資源簡介

重難點2-2 抽象函數及其應用8大題型
抽象函數指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一個函數，由抽象函數構成的數學問題叫做抽象函數問題.抽象函數問題能綜合考查學生對函數概念和各種性質的理解，但由于其表現形式的抽象性和多變性，學生往往無從下手，這類問題是高考的一個難點，也是近幾年高考的熱點之一.
【題型1 抽象函數的定義域問題】
滿分技巧求抽象函數的定義域 ①已知的定義域，求的定義域： 若的定義域為，則中，解得的取值范圍即為的定義域； ②已知的定義域，求的定義域： 若的定義域為，則由確定的范圍，即為的定義域； ③已知的定義域，求的定義域: 可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域； ④運算型的抽象函數 求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解法是：先求出各個函數的定義域，再求交集. 注意：求抽象函數的定義域，要明確定義域指的是的取值范圍，同一個下括號內的范圍是一樣的.
【例1】
（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業考試）
1．已知函數的定義域是，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】
（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）
2．若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】
（2023·新疆阿克蘇·高三校考階段練習）
3．已知函數的定義域是，則函數的定義域是 .
【變式1-3】
（2023·福建莆田·高三莆田一中校考開學考試）
4．已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【變式1-4】
（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第三十二中學校校考階段練習）
5．已知函數的定義域是，則函數的定義域是 ．
【題型2 抽象函數的求值問題】
滿分技巧以抽象函數為載體的求值問題的常見形式，是給出函數滿足的特殊條件，指定求出某處的函數值或某抽象代數式的值.常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數的函數值.
【例2】
（2024·山西晉城·統考一模）
6．已知定義在上的函數滿足，，，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式2-1】
（2023·陜西·高三校聯考階段練習）
7．已知函數的定義域為，，且，則（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【變式2-2】
（2023·貴州遵義·高三校考階段練習）
8．已知函數滿足，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【變式2-3】
（2023·全國·高三專題練習）
9．設函數的定義域是，且對任意正實數，y，都有恒成立，已知，則 .
【變式2-4】
（2023·湖北·高三襄陽五中校聯考期中）
10．對于任意的實數、，函數滿足關系式，則 ．
【題型3 抽象函數的解析式問題】
滿分技巧①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數式，從而求出f（x）； ②湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數式，再利用代換即可求； ③待定系數法：已知函數類型， 設定函數關系式， 再由已知條件，求出出關系式中的未知系數； ④利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式； ⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出 的表達式； ⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數（如），將左邊的兩個抽象函數看成兩個變量，變換變量構造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求的解析式.
【例3】
（2023·江蘇揚州·高三統考開學考試）
11．寫出滿足的函數的解析式 ．
【變式3-1】
（2024·海南海口·高一海南中學校考期末）
12．已知函數的定義域為R，且，，請寫出滿足條件的一個 （答案不唯一）．
【變式3-2】
（2023·全國·高三專題練習）
13．定義在R上的函數f(x)滿足，并且對任意實數x，y都有，求的解析式.
【變式3-3】
（2023·江蘇·高一課時練習）
14．設是R上的函數，，并且對于任意的實數都有，求.
【題型4 抽象函數的值域問題】
【例4】
（2024·全國·高三專題練習）
15．若函數的值域是，則函數的值域為 ．
【變式4-1】
（2022·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）
16．已知定義在上的函數滿足，若函數在區間上的值域為，則在區間上的值域是 .
【變式4-2】
（2022·江蘇揚州·高三統考階段練習）
17．已知，且的定義域為，值域為，設函數的定義域為，值域為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】
（2023·湖南·高三祁東縣第一中學校聯考階段練習）
18．已知函數的定義域和值域均為，則（ ）
A．函數的定義域為 B．函數的定義域為
C．函數的值域為 D．函數的值域為
【變式4-4】
（2022·全國·高三課時練習）
19．已知函數的定義域是，值域為，則下列四個函數①；②；③；④，其中值域也為的函數個數是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 抽象函數的單調性問題】
滿分技巧判斷抽象函數單調性的方法： （1）湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結論； （2）賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試. ①若給出的是“和型”抽象函數，判斷符號時要變形為： 或； ②若給出的是“積型”抽象函數，判斷符號時要變形為： 或.
