資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.4 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
模塊1：學習目標
1. 理解掌握一元二次方程根與系數的關系；
2. 能運用一元二次方程根與系數的關系求代數式的值；
3. 能運用一元二次方程根與系數的關系求參數的值。
模塊2：知識梳理
一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
韋達定理的推導可以借助求根公式解的兩根，再求出兩根之積，兩根之和即可。
1）設是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的兩根，則，
注意：對于而言，當滿足①、②時，才能用韋達定理。
2）設是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的兩根
則：時，有; 時，有
時，有
模塊3：核心考點與典例
考點1.利用根與系數的關系求方程的根
例1．（2023.廣東汕尾市·九年級一模）已知關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據一元二次方程根與系數關系直接求解即可．
【詳解】解：關于的一元二次方程的一個根是2，設另一個根是，
，，故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系，解題關鍵是明確一元二次方程兩根之積等于常數項除以二次項系數的商．
變式1. （2023·江蘇南通市·九年級二模）若2＋，2－是關于x的方程x2＋mx＋n＝0的兩個實數根，則m＋n的值為（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可求解m、n的值，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴；故選B．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
考點2.利用根與系數的關系求有關根的代數式的值
例1．（2023·陜西西安市·九年級模擬）若方程的兩根為，，則_____．
【答案】7
【分析】先根據根與系數的關系得出x1+x2=-5，x1x2=-6，再根據即可求解．
【詳解】解：∵x1、x2是方程的兩個實數根，∴x1+x2=-5，x1x2=-6，
∴；故答案為：7
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系以及二次根式的性質，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系為：
變式1．（2023·江西·九年級模擬）已知方程的兩個解分別為，，則______．
【答案】24
【分析】根據根的系數的關系得到，，再把原式因式分解即可代入求解．
【詳解】∵方程的兩個解分別為，，∴，，
∴．故答案為：24．
【點睛】此題主要考查代數式求值，解題的關鍵是熟知一元二次方程根的系數的關系．
變式2. （2023·江蘇南通市·九年級期中）方程x2+2x﹣8＝0的兩根為x1、x2，則+2x1x2++2020＝_____．
【答案】2001.5
【分析】利用根與系數的關系可得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，將其代入+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020中即可求出結論．
【詳解】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的兩根為x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，
∴+2x1x2++2020＝+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020，＝+2x1x2+2020＝+2×（﹣8）+2020＝﹣2.5﹣16+2020＝2001.5，
故答案為：2001.5；
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，分式的化簡求值，分式的加減混合運算，解題的關鍵是正確得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，從而進行解題．
考點3.利用根與系數的關系及代根法綜合求值
例1．（2023·湖北武漢市·中考模擬）已知，是方程的兩根，則代數式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】先根據已知可得，，a+b=3，然后再對變形，最后代入求解即可．
【詳解】解：∵已知，是方程的兩根 ∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．故選D．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數的關系以及整式的變形，根據需要對整式靈活變形成為解答本題的關鍵．
變式1. （2023·江蘇南通市·九年級二模）設，是一元二次方程的兩個根，則______．
【答案】1
【分析】根據根的定義和根與系數的關系進行計算求解．
【詳解】解:∵是一元二次方程的兩個根，∴， ，
∴原式＝＝7－6＝1．
【點睛】本題考查根的定義、根與系數的關系，熟練將要求的代數式進行靈活變形是關鍵．
變式2.（2023 宜賓九年級期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，則α4+3β的值是（　　）
A．4 B．4 C．5 D．5
【分析】根據方程根的定義得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根據根與系數的關系即可求得α4+3β的值．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，
∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，
則α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故選：C．
【點評】本題主要考查了根與系數的關系，解題的關鍵是利用整體法代值計算，此題難度一般．
考點4.利用根與系數的關系求參數值（對稱）
例1．（2023·湖北隨州市·中考模擬）已知關于的方程（）的兩實數根為，，若，則______．
【答案】
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可求出以及，然后根據條件變形代入求解即可．
【詳解】由題意，，，
∵，∴，即：，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，熟記基本公式，并靈活進行變形是解題關鍵．
變式1．（2023·湖北黃石市·九年級模擬）已知關于的方程有兩個實數根、．（1）求的取值范圍（2）若、滿足等式，求的值．
【答案】（1）且；（2）-1．
