資源簡介

重難點2-1 指對冪比較大小8大題型
函數“比大小”是非常經典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞．每年高考基本都會出現，難度逐年上升．高考命題中，常常在選擇題中出現，往往將冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等混在一起，進行排序．這類問題的解法可以從代數和幾何方面加以探尋，即利用函數的性質與圖象解答．
【題型1 直接利用單調性比較大小】
滿分技巧 當兩個數都是指數冪或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或冪函數的函數值，然后利用該函數的單調性比較 （1）底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性； （2）指數相同，底數不同，如和，利用冪函數的單調性； （3）底數相同，真數不同，如和，利用指數函數的單調性； （4）除了指對冪函數，其他函數（如三角函數、對勾函數等）也都可以利用單調性比較大小．
【例1】（2023·內蒙古鄂爾多斯·高三期末）
1．已知則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·廣東湛江·高三統考期末）
2．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·天津·高三統考期末）
3．設，，，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·四川攀枝花·統考二模）
4．若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 作差作商法比較大小】
滿分技巧 （1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小； （2）作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法
【例2】（2023·四川成都·校聯考一模）
5．若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）
6．若，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·山東青島·高三萊西市第一中學校聯考期中）
7．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·全國·高三統考階段練習）
8．已知，則正數的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 中間值/估值法比較大小】
滿分技巧 中間值法或1/0比較法：比較多個數的大小時，先利用“0”“1”作為分界點，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小； 估值法：（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區間； （2）可以對區間使用二分法（或利用指對轉化）尋找合適的中間值；
【例3】（2024·天津紅橋·高三統考期末）
9．設，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·河北石家莊·高三校聯考期末）
10．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·山西呂梁·高三校聯考階段練習）
11．設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）
12．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 含變量式子比較大小】
滿分技巧 當比較的幾個數都含參數時，可嘗試把參數取一個具體的實數，通過估算來比較大小．也可通過函數的單調性，結合圖象進行比較．
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考階段練習）
13．設，，，其中，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·河南·模擬預測）（多選）
14．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學校考階段練習）（多選）
15．已知，，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·江蘇鎮江·高三統考期中）
16．已知，，，.則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 構造函數比較大小】
滿分技巧 構造函數，運用函數的單調性比較： 構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”規律，所以可能優先從結構最接近的的兩個數規律 （1）對于抽象函數，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質來“去除f( )外衣”比較大小； （2）有解析式函數，可以通過函數性質或者求導等，尋找函數的單調性、對稱性，比較大小．
【例5】（2023·陜西·高三校聯考階段練習）
17．已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中學校聯考階段練習）
18．設，，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）
19．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·全國·高三課時練習）
20．已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 數形結合比較大小】
滿分技巧 當比較的幾個數都可轉化為兩個函數的零點時，可數形結合，通過函數圖象的交點來比較大小．
【例6】（2024·全國·模擬預測）
21．已知，則實數的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2023·福建·高三校聯考階段練習）
22．已知正實數，，滿足，則以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·江蘇徐州·高三校考階段練習）
23．已知函數，，的零點分別為，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2022·內蒙古呼和浩特·統考二模）
24．若，，，則x、y、z由小到大的順序是 .