【例5】
（2023·河北·高三泊頭市第一中學校聯考期中）
20．已知函數對于任意x，，總有，當時，，且，則不等式的解集為 ．
【變式5-1】
（2023·江西上饒·高三校考階段練習）
21．已知定義在的函數滿足：當時，恒有，則（ ）
A．
B．函數在區間為增函數
C．函數在區間為增函數
D．
【變式5-2】
（2023·江西上饒·高三婺源縣天佑中學校考期中）
22．已知定義在上的函數滿足：①對，，；②當時，；③.
(1)求，判斷并證明的單調性；
(2)若對任意的，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【變式5-3】
（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）
23．函數的定義域為，對于，，，且當時，．
(1)證明：為減函數；
(2)若，求不等式的解集．
【變式5-4】
（2023·河南·校聯考模擬預測）
24．已知函數對任意實數恒有成立，且當時，.
(1)求的值;
(2)判斷的單調性，并證明;
(3)解關于的不等式:.
【題型6 抽象函數的奇偶性問題】
滿分技巧奇偶性：抽象函數奇偶性判定的根本依據是函數奇偶性的定義，判斷和的關系.
【例6】
（2023·福建寧德·福鼎市第一中學校考模擬預測）
25．已知是定義在上不恒為0的偶函數，是定義在上不恒為0的奇函數，則（ ）
A．為奇函數 B．為奇函數
C．為偶函數 D．為偶函數
【變式6-1】
（2023·云南·校聯考模擬預測）
26．已知，都是定義在上且不恒為0的函數，則（ ）
A．為偶函數
B．為奇函數
C．若為奇函數，為偶函數，則為奇函數
D．若為奇函數，為偶函數，則為非奇非偶函數
【變式6-2】
（2023·江蘇揚州·高三儀征市第二中學校考期中）
27．已知 ，且，則是（　　）
A．偶函數 B．奇函數
C．非奇非偶函數 D．不能確定
【變式6-3】
（2023·重慶·高三統考階段練習）
28．已知定義在上的函數滿足，定義在上的函數滿足，則（ ）
A．不是奇函數
B．既是奇函數又是偶函數
C．是奇函數
D．既不是奇函數又不是偶函數
【變式6-4】
（2023·河北保定·高三校聯考階段練習）
29．已知定義在上的函數滿足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判斷的奇偶性，并證明．
【題型7 抽象函數的周期性問題】
滿分技巧函數周期性的常用結論（是不為0的常數） （1）若，則； （2）若，則； （3）若，則； （4）若，則； （5）若，則； （6）若，則（）；
【例7】
（2023·河南·高三校聯考階段練習）
30．已知函數的定義域為R，對任意實數，都滿足且，，當時，，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】
（2023·重慶開州·高三重慶市開州中學校考階段練習）
31．已知函數的定義域為，且對任意實數，滿足，若，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式7-2】
（2024·福建廈門·統考一模）
32．已知函數的定義域為，，，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式7-3】
（2024·浙江寧波·高三統考期末）
33．已知函數的定義域為，且，，則（ ）
A．2024 B． C． D．0
【變式7-4】
（2023·陜西咸陽·高三統考期中）
34．已知函數的定義域為，且，，則 .
【題型8 抽象函數的對稱性問題】
滿分技巧1、軸對稱： （1）函數關于直線對稱 （2）函數關于直線對稱. 2、中心對稱： （1）函數關于點對稱； （2）函數關于點對稱 3、函數的奇偶性和對稱性的關系： （1）若為奇函數，則關于對稱； （2）若為偶函數，則關于對稱； （3）若為奇函數，則關于對稱； （4）若為偶函數，則關于對稱.
