴，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴ 解得或 ∵ab≠0∴a，b均為非零實數，∴故答案為：
【點睛】本題考查一元二次方程根的定義和整體代入的方法，熟練掌握整體代入的方法是解題的關鍵．
18．（2023·浙江嘉興初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0與方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一個共同根，則這個共同根是_____．
【答案】x=1
【分析】由題意設公共解，再用②-①得（m+6）（t-1）=0得出t=1.
【解析】由題意設同一共同根為t，則
②-①得（m+6）（t-1）=0 ∴當唯一公共根t=1時，兩方程有公共根.
【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練的掌握一元二次方程解的意義.
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023 簡陽市九年級月考）將4個數a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成，定義ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么22表示的方程是一元二次方程嗎？請寫出它的一般形式．
【分析】根據二階行列式計算方法列出方程．
【解答】解：根據題意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定義．
【點睛】考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的一般形式，有理數的混合運算，掌握新定義運算法則是解題的關鍵．
20．（2023.陜西九年級期中）已知關于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】2
【分析】根據一元二次方程的定義，即可得出關于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出的值．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，解得，∴的值為2．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、絕對值以及解一元一次不等式等知識，理解并掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
21．（2022-2023學年浙江八年級數學課后練習）設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件，寫出該一元二次方程．
(1)，且； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據已知設，代入列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出a，b及c的值，寫出方程即可；
（2）利用非負數之和為0，非負數分別為0求出a，b及c的值，寫出方程即可．
【詳解】（1）解：（1），設，
，∴，解得：，
∴，則方程為：；
（2）解：∵，∴，
解得：，則方程為．
【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式并根據已知求出的值是解答此題的關鍵．
22．（2023 揚州九年級期中）向陽中學數學興趣小組對關于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列問題：（1）是否存在m的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根據一元二次方程的定義可得，可求得m的值，進一步可求出方程的解；
（2）當m2+1＝1或m+1＝0時方程為一元一次方程，求出m的值，進一步解方程即可．
【解答】解：（1）根據一元二次方程的定義可得，解得m＝1，
此時方程為2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2；
（2）由題可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0時方程可能為一元一次方程
當m2+1＝1時，解得m＝0，此時方程為﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
當m+1＝0時，解得m＝﹣1，此時方程為﹣3x﹣1＝0，解得x．
當m2+1＝0時，方程無解．
【點睛】本題主要考查一元二次和一元一次方程的定義，對（2）中容易漏掉m2+1＝1的情況．
23．（2023 南崗區九年級校級月考）閱讀理解：
定義：如果關于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是　 　．
（2）若關于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根據對稱方程的定義可得答案；（2）由題意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，答案：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，移項可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x﹣1＝0為對稱方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是正確理解題意，理解對稱方程的定義．
24．（2022·浙江杭州·模擬預測）完成下列問題：
（1）已知，為實數，且，求的值．
（2）若是關于的方程的根，求的值．
【答案】（1）-15；（2）-4
【分析】（1）根據被開方數大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代數式進行計算即可得解．
（2）利用方程解的定義找到相等關系n2+mn+4n=0，再把所求的代數式化簡后整理出m+n=-4，即為所求；
【詳解】解：（1）由題意得，2x-5≥0且5-2x≥0，
解得x≥且x≤，所以，x＝，y=-3，∴2xy=-15；
（2）由題意得n2+mn+4n=0，
∵n≠0，∴n+m+4=0，得m+n=-4．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解及二次根式有意義的條件，解題的關鍵是能夠了解方程的解的定義，難度不大．
25．（2022·浙江·八年級統考期末）如圖，在中，，從點為圓心，長為半徑畫弧交線段于點，以點為圓心長為半徑畫弧交線段于點，連結．
(1)若，求的度數： (2)設．①請用含的代數式表示與的長； ②與的長能同時是方程的根嗎？說明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由見解析
【分析】（1）根據直角三角形、等腰三角形的性質，判斷出△DBC是等邊三角形，即可得到結論；
（2）①根據線段的和差即可得到結論；
②根據方程的解得定義，判斷AD是方程的解，則當AD=BE時，同時是方程的解，即可得到結論．
【詳解】解：（1）∵，，
又，
是等邊三角形．．
（2）①∵
又，．
②∵
∴線段的長是方程的一個根．
若與的長同時是方程的根，則，
即，，
，∴當時，與的長同時是方程的根．
【點睛】本題考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質求邊與角的方法，掌握判斷一元二次方程的解得方法是解題的關鍵．
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專題2.1 一元二次方程
模塊1：學習目標
1. 掌握一元二次方程的相關概念；
2. 會把一元二次方程化為一般形式并確定各項及各項的系數；
3. 掌握一元二次方程的解（根）及方程的近似解，會運用其解決相關問題；
4. 掌握一元二次方程的特征根問題，會用整體思想求解相關問題。
模塊2：知識梳理
1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數整式方程，并且都可以化為 (a、b、c為常數）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。
注意：滿足是一元二次方程的條件有：（1）必須是一個整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2。（三個條件缺一不可）
如何理解 “未知數的最高次數是2”：①該項系數不為“0”； ②未知數指數為“2”；
③若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c為常數）。
其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。
注：①化為一般式時，右邊為0；②習慣上將二次項系數a化為正數
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知數的值稱為一元二次方程的解，我們也稱為一元二次方程的根。
2）一元二次方程的實數根有0個、1個或2個。
3）常考點:為利用根的概念求代數式的值；4）一元二次方程近似解：兩端逼近法。
步驟：借助表格，找到兩個相近的數，一個使，一個使，則一元二次方程的解就介于這兩個數之間，再進一步逼近，縮小范圍獲得其近似解。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 一元二次方程的辨別
例1．（2023·江蘇九年級專題練習）下列關于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
變式1. （2023 倉山區九年級校級月考）下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2. （2023·江蘇無錫市·九年級期中）下列方程為一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3＝x（x+4） B．x2﹣＝3 C．x2﹣10x＝﹣5 D．4x+6xy＝33
考點2. 利用一元二次方程的概念求參數值