【分析】（1）根據一元二次方程成立的條件及根的判別式列不等式組計算求解；
（2）利用一元二次方程根與系數的關系列方程求解．
【詳解】解：（1）∵關于的方程有兩個實數根、
∴，解得：且
（2）由題意可得：，
由（1）可得，∴ ∴ ，
∴解得：（不合題意舍去），∴k的值為-1．
【點睛】本題考查一元二次方程成立的條件以及一元二次方程的根與判別式和根與系數的關系，掌握相關概念正確計算是解題關鍵．
變式2．（2023·浙江杭州市·八年級期末）設m是不小于的實數，關于x的方程有兩個不相等的實數根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范圍．
【答案】（1）；（2）且
【分析】首先根據方程有兩個不相等的實數根及是不小于的實數，確定的取值范圍，根據根與系數的關系，用含的代數式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形為，代入用含表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據的取值范圍得到的值；（2）化簡，用含的式子表示出，根據的取值范圍，得到的取值范圍．
【詳解】解：方程由兩個不相等的實數根，所以△，
所以，又是不小于的實數，．
，；
（1），，即．
整理，得．解得；，所以．
（2）
．
當時，方程為，解得或．此時沒有意義．
當時，，所以．即且．
【點睛】本題考查了根與系數的關系、根的判別式、一元二次方程的解法及分式的化簡．解決本題的關鍵是掌握根與系數的關系，并能把要求的代數式變形為含兩根的和、兩根的差的式子．
考點5.利用根與系數的關系求參數值（非對稱）
例1．（2023黑龍江綏化市·九年級期末）已知關于的一元二次方程
（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程兩實數根為，且滿足，求實數的值，
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式列出不等式，計算即可；
（2）根據根與系數的關系求出x2=2，代入原方程計算即可．
【詳解】解：（1）方程有實數根，
∵，，，，解得：；
（2）由一元二次方程根與系數的關系可知，x1+x2=5，
∵3x1-2x2=5，∴3x1+3x2-5x2=5，即15-5x2=5，∴-5x2=-10，解得，x2=2，
把x=2代入原方程得，，∴m=6．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，是一元二次方程()的兩根時，，．
變式1. （2023.合肥九年級期末）已知關于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有實數根，求實數m 的取值范圍；（2）若方程兩實數根為x1，x2，且滿足3 x1-2x2 =5，求實數m 的值．
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式列出不等式計算即可；
（2）根據根與系數的關系求出，，即可求出m的值．
【詳解】（1）∵一元二次方程有實數根，∴，∴，解得；
（2）∵方程兩實數根為x1，x2，∴，∴，
∵3 x1-2x2 =5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．
【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，熟記根的判別式的三種情況及根與系數的兩個關系式是解題的關鍵．
考點6.構造一元二次方程求代數式的值
例1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）設，且，則代數式的值為______．
【答案】7
【分析】由a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，可以設a、b為方程設x2﹣3x+1＝0的兩個根，則a+b＝3，ab＝1，由此整理整體代入即可．
【詳解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，∴設a、b為方程x2﹣3x+1＝0的兩個根，
∴a+b＝3，ab＝1，∴＝＝＝＝7．故答案為：7．
【點睛】此題考查根與系數的關系，正確理解題意，把a、b看作方程x2﹣3x+1＝0的兩個根是解決問題的關鍵．
變式1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）已知、滿足，，求的值．
【答案】2或-47
【分析】由a，b滿足，，可分別從與去分析求解，注意當，則a，b是關于x的方程的兩根，再利用根與系數的關系求解即可；
【詳解】∵、滿足，，∴若，則；
若，則a，b是關于x的方程的兩根，
∴，，∴，
∴；∴值為2或-47．
【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，準確分析計算是解題的關鍵．
變式 2．（2023·山東棗莊·九年級一模）閱讀材料：
已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可變形為﹣1＝0，根據p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數根，則p+，即．
根據閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．
【答案】(1)；29．
【分析】（1）由題意可知：可以將方程化簡為的形式，根據根與系數的關系直接得：的值；（2）將變形為求解．
【詳解】解：由知m≠0，∴，
∵，m≠n，∴，∴和是方程的兩個根，
（1）由和是方程的兩個根得，∴；
經檢驗：是原方程的根，且符合題意．
（2）由和是方程的兩個根得，，
∴．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數關系，代數式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根與系數關系與乘法公式恒等變形是解題關鍵．
考點7. 根與系數的關系與三角形綜合
例1．（2023 吉安期中）關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根．（2）m為何整數時，此方程的兩個根都是正整數？
（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求m的值．
【分析】（1）先計算出△＝1，然后根據判別式的意義即可得到結論；
（2）先求出方程的解，根據此方程的兩個根都是正整數列出關于m的不等式，解不等式即可求解；
（3）根據等腰三角形的性質和三角形三邊關系得到關于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數根；
（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x1，x2＝1，
∵此方程的兩個根都是正整數，∴0，當m+1＞0，m﹣1＞0時，解得m＞1，
當m+1＜0，m﹣1＜0時，解得m＜﹣1，∴m＝2或m＝3；