【例8】
（2023·河北·石家莊一中校聯考模擬預測）
35．已知對任意實數x，y，函數(不是常函數）滿足，則（ ）
A．有對稱中心 B．有對稱軸
C．是增函數 D．是減函數
【變式8-1】
（2023·四川南充·高三南充高級中學校考階段練習）
36．已知定義在上的函數滿足，且與曲線交于點，，…，，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】
（2024·湖南邵陽·統考一模）
37．已知函數與其導函數的定義域均為，且和都是奇函數，且，則下列說法正確的有（ ）
A．關于對稱 B．關于對稱
C．是周期函數 D．
【變式8-3】
（2024·河南漯河·高三統考期末）
38．已知函數及其導函數的定義域均為，若函數為奇函數，函數為偶函數，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-4】
（2024·湖南邵陽·統考一模）
39．已知函數與其導函數的定義域均為，且與均為偶函數，則下列說法一定正確的有（ ）
A．關于對稱 B．關于點對稱
C． D．
（建議用時：60分鐘）
（2022·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）
40．若函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）
41．若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·高三校聯考階段練習）
42．下列函數中，滿足的為（ ）
A． B． C． D．
（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）
43．已知函數滿足：，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
44．已知函數定義域為，對，恒有，則下列說法錯誤的有（ ）
A． B．
C． D．若，則周期為
（2023·福建·校聯考模擬預測）
45．已知函數的定義域為，且對任意非零實數，都有.則函數是（ ）
A．奇函數 B．偶函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
（2023·江蘇南通·高三統考階段練習）
46．已知是定義在上的偶函數，是定義在上的奇函數，且在單調遞減，則（ ）
A．在單調遞減 B．在單調遞減
C．在單調遞減 D．在單調遞減
（2024·新疆烏魯木齊·統考一模）
47．若函數的定義域為，且，，則（ ）
A． B．為偶函數
C．的圖象關于點對稱 D．
（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）
48．已知不恒為0的函數，滿足，都有．則（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．為偶函數
（2024·廣東汕頭·高三統考期末）
49．已知定義在上的函數滿足：，，且當時，，若，則（ ）
A． B．在上單調遞減
C． D．
（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考階段練習）
50．寫出一個滿足：的函數解析式為 .
（2023·四川瀘州·統考一模）
51．若函數對一切實數，都滿足且，則 ．
（2023·全國·模擬預測）
52．若函數的定義域為，且，，則 ．
（2023·遼寧·高三校聯考開學考試）
53．定義在R上的函數對任意，都有，當時，.
(1)求的值；
(2)試判斷在R上的單調性，并說明理由；
(3)解不等式.
（2023·四川綿陽·高三江油中學校考階段練習）
54．已知函數對任意，，總有，且當時，，．
(1)求證：是上的奇函數；
(2)求證：是上的減函數；
(3)若，求實數的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由函數定義域的概念及復合函數定義域的求解方法運算求解即可.
【詳解】因為函數的定義域是，所以，
所以，所以函數的定義域為，
所以要使函數有意義，則有，解得，
所以函數的定義域為.
故選：A.
2．C
【分析】利用抽象函數定義域的求解原則可求出函數的定義域，對于函數，可列出關于的不等式組，由此可得出函數的定義域.
【詳解】因為函數的定義域為，則，可得，
所以，函數的定義域為，
對于函數，則有，解得，
因此，函數的定義域為.
故選：C.
3．
【分析】根據函數定義域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，函數的定義域是，
所以對于函數來說，有，
所以函數的定義域是.
故答案為：
4．
【分析】利用給定的函數有意義，列不等式求解作答.
【詳解】函數的定義域為，則由有意義，
得，解得，即，
所以函數的定義域為.
故答案為：
5．
【分析】利用函數的定義，結合復合函數定義域求法即得.
【詳解】因為函數的定義域為，
所以，則，
所以函數的定義域為，
故答案為：.
6．B
【分析】對于抽象函數的關系式，可考慮對進行賦值，借助于建立方程組，求解即得.
【詳解】令，得，即①
因②，聯立①②解得：或，又，所以．
故選：B.
7．C
【分析】根據解析式賦值代入，解得;
【詳解】令，解得，
然后逐項帶入，解得：
，
故選：C.
8．A
【分析】分別令，，得出與的關系后可得結論．
【詳解】令，得；
令，，得；
令，得.
將以上三式相加得，即.
故選：A．
9．－1
【分析】賦值得到，然后代入求解即可.
【詳解】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案為：.
10．
【分析】先令，可得恒成立，再用賦值法即可得答案.
