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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第四章 三角形與四邊形
第七節(jié) 多邊形與平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 多邊形的內(nèi)角和與外角和 ☆ 多邊形與平行四邊形是歷年中考考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計(jì)算的可能性比較大。中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等(相似)、函數(shù)、解直角三角形等綜合考查的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。
考點(diǎn)2 平行四邊形的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3平行四邊形的判定及簡(jiǎn)單綜合 ☆☆☆
1．n邊形以及四邊形的性質(zhì)：
多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.
多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成
了 個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為
多邊形內(nèi)角和定理：
(1)n邊形的內(nèi)角和為 ，外角和為 .
(2)四邊形的內(nèi)角和為 ，外角和為 ，對(duì)角線條數(shù)為 ．
(3)正多邊形的定義：各邊 、各內(nèi)角也 的多邊形叫做正多邊形．
2．平行四邊形的性質(zhì)及判定：
平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形的表示：用符號(hào)“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
(1)性質(zhì)：
①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別 ．
②平行四邊形的對(duì)角 ，鄰角 ．
③平行四邊形的對(duì)角線 ．
④平行四邊形是 對(duì)稱圖形．
(2)判定：
①定義：兩組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形．
②一組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形．
③兩組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形．
④兩組對(duì)角 的四邊形是平行四邊形．
⑤對(duì)角線 的四邊形是平行四邊形．
3．三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的 ．
4．在兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做 ．夾在兩條平行線間的平行線段 ．
■考點(diǎn)一　多邊形的內(nèi)角和與外角和
◇典例1：（2023 桐廬縣一模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（　?。?br/>A．5 B．6 C．7 D．8
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 湖州）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中∠A的度數(shù)是 　 　度．
2．（2021 衢州）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為 　?。?br/>■考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)
◇典例2：（2021 長(zhǎng)興縣模擬）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上按如下操作：連結(jié)AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心畫弧，交于M，N兩點(diǎn)，直線MN與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AF，CE．若AC＝4，EF＝2，則AE的長(zhǎng)是 　 ?。?br/>◆變式訓(xùn)練
1．（2023 濱江區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD＝BC，∠ABC＝110°，點(diǎn)E在BC上，∠BDE＝16°，則∠DEC的度數(shù)是（　?。?br/>A．54° B．56° C．76° D．124°
2．（2023 柯城區(qū)校級(jí)一模）如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16cm，AC，BD相交于點(diǎn)O，EO⊥BD交AD于點(diǎn)E，則△ABE的周長(zhǎng)為（　?。?br/>A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．（2023 溫州一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的長(zhǎng)．
■考點(diǎn)三 平行四邊形的判定及簡(jiǎn)單綜合
◇典例3：（2023 臨安區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的長(zhǎng)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 濱江區(qū)二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)你認(rèn)為合適的，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
問題：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，若 　 ?。ㄕ?qǐng)?zhí)钚蛱?hào)），求證：四邊形ABCD為平行四邊形．
2．（2021 溫州）如圖，在 ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
1．（2023 杭州二模）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（　　）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
2．（2023 義烏市模擬）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（　?。?br/>A．平行四邊形 B．長(zhǎng)方形 C．正方形 D．三角形
3．（2022 文成縣一模）如圖 ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，則AC的長(zhǎng)為（　　）
A．10 B．2 C．5 D．2
4．（2022 舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（　?。?br/>A．32 B．24 C．16 D．8
5．（2023 天臺(tái)縣一模）如圖，在 ABCD中，∠ADC的平分線DE交邊AB于點(diǎn)E．若EB＝2，CD＝6，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022 路橋區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，P是AB的中點(diǎn)．若OP＝4，AP＝3，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（　?。?br/>A．12 B．14 C．22 D．28
7．（2023 定海區(qū)模擬）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，且滿足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，則EF的長(zhǎng)為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022 嘉興一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，則△EFC的周長(zhǎng)為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2023 樂清市模擬）如圖，在 ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，EF∥AD，交CD于點(diǎn)F，連接BF，在BF上取點(diǎn)G，過點(diǎn)G作HI∥AD，分別交DC，AB于點(diǎn)H，I，過點(diǎn)G作JK∥AB，分別交AD，EF，BC于點(diǎn)J，K，L．記四邊形DJKF面積為S1，四邊形KEIG面積為S2，四邊形FKGH面積為S3，四邊形GIBL面積為S4，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得出：S1＝S2+S3．若S1+S2＝S4，AB＝4，則KG的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 麗水）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是 　 　．
11．（2023 蕭山區(qū)模擬）將一個(gè)正八邊形與一個(gè)正六邊形如圖放置，頂點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共線，E為公共頂點(diǎn)．則∠FEG＝　 　．
12．（2022 富陽(yáng)區(qū)一模）如圖，平移圖形M，與圖形N可以拼成一個(gè)平行四邊形，則圖中α的度數(shù)是　 　°．
13．（2021 寧波模擬）如圖，已知 ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，則△OCD的周長(zhǎng)為 　 　．
14．（2023 縉云縣一模）如圖，AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，AC⊥BC，點(diǎn)E在AB上，連接CE，分別延長(zhǎng)CE，DA交于點(diǎn)F，若CE＝EF＝4，則CD的長(zhǎng)為 　　．
15．（2021 浙江）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長(zhǎng)為 　　．
