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專題2.2 一元二次方程的解法
模塊1：學習目標
1. 理解并掌握直接開平方法和配方法解一元二次方程；
2. 理解并掌握求根公式法解一元二次方程；
3. 理解并掌握因式分解法、換元法等解一元二次方程；
4. 理解一元二次方程根的判別式并會運用根的判別式判別一元二次方程的根的情況。
模塊2：知識梳理
1.一元二次方程的解法：直接開平方法
直接開平方法解一元二次方程：將方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，則x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一種以配方為手段，以開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步驟是：
（1）化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；
（2）移項，即使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；
（3）配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方；（4）化原方程為(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n＜0，則原方程無解．
注意：實際在解方程的過程中，一般也只是針對且為偶數(shù)時，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來更加簡單。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過配方推導出來的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步驟：①化方程為一元二次方程的一般形式； ②確定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，則代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，則方程無解．
（3）一元二次方程根的判別式 (=b2－4ac)
①當時，方程有兩個不相等的實根；② 當時，方程有兩個相等的實根；③ 當時，方程沒有實根。
判別式作用：①定根的個數(shù)；②求待定系數(shù)的值。
注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；
(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時，必須檢驗二次項系數(shù)a≠0
(3)證明恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達式通過配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。
4.因式分解法：將一元二次方程通過因式分解，分解為兩個一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個一次因式分別等于0，實現(xiàn)降次的方法。
2）即將一元二次方程化簡為；從而得出：，因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通過提取公因式達到因式分解的目的，進而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在將方程化成兩個因式乘積等于0的形式，利用如下乘法公式，有時可以很好解決。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能將某些二次三項式因式分解。十字相乘法的二次三項式需滿足三個條件：
①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項； ②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項；③十字交叉相乘積的和等于一次項。
4）解一元二次方程的方法選擇：
①雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用。
②解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握。
③四種解法的一定要合理選用，一般按直接開平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用。
注意：方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式．
如：2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能隨便約去（x＋4）。
模塊3：核心考點與典例
考點1、直接開平方法解一元二次方程
例1．（2023 環(huán)江縣九年級期末）若關(guān)于x的方程x2﹣m＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故選：D．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023 南崗區(qū)九年級月考）若（4x﹣3）2＝m+3無實數(shù)解，則m的取值范圍是　 　．
【分析】根據(jù)方程無實數(shù)根，得到方程右邊為負數(shù)，求出m的范圍即可．
【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3無實數(shù)解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案為：m＜﹣3．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握平方根性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
變式2．（2023 廣州九年級期中）解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】（1）根據(jù)直接開方法即可求出答案．（2）直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵把方程化為x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再運用算術(shù)平方根意義求解．
【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1
（2）解：直接開平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1，y2．
【點評】考查了解一元二次方程﹣直接開平方法．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．
考點2、用配方法解一元二次方程
例1．（2023·浙江杭州市·八年級期中）解方程：
解：兩邊同時加_________，得________________
則方程可化為（_______）2=________
兩邊直接開平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4
【分析】根據(jù)配方法求解即可．
【詳解】解：兩邊同時加9，得99，則方程可化為1，
兩邊直接開平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以-2，-4．
故答案為：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．
【點睛】本題考查了配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
變式1. （2023 山東聊城市·九年級一模）用配方法解方程，將方程變?yōu)榈男问剑瑒t_____．
【答案】1
【分析】先整理方程，然后再運用完全平方公式配方即可解答．
【詳解】解：3x2-6x+2=0，,,，即 m=1．故填1．
【點睛】本題主要考查了運用配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
變式2. （2023 江蘇 九年級月考）用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）原方程無實數(shù)根；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）方程兩邊加上1，再進行配方即可求解；（2）移項后，方程兩邊都加上一半的平方，再進行配方即可求解；（3）先將方程的二次項系數(shù)化為1，再進行配方即可求解；（4）先將方程的二次項系數(shù)化為1，再進行配方即可求解；（5）先將方程整理后，再進行配方即可求解；（6）先將方程整理后，再進行配方即可求解．
【解析】（1） 配方，得， ．
（2） 移項，得． 配方，得．
，原方程無實數(shù)根．
（3） 移項，得． 配方，得， ．
（4） 移項，得．配方，得， ．
（5） 原方程化為一般形式為．
移項，得． 配方，得， ．
（6）原方程化為一般形式為．
二次項系數(shù)化為1得．
配方，得，．
【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確配方，即加上一次項系數(shù)一半的平方．
考點3、配方法的應(yīng)用
配方思想的主要應(yīng)用：①證明代數(shù)式的正負性；②比較代數(shù)式大小；③求代數(shù)式的最值等。
例1．（2023 歷城區(qū)九年級期中）閱讀下列材料：
利用完全平方公式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）填空：將多項式x2﹣2x+3變形為（x+m）2+n的形式，并判斷x2﹣2x+3與0的大小關(guān)系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣　 　）2+　 　；所以x2﹣2x+3　 　0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）將多項式x2+6x﹣9變形為（x+m）2+n的形式，并求出多項式的最小值；
（3）求證：x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．
【分析】（1）模仿題干的例題配方即可，利用平方的非負性與0比較大小；
（2）將多項式配方，根據(jù)平方的非負性求出多項式的最小值；
（3）對多項式進行配方即可證明多項式的值總為正數(shù)．
【解答】解：（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案為：1；2；＞；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，∴當x＝﹣3時，x2+6x﹣9有最小值，最小值為﹣18；
（3）證明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．
【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