【詳解】依題意，取，有，則恒成立，
取，則.
故答案為：.
11．
【分析】利用賦值法可得函數解析式.
【詳解】中，令，得；
令得，故，
則．
故答案為：．
12．1,（答案不唯一）
【分析】根據所給條件分析函數為偶函數，取特殊函數可得答案.
【詳解】令，則，
又，
所以，即，
所以函數為偶函數，
不妨取偶函數，則，
也可取，則，滿足題意.
故答案為：,（答案不唯一）
13．
【分析】對進行賦值，解方程求得的解析式.
【詳解】對任意實數，，，
令，得，即，
又，所以.
14．
【分析】利用賦值法可求的解析式.
【詳解】由已知條件得，又，
設，則，
所以即
∴.
此時,
而,
符合題設要求，故.
15．
【分析】根據的值域是，分步求出的值域.
【詳解】因為函數的值域是，
所以函數的值域為，
則的值域為，
所以函數的值域為．
故答案為：．
16．
【分析】根據函數關系式可得，分別求，， ，，上的值域，進而可得結果.
【詳解】因為是上周期為1的函數，
，
故對任意的整數，
當時，，
而，
即，
故當，
當，
當，
當，
當，
當，
當，
當.
則在的值域是
故答案為：.
17．C
【分析】根據已知可推得的定義域與值域，然后即可得出，根據交集的運算得出答案.
【詳解】由已知的定義域為，值域為，
可得的定義域為，值域為，
所以，
所以，所以，.
所以，.
故選:C.
18．ABC
【分析】根據抽象函數的定義域列不等式求解判斷AB；求出抽象函數的值域判斷CD.
【詳解】函數中的x需滿足，解得，
故函數的定義域為，故A正確；
函數中的x需滿足解得，
故函數的定義域為，故B正確；
函數和的值域都為，故C正確，D錯誤．
故選：ABC．
19．B
【分析】求出①②③④中各函數的值域，即可得出合適的選項.
【詳解】對于①，因為，則，①不滿足條件；
對于②，對于函數，，則函數的值域為，②滿足條件；
對于③，因為，則，③滿足條件；
對于④，因為，，則，④滿足條件.
故選：B.
20．
【分析】利用賦值法判定函數的奇偶性與單調性，再根據條件求出，根據單調性解不等式即可.
【詳解】令得，
令，得，則為奇函數，
設，則，
因為當時，，所以，則，
所以在R上單調遞增．
由，得，
所以．
可化為，所以，
解得．
故答案為：
21．ABD
【分析】利用構造函數結合函數的單調性對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，當時，恒有，
令，則，
所以A選項正確.
不妨設，
設，，
由于，所以，
所以，，
所以在為增函數，所以B選項正確.
設的符號無法判斷，
所以的單調性無法判斷，所以C選項錯誤.
由上述分析可知，函數在為增函數，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以
，所以D選項正確.
故選：ABD
【點睛】利用函數單調性的定義證明函數的單調性，首先要在函數定義域的給定區間內，任取兩個數，且，然后通過計算的符號，如果，則在給定區間內單調遞增；如果，則在給定區間內單調遞減.
22．(1)；在上的單調遞增，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用賦值法求解函數值，利用函數的單調性證明即可；
（2）把恒成立問題轉化為，再利用函數單調性轉化為，分類討論，判別式法求解即可.
【詳解】（1）令，得，
解得；在上的單調遞增.
證明如下：任取，即，
則，
因為時，，所以時，，
所以在上的單調遞增.
（2）令，得，
因為，所以，
不等式等價于，
即；
因為在上單調遞增，所以恒成立，
①時，，解得，不等式并非在上恒成立；
②時，只有滿足條件，解得.
綜上可得.
23．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據函數單調性的定義及當函數中時，的性質即可證明；
（2）由抽象函數的性質化簡，結合函數單調性及定義域列出不等式組可得解.
【詳解】（1）設，且，
則，，
因為，
所以，
即為減函數.