16．（2022 錢塘區(qū)二模）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、DC的中點(diǎn)，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，則 ABCD的周長(zhǎng)為 　?。?br/>17．（2022 拱墅區(qū)一模）問題：如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，DF．若____，求證：BE＝DF．
在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并完成問題的解答．
18．（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
19．（2022 平陽(yáng)縣一模）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)BE．
（1）求證：△DEA≌△CEF；
（2）若BF＝CD，∠D＝52°，求∠ABE的度數(shù)．
20．（2021 紹興）問題：如圖，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．
（2）把“問題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．
1．（2023 慶元縣一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（　?。?br/>A．10 B．16 C．20 D．40
2．（2021 宜賓）下列說法正確的是（　?。?br/>A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等
C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
3．（2023 成都）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br/>A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
4．（2023 邵陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（　?。?br/>A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
5．（2022 益陽(yáng)）如圖，在 ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023 瀘州）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023 舟山一模）如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點(diǎn)A，B．小嘉在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個(gè)結(jié)論：
①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；
②四邊形ABCD是對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（　　）
A．①②都正確 B．①錯(cuò)誤，②正確
C．①②都錯(cuò)誤 D．①正確，②錯(cuò)誤
8．（2022 赤峰）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論一定成立的是（　　）
A．四邊形ABCD周長(zhǎng)不變 B．AD＝CD C．四邊形ABCD面積不變 D．AD＝BC
9．（2023 海南）如圖，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長(zhǎng)為（　　）
A．6 B．4 C． D．
10．（2023 諸暨市模擬）如圖， ABCD中AB＞AD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上異于端點(diǎn)的四點(diǎn)，滿足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分別為AH，BF上異于端點(diǎn)的兩點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)O為線段MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)M出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N后停止，連接EH，OE，OH，OF，OG，當(dāng)圖中存在△OEH與四邊形OFCG時(shí)，隨著點(diǎn)O的移動(dòng)，兩者的面積之和變化趨勢(shì)為（　　）
A．先變大再變小 B．先變小再變大 C．一直不變 D．以上都不對(duì)
11．（2021 寧波模擬）如圖， ABCD的一個(gè)外角∠CDE是140°，則∠B的大小是　　°．
12．（2022 江北區(qū)模擬）如圖： ABCD的周長(zhǎng)是28cm，△ABC的周長(zhǎng)是22cm，則AC的長(zhǎng)為　　cm．
13．（2023 佳木斯一模）如圖，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　 ?。ㄖ惶硪粋€(gè)即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．
14．（2021 永嘉縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC邊上，以CE，CD為邊作 DCEF，若∠F＝70°，則∠A的度數(shù)為 　　度．
15．（2023 四平模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，連接BD，作BD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接BE，則△BCE的周長(zhǎng)是 　 　cm．
16．（2023 浠水縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，3），B（2，﹣1），C（4，4），若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為　 ?。?br/>17．（2022 永嘉縣三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿DC方向勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向勻速向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，記ED＝x，則△CEF的面積為 　 ?。ㄓ煤瑇的代數(shù)式表示）．
18．（2023 歷城區(qū)模擬）如圖，在 ABCD中，AD＝2AB，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，作AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)E在線段CD上，連接EF、AF，下列結(jié)論：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正確的是　?。?br/>19．（2020 衢州模擬）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
20．（2022 余杭區(qū)一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD這三個(gè)條件選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，若 　?。ㄟx擇①，②，③中的一項(xiàng)）
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
21．（2022 義烏市模擬）浙教版教材八年級(jí)下冊(cè)第5章“4.2平行四邊形及其性質(zhì)（3）”中有這樣一道例題：
如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的長(zhǎng)．請(qǐng)你完成求解過程．
小明的解題過程如下：在平行四邊形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴第①步∵AC⊥BC∴第②步∴第③步∴第④步
你認(rèn)為他的解題過程正確嗎？若正確，請(qǐng)?jiān)儆闷渌椒ㄇ蟪鯞D的長(zhǎng)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤（從第幾步開始錯(cuò)），并求出正確的BD長(zhǎng)．
22．（2023 溫州二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE至F，使EF＝2DE，連結(jié)BE，CF，BF，其中BF與AC相交于G．
（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．
（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的長(zhǎng)．
23．（2022 溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．
備考指南
知識(shí)導(dǎo)圖
知識(shí)清單
考點(diǎn)梳理
真題在線
專項(xiàng)練習(xí)
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第四章 三角形與四邊形
第七節(jié) 多邊形與平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 多邊形的內(nèi)角和與外角和 ☆ 多邊形與平行四邊形是歷年中考考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計(jì)算的可能性比較大。中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等(相似)、函數(shù)、解直角三角形等綜合考查的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。
考點(diǎn)2 平行四邊形的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3平行四邊形的判定及簡(jiǎn)單綜合 ☆☆☆
1．n邊形以及四邊形的性質(zhì)：
多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.