變式1 ．（2023·河北九年級專題練習）閱讀：我們知道一個分式有意義的條件是字母的取值使得分母不為零，所以分式中取值往往會受到限制，但分式中b卻可以取任意實數(shù)，理由是b2+3≥3，所以不可能為0且分母的最小值為3，根據(jù)你的理解回答下列問題：（1）多項式x2+2x﹣3有最大值還是最小值？如果有，請求出這個最值；（2）已知關(guān)于x的多項式A＝4x2﹣3x+a2（a為常數(shù)）和多項式B＝3x2+5x﹣17，試比較A和B的大小，并說明理由；（3）已知關(guān)于x的二次三項式﹣x2﹣4mx+4m+3（m為常數(shù)）的最大值為2，求x和m的值．
【答案】（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，見解析；（3）x的值為1，m的值為﹣．
【分析】（1）原式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出最值即可；（2）利用作差法判斷即可；（3）先將關(guān)于x的二次三項式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根據(jù)最大值為2，得出關(guān)于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值．
【詳解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴多項式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4；
（2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17，
∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17）＝x2﹣8x+a2+17＝（x﹣4）2+a2+1，
∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1，∴（x﹣4）2+a2+1≥1，∴A＞B；
（3）﹣x2﹣4mx+4m+3＝﹣（x2+4mx）+4m+3＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3，
∵最大值為2，∴4m2+4m+3＝2，∴（2m+1）2＝0，∴m1＝m2＝﹣，∴x＝﹣2m＝1．
∴x的值為1，m的值為﹣．
【點睛】本題考查了配方法在最值問題以及多項式比較大小中的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
變式2. （2023 南京九年級月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．
（2）當a，b為何值時，多項式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出這個最小值；
（3）當a，b為何值時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出這個最小值．
【分析】（1）將多項式加9再減9，利用配方法可得；（2）將多項式配方后可得結(jié)論；（3）將多項式配方后可得結(jié)論．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣6m﹣7＝m2﹣6m+9﹣9﹣7＝（m﹣3）2﹣16＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）＝（m+1）（m﹣7）．
（2）a2+b2﹣4a+6b+20＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+7＝（a﹣2）2+（b+3）2+7．
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0∴當a＝2，b＝﹣3時，多項式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值為：7．
（3）a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28＝a2﹣2a（b+1）+b2+2b+1+b2﹣6b+9+18＝[a﹣（b+1）]2+（b﹣3）2+18．
∵[a﹣（b+1）]2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴當a﹣（b+1）＝0，b﹣3＝0時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值．
即當a＝4，b＝3時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值18．
【點評】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，將多項式配方，再利用非負數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
考點4、用公式法解一元二次方程
例1．（2022·重慶市·九年級期中）解下列方程：
(1) (2) (3)
【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)方程無解
【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用公式法求解即可．
【解析】 (1)解：，2x2+8x-1=0，
∵Δ==72>0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
(2)解：，3x2-11x+9=0，
∵Δ=>0，
∴x=
∴x1=，x2=；
(3)解：，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程無解．
【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用直接開方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023 福州九年級模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，下列判斷一定正確的是（　　）
A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．1
【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的求根公式可得：x1，x2，
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x21，∴當b≠0時，a＝1，c＝﹣1，則ac＝﹣1，故選：D．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，屬于基礎(chǔ)題目．
變式2.（2023 達川區(qū)九年級期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x，則x1，x2．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟記公式x是解題的關(guān)鍵．
考點5、判別式及其運用
例1．（2023 山東菏澤市·中考模擬）關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，利用根的判別式來求的取值范圍即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程有實數(shù)根，
∴，且，解得，且，故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判別式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023 河南九年級模擬）下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（　　）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
【分析】利用根的判別式△＝b2﹣4ac逐一求出四個方程的△的值，取其為正值的選項即可得出結(jié)論．
【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒有實數(shù)根；
B、方程變形為x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；
C、方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個不相等的實數(shù)根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0沒有實數(shù)根．故選：C．
【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2023 浙江臺州市·中考模擬）關(guān)于x的方程x2-4x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】根據(jù)方程x24x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x24x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，解得：m＜4，故選D．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則判別式大于零，是解題的關(guān)鍵．
考點6、用提公因式法解一元二次方程
例1．（2023 建平縣九年級期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y(tǒng)+2
【分析】先變形為2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2；
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
變式1. （2023 揭西縣九年級月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
則5x+4＝0或x﹣1＝0，則．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
考點7、用乘法公式解一元二次方程
例1．（2023 長白縣九年級期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝4，x2．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．
變式1.（2023 呼和浩特九年級期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，∴3x+2＝0或x﹣4＝0，∴x1，x2＝4．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
考點8、用十字相乘法解一元二次方程
例1．（2023 郫都區(qū)九年級期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；
【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；
【解答】解：x2﹣10x+16＝0，
因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，所以，x1＝2，x2＝8；
【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)題目要求的方法求解．