（2）因為，
所以，
令，則，即，
所以，
又因為在上單調遞減，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
24．(1)
(2)是上的減函數，證明見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）根據題意，令，即可求得；
（2）令，得到，所以為奇函數，在結合題意和函數單調性的定義和判定方法，即可求解；
（3）化簡不等式為，結合函數的單調性，把不等式轉化為，結合一元二次不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：因為函數對任意實數恒有成立，
令，則，所以.
（2）解：函數為上的減函數.
證明:令，則，所以，故為奇函數.
任取，且，則，
因為當時，，所以，
所以
，即，所以是上的減函數.
（3）解：根據題意，可得，
由（2）知在上單調遞減，所以，
即，可得，
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
25．BCD
【分析】根據已知，利用奇函數、偶函數的性質進行判斷.
【詳解】由題意可知，，所以，所以為偶函數，A項錯誤；
由，得，所以為奇函數，B項正確；
因為，所以為偶函數，C項正確；
因為，所以為偶函數，D項正確.
故選：BCD.
26．AD
【分析】根據奇函數和偶函數的定義判斷即可.
【詳解】選項A：
設，
因為是定義在上的函數，所以的定義域為，
，所以為偶函數，故A正確；
選項B：
，
因為是定義在上的函數，所以的定義域為，，所以為偶函數，故B錯誤；
選項C：
設，
因為，都是定義在上的函數，所以的定義域為，
因為為奇函數，為偶函數，所以，
所以為偶函數，故C錯誤；
選項D：
設，
因為，都是定義在上的函數，所以的定義域為，，
因為是不恒為0的函數，
所以不恒成立，所以不是奇函數，，
因為是不恒為0的函數，所以不恒成立，
所以不是偶函數，所以是非奇非偶函數，故D正確，
故選：AD.
27．A
【分析】由賦值法得出，再由，結合定義判斷即可.
【詳解】取，則，因為，所以.
取，則，即.
即函數是偶函數.
故選：A
28．BC
【分析】根據，對取特殊值，分別根據奇函數與偶函數的定義可判斷的奇偶性，根據可得，進而可得奇偶性.
【詳解】令，得，令，得，則，
所以既是奇函數又是偶函數．
由，得，
因為，所以是奇函數．
故選：BC
29．(1)，，
(2)偶函數，證明見解析
【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得，
（2）令，再結合（1）的結果和奇偶性的定義可得結論.
【詳解】（1）令，得，
因為，所以．
令，得，
因為，所以．
令，得，
即，
因為，所以，所以．
（2）為偶函數．
證明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定義域為，所以為偶函數．
30．C
【分析】由題得出函數的周期性和奇偶性，即可求解.
【詳解】由，有，可得，所以的周期為2．
令，代入，可得，所以，
故函數為奇函數，
所以
因為，所以，所以．
故選：C
31．B
【分析】利用賦值法，結合周期性求得正確答案.
【詳解】因為且，
令，，
則，故，即，
所以：，，
所以函數是周期為6的周期函數.
在中，
令，，得，則；
令，，得，則；
由得：，，，，所以
故由函數的周期性知中，
任意連續6個數之和為，而，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：對于抽象函數求值的問題，解題方法主要有兩個，一個是賦值法，根據已知條件進行賦值，可求得相關的函數值，由此來對問題進行求解；第二個是利用周期性進行求值，函數周期性的表現形式有很多，但最重要的是.
32．A
【分析】利用賦值法對進行賦值結合函數的周期可得答案.
【詳解】令，得，即，
令，得，得，所以函數為偶函數，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得與已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函數的周期為4.
.
故選：A.
33．D
【分析】根據表達式得出規律，即可求出的值.
【詳解】由題意，
在中， 定義域為，，
當時，，解得：，
當時，，
即
當時，，解得：，
當時，，解得：，
當時，，解得：，
……函數值周期性變化，周期為3，
∵，
可得：
，
故選：D.
34．
【分析】利用賦值法，結合周期性求得正確答案.
【詳解】依題意，，，
令得，
所以，則，
，
所以，
所以是周期為的周期函數.
令，則，
，
，
，所以，
因為，所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是采用賦值法結合已知條件得到函數的周期性，利用函數的周期性求值.
35．B
【分析】依題意取特值即可求解.
【詳解】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的圖象關于直線關于對稱，
故選：B.