多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n 2) 180°（n≥3）.
(1)n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°(n≥3)，外角和為360°.
(2)四邊形的內(nèi)角和為360°，外角和為360°，對(duì)角線條數(shù)為 2 ．
(3)正多邊形的定義：各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形．
2．平行四邊形的性質(zhì)及判定：
平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形的表示：用符號(hào)“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
(1)性質(zhì)：
①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等．
②平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．
③平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．
(2)判定：
①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．
⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
3．三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
4．在兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離．夾在兩條平行線間的平行線段相等．
■考點(diǎn)一　多邊形的內(nèi)角和與外角和
◇典例1：（2023 桐廬縣一模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（　?。?br/>A．5 B．6 C．7 D．8
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】D
【點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為x，根據(jù)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系以及任意多邊形的外角和等于360度，得180°（x﹣2）＝360°×3，從而解決此題．
【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為x．
由題意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系、任意多邊形的外角和，熟練掌握多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系、任意多邊形的外角和等于360度是解決本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 湖州）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中∠A的度數(shù)是 　36　度．
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】36．
【點(diǎn)撥】正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，根據(jù)正多邊形及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠A的度數(shù)．
【解析】解：如圖，
∵正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，
∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案為：36．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確理解五邊形FGHMN是正五邊形是解題關(guān)鍵．
2．（2021 衢州）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為 　72°　．
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】72°．
【點(diǎn)撥】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCA和∠CBD，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案為：72°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算公式和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)
◇典例2：（2021 長(zhǎng)興縣模擬）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上按如下操作：連結(jié)AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心畫弧，交于M，N兩點(diǎn)，直線MN與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AF，CE．若AC＝4，EF＝2，則AE的長(zhǎng)是 　?。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】．
【點(diǎn)撥】由作圖可知：MN是AC的垂直平分線，即可得AE＝CE，AF＝CF，通過證明△AOE≌△AOF（ASA），可證明四邊形ABCD為菱形，進(jìn)而可求解AO，EO的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求解AE的長(zhǎng)．
【解析】解：由作圖可知：MN是AC的垂直平分線，
∴AE＝CE，AF＝CF，∠AOE＝∠AOF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
∴四邊形ABCD為菱形，
∵AC＝4，EF＝2，
∴AO＝AC＝2，EO＝EF＝1，
∴AE＝．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖﹣?zhàn)骶€段的垂直平分線，證明四邊形ABCD為菱形時(shí)解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 濱江區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD＝BC，∠ABC＝110°，點(diǎn)E在BC上，∠BDE＝16°，則∠DEC的度數(shù)是（　　）
A．54° B．56° C．76° D．124°
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出∠C＝70°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BDC，進(jìn)而求出∠CDE，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°．
∵∠ABC＝110°，
∴∠C＝70°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝70°．
∵∠BDE＝16°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝70°﹣16°＝54°．
在△CDE中，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C＝180°﹣54°﹣70°＝56°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，確定各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 柯城區(qū)校級(jí)一模）如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16cm，AC，BD相交于點(diǎn)O，EO⊥BD交AD于點(diǎn)E，則△ABE的周長(zhǎng)為（　?。?br/>A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知BE＝DE，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可計(jì)算△ABE的周長(zhǎng)．
【解析】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO為BD的垂直平分線，
根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周長(zhǎng)＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×16＝8cm．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BE＝DE，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目較好，難度適中．
3．（2023 溫州一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AAS證明△ADF≌△CBE即可；
（2）利用三角函數(shù)求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）在Rt△ADF中，
∵∠DAF＝30°，DF＝2，
∴．
在Rt△DFC中，
∵，DF＝2，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三 平行四邊形的判定及簡(jiǎn)單綜合
◇典例3：（2023 臨安區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理．
【答案】（1）見解析；
（2）BC的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到AC∥DE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB＝∠DEB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，求得BE＝5，于是得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∴cos∠ACB＝cos∠DEB＝＝，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，
