資源簡介

重難點1-1 基本不等式求最值
基本不等式是高考熱點問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學中一個重要的知識點，在解決數(shù)學問題中有著廣泛的應用，尤其是在函數(shù)最值問題中．題型通常為選擇題與填空題，但它的應用范圍幾乎涉及高中數(shù)學的所有章節(jié)，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等．
在高考中經(jīng)?？疾爝\用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應用廣泛、技巧性強等特點．在復習中切忌生搬硬套，在應用時一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件靈活運用．
【題型1 直接法求最值】
滿分技巧 條件和問題之間存在基本不等式的關(guān)系 轉(zhuǎn)化符號：若含變量的項是負數(shù)，則提取負號，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值． 乘方：若目標函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值．
【例1】（2023·河南信陽·高三宋基信陽實驗中學?？茧A段練習）
1．已知，，且，則的最大值為（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【變式1-1】（2023·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）
2．已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·上海青浦·高三?？计谥校?br/>3．若且滿足，則的最小值為 .
【變式1-3】（2023·河北保定·高三易縣中學?？茧A段練習）
4．若都是正數(shù)，且，則的最小值為 ．
【變式1-4】（2023·河南·模擬預測）
5．已知，則的最大值為 ．
【題型2 配湊法求最值】
滿分技巧 將目標函數(shù)恒等變形或適當放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值． 配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵． 利用配湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題： （1）配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形； （2）代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標； （3）拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．
【例2】（2023·全國·高三專題練習）
6．已知，則的最小值是 .
【變式2-1】（2023·福建廈門·高三廈門外國語學校?？计谥校?br/>7．已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式2-2】（2023·山西晉中·高三校考開學考試）
8．已知，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【變式2-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）
9．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【變式2-4】（2023·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）
10．已知正實數(shù)x，y滿足：，則的最大值為 .
【變式2-5】（2023·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）
11．已知，，則的最大值為 .
【題型3 消元法求最值】
滿分技巧 根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍．
【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）
12．實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）
13．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）
14．已知，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C． D．
【變式3-3】（2023·重慶·高三渝北中學?？茧A段練習）
15．已知，，且，則的最小值為 .
【變式3-4】（2023·河南洛陽·高三校聯(lián)考模擬預測）
16．已知，則的最小值為 ．
【題型4 “1”的代換求最值】
滿分技巧 1、若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實施“１”代換，配湊和或積為常數(shù)． 模型1：已知正數(shù)滿足，求的最小值． 模型2：已知正數(shù)滿足求的最小值． 2、常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為： （1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))； （2）把確定的定值(常數(shù))變形為1； （3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
【例4】（2023·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）
17．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．25 B．36 C．42 D．56
【變式4-1】（2023·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習）
18．若正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式4-2】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）
19．若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 .
【變式4-3】（2023·青海海南·高三校聯(lián)考期中）
20．已知實數(shù)，，且，則的最小值為 ．
【變式4-4】（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習）
21．若正數(shù)滿足，則的最小值是 .
【變式4-5】（2023·河南周口·高三?？茧A段練習）
22．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【題型5 雙換元法求最值】
滿分技巧 雙換元法是“1”的代換更復雜情況的應用，常用于分母為多項式的情況． 具體操作如下：如分母為與，分子為， 設(shè) ∴，解得：
【例5】（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學考試）
23．已知且，則的最小值為（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）
24．已知，，，則的最大值為 ．
【變式5-2】（2023·山東·高三省實驗中學校考期中）
25．已知a，b，c均為正實數(shù)，，則的最小值是 .
【變式5-3】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）
26．已知且，則的最小值為 ．
【題型6 齊次化法求最值】
【例6】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）
27．已知實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）
28．若且，則的最小值為 .
【變式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）
29．已知實數(shù)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）
30．已知，則的最大值為 ．
【題型7 構(gòu)造不等式求最值】
滿分技巧 當條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時，可以考慮借助基本不等式進行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值．
【例7】（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）
31．已知，且，則的取值范圍為 .
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）
32．若，則的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【變式7-2】（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）
33．已知實數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）
34．設(shè)，，且，則的取值范圍為 .
【變式7-4】（2022秋·山西晉中·高三校考階段練習）
35．已知正數(shù)滿足，則的最大值是 .
