資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.3 一元二次方程的應用
模塊1：學習目標
1. 能運用一元二次方程解決有關變化率問題；
2. 能運用一元二次方程解決有關傳播、分裂、握手、比賽等問題；
3. 能運用一元二次方程解決有關銷售利潤問題；
4. 能運用一元二次方程解決有關幾何圖形（面積）、幾何動點等問題；
5. 正確分析問題中的數量關系并建立一元二次方程模型。
模塊2：知識梳理
1.列一元二次方程解應用題的一般步驟
①根據題意和實際問題涉及的類型，建立等量關系式；②以利于表示等量關系式為原則，設未知數x；③依據等量關系式和未知數x建立方程；④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，應檢驗方程的2個根是否都符合實際情況。
2.一元二次方程應用題常見類型：
1）面積問題；2）平均變化率問題；3）銷售利潤問題；4）傳播問題；5）循環問題；6）數字問題。
3. 平均變化率問題與一元二次方程的理論基礎
1.增長率問題：a(1+x)2=b，其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數，b為增長后的量.
2.降低率問題：a(1-x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數，b為降低后的量.
總結：有關增長率和降低率的有關數量關系
4.傳播問題實例探索
數量關系： 第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）
第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2
5. 碰面問題（循環問題）
（1）不重疊類型（單循環）：
n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；則m=
（2）重疊類型（雙循環）：
n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m；則m=
模塊3：核心考點與典例
考點1. 面積問題
例1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現在用長為的材料砌墻，若設計一種砌法，使矩形花園的面積為，則長度為（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
【答案】A
【分析】根據可以砌50m長的墻的材料，即總長度是50米，AB=x米，則BC=（50-2x）米，再根據矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．
【詳解】解：設AB=x米，則BC=（50-2x）米．根據題意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，當x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合題意舍去），故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系求解，注意圍墻MN最長可利用25m，舍掉不符合題意的數據．
變式1．（2023·山西呂梁市·九年級二模）2020年12月25日，太原市地鐵2號線一期線路正式投入載客初期運營，歷時四年9個月的建設后，太原人終于能乘坐自己的地鐵了．在2號線軌道鋪設作業中，為了提前完成鋪軌任務，采用了新型輪胎式鋪軌機和全自動混凝土布料機，使得每天鋪設軌道的長度比原計劃多120米，原計劃300天的鋪軌任務，僅用了120天就全部完成． （1）求原計劃每天鋪設軌道多少米？（2）圖2所示是太原地鐵內關于“五臺山”和“平遙古城”的一幅旅游廣告圖，整幅圖是在兩張風景區圖片的基礎上，四周鑲以寬度相等的木質框架而成．若兩張風景區圖片的長都為3米，寬都為2米，鑲上木質框架后整幅旅游廣告圖的面積是兩張風景區圖片總面積的．求鑲上的木質框架的寬為多少米？
圖1 圖2
【答案】（1）80米；（2）0.2米
【分析】（1）設原計劃每天鋪設軌道x米，根據等量關系，列出一元一次方程，即可求解；
（2）設鑲上的木質框架的寬為y米．根據“鑲上木質框架后整幅旅游廣告圖的面積是兩張風景區圖片總面積的”列出一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：（1）設原計劃每天鋪設軌道x米． 根據題意，得300x=120（x+120）． 解得x=80．
答：原計劃每天鋪設軌道80米；
（2）設鑲上的木質框架的寬為y米．
根據題意，得．解得y1=-3.2（不合題意，舍去），y2=0.2．
答：鑲上的木質框架的寬度為0.2米．
【點睛】本題考查一元一次方程與一元二次方程的實際應用，找出等量關系，列出方程，是解題關鍵．
變式2.（2023.浙江溫州市·九年級期中）如圖，學校在長方形士地上鋪設一條寬為的等寬度的“L”形石板路（圖中陰影部分），余下兩塊長方形（圖中白色區城①②）種植花卉，且區域①②的周長相等．經測量這條石板路的總鋪設面積為．設的長度為．
（1）圖中線段的長為_________，（用含x代數式表示）圖中陰影部分的周長為_______．
（2）設長方形的面積為．①用含x的代數式表示_______．②若區域②恰好是一個正方形，求S的值．（請寫出解答過程）
（3）已知種植花卉的單價為20元/，鋪設石板路單價為100元/，工程總費用為12080元．若x為奇數，則_______．
【答案】（1）31-x，64；（2）①S=；②480；（3）17
【分析】（1）根據石板路的總面積可得GF×HG+IC×EC=31，從而表示出GF，再將陰影部分各邊相加，可得周長；（2）①根據白色區城①②的周長相等，列式得出BI的長，從而得到CD，根據長方形面積公式可得結果；②根據正方形得到EF=GF，可得x值，代入計算即可；（3）根據種植花卉的費用加上鋪設石板路的費用為12080可得方程，解之即可得到x值．
【詳解】解：（1）∵石板路的總鋪設面積為，即GF×HG+IC×EC=31，即GF+x=31，∴GF=31-x，
則陰影部分的周長=GF+HG+HI+IC+EC+EF=31-x+1+31-x+1+x+1+x-1=64；
（2）①∵白色區城①②的周長相等，IC=x，則2（AB+BI）=2（EF+GF），
即GF+1+BI=x-1+GF，∴BI=AH=x-2，∵AB=CD=DE+CE=GF+CE=31-x+1=32-x，
∴S=BC×CD=（BI+IC）×CD=（x-2+x）（32-x）=；
②∵區域②恰好是一個正方形，∴GF=EF，即31-x=x-1，解得：x=16，∴S==480m2；
（3）由題意可得：31×100+（S-31）×20=12080，
即，解得：x=16或x=17，∵x為奇數，∴x=17．
【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，列代數式，代數式求值，解題的關鍵是讀懂圖形，正確表示出相應線段長和圖形的面積．
考點2. 平均變化率問題
例1．（2023·安徽池州市·九年級三模）某工廠為了降低生產成本進行技術革新，已知2019年的生產成本為萬元，以后每年的生產成本的平均降低率為，則預計2021年的生產成本為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據每年的生產成本的平均降低率為，可得2020年、2021年的生產成本．
【詳解】解：每年的生產成本的平均降低率為x，
∴2020年的生產成本為a（1-x）
2021年生產成本為a（1-x）（1-x）=a（1-x）2，故選：B．
【點睛】本題考查了列代數式，解題的關鍵是找準數量關系，正確列出代數式．
變式1.（2023·黑龍江哈爾濱市·九年級二模）某區為發展教育事業，加強了對教育經費的投入，2019年投入3000萬元，預計2021年投入5000萬元，設教育經費的年平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的（　　）
A．3000（1+x）2＝5000 B．3000x2＝5000
C．3000（1+2x）＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
【答案】A
【分析】根據題意，根據“2019年投入金額增長率2021年投入金額”列式即可得解．
【詳解】根據“2019年投入金額增長率2021年投入金額”列式得，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了增長率的實際應用，熟練掌握相關基本等量關系式是解決本題的關鍵．
變式2.（2023·山西九年級三模）收官之年，為了進一步鞏固提升脫貧攻堅成果，夯實增收基石，壯大產業“龍頭”．某火龍果果園去年栽種果樹600株，現計劃擴大栽種面積，使今明兩年的栽種量都比前一年增長相同的百分數，這樣，三年（包括去年）的總栽種量為2503，求這個相同的百分數．若設這個相同的百分數為，則根據題意，可列方程為________．
