資源簡介

重難點7-1 圓的最值與范圍問題
與圓相關的最值問題是近幾年高考數學對圓的考查的重點內容。主要考查與圓相關的參數范圍問題和圓相關的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結合的問題。
【題型1 圓上一點到定點的最值范圍】
滿分技巧 圓上的點到定點的距離最值問題：一般都是轉化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點，設圓的半徑為，則圓上點到點距離的最小值為，最大值為，即連結并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點.
【例1】（2024·山東濟南·高三濟南一中校聯考開學考試）已知是圓上的動點，點滿足，點，則的最大值為（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】設，，
由，得，，
因為點在圓上，即，則，
所以點的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，
因為，，所以點在圓外，
所以的最大值為.故選：C
【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統考期末）在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，易知，
由可得，整理得，
即動點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，
又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，
即.故選：D
【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學校考模擬預測）已知復數滿足：，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】設，其中，則，
∵，∴，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
∴即為圓上動點到定點的距離，
∴的最大值為.故選：B.
【變式1-3】（2023·上海·高三市實驗學校校考階段練習）若點在圓上運動，為的中點．點在圓上運動，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵點在圓上運動，，
∴中點到圓心的距離為，
由圓的定義可知，點的運動軌跡為以，半徑的圓，
又∵點在圓
∴的最小值為：.故選：B.
【變式1-4】（2024·重慶·統考一模）過點作圓的兩條切線，切點分別為，若為直角三角形，為坐標原點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓的圓心，半徑，
由切圓于點，且為直角三角形，得，連接，
則，即四邊形是正方形，，
因此點在以點為圓心，為半徑的圓上，而，
于是，所以的取值范圍為.故選：D
【題型2 圓上一點到直線的最值范圍】
滿分技巧 圓上的點到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于
【例2】（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）已知直線和圓，則圓上的點到直線的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由題知，圓，其中圓心，半徑為1，直線過定點，
所以點到直線的距離的最大值為到圓心的距離加上圓的半徑，即.故選：C
【變式2-1】（2024·廣東湛江·統考一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為 ．
【答案】
【解析】設，則滿足；
易知圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，如下圖所示：
易知，所以，即，整理可得；
同理可得，
即是方程的兩組解，
可得直線的方程為，聯立，即；
令，可得，即時等式與無關，
所以直線恒過定點，可得；
又在圓內，當，且點為的延長線與圓的交點時，
點到直線的距離最大；最大值為.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）圓上到直線的距離等于1的點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由題意知，圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
當，此時圓上有個點滿足，
當，此時圓上有個點滿足，
所以圓上到直線距離為的點的個數為.故C正確.故選：C.
【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）已知點為直線上的動點，平面內的動點到兩定點，的距離分別為和，且，則點和點距離的最小值為 ．
【答案】
【解析】設，由得，
即，
即，也即，
所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
所以點和點距離的最小值為.
【變式2-4】（2024·廣東茂名·統考一模）動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為 .
【答案】
【解析】令，則，整理得，
所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，
又直線：可化為，易知過定點，
由，故點在圓外，
則圓心與定點所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，
所以點到直線距離的最大值為.
【題型3 過圓內定點的最值范圍】
滿分技巧 過圓內定點的弦長最值：已知圓及圓內一定點，則過點的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.
【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學校考期末）設直線與圓交于，兩點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設直線為l，
方程變形為，所以直線恒過定點，
因為圓的方程為，所以圓心，半徑，
因為，所以在圓的內部，當直線時，弦最短，
因為，所以，
當直線l過圓心時，弦最長為，
故的取值范圍為.故選：.
【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯考階段練習）直線被圓所截得的弦長的最小值為 .
【答案】2
【解析】直線，即，
則，即直線過定點，
由于，故點在圓，
當圓心和的連線與直線垂直時，
直線被圓所截得的弦長最短，
圓心為，和的距離為，
故弦長的最小值為.
【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）已知圓C: ，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實數m的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因為直線：，
方程可化為，
令，解得，故直線過定點，
且在圓C:內，又,
故當直線被圓C截得的弦長最短時，有，
則，解得，故選：B.