（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解為x1，x2＝1，
∵△ABC是等腰三角形，第三邊BC的長為5，
∴5，解得m＝1.5，經檢驗，m＝1.5是原方程的解．故m的值是1.5．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．
變式1.（2023 西湖區九年級校級期中）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2；①求代數式4x1x2的最大值；②若方程的一個根是6，x1和x2是一個等腰三角形的兩條邊，求等腰三角形的周長．
【分析】（1）通過判別式△求解．（2）①通過兩根之積與兩根之和的關系將4x1x2配方求解．
②把x＝6代入方程求出m，再將m代入原方程求出另外一個解，再根據三角形兩邊之和大于第三邊確定x的值．
【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程總有兩個不相等的實數根．
（2）①4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，∵x1+x22m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴當m＝﹣2時4x1x2的最大值為24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，
當m＝2時，原方程化簡為x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，
三角形三邊長為6，6，2時三角形周長為14，三角形邊長為2，2，6時不存在．
當m＝6時，原方程化簡為x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．
三角形三邊長為6，6，10時三角形周長為22，三角形三邊長為10，10，6時，三角形周長為26．
∴等腰三角形周長為14或22或26．
【點評】本題考查一元二次方程綜合應用，解題關鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式與根與系數的關系．
考點8. 根與系數關系中的新定義問題
例1．（2023 武侯區九年級校級期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數根x1，x2，且滿足數軸上x1，x2所表示的點到2所表示的點的距離相等，則稱這樣的方程為“關于2的等距方程”以下“關于2的等距方程”的說法，正確的有　 　．（填序號）
①方程x2﹣4x＝0是關于2的等距方程；
②當5m＝﹣n時，關于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是關于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是關于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；
④當兩根滿足x1＝3x2，關于x的方程px2﹣x0是關于2的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用關于2的等距方程的定義進行判斷；
②解得方程的解后即可利用關于2的等距方程的定義進行判斷；
③根據方程ax2+bx+c＝0是關于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，當x1＝x2時，x1＝x2，不能判斷a與b之間的關系，當x1+x2＝4時，即4，得到b＝﹣4a，據此即可判斷；
④根據韋達定理和x1＝3x2，得出3x22（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用關于2的等距方程的定義進行判斷．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，則|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正確；
②當m≠0，n≠0時，（x+1）（mx+n）＝0，則x1＝﹣1，x2，
∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，滿足2的等距方程；
當m＝n＝0時，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②錯誤；
③對于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韋達定理得：x1+x2，
∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
則x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，
當x1＝x2時，x1＝x2，不能判斷a與b之間的關系，
當x1+x2＝4時，即4，∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程時，b不一定等于﹣4a，故③錯誤；
④對于方程px2﹣x0有兩根滿足x1＝3x2，
由韋達定理得：x1x2，x1+x2，∴x1x2（x1+x2），
∴3x22（3x2+x2）＝3x2，∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x0是關于2的等距方程，故④正確，故正確的有①④，故答案為①④．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，正確的理解“關于2的等距方程”的定義是解題的關鍵．
變式1.（2023 石獅市九年級期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發現了此類方程的一般性結論，設其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我們記“K＝b2ac”，即K＝0時，方程ax2+bx+c＝0為倍根方程：下面我們根據所獲信息來解決問題：（1）以下為倍根方程的是　 　；（寫出序號） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；
（2）若關于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）若A（m，n）在一次函數y＝3x﹣8的圖象上，且關于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程．
【分析】(1)據倍根方程定義判斷即可；(2)根據（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2得到m＝﹣n或mn，從而得到m+n＝0，4m+n＝0，進而得到4m2+5mn+n2＝0；
(3)設其中一根為t，則另一個根為2t，據此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，從而得倍根方程滿足b2ac＝0，據此求解可得．