【題型7 放縮法比較大小】
滿分技巧 1、放縮法的解題思路： （1）對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數； （2）指數和冪函數結合來放縮； （3）利用均值不等式的不等關系進行放縮； （4）“數值逼近”是指一些無從下手的數據，如果分析會發現非常接近某些整數（主要是整數多一些），那么可以用該“整數”為變量，構造四舍五入函數關系． 2、常見放縮不等式 （1）； （2）；； （3）
【例7】（2024·全國·模擬預測）
25．設，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·云南大理高三模擬）
26．若，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】
27．設，則的大小關系為 .（從小到大順序排）
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）
28．在必修第一冊教材“8.2.1幾個函數模型的比較”一節的例2中，我們得到如下結論：當或時，；當時，，請比較，，的大小關系
A． B． C． D．
【題型8 泰勒展開式比較大小】
滿分技巧 常見函數的麥克勞林展開式： （1） （2） （3） （4） （5） （6）
【例8】（2023·江蘇連云港·高三海州高級中學校考階段練習）
29．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-1】
30．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考）
31．，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2023·云南昆明·高三校考階段練習）
32．設，，，這三個數的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
（建議用時：60分鐘）
（2023·陜西西安·高三校聯考階段練習）
33．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·吉林·統考一模）
34．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽銅陵·高三統考階段練習）
35．設 ，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江蘇連云港·高三統考期中）
36．若，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江·模擬預測）
37．若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川遂寧·統考模擬預測）
38．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·廣東·校聯考二模）
39．若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學校考階段練習）
40．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津濱海新·高三塘沽二中校考階段練習）
41．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東·高三茂名市第一中學校聯考階段練習）
42．已知正數a，b，c滿足，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西·統考模擬預測）
43．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
44．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川·高三南江中學校聯考階段練習）
45．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東汕頭·高三金山中學校考階段練習）
46．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·江蘇南通·高三統考期末）
47．已知函數及其導函數的定義域均為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2022·黑龍江雙鴨山·高三校考期末）
48．設，其中是自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·海南·高三校聯考階段練習）
49．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·云南大理·統考一模）
50．已知，，，則a，b，c的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·湖南邵陽·統考一模）
51．已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·校聯考模擬預測）
52．設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據指數函數與對數函數的性質比較大小.
【詳解】由于是上的減函數，
則，所以，
由于是上的增函數，
則，所以，
由于是上的增函數，
則，所以，
所以.
故選：A.
2．A
【分析】引入中間量，利用函數的單調性，進行大小的比較.
【詳解】因為，，，所以.
故選：A
3．B
【分析】利用指數函數的單調性得到，再利用對數函數的單調性得出，即可求出結果.
【詳解】因為，，易知函數在R上是增函數，
又，所以，
又易知在上是減函數，所以，
綜上，.
故選：B.
4．A
【分析】利用冪函數、指數函數與對數函數的單調性比較大小即可.
【詳解】易知在上單調遞增，則，即，
而由單調遞增，得，即，
又單調遞增，故則.
故選：A
5．D
【分析】先根據指對函數的單調性可得，，，再作商比較的大小，從而可求解.
【詳解】因為，，
令，而，即，所以，
又因為，所以.
故選：D
6．B
【分析】利用指數函數的單調性以及對數函數單調性可判斷范圍，比較它們的大小；利用作商法比較的大小，即可得答案.
【詳解】因為函數在R上單調遞增，所以．
又，所以．
因為，故在上單調遞減，
所以，所以，
所以實數的大小關系為，
故選：B．
7．B
【分析】利用作商法比較與b，利用作差法比較a與b，結合三角函數的圖像與性質可得結論.
【詳解】，，
因為當時，，
所以，則，
，
因為，所以，即，，
綜上，.
故選：B.
8．A
【分析】根據對數式與指數式之間的互化，以及作商法比較大小，即可比較的大小，由對數函數的單調性以及中間值法即可比較三者的大小.
【詳解】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正數的大小關系為.
故選:A.
9．C
【分析】利用指數函數與對數函數的性質，結合臨界值即可得解.
【詳解】依題意，，，，
所以，
故選：C.
10．D
【分析】對、化簡后可得具體的值，對有.
【詳解】，故．
故選：D.
11．B
【分析】根據指數函數和對數函數的單調性進行判斷即可.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
所以．
故選：B
12．A
【分析】利用冪函數和對數函數的性質來判斷即可.
【詳解】冪函數在上單調遞增，故，
又，
所以.
故選：A.
13．D
【分析】利用換元法，結合對數函數的單調性、指數函數的單調性逐一判斷即可.
【詳解】令，，
因為，所以，所以，，，
雖然是單調遞增函數，但是，無法比較大小，
所以a，b的大小無法確定，排除AB，
，（因為，所以取不到等號），
故D正確．
故選：D．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法、指數函數、對數函數的單調性
14．AC
【分析】根據對數函數的單調性可判斷A；根據余弦函數的單調性可判斷B；根據冪函數的單調性可判斷C；根據指數函數的單調性可判斷D.
【詳解】對于A，由，得，又單調遞增，
所以，故A正確；
對于B，由于在上不單調，所以與的大小關系無法確定，故B錯誤；
對于C，由，得，又單調遞增，所以，故C正確；
對于D，由，得，又單調遞增，所以，故D錯誤．
故選：AC．
15．BC
【分析】構造函數，，求導得到其單調性，進而判斷出，進而得到，得到正確答案.