36．B
【分析】根據函數的對稱性即可求解.
【詳解】由可得，
所以關于對稱，
又關于對稱，
因此，
故選：B
37．ACD
【分析】對于A,根據為奇函數，得到關系式，兩邊求導即可判斷；對于B，利用的圖象可以由向左平移1個單位即可判斷；對于C,根據是奇函數及關于對稱得到關系式，綜合分析即可求得周期；對于D,結合已知條件可求得的值，進一步計算即可.
【詳解】因為為奇函數，所以，
所以，即，
所以的圖象關于直線對稱.故A正確；
因為為奇函數，則其圖象關于對稱，
向左平移一個單位后得到的圖象，
則的圖象關于對稱，故B錯誤；
因為為奇函數，則，
則有，
所以①,
又，
則②,
由①②，
則，
則，，
則，
所以8是函數的一個周期.，
是周期函數，故C正確；
因為，，
所以，
，
所以，
故D正確，
故選：ACD.
38．BC
【分析】由為奇函數，可知，可得函數圖像關于直線對稱，再由，可得，函數圖像關于點對稱，再代入特值，可判斷各選項.
【詳解】由為奇函數可得，即，
，即，即，
所以函數的圖像關于直線對稱，
由是偶函數可得為奇函數，
，
即，
所以函數的圖像關于點對稱；
將代入，得，
將代入，得，B選項正確；
將代入得，得，A選項錯誤；
，C選項正確；
將代入，得，故，，D選項錯誤.
故選：BC.
39．BC
【分析】根據已知得出關于對稱.假設關于對稱，求導即可得出矛盾；根據偶函數的性質，得出，兩邊同時除以，即可判斷B；根據已知，結合導函數得出關于對稱，也關于對稱，即可得出，，進而推得，即可得出C項；根據已知，無法確定.
【詳解】對于A項，因為為偶函數，
所以關于對稱.
若關于對稱，則導函數關于點對稱，
這與關于對稱矛盾，所以A錯誤；
對于B項，因為為偶函數，
所以，即，
所以，所以B正確；
對于C項，因為為偶函數，
所以為奇函數，
所以關于對稱，關于對稱，所以.
又關于對稱，所以.
所以，，
所以，故C正確；
對于D項，由A知，關于點對稱，.
但無法確定.故D錯誤.
故選：BC.
40．C
【分析】先由函數的定義域為求出的定義域，再由可得答案.
【詳解】函數的定義域是
滿足，即，
又分母不為0，則，
所以函數的定義域為：
故選：C.
41．D
【分析】由函數的定義域，求出的定義域，即可得出答案.
【詳解】由題意可知，所以，所以的定義域為，
從而的定義域為.
故選：D.
42．B
【分析】方法1：令，證明，找到滿足此條件的函數；
方法2：令，得，找到滿足條件的選項．
【詳解】（方法1）令，則，．
由于，即，
所以．
而滿足的函數有對數函數（，），
所以，只有B選項符合題意，其它選項均不符合．
（方法2）令，則，得．在四個選項中，只有B選項滿足，其它選項均不符合．
故選：B
43．A
【分析】賦值法得到，進而得到，即是以6為周期的函數，且得到，從而利用函數周期性求解出.
【詳解】，
令得：，
因為，所以，
令，得：，
即，
則，
上面兩式子聯立得：，
所以，
故，
故是以6為周期的函數，
且
，
所以
故選：A
44．A
【分析】利用賦值法求判斷A；賦值法結合函數奇偶性的定義判斷B；賦值法結合換元法判斷C；利用賦值法求得，化簡得，即可判斷D.
【詳解】由，
令，，有，
可得或，A錯；
當時，令，
則，，
函數既是奇函數又是偶函數，，
當時，令，
則，則，
函數是偶函數，，
綜上，B正確；
令，則，
故，
由于，令，即，
即有，C正確；
若，令，
則，
所以，
則，
，
所以，
則周期為，D正確.
故選：A
45．B
【分析】由非零實數的任意性，利用等式，賦值或賦式可得偶函數，再利用特殊函數驗證排除法可得.
【詳解】令，則，所以.
令，則，所以.