【變式3-3】（2023·河南·高三統考階段練習）過圓內點有若干條弦，它們的長度構成公差為d的等差數列，且，其中分別為過點的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，
可知，
因為數列為等差數列，則，解得，
又因為且，則，
所以的取值集合為.故選：C.
【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知圓，直線，當圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為 .
【答案】
【解析】由題意，直線的方程化為，
由得
∴直線過定點，顯然點在圓內，
要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，
，解得，
代入到直線的方程并化簡得.
【題型4 圓的切線長的最值范圍】
滿分技巧 切線長度的最值求法 1、代數法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值； 2、幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題． 已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為.
【例4】（2024·湖北·校聯考模擬預測）已知點為直線上的一點，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，
由圓的幾何性質可知，，
由勾股定理可得,
所以要使切線長取最小值，只需取最小值即可.
當直線與直線垂直時，取最小值，
則的最小值是.故選：A.
【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）已知O為坐標原點，點P在標準單位圓上，過點P作圓C：的切線，切點為Q，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】圓C的圓心為，半徑，標準單位圓的圓心為，半徑，
因為，
可知圓C與標準單位圓外離，即點P在圓C外，
由題意可知：，
且，當且僅當在線段上時，等號成立，
所以，即的最小值為.
【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統考期中）已知動點到兩個定點，的距離之比為，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，由題可知，
整理得，圓心為，半徑為.
圓的圓心為，半徑為2.
如圖，因為，
所以，當取得最小值時，有最小值，
由圖可知，的最小值為，
所以的最小值為.故選：A
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知點是拋物線：上的動點，過點作圓：的切線，切點為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設，則，
故當時，取最小值.
又由圓的切線性質可得此時.
【變式4-4】（2023·浙江·模擬預測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，連接，則，可得，
所以，
即，可得，
所以，
當時，.故選：C.
【題型5 距離和差的最值范圍】
滿分技巧 圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進行舉例轉化，有時需結合對稱性及三點共線距離最短的性質求解最值。
【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）已知為直線上一點，過點作圓的切線（點為切點），為圓上一動點． 則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，連接，可得，且垂足為
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
顯然，當最小時，同時取得最小值，
所以，當時，且，
所以.故選：B.
【變式5-1】（2024·江西·高三校聯考期末）已知A為圓C：上的動點，B為圓E：上的動點，P為直線上的動點，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設關于直線的對稱點為，
則，解得，故，
則圓關于對稱的圓的方程為，
要使的值最大，
則（其中為關于直線的對稱圓上的點）三點共線，
且該直線過兩點，如圖，
其最大值為.
【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三校考階段練習）已知點，點O是坐標原點，點Q是圓上的動點，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由圓，可得圓心，半徑為，
又由點，可得點在直線上的動點，
因為點O是坐標原點，點Q是圓上的動點，
則，
如圖所示，設點關于直線的對稱點為，
可得，解得，即，
設直線與直線的交點為，
則直線的方程為，聯立方程組，解得，
即，則，
當點與重合時，此時，則，
此時取得最大值，最大值為，
所以，即的最大值為.
【變式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐標系中，點，若點滿足，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，
由，得，化簡整理得，
故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
，
設，則，
故，
當且僅當三點共線時取等號，
所以的最小值為.故選：C.