【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案為②；
（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2或4，即m＝﹣n或mn，∴m+n＝0或4m+n＝0；
∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；
（3）設其中一根為t，則另一個根為2t，
則ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b2ac＝0，
∵x2n＝0是倍根方程，∴（）22n＝0，整理，得：m＝3n，
∵A（m，n）在一次函數y＝3x﹣8的圖象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程為x2x0．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，根的判別式，一次函數圖像上點的坐標特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023 撫州九年級期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2+1的值為（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根據根與系數的關系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1，將x12+3x2+x1x2+1變形為3（x1+x2）+x1x2，代入數據即可得出結論．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根為x1，x2，
∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1 x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，
則x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故選：A．
【點評】本題考查了根與系數的關系，根據根與系數的關系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1是解題的關鍵．
2．（2023·廣東佛山市·九年級一模）已知Rt的兩條直角邊的長度恰好是一元二次方程的兩個實數根，那么的面積為（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，可得，進而即可求解．
【詳解】解：設一元二次方程的兩個實數根分別是：，∴，
∵Rt的兩條直角邊的長度恰好是一元二次方程的兩個實數根，
∴的面積=32÷2=16．故選A．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握（a≠0）的兩個實數根，滿足，是解題的關鍵．
3.（2023 九龍坡區校級期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根為α，β，那么α2+β﹣2αβ的值為（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根據方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根為α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，將α2+β﹣2αβ變形為α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根為α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故選：A．
【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
4．（2023·貴州遵義市·九年級期中）若和為一元二次方程的兩個根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出，化簡代入求值即可．
【詳解】和為一元二次方程的兩個根
．故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，因式分解，代數式求值，利用一元二次方程根與系數的關系求出是解題的關鍵．
5．（2023·廣西八步初二期末）設是方程的兩個根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以把變形為的形式，然后由一元二次方程根與系數的關系可以得解．
【解析】由已知得：，=－2∴== 5．故選B．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，把所求問題轉化為含有兩根積或兩根和的代數式是解題關鍵．
6．（2023·安徽馬鞍山市·九年級期末）已知a、b、m、n為互不相等的實數，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，則ab-mn的值為（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【分析】先把已知條件變形得到a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，則可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的兩實數根，利用根與系數的關系得到ab=mn2，從而得到abmn的值．
【詳解】解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，而a、b、m、n為互不相等的實數，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的兩實數根，∴ab=mn2，∴abmn=2．故選：C．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
7．（2023·浙江八年級期中）若a≠b，且則的值為（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】解：由得：
∴
又由可以將a，b看做是方程 的兩個根
∴a+b=4，ab=1∴故答案為B.
【點睛】本題看似考查代數式求值，但解題的關鍵是構造一元二次方程并運用根于系數的關系求解。
8．（2023·長沙初三期末）x1，x2是關于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0的兩個實數根，是否存在實數m使＝0成立？則正確的結論是(　 　)
A．m＝0 時成立 B．m＝2 時成立 C．m＝0 或2時成立 D．不存在
【答案】A
【解析】∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的兩個實數根∴Δ=（b-2）2+4>0
x1+x2=b，x1×x2=b-2 ∴ 使＋＝0，則
故滿足條件的b 的值為0 故選A.