【詳解】A選項，因為，所以，
令，，
則，
因為，所以恒成立，
故在上單調遞減，
故，
則，故A錯誤；
B選項，由A選項可知，
，故B正確；
CD選項，由AB選項可知，，C正確，D錯誤.
故選：BC
【點睛】構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小，本題中要比較出的大小關系，觀察出三個式子的特征，構造出，，從而求出答案.
.
16．A
【分析】作差，構造函數和，，利用導數求解函數的單調性，即可結合三角函數的單調性求解.
【詳解】，∴，，
令，，，
∴在單調遞減，所以，∴，∴.
，
令，，
，在單調遞減，，∴，
∴，∴，
故選：A.
17．A
【分析】先利用指數的運算與冪函數的性質判斷得，再構造函數，利用導數判斷得，從而得解.
【詳解】因為，，所以，則，
因為，，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，則，所以，則．
故選：A.
18．B
【分析】根據的結構特征構造函數，判斷其單調性，即可判斷A；結合指數函數的單調性，判斷B；根據的范圍判斷C，利用基本不等式以及等號成立條件判斷D.
【詳解】設，則，
因為在R上單調遞增，故在R上單調遞減，
所以，即，A錯誤，
因為在R上單調遞減，故，B正確；
由于，即，
故，C錯誤；
，當且僅當時取等號，
但，故，D錯誤，
故選：B
19．A
【分析】根據給定的信息構造函數確定與2的大小關系，構造函數確定與2的大小即得.
【詳解】由，得，令函數，求導得，
則函數在上單調遞減，，因此，
由，得，有，令函數，
求導得，當且僅當時取等號，即函數在單調遞增，
，即，因此，
所以.
故選：A
【點睛】思路點睛：某些數或式大小關系問題，看似與函數的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯系，抓住其本質，構造函數，分析并運用函數的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
20．D
【分析】觀察得到相同結構，從而構造，，變形后，求導得到其單調性，進而比較出大小.
【詳解】，，，
令，，則，
令，，
則，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
又，故在上恒成立，
將中換為可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上單調遞增，
由復合函數單調性可知在上單調遞增，
故，即.
故選：D
【點睛】構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小.
21．D
【分析】由函數單調性，零點存在性定理及畫出函數圖象，得到，得到，求出，根據單調性得到，從而得到答案.
【詳解】令，其在R上單調遞減，
又，
由零點存在性定理得，
則在上單調遞減，
畫出與的函數圖象，

可以得到，
又在R上單調遞減，畫出與的函數圖象，

可以看出，
因為，故，故，
因為，故，
由得，．
綜上，．
故選：D．
【點睛】指數和對數比較大小的方法有：（1）畫出函數圖象，數形結合得到大小關系；
（2）由函數單調性，可選取適當的“媒介”（通常以“0”或“1”為媒介），分別與要比較的數比較大小，從而間接地得出要比較的數的大小關系；
（3）作差（商）比較法是比較兩個數值大小的常用方法，即對兩值作差（商），看其值與0（1）的關系，從而確定所比兩值的大小關系．
22．C
【分析】利用指數、對數函數的性質與函數圖像進行判斷即可.
【詳解】令，可知在單調遞增，
由，
得所以，
由題，，，
令則，所以有，
在平面直角坐標系中分別作出，，，，
由圖像可得，則A錯誤；
對于B，則，即，
由圖像可知，所以，B錯誤；
對于C，，即，因為，
所以，則，故C正確；
對于D，因為，
即且，所以，D錯誤；
故選：C
23．D
【分析】作出圖象得到，再利用指、對函數的關系得到，再一一分析即可.
【詳解】令，即，解得，則，
令，即，令，即，
根據指數函數與對數函數的圖象關于對稱，
所以它們分別與交點的橫坐標互為相反數，且，
所以，故A錯誤，，所以B錯誤；
所以，故C錯誤，
因為，所以，故D正確.
故選：D.
24．
【分析】把給定的三個等式作等價變形，比較函數的圖象與曲線交點的橫坐標大小作答.