【題型8 多次使用不等式求最值】
滿分技巧 通過多次使用基本不等式求得代數(shù)式最值的過程中，需要注意每次使用基本不等式時等式成立的條件不同．
【例8】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考一模）
36．已知，則的最小值為 .
【變式8-1】（2023·上海徐匯·高一上海中學?？计谥校?br/>37．若x，y，z均為正實數(shù)，則的最大值是 ．
【變式8-2】（2023·遼寧丹東·高三鳳城市第一中學?？茧A段練習）
38．若，則的最小值為 .
【變式8-3】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺第一中學?？计谀?br/>39．已知，則的最小值是 ．
（建議用時：60分鐘）
（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）
40．若，則的最小值（　　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習）
41．已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．12 D．4
（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江第三高級中學?？计谥校?br/>42．已知，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）
43．已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
44．已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．2
（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習）
45．已知，，且，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
（2023·重慶·高三渝北中學校考階段練習）
46．若都是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）
47．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．16 B． C．8 D．4
（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習）
48．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
（2022·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）
49．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．10 B．9 C． D．
（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）（多選）
50．已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯(lián)考階段練習）（多選）
51．已知，，，則（ ）
A．的最小值為9 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
（2023·山東·高三濟南一中校聯(lián)考期中）（多選）
52．若實數(shù)滿足，則（ ）
A．當時，有最大值 B．當時，有最大值
C．當時，有最小值 D．當時，有最小值
（2023·全國·高三模擬預測）（多選）
53．實數(shù)，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
（2023·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）
54．若，，，則 的最小值為 .
（2023·重慶·高三統(tǒng)考期中）
55．已知x，，且，則的最大值為 ．
（2023·上海寶山·高三校考期中）
56．當時，的最小值是 .
（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）
57．已知，，，則的最小值為 ．
（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）
58．已知，，，則的最小值為 .
（2023·山西·?？寄M預測）
59．已知，且，則的最小值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)基本不等式，求解即可得出答案.
【詳解】因為，，
則由基本不等式可得，
所以有，
當且僅當時等號成立.
故選：B.
2．A
【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)的運算，結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.
故選：A
3．
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
則，
當，即或時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
4．
【分析】直接利用均值不等式計算最值得到答案.
【詳解】，
當且僅當，即，時等號成立.
故答案為：.
5．1
【分析】根據(jù)基本不等式即可求出的最大值.
【詳解】由題意，
在中，
，
當且僅當時取等號，
即，
故答案為：.
6．
【分析】將表達式等價變形，利用基本不等式求解即可.
【詳解】由，得，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是.
故答案為：.
7．A
【分析】根據(jù)已知條件，應用基本不等式求的最大值，注意取值條件.
【詳解】，當且僅當時取等號.
即的最大值為.
故選：A
8．B
【分析】利用基本不等式進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，
當且僅當時取等號，因為，解得，
故選：B
9．4
【分析】通過變形構(gòu)造基本不等式形式，再利用基本不等式求出最小值.
【詳解】
，當且僅當時，取得最小值，
故答案為：4
10．
【分析】利用不等式，直接計算即可.
【詳解】，
當且僅當，即時取得等號；
故的最大值為；
故答案為：.
11．##
【分析】利用基本不等式可得答案.
【詳解】因為，，所以
，
當且僅當即等號成立.
故答案為：.
12．D
【分析】用已知條件消元后用基本不等式即可.
【詳解】因為，
所以
所以，當且僅當取等號
故選：D．
13．B
【分析】由已知等式變形可得，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，此時，，
故的最小值為.
故選：B.
14．D
【分析】由已知可得且、，再由，應用基本不等式求其最小值，注意取值條件.
【詳解】由，，即，易知，
所以，
當且僅當時等號成立，此時，
所以的最小值為.
故選：D
15．##
【分析】利用等式條件，變形，再利用基本不等式求最小值.
【詳解】由，可得，因為，可得，
，
當時，即時，等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：
16．##
【分析】先求得的取值范圍，再把整體代換構(gòu)造均值不等式即可.
【詳解】由已知得，所以，
則
，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為，
故答案為：
17．B
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用求出最值.
【詳解】因為，，，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為36.
故選：B.
18．B
【分析】根據(jù)“1”的靈活應用，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】正數(shù)，滿足，即，
則，
當且僅當即時等號成立，
所以的最小值為，
故選：B.
19．.
【分析】應用基本不等式的乘“1”法即可求解.