【答案】
【分析】由題意，找出題目的等量關系，然后列出方程即可．
【詳解】解：根據題意，得今年的栽種量為，明年的栽種量為，
∴三年的總栽種量為：．
∴．
故答案為：．
【點睛】本題是一道增長率問題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用．正確掌握題意，正確的列出方程是關鍵．
考點3. 傳播問題
例2．（2023·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有64人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？
【答案】：（1）7人 （2）512人
【解析】：（1）
①列寫等量關系式：此題是傳播問題（個體傳染后依舊傳染），關系式為：=，其中b表示2輪傳播后的人數，a表示傳播前的人數，p為平均一人傳播的人數，n為傳播的輪次。
②設未知數∵已知：a=1，b=64，n=2，僅p不知 ∴設平均一人傳播x人
③根據等量關系式列方程：方程為：1＝64
④求解方程并解答：整理得：＝ 解得：，
∵依題意，傳播人數為正值 ∴x=7∴平均一人傳播7人
（2）直接利用公式，第3輪傳播人數=＝人
答:略。
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
變式1．（2023·武漢初三開學考試）某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目小分支，主干、支干和小分支總數共73．若設主干長出x個支干，則可列方程是（ ）
A．（1＋x）2＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．（1＋x）x＝73 D．1＋x＋2x＝73
【答案】B
【解析】解：設每個支干長出x個小分支，根據題意列方程得：x2+x+1=73．故選B．
點睛：此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，要根據題意分別表示主干、支干、小分支的數目，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．
變式2. （2023 莆田九年級期中）“泱泱華夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之東．山其何輝，韞卞和之美玉…”這是武漢16歲女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵的觀后感．小汀州同學把這篇氣勢磅礴、文采飛揚的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉發的方式傳播．他設計了如下的傳播規則：將文章發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請n個互不相同的好友轉發，依此類推．已知經過兩輪轉發后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為　 　．
【分析】根據經過兩輪轉發后共有111個人參與了宣傳活動，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【解答】解：依題意得：1+n+n2＝111，整理得：n2+n﹣110＝0，
解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合題意，舍去）．故答案為：10．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
考點4. 循環問題
例1．（2023·廣西河池市·九年級二模）某班學生畢業時，每一位同學都向全班其他同學送一張自己的相片作為紀念，全班共送了2550張相片，若設全班有名學生，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果全班有x名學生，那么每名學生應該送的相片為(x-1)張，根據“全班共送出了2550張相片”可得方程為x(x-1)=2550.
【詳解】解：∵全班有x名學生，
∴每名學生應該送的相片為(x-1)張，∴x(x-1)=2550.故選：B．
【點睛】本題要注意題目中是共送，也是互送，所以要把握關鍵語．
變式1．（2023·天津九年級期末）要組織一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽90場．設共有x個隊參加比賽，則x滿足的關系式為（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】設有x個隊參賽，根據參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場場比賽，共要比賽90場，可列出方程．
【詳解】解：設有x個隊參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是根據總比賽場數做為等量關系列方程求解．
變式2．（2023·陜西延安初三期末）組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，則比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
【答案】比賽組織者應邀請8個隊參賽.
【解析】本題可設比賽組織者應邀請x隊參賽，則每個隊參加（x-1）場比賽，則共有場比賽，可以列出一個一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的結果．
解：設比賽組織者應邀請個隊參賽.依題意列方程得： ，
解之，得，. 不合題意舍去，.
答：比賽組織者應邀請8個隊參賽.
“點睛”本題是一元二次方程的求法，雖然不難求出x的值，但要注意舍去不合題意的解．
考點5. 數字問題
例1．（2023.浙江紹興市·八年級期末）小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編 了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數周瑜？”假設周瑜去世時年齡的十位數字是，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得個位數為x+3，根據個位數字平方與這個兩位數相等列出方程即可；
【詳解】設設周瑜去世時年齡的十位數字是，則個位數上的數字是x+3，
由題意可得：．故答案選C．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，準確列式是解題的關鍵．
變式1.（2023 昌平區九年級期末）如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個正方形圈出3×3個位置相鄰的9個數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為192，那么根據題意可列方程為（　　）
A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192
C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192
【分析】根據日歷上數字規律得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，以及利用最大數與最小數的積為192，列出方程即可．
【解答】解：根據圖表可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為x，則最大數為x+16，根據題意得出：x（x+16）＝192，故選：B．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據已知得出最大數與最小數的差為16是解題關鍵．
變式2.（2023 滄州九年級期末）如圖是一張月歷表，在此月歷表上可以用一個矩形任意圈出2×2個位置上相鄰的數（如2，3，9，10）．如果圈出的4個數中最大數與最小數的積為128，則這4個數中最小的數是　 　．
【分析】據題意分別表示出最小數與最大數，進而利用最大數與最小數的積為128得出等式求出答案．
【解答】解：設這4個數中最小數是x，則最大數為：x+8，根據題意可得：
x（x+8）＝128，整理得：x2+8x﹣128＝0，（x﹣8）（x+16）＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣16，則這4個數中最小的數是8．故答案為：8．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意正確表示出最大數是解題關鍵．