【詳解】依題意，，，，，
因此，成立的x值是函數與的圖象交點的橫坐標，
成立的y值是函數與的圖象交點的橫坐標，
成立的z值是函數與的圖象交點的橫坐標，
在同一坐標系內作出函數，的圖象，如圖，
觀察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的順序是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及某些由指數式、對數式給出的幾個數大小比較，可以把這幾個數視為對應的
指數、對數函數與另外某個函數圖象交點橫坐標，利用圖象的直觀性質解決.
25．C
【分析】根據不等式分析可得，根據不等式分析可得，結合指數函數分析可得，進而可得結果.
【詳解】顯然，
且，
令，則對任意恒成立，
則在內單調遞增，可得，即；
所以，且，可知；
令，則對任意恒成立，
則在內單調遞增，可得，即；
所以，可知；
又因為，所以，
故選：C．
26．D
【分析】利用基本不等式和對數的運算法則得到，再利用指數函數單調性結合放縮法得到即可求解．
【詳解】，，，
，，，
，，
，
故選：．
27．
【分析】方法一：構造函數和，求導確定單調性，利用單調性即可比較大小.
【詳解】[方法一]：【最優解】構造函數法
記，則，當時，，故在上單調遞增，故，故，
記，則，當時，，故在單調遞減，故，故，因此．
故答案為：
[方法二]：泰勒公式放縮
，由函數切線放縮得，因此.
故答案為：
【整體點評】方法一：根據式子特征，構造相關函數，利用其單調性比較出大小關系，是該題的通性通法，也是最優解；
方法二：利用泰勒公式以及切線不等式放縮，解法簡潔，但是內容超出教材，不是每一個同學可以掌握．
28．B
【解析】根據題意化簡得，能得出，化為指數根據當或時，判定，將兩邊同時取底數為4的指數，通過放縮比較的進而得出答案.
【詳解】解：因為，，所以，
對于，令，則故
當或時，，所以，即
所以，
將兩邊同時取底數為4的指數得
因為
所以
故選：B.
【點睛】方法點睛：指、對、冪大小比較的常用方法：
（1）底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
（2）指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
（3）底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
（4）底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.
29．D
【分析】法一、構造函數，利用泰勒展開式比較大小；法二構造函數，利用導數求函數單調性判定大小即可.
【詳解】法一、根據題意，構造函數，
則.
由泰勒展開式，，，
所以，，
而，
所以，即；
法二、因為，
所以.
令，則，所以函數在上單調遞增，
所以當時，，即有成立，
所以，得，所以；
因為，所以令，
則，
所以函數在定義域內單調遞增，
所以當時，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
綜上，.
故選：D
30．A
【分析】由結合三角函數的性質可得;構造函數,利用導數可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構造函數
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優解．
31．C
【分析】找中間值進行比較大小，再借助泰勒展開即可比較大小.
【詳解】由題意得，，
因為，所以，
由泰勒展開得
，
，
所以
，
故，綜上所述a，b，c的大小關系是.
故選：C
32．C
【分析】根據誘導公式得到，結合的單調性，比較出，先利用多次求導，得到，，從而得到，比較出.
【詳解】，
∵，而在上單調遞增，
∴
且時，，以下是證明過程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
則，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上單調遞增，
所以，故在上單調遞增，
所以，故在上單調遞增，
所以，故在上單調遞增，
所以，故在上單調遞增，
∴，
∴，
∴.
故選：C．
【點睛】方法點睛：麥克勞林展開式常常用于放縮法進行比較大小，常用的麥克勞林展開式如下：
，
，
，
，
，
.
33．D
【分析】根據指數與對數的單調性即可與中間值比較作答.
【詳解】由可得，
因此可得，故，
故選：D
34．D
【分析】根據指對冪函數的單調性以及中間值進行比較即可.
【詳解】由單調遞減可知：，即；
由單調遞增可知：，即
所以.
故選：D.
35．D
【分析】根據指數函數和對數函數的單調性，求得和，即可求解.
【詳解】由指數函數在定義域上為單調遞增函數，所以，
又由對數函數 在上為單調遞減函數，所以，
所以，即.
故選：D.
36．C
【分析】利用指對函數的單調性與放縮估值法比較大小.
【詳解】由，，
，故最小，
又，
因為，所以，
則有，∴，
故選：C.