9．（2023·浙江麗水初二期末）若關于的方程的解中，僅有一個正數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據根的判別式和根與系數的關系即可求解．
【解析】關于的方程的解中，僅有一個正數解，即一正一負或一正一零
，解得．故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的分布，根的判別式和根與系數的關系等知識點，解此題的關鍵是得到．
10．（2023·浙江寧波·九年級校考期末）設關于的方程，有兩個不相等的實數根，且，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一元二次方程根的判別式求出a的取值范圍，再由根與系數的關系求出a的取值范圍，找到公共解集即可解答．
【詳解】解：根據題意得，
，解得 或，無解
綜上，故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數的關系等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11.（2023 雅安九年級期末）設x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個根，則x13+4x22+x1﹣1的值為　 　．
【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，4x1﹣1，∴4x1，
∴原式＝4x1+4x1﹣1＝4（）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，
故答案為：55
【點評】本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系，本題屬于基礎題型．
12.（2023 柯橋區九年級月考）如果m、n是兩個不相等的實數，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
【分析】由題意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數根．則根據根與系數的關系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它們可以化簡2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代數式的值．
【解答】解：由題意可知：m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數根，
則根據根與系數的關系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，
則2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．故答案為：2032．
【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題關鍵是把所求代數式化成兩根之和、兩根之積的系數，然后利用根與系數的關系式求值．
13.（2023 普寧市九年級期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，故答案為：4
【點評】本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系，本題屬于基礎題型．
14．（2023·江蘇南京市·中考模擬）設是關于x的方程的兩個根，且，則_______．
【答案】2
【分析】先利用根與系數的關系中兩根之和等于3，求出該方程的兩個根，再利用兩根之積得到k的值即可．
【詳解】解：由根與系數的關系可得：，，
∵，∴，∴，∴，∴;故答案為：2．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數之間的關系，解決本題的關鍵是牢記公式，即對于一元二次方程，其兩根之和為 ，兩根之積為．
15．（2023·江蘇南通市·九年級二模）已知、是方程的兩個實數根，則代數式______．
【答案】
【分析】利用韋達定理可得出，，再通過代入移項可得到，分別代入運算即可．
【詳解】解：∵，和是方程的兩個根
∴，，
∴故答案為：
【點睛】本題主要考查了韋達定理，代數式的運算，熟練掌握韋達定理公式是解題的關鍵．
16.（2023·河北唐山市·九年級二模）若，且，，則（1）的值為______；（2）的值為_____．
【答案】4 1
【分析】（1）根據題意，a，b是一元二次方程的兩個不相等的實數根，利用根與系數關系定理求解即可；（2）變形，得，，化簡后，利用（1）的結論計算即可．
【詳解】（1）∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的兩個不相等的實數根，∴a+b=4,故答案為：4；
利用根與系數關系定理求解即可；
（2）∵，，∴，，
∴=，∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的兩個不相等的實數根，
∴a+b=4,ab=1，∴==1，故答案為：1．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數關系定理，熟練構造一元二次方程，靈活運用根與系數關系定理是解題的關鍵．
17.（2023 武侯區九年級校級月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的兩個實數根為α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　 　．
【分析】先由根與系數的關系得到2m+1＝﹣（α+β），α β＝m2﹣2m（m﹣1）20，那么α和β同號，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4進行討論即可．
【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的兩個實數根為α和β，
∴α+β＝﹣（2m+1），α β＝m2﹣2m，∴2m+1＝﹣（α+β），α β＝m2﹣2m（m﹣1）20，
∴α β＞0，即α和β同號，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．
當α+β＝﹣4時，2m+1＝4，解得m；當α+β＝4時，2m+1＝﹣4，解得m．
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，
∴m；∴m不合題意，舍去，則m．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數關系，利用兩根關系得出的結果必須滿足△≥0的條件．
18.（2023 蘄春縣九年級期中）已知實數α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，則3β的值為　 　．
【分析】原方程變為（）﹣3（）﹣1＝0，得到、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，根據根與系數的關系得到關系式，代入求出即可．
【解答】解：∵實數α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，∴β＝3，1，1，
∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10，故答案為10．