變式1.（2023 簡陽市九年級月考）用因式分解法解方程：x20
【分析】利用因式分解法把方程化為x0或x0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x）（x）＝0，x0或x0，所以x1，x2．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
考點9.因式分解法解一元二次方程的運用
例1．（2023 浙江杭州市·九年級期中）已知三角形兩邊的長分別是3和6，第三邊的長是方程的根，則這個三角形的周長為（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
【答案】B
【分析】首先從方程x2-6x+8=0中，確定第三邊的邊長為2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否構(gòu)成三角形，從而求出三角形的周長．
【詳解】解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，
當?shù)谌吺?時，2+3＜6，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去；
當?shù)谌吺?時，三角形的周長為4+3+6=13．故選：B．
【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣，不符合題意的應(yīng)棄之．
變式1. （2023 陽信縣九年級模擬）菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程x2﹣9x+20＝0的一個根，則該菱形的面積為　 　．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到菱形的邊長為5，利用勾股定理計算出菱形的另一條對角線長，然后根據(jù)菱形的面積公式計算．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，
∵菱形一條對角線長為8，∴菱形的邊長為5，
∵菱形的另一條對角線長＝26，
∴菱形的面積6×8＝24．故答案為：24．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性質(zhì)．
變式2.（2023 新會九年級期末）定義符號max{a，b}的含義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，則方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是　　．
【分析】分兩種情況：x≥﹣x，即x≥0時；x＜﹣x，即x＜0時；進行討論即可求解．
【解答】解：x≥﹣x，即x≥0時，x＝x2﹣6，x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去）；
x＜﹣x，即x＜0時，﹣x＝x2﹣6，x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2（舍去）．
故方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是x＝3或﹣3．故答案為：3或﹣3．
【點評】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，關(guān)鍵是熟練掌握定義符號max{a，b}的含義，注意分類思想的應(yīng)用．
考點10. 用換元法解一元二次方程
例1．（2023 太原九年級期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時，我們將x2﹣1作為一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．
當y＝0時，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．
當y＝3時，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．
所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
【分析】設(shè)x2+2x＝m，用m代替方程中的x2+2x，然后解關(guān)于m的一元二次方程，然后再來求關(guān)于x的一元二次方程．
【解答】解：設(shè)x2+2x＝m，
則m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
當m＝3時，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
則x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
當m＝﹣1時，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
綜上，原方程的解為x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023·山西太原市·九年級期末）解方程時，我們將作為一個整體，設(shè)，則原方程化為．解得．當時，，解得或．當時，，解得或．所以，原方程的解為．
模仿材料中解方程的方法，求方程的解．
【答案】x1=-3，x2=1，x3=x4=-1．
【分析】設(shè)x2+2x=m，用m代替方程中的x2+2x，然后解關(guān)于m的一元二次方程，然后再來求關(guān)于x的一元二次方程．
【詳解】解：設(shè)x2+2x=m，則m2-2m-3=0，∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，解得m=3或m=-1，
當m=3時，x2+2x=3，即x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，則x+3=0或x-1=0，解得x1=-3，x2=1；
當m=-1時，x2+2x=-1，即x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，解得x3=x4=-1；
綜上，原方程的解為x1=-3，x2=1，x3=x4=-1．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
考點11. 含絕對值的一元二次方程的解法
例1．（2023 蚌埠九年級月考）閱讀下面的例題：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的過程如下：
（1）當m≥0時，原方程化為m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）當m＜0時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．
請參照例題解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．
【分析】分類討論：當m≥1時，原方程化為m2﹣m＝0；當m＜1時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，然后利用因式分解法解兩個方程，再利用m的范圍確定滿足原方程的解．
【解答】解：當m≥1時，原方程化為m2﹣m＝0，解得：m1＝1，m2＝0（舍去）．
當m＜1時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1 （舍去）．
原方程的解：m1＝1，m2＝﹣2．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．
變式1. （2023 西城區(qū)九年級校級期中）閱讀下面的例題：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍）．
（2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，
①解得：　 　．
②綜上，原方程的根是　 　．
③請參照例題解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，則此方程的根是　 　．
【分析】去掉絕對值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：①當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，
解這個方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合題意，舍去）．
故答案為：x1＝﹣2，x2＝1（不合題意，舍去）．
②綜上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案為：x1＝2，x2＝﹣2；
③當x≥3時，原方程化為x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合題意，舍）．
當x＜3時，原方程化為x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根為x1＝2，x2＝﹣3．
故答案為：x1＝2，x2＝﹣3．
【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，讀懂題目信息，理解分情況討論去掉絕對值號把方程整理成一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
考點12. 降次法解一元三次方程
例1．（2023·河北九年級模擬）閱讀理解：
對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．
解決問題：（1）因式分解：___________（2）求方程的解
【答案】（1）；（2）或或
【分析】（1）由可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解答；
（2）先將方程左邊按材料的公式形式分解因式，再求出每個因式為0時的解即可．
【詳解】解：（1）
故答案為：
（2）解：，，
∴，或，解得或，
【點睛】本題主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通過適當?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．本題解題關(guān)鍵是學習材料內(nèi)容，根據(jù)材料公式和方法解題．
變式1.（2023·浙江·九年級課時練習）閱讀下列材料，按要求解答問題：
閱讀理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程 有整數(shù)解c，則將c代入方程得：,移項得：，即有： ，由于與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù)．
上述過程說明：整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)解只可能是m的因數(shù)．
例如：方程中－2的因數(shù)為±1和±2，將它們分別代入方程進行驗證得：x=－2是該方程的整數(shù)解，－1、1、2不是方程的整數(shù)解．
解決問題：①根據(jù)上面的學習，請你確定方程的整數(shù)解只可能是哪幾個整數(shù)？
②方程 是否有整數(shù)解？若有，請求出其整數(shù)解；若沒有，請說明理由.