37．C
【分析】利用指數、對數函數單調性，結合“媒介數”比較大小即可.
【詳解】依題意，，，即，
而，所以.
故選：C
38．D
【分析】利用中間值法，結合不等式性質、對數函數和三角函數的單調性，可得答案.
【詳解】由，則，所以；
由，且，則，所以；
由，且，則，所以；
由，且，根據函數在上單調遞增，則；
綜上可得，所以.
故選：D.
39．A
【分析】利用作差法比較大小即可得出正確選項.
【詳解】因為，所以.，
因為，
且，所以，所以，所以.故.
故選： A
40．C
【分析】利用對數函數與指數函數的單調性判斷即可得解．
【詳解】因為，所以，
因為，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．
故選：C．
41．C
【分析】根據指數函數、對數函數的性質判斷即可.
【詳解】因為，，即，
因為，，所以，則，
所以，即，
所以.
故選：C
42．D
【分析】利用指數和對數的運算規則和指數函數、對數函數與冪函數的性質，比較大小.
【詳解】
，
,故A錯誤；
，，故BC錯誤，D正確．
故選：D.
43．C
【分析】利用指數的運算性質、對數恒等式、指數函數和對數函數的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.
【詳解】，，，
所以．
故選：C．
44．A
【分析】構造、利用導數研究單調性，即可比較各數的大小.
【詳解】，，．
取，則，，．
設，則，
所以在上單調遞增，則，即，所以．
令，則，
所以在上單調遞增，則，
所以，即，
所以．
故選：A
45．A
【分析】的比較利用零點存在性定理求解零點所在區間，的比較則轉化為兩函數圖象交點的橫坐標大小比較，數形結合由圖可知.
【詳解】由題意知，是函數的零點，
因為，
由，則，
且，
由零點存在性定理知，；
由題意知，是函數的零點，
因為，
且，
由零點存在性定理知，，
故，
由，
得，
作出函數的大致圖象，
如圖所示，數形結合由圖可知．
綜上，.
故選：A.

46．A
【分析】通過作差法結合函數確定差的正負從而來確定的大小；通過作商法然后結合函數確定商的大小從而來確定的大小，最終確定三者大小關系.
【詳解】因為，
所以．
令，則，所以函數在上單調遞增，
所以當時，，即有成立，
所以，得，所以.
因為，所以令，
則，所以函數在上單調遞增，
所以當時，，即有成立，
所以，即，所以，即.
綜上：.
故選：A.
47．C
【分析】方法一：設利用導數得到函數單調性，從而求解；
方法二：設特例法得解.
【詳解】方法一：∵，
∴,
設則在上單調遞減，
所以，
， 即，故C正確．
方法二：設又，C正確．
故選：C
48．A
【分析】變形得，構造函數，利用導數討論其單調性，利用單調性即可得答案.
【詳解】記，則，
當時，，單調遞增，
又，且，
所以，即.
故選：A
49．A
【分析】根據，構造函數，利用導數得出函數單調性即可得解.
【詳解】由，，，
設函數，則，
當時，，單調遞減，
因為，
所以，所以.
故選：A
50．D
【分析】利用構造函數法，結合導數研究所構造函數的單調性，從而確定的大小關系.
【詳解】令，則，，有.
故函數在單調遞增，故，
即，所以，即，
令，則，，有.
故函數在單調遞減，故，即，
所以，即.
綜上：.
故選：D
51．D
【分析】根據題意可得，構建函數，利用導數分析可知在上單調遞增，進而結合對數函數單調性分析判斷.
【詳解】因為，
兩邊取對數得：，
令，
則，
令，則，
可知在上單調遞增，
因為，則，可知恒成立，
則，即，可得，
則在上單調遞增，可得，
可得，即，
又因為在上單調遞增，所以.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：對題中式子整理觀察形式，構建函數，利用導數判斷其單調性.
52．D
【分析】先利用導數證明當時，，再分別利用作商，作差比較法可判斷，，大小.
【詳解】先來證明當時，.
令，，則，
所以函數在上單調遞增，可得，即得；
令，，則，
所以函數在上單調遞增，可得，即得；
所以當時，.
因為，
由，因為，所以，則，所以，
又，所以，
所以.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
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