考點6. 銷售利潤問題
例1．（2023.綿陽市九年級期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。經試銷發現每件衣服漲價1元，其月銷售量就減少1件，物價部門規定，每件衣服售價不得高于80元，為實現每月利潤8700元，應漲價多少元？
【答案】：10元
【解析】①依據題意，尋找等量關系式：
此題是利潤問題，等量關系式為：每件衣服的利潤×衣服的銷售量=利潤
②設未知數：
∵利潤已知，每件衣服的利潤、衣服的銷售量都與衣服漲價量有關
∴設每每件衣服漲價x元
③根據等量關系式建立方程：
每件衣服的利潤為：（50－30+x）=（20+x）元
銷售重量為：（300－x）件
方程為：（20+x）（300－x）=8700
④解方程并解答：
方程化簡得：，繼續化簡得：（x－10）（x－270）=0
解答：，
∵售價不得高于80元 ∴x≤30 ∴x=10
答：應漲價10元。
【點睛】本題考主要查了一元二次方程的應用．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．找到等量關系準確列出方程是解決問題的關鍵．
變式1. （2023 澧縣期末）某天貓店銷售某種規格學生軟式排球，成本為每個30元．以往銷售大數據分析表明：當每只售價為40元時，平均每月售出600個；若售價每上漲1元，其月銷售量就減少20個，若售價每下降1元，其月銷售量就增加200個．（1）若售價上漲m元，每月能售出　 　個排球（用m的代數式表示）．（2）為迎接“雙十一”，該天貓店在10月底備貨1300個該規格的排球，并決定整個11月份進行降價促銷，問售價定為多少元時，能使11月份這種規格排球獲利恰好為8400元．
【分析】（1）由銷售數量＝600﹣20×上漲價格，即可得出結論；
（2）設每個排球降價x元，則11月份可售出該種排球（200x+600）個，根據月利潤＝單件利潤×月銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．
【解答】解：（1）根據題意得：600﹣20m．故答案為：600﹣20m．
（2）設每個排球降價x元，則11月份可售出該種排球（200x+600）個，
根據題意得：（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，解得：x1＝3，x2＝4．
當x＝3時，銷量為1200＜1300，適合題意；
當x＝4時，銷量為1400＞1300，舍去．∴40﹣x＝37．
答：每個排球的售價為37元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
變式2．（2023·廣東佛山市·九年級一模）春節期間，佛山連鎖超市派調查小組調查某種商品的銷售情況，下面是調查后小李與其他兩位成員交流的情況．
小李：“該商品的進價為50元/件．”成員甲：“當定價為60元/件時，平均每天可售出800件．”
成員乙：“若售價每提高5元，則平均每天少售出100件．”根據他們的對話，完成下列問題：
（1）若售價定為65元/件時，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望該商品平均每天能盈利12000元，且盡可能擴大銷售量，則該商品應該怎樣定價？
【答案】（1）700；（2）該商品應該定價為70元/件
【分析】（1）根據題意，直接列出算式，即可求解；
（2）設該商品應該定價為x元/件，列出關于x的方程，進而即可求解．
【詳解】解：（1）由題意得：800-(65-60)÷5×100=700（件）；
（2）設該商品應該定價為x元/件，
由題意得：，解得：，，
∵盡可能擴大銷售量，∴，答：該商品應該定價為70元/件．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，找出等量關系，列出方程，是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江·九年級三模）商場購進一批襯衣，進貨單價為30元，按40元出售時，每天能售出500件．若每件漲價1元，則每天銷售量就減少10件．為了盡快出手這批襯衣，而且還能每天獲取8000元的利潤，其售價應該定為（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【分析】根據等量關系：（40-30+漲價的價格）×（原來賣出的數量-10×漲價的價格）=8000，把相關數值代入求合適的解即可．
【詳解】解：設售價定為元時，每天賺取利潤8000元，
由已知得：，整理得：，解得：或
∵盡量減少庫存，∴，故選：A．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用，能理解題意，正確列出方程是解題的關鍵．
2．（2023·合肥市九年級三模）每年春秋季節流感盛行，極具傳染性如果一人得流感，不加干預，則經過兩輪后共有81人得流感，則每人每輪平均會感染幾人？設每人每輪平均感染人，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設每人每輪平均感染x人，根據“兩輪傳染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【詳解】設每人每輪平均感染人，由題意得，
x（x+1）+x+1=81，即．故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的運用，關鍵是讀懂題意，找出題目中的等量關系，列出方程，本題的等量關系是兩輪傳染后共有81人患了流感．
3.（2023·云南·九年級期末）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是31，設每個支干長出x個小分支，則下列方程中符合題意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【分析】設每個支干長出x根小分支，則可表示出主干、支干和小分支的總數，由條件可列出方程，可求得答案．
【詳解】解：設每個支干長出x根小分支，根據題意可得：1＋x＋x2＝31故選：B．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，找出題目中的等量關系，列出方程是解題的關鍵．
4．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）某年級舉行籃球比賽，賽制為雙循環賽，即每一個球隊都和其它的球隊進行一場比賽，已知共舉行了42場比賽，那么共有（ ）支隊伍參加了比賽．
A．7 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【分析】賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數＝x（x﹣1），即可列方程求解．
【詳解】解：設有x個隊，每個隊都要賽（x﹣1）場，但兩隊之間只有一場比賽，
x（x﹣1）＝42，解得x＝7或x＝﹣6（舍去）．故應邀請7支隊伍參加比賽．故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據比賽場數與參賽隊之間的關系為：比賽場數＝隊數×（隊數﹣1），進而得出方程是解題關鍵．
5．（2023·河南洛陽市·九年級二模）2018年7月，鄭州龍子湖智慧島開通河南省首個5G基站，2020年全省已累計建成5G基站萬個，規劃到2022年5G基站數量將達到萬個．設2020年至2022年5G基站建設的年平均增長率為，可列方程為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設2020年底到2022年底，全省5G基站數量的年平均增長率為x，根據2020年及2022年底全省5G基站的數量，即可得出關于x的一元二次方程．
【詳解】解：設2020年至2022年5G基站建設的年平均增長率為，
由題意得：．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
6.（2023·浙江上虞初三期末）如圖，某小區規劃在一個長、寬的長方形場地上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種花草．要使每一塊草坪的面積都為，那么通道的寬應該滿足的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設道路的寬為xm，將6塊草地平移為一個長方形，長為（40-2x）m，寬為（26-x）m．根據長方形面積公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6．
【解析】解：設道路的寬為xm，由題意得：（40-2x）（26-x）=144×6．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，掌握長方形的面積公式，求得6塊草地平移為一個長方形的長和寬是解題的關鍵．