【詳解】由正實數(shù)，滿足，即，
則，
當且僅當且，即，時等號成立.
故答案為：.
20．##
【分析】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，
，
當且僅當，且，即，時等號成立．
所以，的最小值為.
故答案為：.
21．
【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出，然后利用基本不等式“”的應用，即可求解.
【詳解】根據(jù)條件，得：，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，
又因為都是正數(shù)，
所以，
當且僅當時取等，所以最小值為.
故答案為：.
22．
【分析】變形得到，結(jié)合，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，
由，得，故，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最小值為．
故答案為：
23．B
【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
令，則，
由得，
故
，
當且僅當，結(jié)合，即時取等號，
也即，即時，等號成立，
故的最小值為9，
故選：B
24．##
【分析】通過換元，將分式變成整式，再通過“1”的代換和基本不等式求出即可.
【詳解】令，，
則，，，，，所以，
所以，
當且僅當，，即，時等號成立．
故答案為：
25．
【分析】根據(jù)題意，將看作一個整體，變形后結(jié)合基本不等式的計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，即，
設(shè)，則，且，
原式
，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：4
26．8
【分析】由已知變形為，令所以，使用基本不等式求最小值即可.
【詳解】由得，
即，所以，
令得
所以，當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：8
27．C
【分析】由已知可得出，可得出，再利用基本不等式可求出所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】因為，所以，即，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為．
故選：C．
28．
【分析】由對數(shù)運算和換底公式,求得的關(guān)系為，逆用作常數(shù)替換，為齊次式,再利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】因為,,,
所以,所以.
故，
當且僅當,即時取等號，結(jié)合,即時取等號，
所以最小值為.
故答案為：
29．D
【分析】原式變形為，利用均值不等式可得，進一步根據(jù)分式性質(zhì)討論最值即可.
【詳解】由題意得，，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br/>又，此時，.
故選：D
30．
【分析】通分化簡整理，再利用基本不等式求得最大值.
【詳解】因為，則，
所以
，
當且僅當時，等號成立，
則的最大值為.
故答案為：.
31．
【分析】利用基本不等式變形，然后解不等式即可.
【詳解】由題意，且，當且僅當時，即時等號成立，
令，則上式為：，即，
解得或（舍），所以的取值范圍為.
故答案為：.
32．C
【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.
【詳解】，當且僅當時取等號，
因此，即，解得，
所以當時，取得最小值2.
故選：C
33．B
【分析】由，變形為，設(shè)，利用基本不等式得到，進而化為求解.
【詳解】解：由，變形為，設(shè)，
∵，當且僅當時，取等號，即，
∴，∴，
即，，
∴，∴，
此時，，即，時，的最大值為8.
故選：B.
34．
【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.
【詳解】因為，，則，
由基本不等式可得，所以，，
即，因為，解得，即，
當且僅當時，等號成立，
故的取值范圍是.
故答案為：.
35．
【分析】設(shè)，表達出，結(jié)合基本不等式求解最值，再根據(jù)二次不等式求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，當且僅當時取等號.
所以，解得，即的最大值，當且僅當，即，時取等號.
故答案為：
36．
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
37．
【分析】將拆開為，同時用兩次均值不等式構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)即可.
【詳解】
，
所以，
當且僅當時取到等號，
故答案為：
38．4
【分析】利用基本不等式計算即可.
【詳解】由完全平方公式可知：，當且僅當時取等號，
所以有，當且僅當時取等號.
故答案為：4.
39．
【分析】先利用基本不等式求得范圍，進而代入原式，進一步利用基本不等式求得問題答案.
【詳解】，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
40．C
【分析】由基本不等式，當且僅當時等號成立
【詳解】，當且僅當時取等號.
故選：C
41．A
【分析】換元令，可得，，根據(jù)“1”的靈活應用結(jié)合結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】令，則，
可得，，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為8.
故選：A.
42．D
【分析】由基本不等式可得答案.
【詳解】已知，則，，
當且僅當，即時“”成立，故所求最小值是16.
故選：D．
43．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】因為，，，所以，
所以
，
當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為.
故選：C．
44．C
【分析】根據(jù)點在直線上得a，b關(guān)系，然后由基本不等式可得.
【詳解】因為點在直線上，則，即，
所以，
當且僅當，即，時，其取得最小值4.
故選：C．
45．B
【分析】由，兩邊取對數(shù)得到，再設(shè)，兩邊取對數(shù)，利用基本不等式求解.