【點評】本題主要考查對根與系數的關系的理解和掌握，能熟練地根據根與系數的關系進行計算是解此題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣東汕頭市·九年級一模）甲、乙兩人同解方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為（1）求a，b的值；（2）若關于x的一元二次方程兩實數根為，，且滿足，求實數m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）將代入方程②求出b的值，將代入方程①求得a的值，即可得出答案，（2）再將a，b的值代入中，再利用根與系數的關系得到方程組，解出兩個根，即可得出m的值．
【詳解】解：（1）根據題意得解得
（2）當時，一元二次方程化為，
由根與系數關系得，
聯成方程組得，解得
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和解二元一次方程組，一元二次方程以及根與系數的關系，正確理解題意是解題的關鍵．
20．（2023·廣西福綿初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個實數根．
（1）求實數m的取值范圍；（2）如果x1，x2滿足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m為整數，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據判別式的意義得到＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1+x2＝1，x1x2＝，再變形已知條件得到4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，于是有4+6×＞1，解得m＞﹣2，所以m的取值范圍為﹣2＜m≤﹣，然后找出此范圍內的整數即可．
【解析】（1）根據題意得＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，解得m≤﹣．
故實數m的取值范圍是m≤﹣；
（2）根據題意得x1+x2＝1，x1x2＝，∵4+4x1x2＞x12+x22，∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，
即4+6x1x2＞（x1+x2）2，∴4+6×＞1，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤﹣，∴整數m的值為﹣1．
【點睛】此題考查的是根據一元二次方程根的情況，求參數的取值范圍，掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系和根與系數的關系是解決此題的關鍵．
21．（2023·合肥市九年級期末）已知關于的方程．（1）取什么值時，方程有兩個實數根；（2）如果方程有兩個實數根、，且，求的值．
【答案】（1）k≥；（2）k=．
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判別式就可以得到關于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍；（2）|x1|=x2，即方程的兩根相等或互為相反數，當兩根相等時判別式△=0；當方程的兩根互為相反數時，兩根的和是0，利用根與系數的關系可以得到關于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
【詳解】解：（1）△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵當△≥0，方程有兩個實數根，∴2k-3≥0，∴k≥，∴當k≥時，方程有兩個實數根；
（2）由|x1|=x2，①當x1≥0時，得x1=x2，∴方程有兩個相等實數根，∴△=0，即2k-3=0，∴k=．
又當k=時，有x1=x2=＞0∴k=符合條件；
②當x1＜0時，得x2=-x1，∴x1+x2=0由根與系數關系得k+1=0，∴k=-1，
由（1）知，與當k≥矛盾，∴k=-1舍去，綜上可得，k=．
【點睛】解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系：
（1）△＞0 方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0 方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0 方程沒有實數根；（4）x1+x2= ；（5）x1 x2= ．
22.（2023 崇川區九年級校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，請探索a與b之間的數量關系式．
【分析】（1）據“差根方程”定義判斷即可；
（2）根據x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；
（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）的兩個實數根，根據根與系數的關系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①設x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個實數根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②設x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的兩個實數根，∴x1+x2，x1 x2，
∴|x1﹣x2|1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；
（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）的兩個實數根，
∴x1+x2，x1 x2，∵關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|1，即1，∴b2＝a2+4a．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，根的判別式，一次函數圖像上點的坐標特征，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關鍵．
23．（2023·宜賓市·九年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．（1）求的取值范圍；（2）若，且為整數，求的值．
【答案】（1）；（2）m=-1或m=0
【分析】（1）根據根的判別式，可得到關于m的不等式，則可求得m的取值范圍；
（2）由根與系數的關系，用m表示出兩根積、求兩根和，由已知條件可得到關于m的不等式，則可求得m的取值范圍，再求其值即可．
【詳解】解：（1）由題可得，
方程有兩個不相等的實數根， 即．解得
（2）由根與系數的關系可得，．
即，解得
由（1）可得 又為整數，或
【點睛】本題主要考查根與系數的關系及根的判別式，利用根的判別式求得m的取值范圍是解題的關鍵，注意方程根的定義的運用．
24．（2023·綿陽市九年級期中）閱讀下列材料：法國數字家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發現：
如果一元二次方程在的兩根分別可表示為，．那么可推得這是一元二次方程根與系數的關系．利用一元二次方程根與系數的關系，回答下列問題：