【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實驗學校校考期中）已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取，連接，則，
又，所以，
又，故∽，
故，從而，
所以，
當三點共線時，取得最小值，
最小值為.故選：C
【題型6 與角度有關的最值范圍】
滿分技巧 與角度有關的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數定義，將三角函數值轉化為邊的比值，觀察線段之間的關系再進行處理。
【例6】（2024·全國·模擬預測）設點是圓上的動點，過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，
圓可化為，則圓心，半徑．
設切線為，連接，
因為圓的半徑為2，所以在中，．
所以．
當點是線段的延長線與圓的交點時，線段的長最大，此時，
所以的最大值為．
【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學校聯考模擬預測）已知為拋物線上一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
因為，，
設，則，
當時，取得最小值，
此時最大，最小，
且，故C正確.故選：C
【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯考模擬預測）在平面直角坐標系中，設，，，動點滿足，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點，則，，
所以，
整理可得，
動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
，，故三點共線，如圖所示，
當與圓相切時， 為銳角且最大，最大，即，
由，此時，
則.故選：B
【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）已知圓：與直線：（），過上任意一點向圓引切線，切點為，，若的最小值為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓：，圓心，半徑，
由的最小值為，可得．
又，，所以的最小值為2，
而圓心到直線：（）的距離等于2，
即，解得，故選：D．
【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學校聯考模擬預測）在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令且，即，則外接圓半徑為，
若，的外接圓方程為，
所以，令圓心為，
即點在圓被分割的優弧上運動，如下圖，
要使的最大，只需與圓相切，由上易知，
則，而，
由圓的性質有，
中，，顯然，
由，則，
所以，可得（負值舍），
故，而，
所以，
整理得，則.故選：D
【題型7 代數式幾何意義的最值范圍】
滿分技巧 利用代數法的幾何意義求最值 1、形如的最值問題，可以轉化為過點和點的動直線斜率的最值問題； 2、形如的最值問題，可以轉化為點和點距離的平方的最值問題； 3、形如的最值問題，可以轉化為動直線縱截距的最值問題
【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級中學校聯考期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】圓:可化為
表示點到點的距離的平方,
因為，所以的最小值為.故選：B.
【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學校聯考階段練習）已知平面四邊形中，點，坐標平面內的點滿足，則的取值范圍是
【答案】
【解析】設，則，
由得，整理得，
.
表示到點的距離平方，
，
所以到圓上的點的距離的最小值為，
最大值為，
所以的范圍是，
所以的范圍是，
也即的取值范圍是.
【變式7-2】（2023·四川涼山·統考一模）已知是曲線上的點，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】，
由題意可知,作出圖形，如圖所示，
因為是曲線上的點，
則表示過點兩點直線的斜率，
顯然當位于處時，有最大值，
顯然當位于處時，有最小值，
所以所以
故的取值范圍是
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）已知實數，滿足方程，則的最大值為 ；的最大值為 ．
【答案】；
【解析】由題意得：將方程轉化為標準方程：，
故的軌跡是以為圓心、1為半徑的圓；
的幾何意義為到距離的平方；
如上圖可知：當點與重合時，到距離最大，
此時，故；
因為：，故可設：，
所以圓與直線需有交點，
即圓心到直線的距離：，解得：，
所以：最大值為．
【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考一模）已知直線交圓于兩點，則的最小值為（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【答案】D
【解析】由題設直線與軸的交點為，設弦的中點為，
連接，則，即，所以，
即，
所以點的軌跡方程為，
即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設直線為，則到的最小距離為，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，
則四邊形是直角梯形，且是的中點，
則是直角梯形的中位線，所以，即，
即，
所以的最小值為30.故選：D.
【題型8 圓中面積的最值范圍】
滿分技巧 與圓有關的面積最值問題一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解。
【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，直線交軸于，交軸于，則，
圓的圓心到直線的距離，而圓的半徑為，
于是圓上的點到直線的距離的范圍為，
所以的面積.故選：C
【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學校考開學考試）已知點是直線上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別是點A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓C：，即圓C：，圓心坐標，半徑為3；
由題意過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，
可知四邊形PACB的面積是兩個全等的三角形的面積的和，因為，，
顯然PC最小時四邊形面積最小，即，
所以
所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B.
【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）設點P是圓上的動點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為 .
【答案】
【解析】圓C的方程可化為，則圓心為，半徑為2，
連接PC，則在中，，
所以四邊形PACB的面積，
（由切線長定理知，故）
連接CO并延長，當點P是線段CO的延長線與圓O的交點時，最大，
此時，
所以四邊形PACB面積的最大值為.
【變式8-3】（2024·山西呂梁·統考一模）已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由題意得，，，
，
當垂直直線時，，，故選：B.
【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學校考期中）如圖，已知圓：，圓：，過直角坐標原點作直線分別交兩圓于過點作直線分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為
【答案】
【解析】設軸與圓交于，點，交圓于點，連結，
則：，.同理：
所以：，
設，則
則： ，設點到直線的距離為，
則：，所以：
設，
當單調遞增，當單調遞減，
所以當，，.