7、（2023·重慶市初三期末）在一次初三學生數學交流會上，每兩名學生握手一次，統計共握手253次．若設參加此會的學生為x名，據題意可列方程為（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
【答案】D
【分析】每個學生都要和他自己以外的學生握手一次，但兩個學生之間只握手一次，
所以等量關系為：×學生數×（學生數﹣1）=總握手次數，把相關數值代入即可求解
【解析】參加此會的學生為x名，每個學生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程為x（x﹣1）=253，故選：D．
【點評】本題考查用一元二次方程解決握手次數問題，得到總次數的等量關系是解決本題的關鍵．
8．（2023·如皋市初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本舉行，賽制為單循環比賽（即每兩個隊之間比賽一場），一共比賽66場，中國女排以全勝成績衛冕世界杯冠軍，為國慶70周年獻上大禮，則中國隊在本屆世界杯比賽中連勝（ ）
A．10場 B．11場 C．12場 D．13場
【答案】B
【分析】設中國隊在本屆世界杯比賽中連勝x場，則共有（x+1）支隊伍參加比賽，根據一共比賽66場，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【解析】設中國隊在本屆世界杯比賽中連勝x場，則共有（x+1）支隊伍參加比賽，
依題意，得：x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合題意，舍去）．
所以，中國隊在本屆世界杯比賽中連勝11場．故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
9. （2023·北京九年級二模）某廠家2021年1－5月份的產量如圖所示． 下面有三個推斷：①從1月份到5月份產量在逐月增長；②1月份到2月份產量的增長率是60%；③若設從3月份到5月份產量的平均月增長率為x，則可列方程為220（1＋x）2＝480，所有正確的推斷是（ ）
A．② B．③ C．①② D．②③
【答案】D
【分析】根據圖中的信息一一判斷，利用增長率計算公式以及列出一元二次方程即可找出答案．
【詳解】解：①由圖知，2月份到3月份產量減少，故①錯誤；
②由圖，1月份的產量為：150萬只，2月份的產量為：240萬只，增長率為：；故②正確；③設從3月份到5月份產量的平均月增長率為x，則4月份產量為220（1＋x）；5月份產量為220（1＋x）2＝480，故③正確；故選：D．
【點睛】此題考查的是數據分析，解題的關鍵是掌握增長率的計算公式以及找準等量關系，正確列出一元二次方程．
10．（2023·河南平頂山市·九年級期末）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當的面積為時，則點P運動的時間是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】設出動點P，Q運動t秒，能使的面積為，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．
【詳解】解：設動點P，Q運動t秒，能使的面積為，
則BP為(8-t)cm，BQ為2tcm，由三角形的面積公式列方程得(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（當t2=5，BQ=10，不合題意，舍去）
∴動點P，Q運動3秒，能使的面積為．故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11.（2023 錫山區九年級期中）根據疫情需要，某防疫物資制造廠原來每件產品的成本是100元，為提高的生產效率改進了生產技術，連續兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元，則平均每次降低成本的百分率是　 　．
【分析】設平均每次降低成本的百分率是x，根據生產該產品原來的成本價及經過連續兩次降低成本后的成本價，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．
【解答】解：設平均每次降低成本的百分率是x，依題意，得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．故答案為：10%．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
12．（2023·浙江九年級期末）新能源汽車節能環保，越來越受到消費者的喜愛，各種品牌相繼投放市場．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬輛．若年增長率x不變，則x的值是多少？根據題意可列方程為_________．
【答案】50.7（1+x）2=125.6
【分析】根據2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，到2020年為125.6萬輛，若年增長率x不變，可得關于x的一二次方程
【詳解】解：依題意，得：50.7（1+x）2=125.6．故答案為：50.7（1+x）2=125.6．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
13. （2021·山西中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）．
【答案】5
【分析】根據日歷上數字規律得出，圈出的四個數最大數與最小數的差值為8，設最小數為，則最大數為，結合已知，利用最大數與最小數的乘積為65列出方程求解即可．
【詳解】解：設這個最小數為．根據題意，得．
解得，（不符合題意，舍去）．
答：這個最小數為5．
【點睛】此題主要考察了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握日歷的特征，根據已知得出的最大數與最小數的差值是解題的關鍵．
14.（2023 和平區九年級校級月考）某種細胞分裂，一個細胞經過兩輪分裂后，共有a個細胞，設每輪分裂中平均一個細胞分裂成n個細胞，那么可列方程為 。
【答案】n2＝a
【分析】第一輪分裂成n個細胞，第二輪分裂成n n＝n2個細胞，結合題意可得答案．
【解答】解：設每輪分裂中平均一個細胞分裂成n個細胞，那么可列方程為n2＝a．
【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，要根據題意列出第一輪分裂后細胞的人數，再根據題意得出第二輪分裂后細胞的人數，而已知第二輪分裂后細胞的人數，故可得方程．
15．（2023·江蘇東海初三期末）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，若原正方形空地邊長是xm，則可列方程為 ．
【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20．
【分析】設原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x﹣2）m，寬為（x﹣3）m．根據長方形的面積公式方程可列出．
【解析】解：設原正方形的邊長為xm，依題意有
（x﹣3）（x﹣2）=20．故答案為（x﹣3）（x﹣2）=20．
【點睛】本題主要考點為由實際問題抽象出一元二次方程．
16．（2023·山西九年級模擬）某菜農在2022年11月底投資1600元種植大棚黃瓜，春節期間，共采摘黃瓜400千克，當天就可以按6元/千克的價格售出．若將所采摘的黃瓜先儲藏起來，其質量每天損失10千克，且每天需支付各種費用共40元，但每天每千克的價格能上漲0.5元（儲藏時間不超過10天）．若該菜農想獲得1175元的利潤，需要將采摘的黃瓜儲藏____天．
【答案】5
【分析】設儲藏x天出售這批黃瓜可獲利1175元，則需要支付費用40x元，損失10x千克，價格為（6+0.5x）元，根據獲利1175元，列方程求解．
【詳解】解：設儲藏x天出售這批黃瓜可獲利1175元，
由題意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，解得：x1=5，x2=15
∵儲藏時間不超過10天，∴x2=15舍去．故答案為：5．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解．
17．（2023·浙江杭州市·八年級期中）生物學家研究發現，很多植物的生長都有這樣的規律：即主干長出若干數目的支干后，每個支干又會長出同樣數目的小分支．現有符合上述生長規律的某種植物，它的主干、支干和小分支的總數是91，則這種植物每個支干長出多少個小分支？設這種植物每個支干長出個小分支，可列方程___________．
【答案】1+x+x2=91