（1）已知方程的兩根分別為、，求與的值．
（2）已知方程的兩根分別、，若，求與的值．
（3）已知一元二次方程的一根大于2，另一根小于2求a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）=；=；（3）
【分析】（1）根據根與系數的關系即可求出結論；（2）根據完全平方公式的變形和分式減法變形，然后代入求值即可；（3）設一元二次方程的兩根分別、，根據根與系數的關系可得，根據題意可得，代入即可求出a的取值范圍．
【詳解】解：（1）∵方程的兩根分別為、 ∴；
（2）由（1）知：
∴===
∴==
∵∴∴ ∴===；
（3）設一元二次方程的兩根分別、，∴
由題意可得∴∴
∵無論a為何值，恒為正，故①恒成立；解②，得；綜上：．
【點睛】此題考查的是一元二次方程根與系數的關系，掌握根與系數的關系和完全平方公式的變形是解題關鍵．
25．（2023·浙江杭州市·九年級期中）已知關于的一元二次方程．
（1）若該方程有實數根，求的取值范圍；（2）若是方程的兩個實數根，且，求的值；（3）已知等腰的一邊長為10，若恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38
【分析】（1）令判別式△≥0，解不等式即可；（2）根據方程得出，，再由得到，代入得到方程，解之即可；（3）分10為等腰三角形的腰和底兩種情況分別求解．
【詳解】解：（1）∵方程有實數根，
∴，解得：m≥-1；
（2）∵是方程的兩個實數根，∴，，
∵，∴，解得：m=0；
（3）當腰長為10時，則x=10是一元二次方程的一個解，
把x=10代入方程得，解得m1=8，m2=15，
當m=8時，x1+x2=2（m-1）=14，解得x2=4，則三角形周長為4+10+10=24；
當m=15時，x1+x2=2（m-1）=28，解得x2=18，則三角形周長為10+10+18=38；
當10為等腰三角形的底邊時，則x1=x2，所以m=-1，方程化為，解得x1=x2=-2，故舍去；綜上所述，這個三角形的周長為24或38．
【點睛】本題考查了根與系數的關系、根的判別式，三角形三邊關系，等腰三角形的性質，同時考查了學生的綜合應用能力及推理能力．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題2.4 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
模塊1：學習目標
1. 理解掌握一元二次方程根與系數的關系；
2. 能運用一元二次方程根與系數的關系求代數式的值；
3. 能運用一元二次方程根與系數的關系求參數的值。
模塊2：知識梳理
一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
韋達定理的推導可以借助求根公式解的兩根，再求出兩根之積，兩根之和即可。
1）設是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的兩根，則，
注意：對于而言，當滿足①、②時，才能用韋達定理。
2）設是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的兩根
則：時，有; 時，有
時，有
模塊3：核心考點與典例
考點1.利用根與系數的關系求方程的根
例1．（2023.廣東汕尾市·九年級一模）已知關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是（ ）
A． B． C．3 D．
變式1. （2023·江蘇南通市·九年級二模）若2＋，2－是關于x的方程x2＋mx＋n＝0的兩個實數根，則m＋n的值為（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
考點2.利用根與系數的關系求有關根的代數式的值
例1．（2023·陜西西安市·九年級模擬）若方程的兩根為，，則_____．
變式1．（2023·江西·九年級模擬）已知方程的兩個解分別為，，則______．
變式2. （2023·江蘇南通市·九年級期中）方程x2+2x﹣8＝0的兩根為x1、x2，則+2x1x2++2020＝_____．
考點3.利用根與系數的關系及代根法綜合求值
例1．（2023·湖北武漢市·中考模擬）已知，是方程的兩根，則代數式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
變式1. （2023·江蘇南通市·九年級二模）設，是一元二次方程的兩個根，則______．
變式2.（2023 宜賓九年級期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，則α4+3β的值是（　　）
A．4 B．4 C．5 D．5
考點4.利用根與系數的關系求參數值（對稱）
例1．（2023·湖北隨州市·中考模擬）已知關于的方程（）的兩實數根為，，若，則______．
變式1．（2023·湖北黃石市·九年級模擬）已知關于的方程有兩個實數根、．（1）求的取值范圍（2）若、滿足等式，求的值．
變式2．（2023·浙江杭州市·八年級期末）設m是不小于的實數，關于x的方程有兩個不相等的實數根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范圍．
考點5.利用根與系數的關系求參數值（非對稱）
例1．（2023黑龍江綏化市·九年級期末）已知關于的一元二次方程
（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程兩實數根為，且滿足，求實數的值，
變式1. （2023.合肥九年級期末）已知關于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有實數根，求實數m 的取值范圍；（2）若方程兩實數根為x1，x2，且滿足3 x1-2x2 =5，求實數m 的值．
考點6.構造一元二次方程求代數式的值
例1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）設，且，則代數式的值為______．
變式1．（2023·浙江杭州市·八年級模擬）已知、滿足，，求的值．
變式 2．（2023·山東棗莊·九年級一模）閱讀材料：
已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可變形為﹣1＝0，根據p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數根，則p+，即．
根據閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．
考點7. 根與系數的關系與三角形綜合
例1．（2023 吉安期中）關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根．（2）m為何整數時，此方程的兩個根都是正整數？
（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求m的值．
變式1.（2023 西湖區九年級校級期中）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2；①求代數式4x1x2的最大值；②若方程的一個根是6，x1和x2是一個等腰三角形的兩條邊，求等腰三角形的周長．
考點8. 根與系數關系中的新定義問題
例1．（2023 武侯區九年級校級期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數根x1，x2，且滿足數軸上x1，x2所表示的點到2所表示的點的距離相等，則稱這樣的方程為“關于2的等距方程”以下“關于2的等距方程”的說法，正確的有　 　．（填序號）