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知是圓上一點，是圓上一點，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，
且兩圓的半徑分別為，即兩圓外離，
所以的最小值為.故選：B
2．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）在Rt△ABC中，，，，若動點P滿足，則的最大值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】如圖，以B為坐標原點，，的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標系，
則，，．
設，則．
因為，所以P是圓A：上的點．
又點P與點距離的最大值為，
即，所以．
故的最大值為17．故選：B.
3．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學校考階段練習）已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，依題意得點，在直線上，
點關于直線對稱的點，
點在圓關于直線對稱的圓上，
設，則，解得，且半徑為，
所以圓，則，
設圓的圓心為，
因為，
所以，
當五點共線，
在線段上，在線段上時“”成立．
因此的最大值為5．故選：C
4．（2024·河北·高三張北縣第一中學校聯考開學考試）已知圓上有一動點P，圓上有一動點Q，直線上有一動點M，直線與圓相切，直線與圓相切，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由圓可得圓心，半徑為，
由圓可得圓心，半徑為，
設直線上有一動點，
因為直線與圓相切，直線與圓相切，
所以，
即
，
即，
設，
則,
當且僅當三點共線時取等號.故選：D.
5．（2022·四川廣安·高三岳池中學校考階段練習）已知點是圓上任意一點，，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】B
【解析】圓的方程可化為，
設，且， 且，
則，
當，時，取得最大值，故A錯誤；
，
所以當時，取得最小值，故B正確；
，
所以當時，取得最小值，故C錯誤；
，
所以當時，取得最大值，故D錯誤.故選：B
6．（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，設點，則，
過點作圓的切線，切點分別為A，B，
則有，，則點A，B在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為，半徑，
則其方程為，變形可得，
聯立，可得圓D和圓O公共弦為：，
又由，則有，變形可得，
則有，可解得，故直線恒過定點，
點在圓上，，
當時，C到直線AB的距離最大，M到直線AB的距離也最大，
則點到直線距離的最大值為.故選:B.
7．（2024·廣東肇慶·校考模擬預測）（多選）已知，點到直線：的垂足為，，，則（ ）
A．直線過定點 B．點到直線的最大距離為
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】AB
【解析】已知， 則，
故直線過定點，正確；
設的坐標為，則點到直線的最大距離即，正確；
過點作直線直線：的垂線，垂足為，則恒成立，
故的軌跡是以為直徑的圓，
而，，則該圓的圓心為，半徑，
故的軌跡方程為，
又由，則，故N在圓外，
故的最大值為，最小值為，故,錯誤．故選：．
8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，.記線段，的中點分別為，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓的方程為 B．四邊形面積的最大值為
C．弦的長度的取值范圍為 D．直線恒過定點
【答案】AD
【解析】設圓心為，則半徑為，
依題意，，解得，則，
因此圓的方程為，A正確；
連接,則，又，則四邊形為矩形，
設，則，，
故，
所以，
當時，四邊形面積取到最大值，B錯誤；
當弦過圓心時最長，最大值為4；當弦時最短，最小值為，
即弦的長度的取值范圍為，C錯誤；
矩形的對角線互相平分，而，
則過的中點，D正確.故選：AD
9．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學校考模擬預測）（多選）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線被圓截得的弦最長時，
C．直線被圓截得的弦最短時， D．直線被圓截得的弦最短弦長為
【答案】ABC
【解析】對于選項A：直線的方程可化為，
令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；
對于選項B：因為，即點在圓內，
當直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長，
此時，解得，故B正確；
對于選項C：當直線時，直線被圓截得的弦長最短，
直線的斜率為，，
由，解得，故C正確；
對于選項D：此時直線的方程是，
圓心到直線的距離為，
可得，
所以最短弦長是，故D錯誤．故選：ABC．
10．（2024·廣東珠海·高三珠海市第一中學校考期末）已知半徑為的圓C經過點，則圓心C到直線的距離的最大值為 ．
【答案】
【解析】設圓心C的坐標為，
因為半徑為的圓C經過點，所以，
所以點C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
故圓心C到直線的距離的最大值為點A到直線l的距離加上半徑，
即.