∴BE＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝3，
故BC的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 濱江區(qū)二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)你認(rèn)為合適的，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
問題：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，若 ?、凇。ㄕ?qǐng)?zhí)钚蛱?hào)），求證：四邊形ABCD為平行四邊形．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定．
【答案】②．
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可．
【解析】解：添加AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD與△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案為：②．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形解答．
2．（2021 溫州）如圖，在 ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】（1）證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再證∠ECF＝∠CBE，則tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，進(jìn)而得出答案．
【解析】（1）證明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
設(shè)AE＝3a，則BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
設(shè)EF＝x，則BF＝x+4，
∴32＝x（x+4），
解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
1．（2023 杭州二模）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（　?。?br/>A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【考點(diǎn)】多邊形．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長(zhǎng)邊逐項(xiàng)判定即可．
【解析】解：A、∵2+2+2＝6＞5，
∴此三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、∵1+1+5＝7＜8，
∴此三條線段與長(zhǎng)度為5的線段不能組成四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵1+2+2＝5，
∴此三條線段與長(zhǎng)度為5的線段不能組成四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵1+1+1＝3＜5，
∴此三條線段與長(zhǎng)度為5的線段不能組成四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 義烏市模擬）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（　　）
A．平行四邊形 B．長(zhǎng)方形 C．正方形 D．三角形
【考點(diǎn)】多邊形；三角形的穩(wěn)定性．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．
【解析】解：長(zhǎng)方形，正方形，三角形，平行四邊形中只有三角形具有穩(wěn)定性．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是掌握在所有的圖形里，只有三角形具有穩(wěn)定性，也是三角形的特性．
3．（2022 文成縣一模）如圖 ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，則AC的長(zhǎng)為（　　）
A．10 B．2 C．5 D．2
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】A
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求AO的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)．
【解析】解：∵ ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵BD＝6，
∴BO＝3，
∵AB⊥BD，AB＝4，
∴AO＝＝5，
∴AC＝2OA＝10，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，是中考常見題型，比較簡(jiǎn)單．
4．（2022 舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（　?。?br/>A．32 B．24 C．16 D．8
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可以得到四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根據(jù)AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長(zhǎng)．
【解析】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，
∵四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EF+FG+AG，
∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AB+AC＝8+8＝16，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，將平行四邊形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB和AC的關(guān)系．
5．（2023 天臺(tái)縣一模）如圖，在 ABCD中，∠ADC的平分線DE交邊AB于點(diǎn)E．若EB＝2，CD＝6，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∵∠ADC的平分線DE交邊AB于點(diǎn)E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BC＝AD＝AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC解答．
6．（2022 路橋區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，P是AB的中點(diǎn)．若OP＝4，AP＝3，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（　　）
A．12 B．14 C．22 D．28
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝OC，由三角形的中位線的性質(zhì)可求AB，BC的長(zhǎng)，即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝OC，
又∵P是AB的中點(diǎn)，
∴AB＝2AP＝6，BC＝2OP＝8，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（6+8）＝28，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 定海區(qū)模擬）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，且滿足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，則EF的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．7 B．8 C．9 D．10
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD＝4，AB∥CD，通過證明四邊形ABDE是平行四邊形，可得AB＝DE＝4，由等腰三角形的判定可證CE＝EF＝8．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC，
又∵∠ABC＝∠F，
∴∠F＝∠ECF，
∴EF＝CE，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB＝DE＝4，
∴CE＝8＝EF，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
8．（2022 嘉興一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，則△EFC的周長(zhǎng)為（　?。?br/>A．8 B．9 C．10 D．11
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】A
【點(diǎn)撥】由題意可證△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出各邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求得AG的長(zhǎng)度，繼而可得出AE的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長(zhǎng)度，最后即可求出△EFC的周長(zhǎng)．
【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠AFD，∠DAF＝∠AEB，
∵AF為∠BAD的角平分線，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠AFD＝∠EAD，∠BAE＝∠AEB，∠CEF＝∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB＝6，AD＝9，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴CE＝CF＝3．
∵BG⊥AE，BG＝4，
由勾股定理可得：AG＝＝2，
∴AE＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴，