①方程x2﹣4x＝0是關于2的等距方程；
②當5m＝﹣n時，關于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是關于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是關于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；
④當兩根滿足x1＝3x2，關于x的方程px2﹣x0是關于2的等距方程．
變式1.（2023 石獅市九年級期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發現了此類方程的一般性結論，設其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我們記“K＝b2ac”，即K＝0時，方程ax2+bx+c＝0為倍根方程：下面我們根據所獲信息來解決問題：（1）以下為倍根方程的是　 　；（寫出序號） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；
（2）若關于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）若A（m，n）在一次函數y＝3x﹣8的圖象上，且關于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.（2023 撫州九年級期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2+1的值為（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2023·廣東佛山市·九年級一模）已知Rt的兩條直角邊的長度恰好是一元二次方程的兩個實數根，那么的面積為（ ）
A．16 B．32 C． D．
3.（2023 九龍坡區校級期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根為α，β，那么α2+β﹣2αβ的值為（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
4．（2023·貴州遵義市·九年級期中）若和為一元二次方程的兩個根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．（2023·廣西八步初二期末）設是方程的兩個根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽馬鞍山市·九年級期末）已知a、b、m、n為互不相等的實數，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，則ab-mn的值為（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
7．（2023·浙江八年級期中）若a≠b，且則的值為（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
8．（2023·長沙初三期末）x1，x2是關于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0的兩個實數根，是否存在實數m使＝0成立？則正確的結論是(　 　)
A．m＝0 時成立 B．m＝2 時成立 C．m＝0 或2時成立 D．不存在
9．（2023·浙江麗水初二期末）若關于的方程的解中，僅有一個正數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江寧波·九年級校考期末）設關于的方程，有兩個不相等的實數根，且，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11.（2023 雅安九年級期末）設x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個根，則x13+4x22+x1﹣1的值為　 　．
12.（2023 柯橋區九年級月考）如果m、n是兩個不相等的實數，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
13.（2023 普寧市九年級期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
14．（2023·江蘇南京市·中考模擬）設是關于x的方程的兩個根，且，則_______．
15．（2023·江蘇南通市·九年級二模）已知、是方程的兩個實數根，則代數式______．
16.（2023·河北唐山市·九年級二模）若，且，，則（1）的值為______；（2）的值為_____．
17.（2023 武侯區九年級校級月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的兩個實數根為α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　 　．
18.（2023 蘄春縣九年級期中）已知實數α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，則3β的值為　 　．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣東汕頭市·九年級一模）甲、乙兩人同解方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為（1）求a，b的值；（2）若關于x的一元二次方程兩實數根為，，且滿足，求實數m的值．
20．（2023·廣西福綿初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個實數根．
（1）求實數m的取值范圍；（2）如果x1，x2滿足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m為整數，求m的值．
21．（2023·合肥市九年級期末）已知關于的方程．（1）取什么值時，方程有兩個實數根；（2）如果方程有兩個實數根、，且，求的值．
22.（2023 崇川區九年級校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差根方程”，請探索a與b之間的數量關系式．
23．（2023·宜賓市·九年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．（1）求的取值范圍；（2）若，且為整數，求的值．
24．（2023·綿陽市九年級期中）閱讀下列材料：法國數字家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發現：
如果一元二次方程在的兩根分別可表示為，．那么可推得這是一元二次方程根與系數的關系．利用一元二次方程根與系數的關系，回答下列問題：
（1）已知方程的兩根分別為、，求與的值．
（2）已知方程的兩根分別、，若，求與的值．
（3）已知一元二次方程的一根大于2，另一根小于2求a的取值范圍．
25．（2023·浙江杭州市·九年級期中）已知關于的一元二次方程．
（1）若該方程有實數根，求的取值范圍；（2）若是方程的兩個實數根，且，求的值；（3）已知等腰的一邊長為10，若恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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