【答案】①1、－1、7、－7；②該方程有整數(shù)解， x=3是該方程的整數(shù)解
【分析】①認真學習題目給出的材料，掌握“整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù)”，再作答；②根據(jù)分析（1）得出3的因數(shù)后再代入檢驗可得出答案．
【解析】解：①由閱讀理解可知：該方程如果有整數(shù)解，它只可能是7的因數(shù)，而7的因數(shù)只有：1，-1，7，-7這四個數(shù)．②該方程有整數(shù)解．
方程的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1，-1，3，-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0
進行驗證得：x=3是該方程的整數(shù)解．
【點睛】本題考查同學們的閱讀能力以及自主學習、自我探究的能力，該類型的題是近幾年的熱點考題．認真學習題目給出的材料，掌握“整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù)”是解答問題的基礎(chǔ)．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江杭州·二模）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別計算出四個方程的根的判別式的值，然后利用判別式的意義判斷各方程的根的情況即可．
【詳解】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×＝0，∴方程有兩個相等的實數(shù)解，∴選項不符合題意；
B．∵Δ＝22﹣4×3＝﹣8＜0， ∴方程沒有實數(shù)解，∴選項不符合題意；
C．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，∴方程沒有實數(shù)解，∴選項不符合題意；
D．∵Δ＝（﹣3）2﹣4×0＝9＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)解，∴選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
2．（2023·重慶九年級期末）用配方法解下列方程時，配方錯誤的是（ ）
A．化為 B．化為
C．化為 D．化為
【答案】A
【分析】根據(jù)配方法的步驟：①將二次項系數(shù)化為1；②將常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答．
【詳解】解：A、化為，即，此選項錯誤，符合題意；B、化為，即，此選項正確，不符合題意；
C、化為，即，此選項正確不符合題意；
D、化為，即，此選項正確，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查配方法，熟練掌握配方法的步驟是解答的關(guān)鍵．
3．（2023·廣西南寧市·九年級一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解法即可求解．
【詳解】解
∴或 解得故選：D．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解法的運用．
4.（2023 和平區(qū)九年級期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m（m≠0），則b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【分析】根據(jù)公式得出m，求出即可．
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m，
∴m，解得：b2m，故選：D．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．
5. （2023 河南南陽市·九年級一模）定義新運算“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．若（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（ ）
A．有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【答案】C
【分析】根據(jù)新定義，得，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用根的判別式判斷即可．
【詳解】∵，∴，
∴變形為，
∴△＝＝＞0，
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選C．
【點睛】本題考查了新定義問題，一元二次方程根的判別式，準確理解新定義，靈活運用根的判別式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東九年級專題練習）不論x、y為何實數(shù)，代數(shù)式的值（　　）
A．總小于2 B．總不小于7 C．為任何實數(shù) D．不能為負數(shù)
【答案】D
【分析】把代數(shù)式利用配方法化成幾個完全平方和的形式，再進行求解．
【詳解】解：，
故不論、為何實數(shù)，代數(shù)式恒成立．故選：D．
【點睛】本題考查了配方法、完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用配方法把代數(shù)式化成幾個完全平方和的形式．
7．（2022·河南南陽·一模）已知關(guān)于x的方程，則下列分析正確的是（ ）
A．當p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 B．當p>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根
C．當p<0時，方程沒有實數(shù)根 D．方程的根的情況與p的值無關(guān)
【答案】B
【分析】本題主要先求出根的判別式，再根據(jù)p的取值范圍對各個選項進行一一判斷即可
【詳解】方程可整理為，∴=，
當p=0時，=16＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項A錯誤；
當p＞0時，=＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項B正確；
當p<0時，的正負無法確定，故無法判斷該方程實數(shù)根的情況，故選項C錯誤；
方程的根的情況和p的值有關(guān)，故選項D錯誤．故選B．
【點睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式是解本題的關(guān)鍵．
8.（2023 晉江市九年級期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．n＝0且n是該方程的根 B．n＝m且n是該方程的根
C．n＝m但n不是該方程的根 D．n＝0但n不是該方程的根
【分析】解方程得到方程的根，然后根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，∴x1＝m，x2＝n，
∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n，
∵x1＝x2＝m，∴n＝m且n是該方程的根，故選：B．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·湖南永州·模擬預(yù)測）一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2 7x+12=0的一根，則此三角形的周長是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【答案】C
【分析】通過解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的兩個腰長，然后求該等腰三角形的周長．
【詳解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，解得x=3，或x=4；∴等腰三角形的兩腰長是3或4；
①當?shù)妊切蔚难L是3時，3+3=6，構(gòu)不成三角形，所以不合題意，舍去；
②當?shù)妊切蔚难L是4時，0＜6＜8，所以能構(gòu)成三角形，
所以該等腰三角形的周長=6+4+4=14；故選：C．
【點睛】本題綜合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)．解答該題時，采用了“分類討論”的數(shù)學思想．
10．（2023 汾陽市九年級期末）定義：如果一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0
【分析】分別求出選項中兩個方程的解，再結(jié)合“相似方程”的定義即可確定結(jié)論．
