資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.1.1平方根
【學習目標】
1.從實際問題的需要出發，引進平方根概念，體現從實際到理論、具體到抽象這樣一個一般的認識過程，初步培養辯證唯物主義觀點；
2.從求二次冪的平方運算引出求平方根的運算，突出平方運算和開平方運算的互逆性；
3.扣住定義去思考問題，重視解題技巧；正確區分平方根與算術平方根的關系。
【學習過程】
（一）知識銜接
1.說出下列各式的結果：
　　；　　　；　　　；　　　；　　．
2.填空：
； ；　 ；
要剪出一塊面積為25cm的正方形紙片，紙片的邊長應是多少
（二）基礎自清
1、平方根的定義：
如果一個數的 等于a，那么 叫做a的平方根，a的平方根記作 。
2、平方根的性質：
①正數a的平方根有 個，它們互為 ，記作
②0 的平方根有 個，就是 ；
③負數 平方根。
3、算術平方根：
正數的 ，叫做的算術平方根。記作 ，讀作“ ”
另一個平方根是 ，即 。
正數的平方根可以記作 ，其中稱為 。
4、開平方：求一個非負數的 的運算，叫作開平方。開平方的結果是 ，開平方與平方互為逆運算。
（三）探究 合作 展示
1、試一試
（1）4的平方根是 （2） 0的平方根是
（3）的平方根是 （4）0.36的平方根是
（5） －４有沒有平方根 為什么
（6） 3的平方根是 ，11的平方根是 。
2、求100的平方根．
解：因為（ ）2＝100，(-10)2＝（ ），除了10和－10以外，任何數的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以說，100的平方根是±（ ）.
3、交流互動： (1) 正數的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3)負數有平方根嗎？為什么？
請同學們概括并記憶有理數的平方根的性質．
（一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有一個平方根，是0本身；負數沒有平方根．）
精典例題
判斷下列各數是否有平方根，為什么
25；； 0.0169; -64.
求下列各數的平方根和算術平方根:
(1) 1; (2)81; (3) 64; (4) ( -3)2.
利用計算器我們可以求一個正數的算術平方根或它的近似值。
例3 利用計算器求下列各式的值(精確到0. 01):
(1); (2); (3) -; （4）
例4 如圖6-3,跳水運動員要在空中下落的短暫過程中完成一系列高難度的動作.如果不考慮空氣阻力等其他因素影響,彈跳到最高點后，人體下落到水面所需要的時間t與下落的高度h之間應遵循下面的公式:
h=gt2,
其中h的單位是m,t的單位是s, g =9.8m/s2.假設跣板的高度是3 m,運動員在跳板上跳起至高出跳板1.2 m處開始下落,那么運動員下落到水面約需多長時間
說明：求一個數的平方根時，根號前的“±”號一定要寫，它是區別平方根和算術平方根的主要特征．
合作探究
下列各式中哪些有意義？哪些無意義？
（四）達標測評
1.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
2.的算術平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
3.一個正數的平方根是與，則m的值是 ，這個正數是 ．
4.求下列各數的平方根：
(1)121 (2)
(3)(-13)2 (4)
5.已知的平方根是，的平方根是他本身，求的平方根．
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6.1.1平方根
【學習目標】
1.從實際問題的需要出發，引進平方根概念，體現從實際到理論、具體到抽象這樣一個一般的認識過程，初步培養辯證唯物主義觀點；
2.從求二次冪的平方運算引出求平方根的運算，突出平方運算和開平方運算的互逆性；
3.扣住定義去思考問題，重視解題技巧；正確區分平方根與算術平方根的關系。
【學習過程】
（一）知識銜接
1.說出下列各式的結果：
　　；　　　；　　　；　　　；　　．
【答案】9，9，，，0
2.填空：
； ；　 ；
【答案】+3；+;+0.6;0
要剪出一塊面積為25cm的正方形紙片，紙片的邊長應是多少
【答案】5cm
（二）基礎自清
1、平方根的定義：
如果一個數的 等于a，那么 叫做a的平方根，a的平方根記作 。
【答案】平方，這個數，
2、平方根的性質：
①正數a的平方根有 個，它們互為 ，記作
②0 的平方根有 個，就是 ；
③負數 平方根。
【答案】兩個，相反數，+
3、算術平方根：
正數的 ，叫做的算術平方根。記作 ，讀作“ ”
另一個平方根是 ，即 。
正數的平方根可以記作 ，其中稱為 。
【答案】正的平方根，，根號a,負的平方根，-；
，被開方數
4、開平方：求一個非負數的 的運算，叫作開平方。開平方的結果是 ，開平方與平方互為逆運算。
【答案】平方根，平方根
（三）探究 合作 展示
1、試一試
（1）4的平方根是 （2） 0的平方根是
（3）的平方根是 （4）0.36的平方根是
（5） －４有沒有平方根 為什么
（6） 3的平方根是 ，11的平方根是 。
【答案】（1）+2 （2）0 （3） （4）0.6
沒有，因為沒有一個數的平方是負數
，
2、求100的平方根．
解：因為（ ）2＝100，(-10)2＝（ ），除了10和－10以外，任何數的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以說，100的平方根是±（ ）.