∴EF＝2，
∴△EFC的周長(zhǎng)＝EF+FC+CE＝8．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及的知識(shí)較多，比較麻煩，注意掌握性質(zhì)的運(yùn)用．
9．（2023 樂清市模擬）如圖，在 ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，EF∥AD，交CD于點(diǎn)F，連接BF，在BF上取點(diǎn)G，過點(diǎn)G作HI∥AD，分別交DC，AB于點(diǎn)H，I，過點(diǎn)G作JK∥AB，分別交AD，EF，BC于點(diǎn)J，K，L．記四邊形DJKF面積為S1，四邊形KEIG面積為S2，四邊形FKGH面積為S3，四邊形GIBL面積為S4，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得出：S1＝S2+S3．若S1+S2＝S4，AB＝4，則KG的長(zhǎng)為（　?。?br/>A． B． C． D．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積．
【答案】C
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形對(duì)邊相等，和平行四邊形的面積等于底×高，根據(jù)題意列出方程組，求出KG的長(zhǎng)．
【解析】解：過點(diǎn)D作高h(yuǎn)1，過點(diǎn)K作高h(yuǎn)2，
設(shè)KG＝a，
∵AB＝4，E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝2，
∴EI＝a，BI＝2﹣a，
∵S1＝S2+S3，
∴2h1＝ah1+ah2，
∴h1＝，
∵S1+S2＝S4，
∴2h1+ah2＝（2﹣a）h2，
∴2×+ah2＝（2﹣a）h2，
解得，a1＝2+，a2＝2﹣，
∵a1不合題意，舍去，
∴a＝2﹣．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，和平行四邊形的面積，及一元二次方程的解法，掌握平行四邊形的性質(zhì)和面積公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2021 麗水）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是 　6或7?。?br/>【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】首先求得內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)，過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后邊數(shù)不變或減少1，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【解析】解：設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
∵多邊形過頂點(diǎn)截去一個(gè)角后邊數(shù)不變或減少1，
∴原多邊形的邊數(shù)為6或7，
故答案為：6或7．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟知一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)截去一個(gè)角后它的邊數(shù)不變或減少1是解題的關(guān)鍵．
11．（2023 蕭山區(qū)模擬）將一個(gè)正八邊形與一個(gè)正六邊形如圖放置，頂點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共線，E為公共頂點(diǎn)．則∠FEG＝　30°?。?br/>【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】30°．
【點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，分別得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解析】解：由多邊形的內(nèi)角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的內(nèi)角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案為：30°．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2022 富陽(yáng)區(qū)一模）如圖，平移圖形M，與圖形N可以拼成一個(gè)平行四邊形，則圖中α的度數(shù)是　30　°．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．
【答案】30
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)解答．
13．（2021 寧波模擬）如圖，已知 ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，則△OCD的周長(zhǎng)為 　24?。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】24．
【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理得出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC＝6，
∵AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，
∴OB＝，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝8，OA＝OC＝6，OB＝OD＝10，
∴△OCD的周長(zhǎng)＝6+8+10＝24，
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，屬于中考基礎(chǔ)題．
14．（2023 縉云縣一模）如圖，AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，AC⊥BC，點(diǎn)E在AB上，連接CE，分別延長(zhǎng)CE，DA交于點(diǎn)F，若CE＝EF＝4，則CD的長(zhǎng)為 　8?。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】8．
【點(diǎn)撥】四邊形ABCD是平行四邊形則AD∥BC，AD＝BC，得到∠F＝∠BCE，∠EAF＝∠B，由CE＝EF＝4，則可證明△BCE≌△AFE（AAS），得到BC＝AF，則AD＝AF，再證AC垂直平分DF，則CD＝CF＝CE+EF，即可得到答案．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠F＝∠BCE，∠EAF＝∠B，
∵CE＝EF＝4，
∴△BCE≌△AFE（AAS），
∴BC＝AF，
∴AD＝AF，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AC垂直平分DF，
∴CD＝CF＝CE+EF＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形性質(zhì)、垂直平分線的定義和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2021 浙江）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長(zhǎng)為 　?。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】．
【點(diǎn)撥】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出AC和OB的長(zhǎng)，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長(zhǎng)．
【解析】解：如圖，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB AH＝OA AB，即＝，
解得AH＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等面積思想等，熟知等面積法是解題關(guān)鍵．
16．（2022 錢塘區(qū)二模）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、DC的中點(diǎn)，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，則 ABCD的周長(zhǎng)為 　?。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．
【答案】．
【點(diǎn)撥】連接AC、過點(diǎn)C作CM∥BF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證四邊形BMCF為矩形，得∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8，再由勾股定理求出AM長(zhǎng)，得出AB的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，即可求出平行四邊形的周長(zhǎng)．
【解析】解：如圖，連接AC、過點(diǎn)C作CM∥BF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴四邊形BMCF為平行四邊形，
∵BF⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴四邊形BMCF為矩形，
∴∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8，
∵E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，
∴，
∵EF＝5，
∴AC＝10，
∴，
∵AB＝CD＝2CF＝2BM，
∴，
∴CF＝2，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022 拱墅區(qū)一模）問題：如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，DF．若____，求證：BE＝DF．
在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并完成問題的解答．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】選①，證明見解析．