【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的實數(shù)根是±4，x2＝25的實數(shù)根是±5，
∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0與x2＝25為相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝0的實數(shù)根是6，x2+4x+4＝0的實數(shù)根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0為相似方程；
C、方程x2﹣7x＝0的實數(shù)根是0或7，x2+x﹣6＝0的實數(shù)根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+8）＝0的實數(shù)根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的實數(shù)根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0為相似方程；故選：C．
【點評】本題考查了解一元二次方程，讀懂題意，正確理解“相似方程”的定義是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東初三期中）定義為不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，如，．函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為 。
【答案】0
【分析】根據(jù)圖象確定出[x]的可能值，進而求出x的值確定出方程的解即可．
【解析】當時，原方程可化為，
解得，均不符合題意，舍去；
當時，原方程可化為，解得（舍去）；
當時，原方程可化為，此時無實數(shù)解；
當時，原方程化為，此時無實數(shù)解．
綜上所述，方程的解為．
【點睛】此題考查解一元二次方程-因式分解法，以及函數(shù)的圖象，熟練掌握運算法則是解本題關(guān)鍵．
12．（2023·江蘇南通·二模）若，是關(guān)于x的方程的兩個根，且，則k＝______．
【答案】9
【分析】根據(jù)題意可知，一元二次方程根的判別式等于0，進而即可求解．
【詳解】解：∵若，是關(guān)于x的方程的兩個根，且，
∴．解得．故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
13．（2023·山東淄博·九年級期中）閱讀理解：設(shè)，，若，則，即，已知，，且，則的值為______．
【答案】1或-4
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，解方程即可．
【詳解】解：由，則，即，=(-2，x+1)，=(3，x+2)，且，
可得，解方程得，，，故答案為：1或-4
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是準確理解題意，列出一元二次方程．
14．（2023·云南文山·九年級期末）已知一元二次方程的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的周長______．
【答案】20
【分析】求出一元二次方程的兩個根，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：，
則x1=6，x2=8，即菱形的兩條對角線長分別為6和8，
則菱形的邊長為，故菱形的周長為5×4=20，故答案為20
【點睛】本題考查解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，周長的求法，正確掌握一元二次方程的解法、菱形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川綿陽市·九年級二模）已知實數(shù)滿足，那么的值為______．
【答案】1
【分析】設(shè)，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【詳解】設(shè)，∴原式可轉(zhuǎn)化為：，
整理得，，解得，或，
∵，∴將(舍去)∴的值為1，故答案為：1．
【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程、完全平方式等知識點，解答本題的關(guān)鍵是將設(shè)為一個整體，并對所求值進行取舍．
16．（2023·上海·八年級期末）方程x3﹣x＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解是 _____
【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：x3﹣x＝0，x（x2﹣1）＝0，
x（x+1）（x﹣1）＝0，x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，
故答案為：x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【點睛】本題考查了解高次方程，能把解高次方程轉(zhuǎn)化成解低次方程是解此題的關(guān)鍵．
17．（2023·上海·八年級專題練習）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成兩個一次方程，那么這兩個一次方程分別是_____ 或_____．
【答案】 x﹣4y＝0 x+2y＝0
【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是關(guān)于x的一元二次方程，方程左邊進行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到兩個一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．
【詳解】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，
∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．故答案為：x﹣4y＝0；x+2y＝0．
【點睛】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程變形為一般式，再把方程左邊進行因式分解，然后把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程得到原方程的解．
18．（2023·上海·九年級專題練習）如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊的比）．比如等邊三角形就是一個優(yōu)比為1的優(yōu)三角形．若△ABC是優(yōu)三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．則這個三角形的面積是 _____．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過A作AH⊥CB交CB的延長線于H．分兩種情形：若AB＜BC，則AB+AC＝2BC＝8；若AB≥BC，則AC+BC＝2AB，分別利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】解：過點A作AH⊥CB交CB的延長線于H．
①若AB＜BC，則AB+AC＝2BC＝8，設(shè)BH＝x，
在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，
∴AB＝2x，AH＝BH＝x，∴AC＝8﹣2x，
在Rt△ACH中，則有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，
解得x＝，∴AH＝，∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝；
（2）若AB≥BC，則AC+BC＝2AB，設(shè)BH＝x，則AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4，
在Rt△ACH中，則有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，解得x＝或x＝0（舍去），
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝，故答案為：或．
【點睛】本題考查了“優(yōu)三角形”以及“優(yōu)比”的新定義問題，解題時用到了三角形的三邊關(guān)系、勾股定理解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·海門市初二期中）用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
【答案】（1），；（2），；（3）.