【答案】10，100，10，-10，10
3、交流互動： (1) 正數的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3)負數有平方根嗎？為什么？
【答案】（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數
（2）0
（3）沒有，因為沒有一個數的平方是負數
請同學們概括并記憶有理數的平方根的性質．
（一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有一個平方根，是0本身；負數沒有平方根．）
精典例題
判斷下列各數是否有平方根，為什么
25；； 0.0169; -64.
解：因為正數和零都有平方根,負數沒有平方根,所以25, ,0.0169都有平方根; -64沒有平方根.
求下列各數的平方根和算術平方根:
(1) 1; (2)81; (3) 64; (4) ( -3)2.
解(1) 因為(±1)2 =1,所以1的平方根是1,即
±= ±1;1的算術平方根是1.
(2)因為( +9)2=81,所以81 的平方根是土9,即
土=±9;81的算術平方根是9.
(3)因為( ±8)2 =64,所以64的平方根是±8,即
±=±8;64的算術平方根是8.
(4) (-3)2 =9.
因為( ±3)2 =9,所以9的平方根是±3,也就是( -3)2的平方根是±3,即± = ±3;(-3)2的算術平方根是3
利用計算器我們可以求一個正數的算術平方根或它的近似值。
例3 利用計算器求下列各式的值(精確到0. 01):
(1); (2); (3) -; （4）
解：(1)在計算器上依次鍵入:顯示結果是1.414213562,精確到0.01,得 1.41.
(2) 42.78.
(3) - 0.94.
(4)在計算器上依次鍵入:
即可得0.85
例4 如圖6-3,跳水運動員要在空中下落的短暫過程中完成一系列高難度的動作.如果不考慮空氣阻力等其他因素影響,彈跳到最高點后，人體下落到水面所需要的時間t與下落的高度h之間應遵循下面的公式:
h=gt2,
其中h的單位是m,t的單位是s, g =9.8m/s2.假設跣板的高度是3 m,運動員在跳板上跳起至高出跳板1.2 m處開始下落,那么運動員下落到水面約需多長時間
解: 設運動員下落到水面約需ts，根據題意,得
3 +1.2 =x9.8r2,
r2=
r=0.93.
因而，運動員下落到水面約需0.93s。
說明：求一個數的平方根時，根號前的“±”號一定要寫，它是區別平方根和算術平方根的主要特征．
合作探究
下列各式中哪些有意義？哪些無意義？
【答案】有意義的是：-，；和無意義。
（四）達標測評
1.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了求一個數的算術平方根和平方根，根據算術平方根和平方根的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】解；A、，原式計算正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選A．
2.的算術平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
【答案】D
【分析】根據算術平方根的定義求解即可．
本題主要考查了算術平方根，解題的關鍵是熟練掌握負數沒有平方根，算術平方根的定義．
【詳解】∵沒有平方根，算術平方根是正數正的平方根，
∴沒有算術平方根，即不存在．
故選：D．
3.一個正數的平方根是與，則m的值是 ，這個正數是 ．
【答案】
【分析】本題考查平方根的性質，根據一個正數的平方根有兩個，互為相反數，得到，求出的值，進而求出這個數即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：，
∴；
故答案為：，．
4.求下列各數的平方根：
(1)121 (2)
(3)(-13)2 (4)
【答案】（1）因為(±11)2=121，所以121的平方根是±11；
（2），因為， 所以的平方根是；
（3）(-13)2=169，因為(±13)2=169，所以(-13)2的平方根是±13；
（4）-(-4)3=64，因為(±8)2=64，所以-(-4)3的平方根是±8．
5.已知的平方根是，的平方根是他本身，求的平方根．
【答案】平方根
【分析】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵．利用平方根求出和的值，確定出的值，即可確定出平方根．
【詳解】解：∵的平方根是，的平方根是他本身，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的平方根為．
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