【點(diǎn)撥】由四邊形ABCD是平行四邊形得BO＝DO，加上條件OE＝OF，從而得出四邊形BEDF為平行四邊形，從而有BE＝DF．
【解析】解：選①，如圖，連接BF，DE，BD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝DO，
∵OA＝OC，AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BE＝DF．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023 杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．
【答案】（1）見解析過程；
（2）△CFO的面積為1．
【點(diǎn)撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，BO＝DO，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面積＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022 平陽(yáng)縣一模）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)BE．
（1）求證：△DEA≌△CEF；
（2）若BF＝CD，∠D＝52°，求∠ABE的度數(shù)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】（1）見解析；
（2）26°．
【點(diǎn)撥】（1）利用中點(diǎn)定義可得DE＝CE，再用平行四邊形的性質(zhì)，證明△ADE≌△FCE，即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝FC，AE＝EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵E是邊CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
在△DEA和△CEF中，
，
∴△DEA≌△CEF（ASA）；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，AE＝EF，
∵BF＝CD，
∴BF＝AB，
∴∠ABE＝∠FBE＝＝26°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等．
20．（2021 紹興）問題：如圖，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．
（2）把“問題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】（1）①10；②5；
（2）或或2．
【點(diǎn)撥】（1）①證∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；
②由題意得DE＝AD＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；
（2）分三種情況，由（1）的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，分別求解即可．
【解析】解：（1）①如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如圖2所示：
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴EF＝DC＝5；
（2）分三種情況：
①如圖3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如圖4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如圖5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
綜上所述，的值為或或2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
1．（2023 慶元縣一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（　?。?br/>A．10 B．16 C．20 D．40
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；多邊形的對(duì)角線．
【答案】C
【點(diǎn)撥】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求出這個(gè)多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對(duì)角線計(jì)算公式求解即可．
【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，
由題意得，＝1080°，
∴n＝8，
∴這個(gè)多邊形為八邊形，
∴這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對(duì)角線計(jì)算公式，熟知n邊形的對(duì)角線條數(shù)是是解題的關(guān)鍵．
2．（2021 宜賓）下列說法正確的是（　　）
A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等
C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的對(duì)稱性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解析】解：A、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形而是中心對(duì)稱圖形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
B、平行四邊形的鄰邊不等，對(duì)邊相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
C、平行四邊形對(duì)角線互相平分，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、平行四邊形對(duì)角線互相平分，正確，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是熟悉平行四邊形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的概念．
3．（2023 成都）如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形的性質(zhì)一一判斷即可解決問題．
【解析】解：A、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，但不一定相等，不合題意；
B、正確．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，符合題意；
C、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角線不一定垂直，不合題意；
D、錯(cuò)誤．平行四邊形的對(duì)角相等，但鄰角不一定相等，不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 邵陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022 益陽(yáng)）如圖，在 ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．5 B．4 C．3 D．2
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，則BE＝5，再判定四邊形DEFC是平行四邊形，則DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解析】解：在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵，平行四邊形的判定；（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊平行判定）；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
6．（2023 瀘州）如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根據(jù)DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，從而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，進(jìn)一步可得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理可得EO＝PB，即可求出EO的長(zhǎng)．
【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，
∴EO是△DPB的中位線，
∴EO＝PB＝1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 舟山一模）如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點(diǎn)A，B．小嘉在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個(gè)結(jié)論：
①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；
②四邊形ABCD是對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（　?。?br/>A．①②都正確 B．①錯(cuò)誤，②正確
C．①②都錯(cuò)誤 D．①正確，②錯(cuò)誤
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)作圖過程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以證明四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而可以解決問題．
【解析】解：根據(jù)作圖過程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝CB，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴四邊形ABCD對(duì)角線互相垂直．
∴①錯(cuò)誤，②正確．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．