【分析】（1）采用配方法將方程轉(zhuǎn)化為，然后利用直接開平方法計算即可；
（2）直接利用公式法，求解即可；（3）采用因式分解法轉(zhuǎn)化為求解即可.
【解析】（1）
故方程的解為，；
（2）5x2+2x﹣1=0
故方程的解為，；
（3）
解得， 故方程的解為.
【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，熟練掌握，即可解題.
20.（2023·浙江杭州市·八年級期末）請選擇適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?br/>（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=-2，x2=1；（3）x1=，x2=；
（4）x1=3或x2=-3
【分析】（1）根據(jù)公式法即可求出答案；（2）移項，再根據(jù)因式分解法即可求出答案；（3）整理后根據(jù)公式法即可求出答案；（4）令x-2=t，得到關(guān)于t的一元二次方程，再利用因式分解法求解．
【詳解】解：（1）∵2x2+6x+3=0，∴a=2，b=6，c=3，
∴△=36-4×2×3=12，∴x=，∴x1=，x2=；
（2）∵（x+2）2=3（x+2），∴（x+2）2-3（x+2）=0，∴（x+2）（x+2-3）=0，∴x1=-2，x2=1；
（3）整理得：x2-6x-5=0，b2-4ac=（-6）2-4×1×（-5）=56，x=，∴x1=，x2=；
（4）令x-2=t，則，∴，∴t-1=0，t+5=0，∴t=1或-5，
∴x-2=1或x-2=-5，∴x1=3或x2=-3．
【點睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．
21．（2023·北京西城·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若m為整數(shù)，且此方程的兩個根都是整數(shù)，寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的兩個根．
【答案】(1)見解析；(2)當m=1時，或滿足題意（答案不唯一）．
【分析】（1）表示出一元二次方程根的判別式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出結(jié)論；（2）可先用求根公式表示出兩根，再根據(jù)方程的根都是整數(shù)，可求得m的值．
【解析】 (1)解：∵二次函數(shù)為 ，∴，，．
∴，
∴此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(2)∵當m=1時，原方程為：，∴原式可化為，則，∴或，
∴當m=1時，或滿足題意（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根；也考查了解一元二次方程．
22. （2023·山西九年級二模）下面是小穎同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任務(wù)一：①小穎解方程的方法是______；
A．直接開平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是______；
任務(wù)二：請你用“公式法”解該方程．
【答案】任務(wù)一：① C；②等式的基本性質(zhì)或等式兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式；任務(wù)二：，
【分析】任務(wù)一：①根據(jù)前三步可得知小穎解方程的方法是配方法，②方程兩邊同時加上一個相同的數(shù)是運用了等式的基本性質(zhì)；任務(wù)二：根據(jù)方程得知、和的值，再根據(jù)公式法把、和的值代入求解．
【詳解】解： 任務(wù)一：①根據(jù)前三步可得知小穎解方程的方法是配方法，故選C；②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是：等式的基本性質(zhì)或等式兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式；
任務(wù)二：解方程：．
，，．
，
．，．
【點睛】本題考查了二次根式和實數(shù)的運算和一元二次方程的解法，正確化簡，掌握配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．
23.（2023 安居區(qū)九年級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．
（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可證得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知b＝c或b、c中有一個為5，①當b＝c時，根據(jù)根的判別式△＝0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；②當方程的一根為5時，將x＝5代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定△ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一個為5．
①當b＝c時，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，
∴原方程為x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能構(gòu)成三角形．
該三角形的周長為4+4+5＝13．
②當b或c中的一個為5時，將x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，
∴原方程為x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能組成三角形，∴該三角形的周長為4+5+5＝14．
綜上所述，該三角形的周長是13或14．
【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）題需要分類討論，以防漏解．
24．（2023·福建九年級期中）（閱讀理解）利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．
例如：利用配方法將變形為的形式．
＝＝．
（解決問題）根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）利用配方法將多項式化成的形式．
（2）求證：不論x，y取任何實數(shù)，多項式的值總為正數(shù)．
【答案】（1）；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)配方法配方，即可得出答案
（2）根據(jù)配方法把變形成，再根據(jù)平方的非負性，可得答案．
【詳解】（1）解：＝＝；
（2）證明：＝＝，
故不論x，y取任何實數(shù)，多項式的值總為正數(shù)．
【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：配方是解題關(guān)鍵．
25．（2023·吉林長春初三月考）閱讀理解：
解方程：．
解：方程左邊分解因式，得，
解得，，．
問題解決：（1）解方程：．（2）解方程：．
（3）方程的解為 ．
【答案】（1），，；（2），，，；（3），．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：（1），∴，∴，，
解得：，，；
（2），∴，∴，，
解得：，，，；
（3），整理得：，
開方得：，∴，，
解方程得：，；
方程中，此方程無解，
所以原方程的解為：，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判別式等知識點，能把高次方向轉(zhuǎn)化成低次方程是解此題的關(guān)鍵．
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專題2.2 一元二次方程的解法
模塊1：學習目標
1. 理解并掌握直接開平方法和配方法解一元二次方程；
2. 理解并掌握求根公式法解一元二次方程；
3. 理解并掌握因式分解法、換元法等解一元二次方程；
4. 理解一元二次方程根的判別式并會運用根的判別式判別一元二次方程的根的情況。
模塊2：知識梳理
1.一元二次方程的解法：直接開平方法
直接開平方法解一元二次方程：將方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，則x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一種以配方為手段，以開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步驟是：
（1）化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；
（2）移項，即使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；
（3）配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方；（4）化原方程為(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n＜0，則原方程無解．
注意：實際在解方程的過程中，一般也只是針對且為偶數(shù)時，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來更加簡單。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過配方推導出來的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步驟：①化方程為一元二次方程的一般形式； ②確定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，則代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，則方程無解．