11．（2024·河北邢臺·高三統考期末）在平面直角坐標系中，已知，動點滿足，點在直線上，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】設，因為，所以，
整理得動點的軌跡方程為，
所以動點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓．
因為圓心到直線的距離，所以．
12．（2023·遼寧遼陽·統考二模）已知直線與圓交于兩點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由可得：，
令，
則直線過定點，圓的圓心，半徑．
當直線經過圓心時，，
當直線時，．
綜上，的取值范圍是．
13．（2023·四川德陽·統考一模）已知實數成公差非零的等差數列，集合，，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】成公差非零的等差數列，則，
動直線變形為，
令，解得，動直線過定點，
直線的一個法向量為，
若，則直線，點在以為直徑的圓上，
圓心為中點，半徑，
，則的最大值為.
14．（2023·全國·高三專題練習）已知圓C：，則當圓C的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為 ．
【答案】
【解析】，
所以半徑，當且僅當時，半徑最小，
此時圓心為，圓心到原點的距離為，
因為，
所以原點在圓外，根據圓的性質，
圓上的點到坐標原點的距離的最大值為.
15．（2023·廣東東莞·高三東莞實驗中學校考開學考試）對平面上兩點A、B，滿足的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，命名為阿波羅尼斯圓，稱點A，B是此圓的一對阿波羅點．不在圓上的任意一點都可以與關于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內，另一點在圓外，系數只與阿波羅點相對于圓的位置有關．已知，，，若動點P滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】由題意知：，即，
（當且僅當三點按順序共線時取等號），
又，的最小值為.重難點7-1 圓的最值與范圍問題
與圓相關的最值問題是近幾年高考數學對圓的考查的重點內容。主要考查與圓相關的參數范圍問題和圓相關的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結合的問題。
【題型1 圓上一點到定點的最值范圍】
滿分技巧 圓上的點到定點的距離最值問題：一般都是轉化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點，設圓的半徑為，則圓上點到點距離的最小值為，最大值為，即連結并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點.
【例1】（2024·山東濟南·高三濟南一中校聯考開學考試）已知是圓上的動點，點滿足，點，則的最大值為（ ）
A．8 B．9 C． D．
【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統考期末）在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學校考模擬預測）已知復數滿足：，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【變式1-3】（2023·上海·高三市實驗學校校考階段練習）若點在圓上運動，為的中點．點在圓上運動，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-4】（2024·重慶·統考一模）過點作圓的兩條切線，切點分別為，若為直角三角形，為坐標原點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 圓上一點到直線的最值范圍】
滿分技巧 圓上的點到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于
【例2】（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）已知直線和圓，則圓上的點到直線的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2-1】（2024·廣東湛江·統考一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為 ．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）圓上到直線的距離等于1的點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）已知點為直線上的動點，平面內的動點到兩定點，的距離分別為和，且，則點和點距離的最小值為 ．
【變式2-4】（2024·廣東茂名·統考一模）動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為 .
【題型3 過圓內定點的最值范圍】
滿分技巧 過圓內定點的弦長最值：已知圓及圓內一定點，則過點的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.
【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學校考期末）設直線與圓交于，兩點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯考階段練習）直線被圓所截得的弦長的最小值為 .
【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）已知圓C: ，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實數m的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式3-3】（2023·河南·高三統考階段練習）過圓內點有若干條弦，它們的長度構成公差為d的等差數列，且，其中分別為過點的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知圓，直線，當圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為 .
【題型4 圓的切線長的最值范圍】
滿分技巧 切線長度的最值求法 1、代數法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值； 2、幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題． 已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為.
【例4】（2024·湖北·校聯考模擬預測）已知點為直線上的一點，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）已知O為坐標原點，點P在標準單位圓上，過點P作圓C：的切線，切點為Q，則的最小值為 ．
【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統考期中）已知動點到兩個定點，的距離之比為，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知點是拋物線：上的動點，過點作圓：的切線，切點為，則的最小值為 .