【詳解】解：因為，
所以，
設(shè)，
則，
則，當且僅當，即時，等號成立，
故選：B
46．A
【分析】根據(jù)條件，變形，再利用基本不等式，即可求解.
【詳解】，
即，
，
當，即時等號成立.
即，則，
則，解得：，，
或，解得：，，
所以的最小值為.
故選：A
47．D
【分析】根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合基本不等式求得，再由指數(shù)冪的運算公式，即可求解.
【詳解】由正數(shù)滿足，可得，即，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以
又由，
所以的最小值為.
故選：D.
48．C
【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式進行求解即可
【詳解】由條件知，
，
當且僅當時取等號.
故選：C
49．C
【分析】由已知，可設(shè)，，利用換底公式表示出，帶入中，得到m，n的等量關(guān)系，然后利用“1”的代換借助基本不等式即可求解最值.
【詳解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因為，，
所以
.
當且僅當時，即時等號成立.
的最小值為.
故選：C.
50．ABC
【分析】利用基本不等式及對數(shù)的運算性質(zhì)判斷A，利用基本不等式及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用乘“1”法及基本不等式判斷C，利用基本不等式判斷D.
【詳解】因為，，且，且，
所以，
當且僅當時，等號成立，故A正確；
易知，即，所以，
所以，故，當且僅當時取等號，故B正確；
因為，又，所以，
所以，
因為，
所以，當且僅當，即時，等號成立，故C正確；
因為，，且，所以，
當且僅當時取等號，又，
所以，故D錯誤.
故選：ABC
51．CD
【分析】A應用基本不等式“1”的代換求最值，注意取等條件；B由，應用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；C、D利用基本不等式及指數(shù)運算性質(zhì)求最值，注意取等條件.
【詳解】A：因為，，，
所以，
當且僅當時取等號，取得最小值，錯；
B：，二次函數(shù)的性質(zhì)知，當，時取得最小值，錯；
C：因為，所以，當且僅當，即，時取等號，對；
D：，當且僅當，即，時取等號，對.
故選：CD
52．ACD
【分析】根據(jù)基本不等式求最值后判斷．
【詳解】當時，，當且僅當時等號成立，有最大值，最大值為18，選項A正確；
當時，，設(shè)，則化為，因為，，所以方程有兩不等實根，，只要，則，即方程有兩個不等正根，相應的關(guān)于的方程都有實數(shù)解，所以取任意大的正實數(shù)，都存在使之成立，從而即沒有最大值，選項B錯誤；
當時，，
當且僅當時時有最小值，最小值為－6，選項C正確；
當時，，
當且僅當時等號成立，有最小值，最小值為，選項D正確．
故選：ACD．
53．ACD
【分析】對于A選項，利用基本不等式即可判斷；對于B選項，利用參數(shù)方程即可求解；對于C選項，利用B選項即可求解；對于D選項，令即可求解,
【詳解】對于A選項，由，得，
所以，當且僅當時取“=”，故A正確；
對于B選項，令且，則，
其中，，
又，所以的最大值為1，
所以的最大值，故B錯誤；
對于C選項，由B中的分析知，，
其中，，
又，所以，故C正確；
對于D選項，令，
則，
且，所以當時，取最大，
故D正確.
故選：ACD.
54．
【分析】由已知條件得，利用基本不等式求最小值.
【詳解】，，，
則 ，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為8.
故答案為：8
55．##
【分析】設(shè)，代入，由判別式不小于0可得.
【詳解】設(shè)，
由得，
，解得，
時，，
故答案為：.
56．
【分析】根據(jù)題意，由原式可得，然后結(jié)合基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，，
其中
，當且僅當時，即時，等號成立，此時
即的最小值是.
故答案為：
57．
【分析】依題意得， ，則，由基本不等式求解即可.
【詳解】解：依題意得，，則，
故，
當且僅當時等號成立，又，
解得，
所以的最小值為.
故答案為：.
58．##
【分析】對代數(shù)式結(jié)合已知等式進行變形，再利用基本不等式進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，
因為，，
所以，當且僅當時取等號，即時，有最小值，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用等式把代數(shù)式變形為.
59．8
【分析】通過對變形可得和，然后利用基本不等式可解.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
則，當且僅當時，等號成立.
故答案為：8
答案第1頁，共2頁
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