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第6章 實數(shù) 學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平方根、立方根、無理數(shù)、實數(shù)的概念及性質(zhì).
2.掌握平方根、立方根及實數(shù)的簡單運算.
3.通過本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)與總結(jié)，形成本章的知識體系，提高分析、解決問題的能力.
【學(xué)法指導(dǎo)】
1.自主學(xué)習(xí)，建立本章知識結(jié)構(gòu)體系.
2.合作探究，培養(yǎng)應(yīng)用知識解決問題的能力.
【自主學(xué)習(xí)】
1.請整理出本章知識結(jié)構(gòu)圖.
2.在本章的學(xué)習(xí)過程中，用到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法，請舉例說明.
【合作學(xué)習(xí)，課內(nèi)探究】
對點練習(xí)1
的算術(shù)平方根是（ ）
A． B． C． D．
對點練習(xí)2
下列說法不正確的是（ ）
A．的算術(shù)平方根是 B．是的一個平方根
C．是的立方根 D．的立方根是
對點練習(xí)3
1.在，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的大括號里：
①②③④⑤⑥⑦⑧（兩個“3”之間依次多一個“0”）
非負(fù)整數(shù)集合：{______}；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{______}；
無理數(shù)集合：{______}；
易錯題辨析
1. 的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
2.的立方根為（ ）
A． B．4 C．8 D．
典例講解
例 (1)計算： ．
(2) 計算：
解題方法總結(jié)：
綜合小測試
1.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
2．的算術(shù)平方根是（　　）
A． B． C． D．
3.一個正方體木塊的體積是，現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，每個小正方體木塊的棱長是（ ）
A． B． C． D．
4.下列各式計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5.如圖，已知正方形的面積為5，頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．現(xiàn)以A為圓心，為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點E（E在A的左側(cè)），則點E表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6.實數(shù)，，，，，，.中，無理數(shù)的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7.已知 ，則 ．
8.的立方根是 ，的平方根是 ．
9.用“”定義新運算：對于任意實數(shù)，都有，如果，那么等于 ．
10.一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．例如：若，則或．
(1)根據(jù)上述平方根的意義，試求方程的解．
(2)自由下落物體的高度（單位：米）與下落時間（單位：秒）的關(guān)系是，若有一個物體從離地米高處自由落下，求這個物體到達(dá)地面所需的時間．
11.（1）計算：；
（2）已知．求x的值．
能力拓展
1.若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為，求的值.
【答案】或
2.已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整數(shù)部分．
(1)求的平方根；
(2)若x是的小數(shù)部分，求的值．
學(xué)習(xí)反思
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第6章 實數(shù) 學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平方根、立方根、無理數(shù)、實數(shù)的概念及性質(zhì).
2.掌握平方根、立方根及實數(shù)的簡單運算.
3.通過本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)與總結(jié)，形成本章的知識體系，提高分析、解決問題的能力.
【學(xué)法指導(dǎo)】
1.自主學(xué)習(xí)，建立本章知識結(jié)構(gòu)體系.
2.合作探究，培養(yǎng)應(yīng)用知識解決問題的能力.
【自主學(xué)習(xí)】
1.請整理出本章知識結(jié)構(gòu)圖.
2.在本章的學(xué)習(xí)過程中，用到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法，請舉例說明.
【答案】（1）逆向思維方法，例如在證明是無理數(shù)時，利用假設(shè)是有理數(shù)的反證法
類比思維方法，如循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的方法探究
形象思維方法，例如用數(shù)軸表示無理數(shù)并比較大小
（4）系統(tǒng)思維方法，例如在探究實數(shù)分類過程中。
【合作學(xué)習(xí)，課內(nèi)探究】
對點練習(xí)1
的算術(shù)平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的概念，一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可解決問題．
【詳解】解：，
的算術(shù)平方根是．
故選：A．
對點練習(xí)2
下列說法不正確的是（ ）
A．的算術(shù)平方根是 B．是的一個平方根
C．是的立方根 D．的立方根是
【答案】C
【分析】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義，分析每一個選項，只有選項符合題意，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
、的算術(shù)平方根是，說法正確，故本選項不符合題意；
、是的一個平方根，說法正確，故本選項不符合題意；
、是的立方根，選項說法不正確，故本選項符合題意；
、的立方根是，說法正確，故本選項不符合題意，
故選：．
對點練習(xí)3
1.在，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．由題意直接根據(jù)無理數(shù)的定義，進行分析即可得出答案．
【詳解】解：實數(shù)，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數(shù)有、、…（每兩個之間依次多一個），共計個，
故選：C．
2.把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的大括號里：
①②③④⑤⑥⑦⑧（兩個“3”之間依次多一個“0”）
非負(fù)整數(shù)集合：{______}；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{______}；
無理數(shù)集合：{______}；
【答案】①④；②⑥⑦；③⑤⑧
【分析】本題考查實數(shù)的分類．根據(jù)非負(fù)整數(shù)：0和正整數(shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：小于0的分?jǐn)?shù)；無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)，作答即可．
【詳解】解：；
非負(fù)整數(shù)集合：{①④}；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{②⑥⑦}；
無理數(shù)集合：{③⑤⑧}；
故答案為：①④；②⑥⑦；③⑤⑧．
易錯題辨析
1. 的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)平方根的定義進行求解即可，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：B
2.的立方根為（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】A
【分析】本題考查的是求解一個數(shù)的立方根，由可得答案，熟記立方根的含義是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：的立方根為；