【分析】如果設每個支干分出x個小分支，根據“每個支干又長出同樣數目的小分支”可知：支干的數量為x個，小分支的數量為x x=x2個，然后根據主干、支干和小分支的總數是91就可以列出方程．
【詳解】解：依題意得支干的數量為x個，小分支的數量為x x=x2個，
那么根據題意可列出方程為：1+x+x2=91，故答案為：1+x+x2=91．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．
18．（2023·江蘇灌云初三月考）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法呢！以方程即為例加以說明．數學家趙爽（公元3～4世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得．那么在下面右邊三個構圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網格格點上）中，能夠說明方程的正確構圖是_____．（只填序號）
【答案】②．
【分析】仿造案例，構造面積是的大正方形，由它的面積，可求出，此題得解．
【解析】解：即，
構造如圖中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得．故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，仿造案例，構造出合適的大正方形是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣西九年級二模）某超市經營款新電動玩具進貨單價是15元．在1個月的試銷階段，售價是20元，銷售量是200件．根據市場調查，銷售單價若每再漲1元，1個月就會少售出5件．
（1）若商店在1個月獲得了2250元銷售利潤，求這款玩具銷售單價定為多少元時，顧客更容易接受？
（2）若玩具生產廠家規定銷售單價不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務，設銷售單價為y（y為正整數）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤最高？
【答案】（1）30元；（2）有三種銷售方案：方案一：銷售價為22元；方案二：銷售價為23元；方案三，銷售價為24元，第三種方案利潤最大．
【分析】（1）根據題意，可以列出相應的一元二次方程，再根據考慮顧客更容易接受的價格，即可得到這款玩具的銷售單價；（2）根據題意可以得到利潤與銷售單價的函數關系，再根據玩具生產廠家規定銷售單價不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務，可以得到單價的取值范圍，再根據銷售單價為整數，計算每種方案的實際利潤，選取其中利潤最大的方案即可．
【詳解】解：（1）設銷售單價為x元（），
，解得，，，，
∴銷售單價定為30元時，顧客更容易接受；
（2）由題意得，解得：，
因為y取正整數，所以y取22或23或24，所以有三種銷售方案：
方案一：銷售價為22元，銷售利潤為（元），
方案二：銷售價為23元，銷售利潤為（元），
方案三，銷售價為24元，銷售利潤為（元），
，第三種方案利潤最大．
【點睛】本題主要考查二次函數的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答可以是解答變得簡捷．
20.（2023 廣西一模）每年的3月15日是“國際消費者權益日”，許多家居商城都會利用這個契機進行打折促銷活動．甲賣家的某款沙發每套成本為5000元，在標價8000元的基礎上打9折銷售．
（1）現在甲賣家欲繼續降價吸引買主，問最多降價多少元，才能使利潤率不低于20%？
（2）據媒體爆料，有一些賣家先提高商品價格后再降價促銷，存在欺詐行為．乙賣家也銷售相同的沙發，其成本、標價與甲賣家一致，以前每周可售出8套，現乙賣家先將標價提高m%，再大幅降價40m元，使得這款沙發在3月15日那一天賣出的數量就比原來一周賣出的數量增加了m%，這樣一天的利潤達到了50000元，求m的值．
【分析】（1）設降價x元，根據利潤＝售價﹣成本結合利潤率不低于20%，即可得出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論；（2）根據總利潤＝每套的利潤×銷售數量，即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【解答】解：（1）設降價x元，依題意，得：8000×0.9﹣x﹣5000≥5000×20%，解得：x≤1200．
答：最多降價1200元，才能使利潤率不低于20%．
（2）依題意，得：[8000（1+m%）﹣40m﹣5000]×8（1m%）＝50000，
整理，得：m2+275m﹣16250＝0，解得：m1＝50，m2＝﹣325（不合題意，舍去）．
答：m的值為50元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
21.（2023 扶風縣九年級期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？
【分析】（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據一人患病后經過兩輪傳染后共有169人患病，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論；
（2）根據經過三輪傳染后患病人數＝經過兩輪傳染后患病人數×（1+12），即可求出結論．
【解答】解：（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，
依題意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去）．
答：每輪傳染中平均每個人傳染了12個人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患病．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
22．（2023·黑龍江大興安嶺地區·九年級期中）注意：為了使同學們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時不必填空，只需按解答題的一般要求進行解答．
參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？設共有x家公司參加商品交易會．
（Ⅰ）用含x的代數式表示：
每家公司與其他　　 家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家
【分析】（1）理解題意，列出代數式即可；
（2）根據“所有公司共簽訂了45份合同”得到等量關系，列出方程并求解即可．
【詳解】解：（Ⅰ）每家公司與其他（x﹣1）家公司都簽訂一份合同，
所有公司共簽訂了x（x﹣1）份合同，故答案為：（x﹣1），x（x﹣1）；
（Ⅱ）根據題意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）檢驗：x＝﹣9不合題意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司參加商品交易會．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，找出等量關系是解題的關鍵．
23.（2023 蕭山區九年級期中）某農場要建一個飼養場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．（1）若飼養場（矩形ABCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC＝　 　米．
（2）若飼養場（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長．
（3）飼養場的面積能達到210平方米嗎？若能達到，求出邊CD的長；若不能達到，請說明理由．
【分析】（1）由木欄總長為45米，即可求出BC的長；
（2）設CD＝x（0＜x≤15）米，則BC＝（48﹣3x）米，根據飼養場（矩形ABCD）的面積為180平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合AD位置的墻最大可用長度為27米（AD＝BC），即可確定結論；
（3）設CD＝y（0＜y≤15）米，則BC＝（48﹣3y）米，根據飼養場（矩形ABCD）的面積為210平方米，即可得出關于y的一元二次方程，由根的判別式△＝﹣24＜0，即可得出飼養場的面積不能達到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案為：24．