（3）一元二次方程根的判別式 (=b2－4ac)
①當時，方程有兩個不相等的實根；② 當時，方程有兩個相等的實根；③ 當時，方程沒有實根。
判別式作用：①定根的個數(shù)；②求待定系數(shù)的值。
注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；
(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時，必須檢驗二次項系數(shù)a≠0
(3)證明恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達式通過配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。
4.因式分解法：將一元二次方程通過因式分解，分解為兩個一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個一次因式分別等于0，實現(xiàn)降次的方法。
2）即將一元二次方程化簡為；從而得出：，因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通過提取公因式達到因式分解的目的，進而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在將方程化成兩個因式乘積等于0的形式，利用如下乘法公式，有時可以很好解決。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能將某些二次三項式因式分解。十字相乘法的二次三項式需滿足三個條件：
①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項； ②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項；③十字交叉相乘積的和等于一次項。
4）解一元二次方程的方法選擇：
①雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用。
②解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握。
③四種解法的一定要合理選用，一般按直接開平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用。
注意：方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式．
如：2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能隨便約去（x＋4）。
模塊3：核心考點與典例
考點1、直接開平方法解一元二次方程
例1．（2023 環(huán)江縣九年級期末）若關(guān)于x的方程x2﹣m＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
變式1. （2023 南崗區(qū)九年級月考）若（4x﹣3）2＝m+3無實數(shù)解，則m的取值范圍是　 　．
變式2．（2023 廣州九年級期中）解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
考點2、用配方法解一元二次方程
例1．（2023·浙江杭州市·八年級期中）解方程：
解：兩邊同時加_________，得________________
則方程可化為（_______）2=________
兩邊直接開平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
變式1. （2023 山東聊城市·九年級一模）用配方法解方程，將方程變?yōu)榈男问剑瑒t_____．
變式2. （2023 江蘇 九年級月考）用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
考點3、配方法的應(yīng)用
配方思想的主要應(yīng)用：①證明代數(shù)式的正負性；②比較代數(shù)式大小；③求代數(shù)式的最值等。
例1．（2023 歷城區(qū)九年級期中）閱讀下列材料：
利用完全平方公式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）填空：將多項式x2﹣2x+3變形為（x+m）2+n的形式，并判斷x2﹣2x+3與0的大小關(guān)系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣　 　）2+　 　；所以x2﹣2x+3　 　0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）將多項式x2+6x﹣9變形為（x+m）2+n的形式，并求出多項式的最小值；
（3）求證：x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．
變式1 ．（2023·河北九年級專題練習）閱讀：我們知道一個分式有意義的條件是字母的取值使得分母不為零，所以分式中取值往往會受到限制，但分式中b卻可以取任意實數(shù)，理由是b2+3≥3，所以不可能為0且分母的最小值為3，根據(jù)你的理解回答下列問題：（1）多項式x2+2x﹣3有最大值還是最小值？如果有，請求出這個最值；（2）已知關(guān)于x的多項式A＝4x2﹣3x+a2（a為常數(shù)）和多項式B＝3x2+5x﹣17，試比較A和B的大小，并說明理由；（3）已知關(guān)于x的二次三項式﹣x2﹣4mx+4m+3（m為常數(shù)）的最大值為2，求x和m的值．
變式2. （2023 南京九年級月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．
（2）當a，b為何值時，多項式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出這個最小值；
（3）當a，b為何值時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出這個最小值．
考點4、用公式法解一元二次方程
例1．（2022·重慶市·九年級期中）解下列方程：
(1) (2) (3)
變式1．（2023 福州九年級模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，下列判斷一定正確的是（　　）
A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．1
變式2.（2023 達川區(qū)九年級期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
考點4.判別式及其運用
例1．（2023 山東菏澤市·中考模擬）關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．
變式1. （2023 河南九年級模擬）下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（　　）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
變式2.（2023 浙江臺州市·中考模擬）關(guān)于x的方程x2-4x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
考點6、用提公因式法解一元二次方程
例1．（2023 建平縣九年級期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y(tǒng)+2
變式1. （2023 揭西縣九年級月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
考點7、用乘法公式解一元二次方程
例1．（2023 長白縣九年級期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
變式1.（2023 呼和浩特九年級期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
考點8、用十字相乘法解一元二次方程
例1．（2023 郫都區(qū)九年級期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；
變式1.（2023 簡陽市九年級月考）用因式分解法解方程：x20
解法解一元二次方程的運用
例1．（2023 浙江杭州市·九年級期中）已知三角形兩邊的長分別是3和6，第三邊的長是方程的根，則這個三角形的周長為（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
變式1. （2023 陽信縣九年級模擬）菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程x2﹣9x+20＝0的一個根，則該菱形的面積為　 　．
2.（2023 新會九年級期末）定義符號max{a，b}的含義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，則方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是　　．
考點10. 用換元法解一元二次方程
例1．（2023 太原九年級期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時，我們將x2﹣1作為一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．
當y＝0時，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．