故選A
典例講解
例 (1)計算： ．
(2) 計算：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）本題考查有理數(shù)的混合運算，除法變乘法，利用乘法分配律進行計算即可；
（2）本題考查實數(shù)的混合運算．先化簡各數(shù)，再進行加減運算即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）原式．
解題方法總結(jié)：
實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數(shù)及零可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用。
綜合小測試
1.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】解；A、，原式計算正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選A．
2．的算術(shù)平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是算術(shù)平方根必須是正數(shù)，注意平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別．直接根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】解：
故選：A．
3.一個正方體木塊的體積是，現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，每個小正方體木塊的棱長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了立方根的計算，先計算每個立方體的體積，再求立方根計算即可．
【詳解】解：一個正方體木塊的體積是，將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，
則每個小正方體木塊的體積為，
所以每個小正方體木塊的棱長是，
故選：A．
4.下列各式計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義，以及立方根的定義，熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵．正數(shù)有一個正的算術(shù)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根；正數(shù)有一個正的立方根，負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，0的立方根是0．根據(jù)算術(shù)平方根的定義可判斷A，B，C，根據(jù)立方根的定義可判斷D．
【詳解】解：A．，故錯誤；
B．，故錯誤；
C．，故錯誤；
D．，故正確．
故選：D．
5.如圖，已知正方形的面積為5，頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．現(xiàn)以A為圓心，為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點E（E在A的左側(cè)），則點E表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸及兩點間距離，根據(jù)兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數(shù)是關(guān)鍵．根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得，結(jié)合A點所表示的數(shù)及間距離可得點E所表示的數(shù)．
【詳解】解：∵正方形的面積為5，且，
∴，
∵點A表示的數(shù)是，且點E在點A的左側(cè)，
∴點E表示的數(shù)為．
故選：C．
6.實數(shù)，，，，，，.中，無理數(shù)的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
【詳解】解：，
實數(shù)，，，，，，．中，無理數(shù)有，，共個．
故選：B．
7.已知 ，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，代入所求的式子計算即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
解得，
∴．
故答案為：4．
8.的立方根是 ，的平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方根的定義、立方根的定義，根據(jù)平方根的定義、立方根的定義進行求解即可得．熟練掌握各相關(guān)定義以及求解方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】的立方根是，
的平方根是．
故答案為：，．
9.用“”定義新運算：對于任意實數(shù)，都有，如果，那么等于 ．
【答案】
【分析】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義新運算，進行解答，即可．
【詳解】∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案為：．
10.一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．例如：若，則或．
(1)根據(jù)上述平方根的意義，試求方程的解．
(2)自由下落物體的高度（單位：米）與下落時間（單位：秒）的關(guān)系是，若有一個物體從離地米高處自由落下，求這個物體到達(dá)地面所需的時間．
【答案】(1)或
(2)秒
【分析】本題考查平方根及應(yīng)用，
（1）由平方根的知識可得，從而求出方程的解；
（2）將代入，得到，再根據(jù)平方根的定義求出t的值即可；
熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：，
，
∴或；
（2）根據(jù)題意，得：，
∴，
∴或（負(fù)值不符合題意，舍去），
答：這個物體到達(dá)地面所需的時間為秒．
11.（1）計算：；
（2）已知．求x的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)冪的運算、去絕對值符號、立方根、算術(shù)平方根的運算法則計算即可；
（2）先利用立方根計算，最后計算結(jié)果即可．
【詳解】解：（1）
；
（2），
，
，
．
【點睛】本題考查冪的運算、去絕對值符號、立方根、算術(shù)平方根、運用立方根解方程；掌握相應(yīng)的運算法則是解決本題的關(guān)鍵；計算冪的時候要注意底數(shù)的符號；計算立方根及算術(shù)平方根時要準(zhǔn)確識別被開方數(shù)．
能力拓展
1.若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為，求的值.
【答案】或
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算、相反數(shù)的定義、絕對值的性質(zhì)等：先根據(jù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為，得，再代入，即可作答．
【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為，
∴，
那么；
或；
綜上：的值為或．
2.已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整數(shù)部分．
(1)求的平方根；
(2)若x是的小數(shù)部分，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的概念求出，再估算出得到，據(jù)此求出，再由平方根的概念即可得到答案；
（2）由得到，再根據(jù)實數(shù)的運算法則求解即可．
【詳解】（1）解：∵a的平方根是，b的立方根是2，
∴，
∵，
∴，
∴的整數(shù)部分是3，
∴，
∴，
∴的平方根為；
（2）解；∵，
∴的小數(shù)部分為，即，
∴．
【點睛】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，根據(jù)平方根和立方根求一個數(shù)，無理數(shù)整數(shù)部分和小數(shù)部分有關(guān)的計算，實數(shù)的運算等等，熟知平方根，立方根，以及無理數(shù)的估算方法和實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
學(xué)習(xí)反思
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你還什么疑惑？
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