（2）設CD＝x（0＜x≤15）米，則BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依題意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．
當x＝6時，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合題意，舍去；
當x＝10時，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合題意．
答：邊CD的長為10米．
（3）不能，理由如下：設CD＝y（0＜y≤15）米，則BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依題意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴該方程沒有實數根，∴飼養場的面積不能達到210平方米．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
24．（2023·四川武侯初三月考）隨著新冠病毒在全世界蔓延，口罩成為緊缺物資，甲、乙兩家工廠積極響應政府號召，準備跨界投資生產口罩．根據市場調查，甲、乙兩家工廠計劃每天各生產6萬片口罩，但由于轉型條件不同，其生產的成本不一樣，甲工廠計劃每生產1萬片口罩的成本為0.6萬元，乙工廠計劃每生產1萬片口罩的成本為0.8萬元．
（1）按照計劃，甲、乙兩家工廠共生產2000萬片口罩，且甲工廠生產口罩的總成本不高于乙工廠生產口罩的總成本的，求甲工廠最多可生產多少萬片的口罩？（2）實際生產時，甲工廠完全按計劃執行，但乙工廠的生產情況發生了一些變化．乙工廠實際每天比計劃少生產0.5m萬片口罩，每生產1萬片口罩的成本比計劃多0.2m萬元，最終乙工廠實際每天生產口罩的成本比計劃多1.6萬元，求m的值．
【答案】（1）甲工廠最多可生產1000萬片的口罩；（2）m的值為4．
【分析】（1）設甲工廠生產x萬片口罩，則乙工廠生產（2000﹣x）萬片口罩，由題意得關于x的一元一次不等式，求解即可；（2）根據乙工廠實際每天生產的口罩數量乘以每萬片的實際成本等于乙工廠實際每天生產口罩的成本，列出關于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】解：（1）設甲工廠生產x萬片口罩，則乙工廠生產（2000﹣x）萬片口罩，由題意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，解得：x≤1000．
答：甲工廠最多可生產1000萬片的口罩．
（2）由題意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值為4．
【點睛】本題考查了一元一次不等式和一元二次方程在實際問題中的應用，理清題中的數量關系正確列出不等式或方程是解題的關鍵．
25．（2023·山東青島市·九年級一模）問題提出：
如果在一個平面內畫出條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？
問題探究：為解決問題，我們經常采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進到復雜的情形，在探究的過程中，通過歸納得出一般性的結論，進而拓展應用．
探究一：如圖1，當在平面內不畫（0條）直線時，顯然該平面只有1部分，可記為．
探究二：如圖2，當在平面內畫1條直線時，該平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可記為．
探究三：當在平測內而2條使線，若兩條直線平行（如圖3），該平面被分成3部分；若兩條直線相變（如圖4），交點將第2條直線分成2段，每一段將平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，該平面分成4部分，因此當在平面內畫2條直線時，該平面最多被分成4部分，可記為，我們獲得的直接經驗是：直線相交時，平面被分成的部分多
探究四：當在平面內畫3條直線，若3條直線相交于一點（如圖 5），該平面被分成6部分；若3條直線的交點都不相同時（如圖6），第3條直線與前兩條直線有2個交點，該直線被2個交點分成了3段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，該平面被分成7部分．因此當在平面內畫3條直線時，該平面最多被分成7部分，可記為．我們獲得的經驗是：直線相交的交點個數越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直線交點個數最多的情況即可．
探究五：當在平面內畫4條直線（如圖7），第4條直線與前3條直線有3 個交點，該直線被3個交點分成了4段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，該平面被分成11分．因此當在平面內畫4條直線時，該平面最多被分成11部分，可記為．
探究六：在平面內面5條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖）__________
問題解決：如果在一個平面內畫出條直線，最多可以把這個平面分成 部分．
應用與拓展：（1）如果一個平面內的10條直線將平面分成了50個部分，再增加2條直線，則該平面至多被分成 個部分．（2）如果一個平面被直線分成了497部分，那么直線的條數至少有 條．
（3）一個正方體蛋糕切5刀，被分成的塊數至多為 塊．
【答案】探究六：16；問題解決：1+；應用與拓展：（1）73；（2）31條．（3）16．
【分析】探究六：平面中畫出第5條直線時，新增的一條直線與已知的4條直線最多有4個交點，這4個交點會把新增的這條直線分成5部分，從而多出5個部分，即總共會得到1+1+2+3+4+5=16個部分；
問題解決：尋找出規律得出結論，最后求和即可得出結論；
應用與拓展：（1）根據10條直線將平面分成了50個部分，少了6個部分，再按12條直線，計算出平面的個數減去6，即可得出結論；（2）根據公式1+=497，那計算得出結果即可；
（3）當切1刀時，塊數為1+1=2塊；當切2刀時，塊數為1+1+2=4塊；當切3刀時，塊數為1+1+2+3=7塊；當切4刀時，塊數為1+1+2+3+4=11塊；當切5刀時，塊數為1+1+2+3+4+5=16塊；…
繼而可得出切n刀時所得的蛋糕塊數．
【詳解】解：探究六：根據規律得，平面中畫出第5條直線時，新增的一條直線與已知的4條直線最多有4個交點，這4個交點會把新增的這條直線分成5部分，從而多出5個部分，即總共會得到1+1+2+3+4+5=16個部分，所以，5條直線最多可以把平面分割成16個部分；
問題解決：根據規律得，n條直線最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+，故答案為1+；
應用與拓展：（1）如果一個平面內的10條直線時，最多可分為1+=部分，現在只有50個部分，少了6個部分，當再增加2條直線，即n=12時，則最多有個部分；（2）當被分成了497部分時，1+=497，解得(舍去)，那么直線的條數至少有31條．
（3）當切1刀時，塊數為1+1=2塊；當切2刀時，塊數為1+1+2=4塊；當切3刀時，塊數為1+1+2+3=7塊；…當切n刀時，塊數=1+（1+2+3…+n）=1+．
則切5刀時，塊數為1+=16塊；故答案為：16．
【點睛】本題考查了規律的尋找，連續n個正整數的和的公式，解本題的關鍵是申清題意，找出變化規律，是一道中等難度的題目．
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專題2.3 一元二次方程的應用
模塊1：學習目標
1. 能運用一元二次方程解決有關變化率問題；
2. 能運用一元二次方程解決有關傳播、分裂、握手、比賽等問題；
3. 能運用一元二次方程解決有關銷售利潤問題；
4. 能運用一元二次方程解決有關幾何圖形（面積）、幾何動點等問題；
5. 正確分析問題中的數量關系并建立一元二次方程模型。
模塊2：知識梳理
1.列一元二次方程解應用題的一般步驟
①根據題意和實際問題涉及的類型，建立等量關系式；②以利于表示等量關系式為原則，設未知數x；③依據等量關系式和未知數x建立方程；④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，應檢驗方程的2個根是否都符合實際情況。
2.一元二次方程應用題常見類型：
1）面積問題；2）平均變化率問題；3）銷售利潤問題；4）傳播問題；5）循環問題；6）數字問題。
3. 平均變化率問題與一元二次方程的理論基礎
1.增長率問題：a(1+x)2=b，其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數，b為增長后的量.
2.降低率問題：a(1-x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數，b為降低后的量.