8．（2022 赤峰）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論一定成立的是（　?。?br/>A．四邊形ABCD周長(zhǎng)不變 B．AD＝CD C．四邊形ABCD面積不變 D．AD＝BC
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由條件可知AB∥CD，AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，可得到AD＝BC．
【解析】解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)；證明四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
9．（2023 海南）如圖，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．6 B．4 C． D．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再證∠ABE＝∠AEB，則AE＝AB＝8，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF＝ED＝2，則EF＝2，CF＝6，即可解決問題．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝8，
∵AE＝2ED，
∴2ED＝8，
∴ED＝4，
如圖，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
則∠EFC＝∠EFD＝90°，
∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴DF＝ED＝2，
∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，
∴CE＝＝＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 諸暨市模擬）如圖， ABCD中AB＞AD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上異于端點(diǎn)的四點(diǎn)，滿足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分別為AH，BF上異于端點(diǎn)的兩點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)O為線段MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)M出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N后停止，連接EH，OE，OH，OF，OG，當(dāng)圖中存在△OEH與四邊形OFCG時(shí)，隨著點(diǎn)O的移動(dòng)，兩者的面積之和變化趨勢(shì)為（　?。?br/>A．先變大再變小 B．先變小再變大 C．一直不變 D．以上都不對(duì)
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積．
【答案】C
【點(diǎn)撥】連接OD，BO，設(shè)點(diǎn)O到CD的距離為h1，到BE的距離為h2，到AD的距離h3，到BC的距離為h4，根據(jù)CD為定值，h1+h2，h3+h4是平行四邊形ABCD的高，均為定值，得S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均為定值，根據(jù)△AEH的邊長(zhǎng)是定值，得S△AEH也為定值，所以可得△OEH與四邊形OFCG的面積之和不變．
【解析】解：如圖，連接OD，BO，
設(shè)點(diǎn)O到CD的距離為h1，到BE的距離為h2，到AD的距離h3，到BC的距離為h4，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
∵CG＝AE＝1，
∴DG＝BE，
∴S△DOG+S△BOE＝DG h1+BE h2＝DG （h1+h2）＝（CD﹣1）（h1+h2），
S△DHO+S△BFO＝DH h3+BF h4＝2h3+2h4＝h3+h4，
∵CD為定值，h1+h2，h3+h4是平行四邊形ABCD的高，均為定值，
∴S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均為定值，
∵△AEH的邊長(zhǎng)是定值，
∴S△AEH也為定值，
∵△OEH與四邊形OFCG的面積之和為：平行四邊形ABCD的面積﹣（S△DOG+S△BOE）﹣（S△DHO+S△BFO）﹣S△AEH，平行四邊形ABCD的面積為定值，
∴△OEH與四邊形OFCG的面積之和保持不變，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，割補(bǔ)法求陰影部分的面積．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，利用割補(bǔ)法表示出陰影部分的面積是解題關(guān)鍵．
11．（2021 寧波模擬）如圖， ABCD的一個(gè)外角∠CDE是140°，則∠B的大小是　40　°．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】40．
【點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠ADC，再求出∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠CDE＝140°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，
∴∠B＝40°，
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的對(duì)角相等是解題的關(guān)鍵．
12．（2022 江北區(qū)模擬）如圖： ABCD的周長(zhǎng)是28cm，△ABC的周長(zhǎng)是22cm，則AC的長(zhǎng)為　8　cm．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】平行四邊形的周長(zhǎng)為相鄰兩邊之和的2倍，即2（AB+BC）＝28，則AB+BC＝14cm，而△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝22，所以AC＝22﹣14＝8cm．
【解析】解：∵ ABCD的周長(zhǎng)是28 cm
∴AB+AD＝14cm
∵△ABC的周長(zhǎng)是22cm
∴AC＝22﹣（AB+AC）＝8cm
故答案為8．
【點(diǎn)睛】在應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)，要根據(jù)具體問題，有選擇地使用，避免混淆性質(zhì)，以致錯(cuò)用性質(zhì)．
13．（2023 佳木斯一模）如圖，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）?。ㄖ惶硪粋€(gè)即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可解決問題
【解析】解：∵AB＝CD，
∴當(dāng)AB∥CD或AD＝BC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案為AB∥CD或AD＝BC．（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
14．（2021 永嘉縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC邊上，以CE，CD為邊作 DCEF，若∠F＝70°，則∠A的度數(shù)為 　40　度．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【答案】40．
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠C＝70°，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：∵四邊形DCEF是平行四邊形，
∴∠C＝∠F＝70°，
∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等解答．
15．（2023 四平模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，連接BD，作BD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接BE，則△BCE的周長(zhǎng)是 　7　cm．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．
【答案】7．
【點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：∵BD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，
∴DE＝BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC＝AB＝4（cm），
∴△BCE的周長(zhǎng)＝BE+CE+BC＝DE+CE+BC＝CD+BC＝4+3＝7（cm），
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝DE解答．
16．（2023 浠水縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，3），B（2，﹣1），C（4，4），若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為?。?，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）　．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】分三種情況：①BC為對(duì)角線時(shí)，②AB為對(duì)角線時(shí)，③AC為對(duì)角線時(shí)；由平行四邊形的性質(zhì)容易得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解析】解：分三種情況：①BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）
②AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），
③AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是（8，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）