例1．（2023·江蘇九年級一模）若方程是關于x的一元二次方程，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C．且 D．
變式1.（2023 綿陽市九年級期末）已知關于x的方程為一元二次方程，則a的取值范圍是　 　
變式2.（2023 新都區九年級校級月考）關于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，當m滿足　 　時，方程為一元二次方程，當m滿足　 　時，方程為一元一次方程．
考點3. 一元二次方程的一般形式
例1．（2023 拱墅區校級九年級期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是　 　；其中二次項系數是　 　．
變式1. （2023·河南鄭州市·九年級期中）已知一元二次方程的常數項為4，則二次項系數和一次項系數分別為（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
變式2. （2023 烏蘇市九年級月考）將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為二次項系數為“1”的一般形式是　 　，其中二次項系數是　 　，一次項系數是　 　，常數項是　 　．
考點4. 利用一元二次方程的解求參數（代數式）值
例1．（2023·河南九年級期末）關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一個根為0，則a的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
變式1.（2023·江蘇新北初三一模）若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一個解，則代數式1﹣8a+4b的值是_____．
變式2. （2023 黃岡九年級月考）關于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一個根為﹣2，則m的值等于（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
考點5、 賦值法求一元二次方程的定根
例1．（2023 蕭山區九年級期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，則一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
變式1. （2023·安徽合肥市·九年級期中）若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A． B． C． D．無法確定
變式2. （2023·浙江初二期末）若則關于x的方程的解是____.
考點6. 一元二次方程的近似解（根）問題
例1．（2023·浙江·衢州市興華中學九年級階段練習）下表是用計算器探索函數y＝2x2﹣2x﹣10所得的數值，則方程2x2﹣2x﹣10＝0的一個近似解為（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
變式1. （2023·山西太原·九年級期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解時，小明所在的小組采用了賦值法，計算結果如表：
　x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小組同學說，他們發現了該方程的一個近似解．這個近似解的十分位是 ___．
變式2. （2023·山東·八年級期末）觀察下列表格，一元二次方程的一個近似解為（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023 揚州九年級期末）下列方程中，一元二次方程共有（　　）個．
①x2﹣2x﹣1＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③3x﹣5＝0；
④﹣x2＝0； ⑤（x﹣1）2+y2＝2； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北伍家崗初三月考）已知一元二次方程，若把二次項系數變為正數，且使得方程根不變的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023 鳳凰縣九年級期末）關于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，則（　　）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
4.（2023·上海九年級專題練習）下列方程中，常數項為0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
5.（2023 浙江九年級期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數式1+6m﹣2m2的值為（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6.（2022·杭州市 八年級期中）若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根為x＝2019，則一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根為（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
7.（2023 東城區九年級期中）若關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一個根為0，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
8.（2023 阜陽九年級月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個根，則代數式2a的值為（　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
9.（2023 麥積區九年級期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根，則的值為（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10.（2022·上海·八年級專題練習）方程x3+x﹣1＝0的實數根所在的范圍是（　　）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023 南崗區九年級校級月考）已知關于x的方程是一元二次方程，則m的值為　　．
12.（2023 渝北區九年級校級月考）若關于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次項系數為0，則a的值為　 　．
13.（2024·湖北·九年級一模）方程化為一般形式后，的值分別是 。
14.（2023 瑤海區九年級期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），滿足3a﹣bc＝0，則方程必有一根為　 　．
15．（2023·浙江杭州市·八年級期中）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為________．
16．（2023 寶應縣九年級月考）小剛在解關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，只抄對了a＝1、b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發現所抄的c比原方程的c值小1，則原方程的根為　 　．
17．（2023.浙江八年級期中）關于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，則a的值為______．
18．（2023·浙江嘉興初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0與方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一個共同根，則這個共同根是_____．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023 簡陽市九年級月考）將4個數a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成，定義ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么22表示的方程是一元二次方程嗎？請寫出它的一般形式．
20．（2023.陜西九年級期中）關于的方程是一元二次方程，求的值．
21．（2022-2023學年浙江八年級數學課后練習）設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件，寫出該一元二次方程．
(1)，且； (2)．
22．（2023 揚州九年級期中）向陽中學數學興趣小組對關于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列問題：（1）是否存在m的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
23.（2023 南崗區九年級校級月考）閱讀理解：
定義：如果關于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是　 　．
（2）若關于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
24．（2022·浙江杭州·模擬預測）完成下列問題：
（1）已知，為實數，且，求的值．
（2）若是關于的方程的根，求的值．
25．（2022·浙江·八年級統考期末）如圖，在中，，從點為圓心，長為半徑畫弧交線段于點，以點為圓心長為半徑畫弧交線段于點，連結．
(1)若，求的度數： (2)設．①請用含的代數式表示與的長； ②與的長能同時是方程的根嗎？說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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