總結：有關增長率和降低率的有關數量關系
4.傳播問題實例探索
數量關系： 第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）
第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2
5. 碰面問題（循環問題）
（1）不重疊類型（單循環）：
n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；則m=
（2）重疊類型（雙循環）：
n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m；則m=
模塊3：核心考點與典例
考點1. 面積問題
例1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現在用長為的材料砌墻，若設計一種砌法，使矩形花園的面積為，則長度為（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
變式1．（2023·山西呂梁市·九年級二模）2020年12月25日，太原市地鐵2號線一期線路正式投入載客初期運營，歷時四年9個月的建設后，太原人終于能乘坐自己的地鐵了．在2號線軌道鋪設作業中，為了提前完成鋪軌任務，采用了新型輪胎式鋪軌機和全自動混凝土布料機，使得每天鋪設軌道的長度比原計劃多120米，原計劃300天的鋪軌任務，僅用了120天就全部完成． （1）求原計劃每天鋪設軌道多少米？（2）圖2所示是太原地鐵內關于“五臺山”和“平遙古城”的一幅旅游廣告圖，整幅圖是在兩張風景區圖片的基礎上，四周鑲以寬度相等的木質框架而成．若兩張風景區圖片的長都為3米，寬都為2米，鑲上木質框架后整幅旅游廣告圖的面積是兩張風景區圖片總面積的．求鑲上的木質框架的寬為多少米？
圖1 圖2
變式2.（2023.浙江溫州市·九年級期中）如圖，學校在長方形士地上鋪設一條寬為的等寬度的“L”形石板路（圖中陰影部分），余下兩塊長方形（圖中白色區城①②）種植花卉，且區域①②的周長相等．經測量這條石板路的總鋪設面積為．設的長度為．
（1）圖中線段的長為_________，（用含x代數式表示）圖中陰影部分的周長為_______．
（2）設長方形的面積為．①用含x的代數式表示_______．②若區域②恰好是一個正方形，求S的值．（請寫出解答過程）
（3）已知種植花卉的單價為20元/，鋪設石板路單價為100元/，工程總費用為12080元．若x為奇數，則_______．
考點2. 平均變化率問題
例1．（2023·安徽池州市·九年級三模）某工廠為了降低生產成本進行技術革新，已知2019年的生產成本為萬元，以后每年的生產成本的平均降低率為，則預計2021年的生產成本為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023·黑龍江哈爾濱市·九年級二模）某區為發展教育事業，加強了對教育經費的投入，2019年投入3000萬元，預計2021年投入5000萬元，設教育經費的年平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的（　　）
A．3000（1+x）2＝5000 B．3000x2＝5000
C．3000（1+2x）＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
變式2.（2023·山西九年級三模）收官之年，為了進一步鞏固提升脫貧攻堅成果，夯實增收基石，壯大產業“龍頭”．某火龍果果園去年栽種果樹600株，現計劃擴大栽種面積，使今明兩年的栽種量都比前一年增長相同的百分數，這樣，三年（包括去年）的總栽種量為2503，求這個相同的百分數．若設這個相同的百分數為，則根據題意，可列方程為________．
考點3. 傳播問題
例2．（2023·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有64人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？
變式1. （2023·武漢初三開學考試）某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目小分支，主干、支干和小分支總數共73．若設主干長出x個支干，則可列方程是（ ）
A．（1＋x）2＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．（1＋x）x＝73 D．1＋x＋2x＝73
變式2. （2023 莆田九年級期中）“泱泱華夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之東．山其何輝，韞卞和之美玉…”這是武漢16歲女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵的觀后感．小汀州同學把這篇氣勢磅礴、文采飛揚的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉發的方式傳播．他設計了如下的傳播規則：將文章發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請n個互不相同的好友轉發，依此類推．已知經過兩輪轉發后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為　 　．
考點4. 循環問題
例1．（2023·廣西河池市·九年級二模）某班學生畢業時，每一位同學都向全班其他同學送一張自己的相片作為紀念，全班共送了2550張相片，若設全班有名學生，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·天津九年級期末）要組織一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽90場．設共有x個隊參加比賽，則x滿足的關系式為（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
變式2．（2023·陜西延安初三期末）組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，則比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
考點5. 數字問題
例1．（2023.浙江紹興市·八年級期末）小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編 了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數周瑜？”假設周瑜去世時年齡的十位數字是，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023 昌平區九年級期末）如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個正方形圈出3×3個位置相鄰的9個數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為192，那么根據題意可列方程為（　　）
A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192 C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192
變式2.（2023 滄州九年級期末）如圖是一張月歷表，在此月歷表上可以用一個矩形任意圈出2×2個位置上相鄰的數（如2，3，9，10）．如果圈出的4個數中最大數與最小數的積為128，則這4個數中最小的數是　 　．
考點6. 銷售利潤問題
例1．（2023.綿陽市九年級期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。經試銷發現每件衣服漲價1元，其月銷售量就減少1件，物價部門規定，每件衣服售價不得高于80元，為實現每月利潤8700元，應漲價多少元？
變式1. （2023 澧縣期末）某天貓店銷售某種規格學生軟式排球，成本為每個30元．以往銷售大數據分析表明：當每只售價為40元時，平均每月售出600個；若售價每上漲1元，其月銷售量就減少20個，若售價每下降1元，其月銷售量就增加200個．（1）若售價上漲m元，每月能售出　 　個排球（用m的代數式表示）．（2）為迎接“雙十一”，該天貓店在10月底備貨1300個該規格的排球，并決定整個11月份進行降價促銷，問售價定為多少元時，能使11月份這種規格排球獲利恰好為8400元．
變式2．（2023·廣東佛山市·九年級一模）春節期間，佛山連鎖超市派調查小組調查某種商品的銷售情況，下面是調查后小李與其他兩位成員交流的情況．
小李：“該商品的進價為50元/件．”成員甲：“當定價為60元/件時，平均每天可售出800件．”
成員乙：“若售價每提高5元，則平均每天少售出100件．”根據他們的對話，完成下列問題：
（1）若售價定為65元/件時，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望該商品平均每天能盈利12000元，且盡可能擴大銷售量，則該商品應該怎樣定價？
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江·九年級三模）商場購進一批襯衣，進貨單價為30元，按40元出售時，每天能售出500件．若每件漲價1元，則每天銷售量就減少10件．為了盡快出手這批襯衣，而且還能每天獲取8000元的利潤，其售價應該定為（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
2．（2023·合肥市九年級三模）每年春秋季節流感盛行，極具傳染性如果一人得流感，不加干預，則經過兩輪后共有81人得流感，則每人每輪平均會感染幾人？設每人每輪平均感染人，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·云南·九年級期末）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是31，設每個支干長出x個小分支，則下列方程中符合題意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
4．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）某年級舉行籃球比賽，賽制為雙循環賽，即每一個球隊都和其它的球隊進行一場比賽，已知共舉行了42場比賽，那么共有（ ）支隊伍參加了比賽．
A．7 B．6 C．12 D．14
5．（2023·河南洛陽市·九年級二模）2018年7月，鄭州龍子湖智慧島開通河南省首個5G基站，2020年全省已累計建成5G基站萬個，規劃到2022年5G基站數量將達到萬個．設2020年至2022年5G基站建設的年平均增長率為，可列方程為（ ）．