令，，則，
所以為偶函數，故排除D選項；
由題意可知，函數滿足定義域為，
且對任意非零實數，
都有，
符合題意，但不為奇函數，故排除AC.
故選：B.
46．D
【分析】舉反例排除A、B、C，令即可，然后根據已知條件證明在上分別單調遞增、單調遞減，從而由單調性的定義即可判斷D選項正確.
【詳解】不妨設，滿足題意，
此時在單調遞增，故A選項錯誤；
在單調遞增，故B選項錯誤；
在單調遞增，故C選項錯誤；
對于D選項，因為是定義在上的偶函數，是定義在上的奇函數，
所以有，
又在單調遞減，且當時，有，
所以由復合函數單調性可知，在上分別單調遞增、單調遞減，
不失一般性，不妨設，則，，
所以在單調遞減，故D選項正確.
故選：D.
47．BCD
【分析】對于A，令,可得；對于B，令，可得，即可判斷；對于C，令得，再令即可判斷；對于D，根據條件可得,繼而，進一步分析可得函數周期為4，分析求值即可.
【詳解】對于A，令，則，
因為，所以，則，
故A錯誤；
對于B，令，則，
則，故B正確；
對于C，令得，，
所以，
令得，，
則的圖象關于點對稱，故C正確；
對于D，由得，
又，所以，
則，，
所以，則函數的周期為，
又，，
則，
，
則，
所以，
故D正確，
故選：BCD.
48．BD
【分析】令和，即可判斷選項AB；令，即可判斷選項CD.
【詳解】令，則，∴或1．
令，則，若，則，與不恒為0矛盾，∴，∴選項B正確選項A錯誤；
令，則，∴，∴為偶函數，∴選項D正確選項C錯誤.
故選：BD．
49．AC
【分析】利用賦值法可判斷AC；利用函數單調性的定義，結合題設條件可判斷B，利用條件推得，從而利用累加法與等差數列的求和公式可判斷D.
【詳解】對于A，因為，，
令，得，則，故A正確；
對于C，令，得，則，
所以，故C正確；
對于B，設且，則，
則 ，
因為當時，，所以，即
所以在上單調遞增，故B錯誤；
對于D，令，得，
則，，，，
上述各式相加，得，
又，
所以，故D錯誤；
故選：AC.
50．
【分析】賦值法得到，，求出函數解析式.
【詳解】中，令，解得，
令得，故，
不妨設，滿足要求.
故答案為：
51．
【分析】直接利用賦值法即可求得結果.
【詳解】由題知，，
令，，
則，
所以.
故答案為：
52．
【分析】利用賦值法依次求得，再利用賦值法推得的周期為12，從而利用函數的周期性即可得解.
【詳解】因為，
令，有，則或．
若，則令，，
有，得，與已知矛盾，所以．
令，有，
則，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，
所以的周期為12．
又因為，
所以．
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用賦值法推得的周期性，從而得解.
53．(1)
(2)在R上單調遞增，理由見解析
(3)
【分析】（1）賦值法求出；
（2）設，則，從而得到，故，得到在R上單調遞增；
（3）變形得到，結合在R上單調性，得到不等式，求出解集.
【詳解】（1）令，可得，解得.
（2）在R上單調遞增，理由如下：
設，則，
，
因為當時，，所以，
則，即.
故在R上單調遞增；
（3），
即，
因為在R上單調遞增，所以，解得，
故原不等式的解集為.
54．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用進行賦值，即可得到函數奇偶性.
（2）結合定義法證明在上的增減性.
（3）利用單調性和奇偶性進行不等式的變形，之后借助單調性進行不等式的求解.
【詳解】（1）證明：函數對任意，，總有，令，則，解得.
令，得到，則
可證，是上的奇函數.
（2）證明：在上任取、且，則，
由（1）是上的奇函數，
所以，
因為，所以.
由題可知，當時，，
所以.即
所以函數是上的減函數.
（3）因為，
令，則
令，則.
因為，
所以
又因為函數是上的減函數，
所以，則，解得，
則實數的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：在對抽象函數進行奇偶性求解時，可先進行賦值計算，再令代入即可判斷函數的奇偶性.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