【變式4-4】（2023·浙江·模擬預測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 距離和差的最值范圍】
滿分技巧 圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進行舉例轉化，有時需結合對稱性及三點共線距離最短的性質求解最值。
【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）已知為直線上一點，過點作圓的切線（點為切點），為圓上一動點． 則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·江西·高三校聯考期末）已知A為圓C：上的動點，B為圓E：上的動點，P為直線上的動點，則的最大值為 .
【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三校考階段練習）已知點，點O是坐標原點，點Q是圓上的動點，則的最大值為 .
【變式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐標系中，點，若點滿足，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實驗學校校考期中）已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 與角度有關的最值范圍】
滿分技巧 與角度有關的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數定義，將三角函數值轉化為邊的比值，觀察線段之間的關系再進行處理。
【例6】（2024·全國·模擬預測）設點是圓上的動點，過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為 ．
【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學校聯考模擬預測）已知為拋物線上一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯考模擬預測）在平面直角坐標系中，設，，，動點滿足，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）已知圓：與直線：（），過上任意一點向圓引切線，切點為，，若的最小值為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學校聯考模擬預測）在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 代數式幾何意義的最值范圍】
滿分技巧 利用代數法的幾何意義求最值 1、形如的最值問題，可以轉化為過點和點的動直線斜率的最值問題； 2、形如的最值問題，可以轉化為點和點距離的平方的最值問題； 3、形如的最值問題，可以轉化為動直線縱截距的最值問題
【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級中學校聯考期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學校聯考階段練習）已知平面四邊形中，點，坐標平面內的點滿足，則的取值范圍是
【變式7-2】（2023·四川涼山·統考一模）已知是曲線上的點，則的取值范圍是 .
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）已知實數，滿足方程，則的最大值為 ；的最大值為 ．
【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考一模）已知直線交圓于兩點，則的最小值為（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【題型8 圓中面積的最值范圍】
滿分技巧 與圓有關的面積最值問題一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解。
【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學校考開學考試）已知點是直線上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別是點A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）設點P是圓上的動點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為 .
【變式8-3】（2024·山西呂梁·統考一模）已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學校考期中）如圖，已知圓：，圓：，過直角坐標原點作直線分別交兩圓于過點作直線分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知是圓上一點，是圓上一點，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）在Rt△ABC中，，，，若動點P滿足，則的最大值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
3．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學校考階段練習）已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·高三張北縣第一中學校聯考開學考試）已知圓上有一動點P，圓上有一動點Q，直線上有一動點M，直線與圓相切，直線與圓相切，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．（2022·四川廣安·高三岳池中學校考階段練習）已知點是圓上任意一點，，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
6．（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·廣東肇慶·校考模擬預測）（多選）已知，點到直線：的垂足為，，，則（ ）
A．直線過定點 B．點到直線的最大距離為
C．的最大值為 D．的最小值為
8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，.記線段，的中點分別為，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓的方程為 B．四邊形面積的最大值為
C．弦的長度的取值范圍為 D．直線恒過定點
9．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學校考模擬預測）（多選）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線被圓截得的弦最長時，
C．直線被圓截得的弦最短時， D．直線被圓截得的弦最短弦長為
10．（2024·廣東珠海·高三珠海市第一中學校考期末）已知半徑為的圓C經過點，則圓心C到直線的距離的最大值為 ．
11．（2024·河北邢臺·高三統考期末）在平面直角坐標系中，已知，動點滿足，點在直線上，則的最小值為 ．
12．（2023·遼寧遼陽·統考二模）已知直線與圓交于兩點，則的取值范圍是 ．
13．（2023·四川德陽·統考一模）已知實數成公差非零的等差數列，集合，，若，則的最大值為 .
14．（2023·全國·高三專題練習）已知圓C：，則當圓C的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為 ．
15．（2023·廣東東莞·高三東莞實驗中學校考開學考試）對平面上兩點A、B，滿足的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，命名為阿波羅尼斯圓，稱點A，B是此圓的一對阿波羅點．不在圓上的任意一點都可以與關于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內，另一點在圓外，系數只與阿波羅點相對于圓的位置有關．已知，，，若動點P滿足，則的最小值是 ．

展開更多......

收起↑