A． B． C． D．
6.（2023·浙江上虞初三期末）如圖，某小區規劃在一個長、寬的長方形場地上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種花草．要使每一塊草坪的面積都為，那么通道的寬應該滿足的方程為（ ）
A． B．
C． D．
7、（2023·重慶市初三期末）在一次初三學生數學交流會上，每兩名學生握手一次，統計共握手253次．若設參加此會的學生為x名，據題意可列方程為（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
8．（2023·如皋市初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本舉行，賽制為單循環比賽（即每兩個隊之間比賽一場），一共比賽66場，中國女排以全勝成績衛冕世界杯冠軍，為國慶70周年獻上大禮，則中國隊在本屆世界杯比賽中連勝（ ）
A．10場 B．11場 C．12場 D．13場
9. （2023·北京九年級二模）某廠家2021年1－5月份的產量如圖所示． 下面有三個推斷：①從1月份到5月份產量在逐月增長；②1月份到2月份產量的增長率是60%；③若設從3月份到5月份產量的平均月增長率為x，則可列方程為220（1＋x）2＝480，所有正確的推斷是（ ）
A．② B．③ C．①② D．②③
10．（2023·河南平頂山市·九年級期末）如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當的面積為時，則點P運動的時間是（ ）
A． B．或 C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11.（2023 錫山區九年級期中）根據疫情需要，某防疫物資制造廠原來每件產品的成本是100元，為提高的生產效率改進了生產技術，連續兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元，則平均每次降低成本的百分率是　 　．
12．（2023·浙江九年級期末）新能源汽車節能環保，越來越受到消費者的喜愛，各種品牌相繼投放市場．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬輛．若年增長率x不變，則x的值是多少？根據題意可列方程為_________．
13. （2021·山西中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）．
14.（2023 和平區九年級校級月考）某種細胞分裂，一個細胞經過兩輪分裂后，共有a個細胞，設每輪分裂中平均一個細胞分裂成n個細胞，那么可列方程為 。
15．（2023·江蘇東海初三期末）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，若原正方形空地邊長是xm，則可列方程為 ．
16．（2023·山西九年級模擬）某菜農在2022年11月底投資1600元種植大棚黃瓜，春節期間，共采摘黃瓜400千克，當天就可以按6元/千克的價格售出．若將所采摘的黃瓜先儲藏起來，其質量每天損失10千克，且每天需支付各種費用共40元，但每天每千克的價格能上漲0.5元（儲藏時間不超過10天）．若該菜農想獲得1175元的利潤，需要將采摘的黃瓜儲藏____天．
17．（2023·浙江杭州市·八年級期中）生物學家研究發現，很多植物的生長都有這樣的規律：即主干長出若干數目的支干后，每個支干又會長出同樣數目的小分支．現有符合上述生長規律的某種植物，它的主干、支干和小分支的總數是91，則這種植物每個支干長出多少個小分支？設這種植物每個支干長出個小分支，可列方程___________．
18．（2023·江蘇灌云初三月考）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法呢！以方程即為例加以說明．數學家趙爽（公元3～4世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得．那么在下面右邊三個構圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網格格點上）中，能夠說明方程的正確構圖是_____．（只填序號）
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣西九年級二模）某超市經營款新電動玩具進貨單價是15元．在1個月的試銷階段，售價是20元，銷售量是200件．根據市場調查，銷售單價若每再漲1元，1個月就會少售出5件．
（1）若商店在1個月獲得了2250元銷售利潤，求這款玩具銷售單價定為多少元時，顧客更容易接受？
（2）若玩具生產廠家規定銷售單價不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務，設銷售單價為y（y為正整數）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤最高？
20.（2023 廣西一模）每年的3月15日是“國際消費者權益日”，許多家居商城都會利用這個契機進行打折促銷活動．甲賣家的某款沙發每套成本為5000元，在標價8000元的基礎上打9折銷售．
（1）現在甲賣家欲繼續降價吸引買主，問最多降價多少元，才能使利潤率不低于20%？
（2）據媒體爆料，有一些賣家先提高商品價格后再降價促銷，存在欺詐行為．乙賣家也銷售相同的沙發，其成本、標價與甲賣家一致，以前每周可售出8套，現乙賣家先將標價提高m%，再大幅降價40m元，使得這款沙發在3月15日那一天賣出的數量就比原來一周賣出的數量增加了m%，這樣一天的利潤達到了50000元，求m的值．
21.（2023 扶風縣九年級期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同）．求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？
22．（2023·黑龍江大興安嶺地區·九年級期中）注意：為了使同學們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時不必填空，只需按解答題的一般要求進行解答．
參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？設共有x家公司參加商品交易會．
（Ⅰ）用含x的代數式表示：
每家公司與其他　　 家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．
23.（2023 蕭山區九年級期中）某農場要建一個飼養場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．（1）若飼養場（矩形ABCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC＝　 　米．
（2）若飼養場（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長．
（3）飼養場的面積能達到210平方米嗎？若能達到，求出邊CD的長；若不能達到，請說明理由．
24．（2023·四川武侯初三月考）隨著新冠病毒在全世界蔓延，口罩成為緊缺物資，甲、乙兩家工廠積極響應政府號召，準備跨界投資生產口罩．根據市場調查，甲、乙兩家工廠計劃每天各生產6萬片口罩，但由于轉型條件不同，其生產的成本不一樣，甲工廠計劃每生產1萬片口罩的成本為0.6萬元，乙工廠計劃每生產1萬片口罩的成本為0.8萬元．（1）按照計劃，甲、乙兩家工廠共生產2000萬片口罩，且甲工廠生產口罩的總成本不高于乙工廠生產口罩的總成本的，求甲工廠最多可生產多少萬片的口罩？（2）實際生產時，甲工廠完全按計劃執行，但乙工廠的生產情況發生了一些變化．乙工廠實際每天比計劃少生產0.5m萬片口罩，每生產1萬片口罩的成本比計劃多0.2m萬元，最終乙工廠實際每天生產口罩的成本比計劃多1.6萬元，求m的值．
25．（2023·山東青島市·九年級一模）問題提出：
如果在一個平面內畫出條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？
問題探究：為解決問題，我們經常采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進到復雜的情形，在探究的過程中，通過歸納得出一般性的結論，進而拓展應用．
探究一：如圖1，當在平面內不畫（0條）直線時，顯然該平面只有1部分，可記為．
探究二：如圖2，當在平面內畫1條直線時，該平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可記為．
探究三：當在平測內而2條使線，若兩條直線平行（如圖3），該平面被分成3部分；若兩條直線相變（如圖4），交點將第2條直線分成2段，每一段將平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，該平面分成4部分，因此當在平面內畫2條直線時，該平面最多被分成4部分，可記為，我們獲得的直接經驗是：直線相交時，平面被分成的部分多
探究四：當在平面內畫3條直線，若3條直線相交于一點（如圖 5），該平面被分成6部分；若3條直線的交點都不相同時（如圖6），第3條直線與前兩條直線有2個交點，該直線被2個交點分成了3段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，該平面被分成7部分．因此當在平面內畫3條直線時，該平面最多被分成7部分，可記為．我們獲得的經驗是：直線相交的交點個數越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直線交點個數最多的情況即可．
探究五：當在平面內畫4條直線（如圖7），第4條直線與前3條直線有3 個交點，該直線被3個交點分成了4段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，該平面被分成11分．因此當在平面內畫4條直線時，該平面最多被分成11部分，可記為．
探究六：在平面內面5條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖）__________
問題解決：如果在一個平面內畫出條直線，最多可以把這個平面分成 部分．
應用與拓展：（1）如果一個平面內的10條直線將平面分成了50個部分，再增加2條直線，則該平面至多被分成 個部分．（2）如果一個平面被直線分成了497部分，那么直線的條數至少有 條．
（3）一個正方體蛋糕切5刀，被分成的塊數至多為 塊．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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