故答案為：（8，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2022 永嘉縣三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿DC方向勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向勻速向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，記ED＝x，則△CEF的面積為 　?。ㄓ煤瑇的代數(shù)式表示）．
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；列代數(shù)式．
【答案】．
【點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)F分別同時(shí)從點(diǎn)D和點(diǎn)C出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，可得出點(diǎn)E和點(diǎn)F的路程關(guān)系，聯(lián)系平行四邊形ABCD的兩鄰邊長(zhǎng)度、DE＝x，可得出CE、CF的長(zhǎng)度，過點(diǎn)E作邊CF上的高EH，在△CHE可表示出高EH的長(zhǎng)度，最后根據(jù)三角形面積公式，即可得出△CEF的面積．
【解析】解：∵平行四邊形ABCD，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，
又∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別同時(shí)從點(diǎn)D和點(diǎn)C出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F的路程比為6：8＝3：4，
又∵DE＝x，
∴CE＝6﹣x，CF＝x，
如圖，△CEF中，過點(diǎn)E作邊CF上的高EH，交CF的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵AB∥CD，∠B＝30°，
∴∠DCH＝∠B＝30°，
∴在△CHE中，EH＝CE＝，
∴
＝×x×
＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式，正確作輔助線，表示出CF、EH的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵．
18．（2023 歷城區(qū)模擬）如圖，在 ABCD中，AD＝2AB，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，作AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)E在線段CD上，連接EF、AF，下列結(jié)論：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正確的是?、佗冖堋。?br/>【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】①②④
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【解析】解：①∵F是BC的中點(diǎn)，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正確；
②延長(zhǎng)EF，交AB延長(zhǎng)線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正確；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③錯(cuò)誤；
④設(shè)∠FEA＝x，則∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正確，
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得出△MBF≌△ECF．
19．（2020 衢州模擬）如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【答案】見解析
【點(diǎn)撥】本題中，在連接BD交AC于O，則可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以O(shè)E＝OF，然后依據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．
【解析】證明：連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四邊形BEDF為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，要求對(duì)平行四邊形的所有判定都要掌握．
20．（2022 余杭區(qū)一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD這三個(gè)條件選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，若 ?、倩颌诨颌邸。ㄟx擇①，②，③中的一項(xiàng)）
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】①或②或③．
【點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可．
【解析】解：①添加AO＝CO，
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
在△AOB與△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
②添加BO＝OD，
同理可證明四邊形ABCD是平行四邊形；
③添加∠BAD＝∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案為：①或②或③．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．
21．（2022 義烏市模擬）浙教版教材八年級(jí)下冊(cè)第5章“4.2平行四邊形及其性質(zhì)（3）”中有這樣一道例題：
如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的長(zhǎng)．請(qǐng)你完成求解過程．
小明的解題過程如下：在平行四邊形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴第①步∵AC⊥BC∴第②步∴第③步∴第④步
你認(rèn)為他的解題過程正確嗎？若正確，請(qǐng)?jiān)儆闷渌椒ㄇ蟪鯞D的長(zhǎng)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤（從第幾步開始錯(cuò)），并求出正確的BD長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
【答案】小明的解題過程不正確，從第③步開始錯(cuò)；BD＝2．
【點(diǎn)撥】利用平行四邊形的性質(zhì)求得EA＝EC＝2，EB＝ED，利用勾股定理先后求得BC和BE，據(jù)此求解即可．
【解析】解：小明的解題過程不正確，從第③步開始錯(cuò)；
在平行四邊形ABCD中，
∵AC＝4，AB＝5，
∴EA＝EC＝AC＝×4＝2，EB＝ED，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BE＝，
∴BD＝2EB＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線相互平分解答．
22．（2023 溫州二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE至F，使EF＝2DE，連結(jié)BE，CF，BF，其中BF與AC相交于G．
（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．
（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．
【答案】（1）見解析；
（2）3．
【點(diǎn)撥】（1）由三角形的中位線定理得到EF與BC平行且相等，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形BCFE是平行四邊形；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證得AE＝BD＝CE，由平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)∠BEC＝∠FEC，進(jìn)而證得平行四邊形BCEF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BG，即可求出BF．
【解析】（1）證明：∵D，E為AB，AC中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC，DE∥BC，
即EF∥BC，BC＝2DE，
∵EF＝2DE，
∴EF＝BC，
∴四邊形BCEF為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形BCEF為平行四邊形，
∴DF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴DF⊥AD，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝3，
∴AE＝BD＝BE＝3，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠BEC＝∠FEC，
同理可證∠BCE＝∠FCE，
∴平行四邊形BCEF為菱形，
∴BF⊥CE，BG＝FG，EG＝CG＝，
在Rt△BEG中，BG＝＝，
∴BF＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
23．（2022 溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．
【答案】（1）證明見解析；
（2），
【點(diǎn)撥】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中點(diǎn)，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，
∴FG＝DE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
備考指南
知識(shí)導(dǎo)圖
知識(shí)清單
考點(diǎn)梳理
真題在線
專項(xiàng)練習(xí)
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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