當y＝3時，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．
所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
變式1. （2023·山西太原市·九年級期末）解方程時，我們將作為一個整體，設(shè)，則原方程化為．解得．當時，，解得或．當時，，解得或．所以，原方程的解為．
模仿材料中解方程的方法，求方程的解．
考點11. 含絕對值的一元二次方程的解法
例1．（2023 蚌埠九年級月考）閱讀下面的例題：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的過程如下：
（1）當m≥0時，原方程化為m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）當m＜0時，原方程可化為m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．
請參照例題解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．
變式1. （2023 西城區(qū)九年級校級期中）閱讀下面的例題：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍）．
（2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，
①解得：　 　．
②綜上，原方程的根是　 　．
③請參照例題解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，則此方程的根是　 　．
考點12. 降次法解一元三次方程
例1．（2023·河北九年級模擬）閱讀理解：
對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
理解運用：
如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解決問題：（1）因式分解：___________（2）求方程的解
變式1.（2023·浙江·九年級課時練習）閱讀下列材料，按要求解答問題：
閱讀理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程 有整數(shù)解c，則將c代入方程得：,移項得：，即有： ，由于與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù)．
上述過程說明：整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)解只可能是m的因數(shù)．
例如：方程中－2的因數(shù)為±1和±2，將它們分別代入方程進行驗證得：x=－2是該方程的整數(shù)解，－1、1、2不是方程的整數(shù)解．
解決問題：①根據(jù)上面的學習，請你確定方程的整數(shù)解只可能是哪幾個整數(shù)？
②方程 是否有整數(shù)解？若有，請求出其整數(shù)解；若沒有，請說明理由.
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江杭州·二模）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重慶九年級期末）用配方法解下列方程時，配方錯誤的是（ ）
A．化為 B．化為
C．化為 D．化為
3．（2023·廣西南寧市·九年級一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023 和平區(qū)九年級期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個實數(shù)根中較小的一個根是m（m≠0），則b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5.（2023 河南南陽市·九年級一模）定義新運算“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．若（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（ ）
A．有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
6．（2023·廣東九年級專題練習）不論x、y為何實數(shù)，代數(shù)式的值（　　）
A．總小于2 B．總不小于7 C．為任何實數(shù) D．不能為負數(shù)
7．（2022·河南南陽·一模）已知關(guān)于x的方程，則下列分析正確的是（ ）
A．當p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 B．當p>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根
C．當p<0時，方程沒有實數(shù)根 D．方程的根的情況與p的值無關(guān)
8.（2023 晉江市九年級期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．n＝0且n是該方程的根 B．n＝m且n是該方程的根
C．n＝m但n不是該方程的根 D．n＝0但n不是該方程的根
9．（2022·湖南永州·模擬預(yù)測）一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2 7x+12=0的一根，則此三角形的周長是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
10．（2023 汾陽市九年級期末）定義：如果一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東初三期中）定義為不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，如，．函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為 。
12．（2023·江蘇南通·二模）若，是關(guān)于x的方程的兩個根，且，則k＝______．
13．（2023·山東淄博·九年級期中）閱讀理解：設(shè)，，若，則，即，已知，，且，則的值為______．
14．（2023·云南文山·九年級期末）已知一元二次方程的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的周長______．
15．（2023·四川綿陽市·九年級二模）已知實數(shù)滿足，那么的值為______．
16．（2023·上海·八年級期末）方程x3﹣x＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解是 _____
17．（2023·上海·八年級專題練習）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成兩個一次方程，那么這兩個一次方程分別是_____ 或_____．
18．（2023·上海·九年級專題練習）如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊的比）．比如等邊三角形就是一個優(yōu)比為1的優(yōu)三角形．若△ABC是優(yōu)三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．則這個三角形的面積是 _____．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·海門市初二期中）用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
20.（2023·浙江杭州市·八年級期末）請選擇適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?br/>（1）；（2）；（3）；（4）．
21．（2023·北京西城·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若m為整數(shù)，且此方程的兩個根都是整數(shù)，寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的兩個根．
22. （2023·山西九年級二模）下面是小穎同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任務(wù)一：①小穎解方程的方法是______；
A．直接開平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是______；
任務(wù)二：請你用“公式法”解該方程．
23.（2023 安居區(qū)九年級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．
（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
24．（2023·福建九年級期中）（閱讀理解）利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．
例如：利用配方法將變形為的形式．
＝＝．
（解決問題）根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）利用配方法將多項式化成的形式．
（2）求證：不論x，y取任何實數(shù)，多項式的值總為正數(shù)．
25．（2023·吉林長春初三月考）閱讀理解：
解方程：．
解：方程左邊分解因式，得，
解得，，．
問題解決：（1）解方程：．（2）解方程：．
（3）方程的解為 ．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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