資源簡介

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第六章 圖形的變化
第三節 視圖與投影、尺規作圖、命題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的投影 ☆☆ 本專題以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖、尺規作圖和真假命題為主，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現，視圖與投影和命題在選填題出現的可能性較大，一般只考查基礎應用，所以考生在復習時要多注重該考點的概念以及應用.而尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力。
考點2 幾何體的三視圖 ☆☆☆
考點3 尺規作圖 ☆☆☆
考點4 定義、命題、定理 ☆
■考點一　圖形的投影
1）投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現象叫做投影現象.影子所在的平面稱為投影面。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在點光源下形成的物體的投影叫做中心投影，點光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影。
（3）正投影：投射線與投影面垂直時的平行投影，叫做正投影。
■考點二　幾何體的三視圖
1）視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖。
2）三視圖：（1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖；（2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視圖；（3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖。
3）三視圖的畫法
（1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”。
（2）注意實線與虛線的區別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線。
4）常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
5）正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11。
■考點三　尺規作圖
1）尺規作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖稱為尺規作圖。
2）五種基本作圖
（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點作已知直線的垂線。
3）根據基本作圖作三角形
（1）已知三角形的三邊，求作三角形；（2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；（3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；（4）已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
4）與圓有關的尺規作圖
（1）過不在同一直線上的三點作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內切圓。
5）作圖題的一般步驟
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論。
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡。
6）尺規作圖的關鍵：（1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；（2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題。
7）根據已知條件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角。
■考點四　定義、命題、定理
1）定義:一般地，對某一名稱或術語進行描述或作出規定就叫做該名稱或術語的定義。
2）命題：判斷一件事情的語句叫做命題。
3）命題的組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。
4）命題的表達形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論。
5）真命題：正確的命題叫做真命題。反之，則為假命題。
注意：（1）要說明一個命題是正確的，需要根據命題的題設和已學的有關公理、定理進行說明（推理、證明）；（2）要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可。
6）逆命題：把原命題的結論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的逆命題；每個命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。
7）公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理。
8）定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理。
注意：公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據。
9）推論：由定理直接推出的結論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據的真命題叫做推論。
10）如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理；任何一個命題都有逆命題，而一個定理并不一定有逆定理。
11）反證法定義：假設命題的結論不成立，即命題結論的反面成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
12）反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確。
■考點一　圖形的投影
◇典例1：（2023·河南周口·校聯考三模）“光沿直線傳播”產生了影子，下面是在同一時刻的太陽光下兩棵樹產生的影子，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據同一時刻陽光下的影子肯定為同側且平行的，且與物體相連，直接判斷即可．
【詳解】解：根據同一時刻陽光下的影子肯定為同側且平行的，且與物體相連，只有D選項符合題意，故選：D．
【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵是根據投影的概念進行解答即可．
◆變式訓練
1．（2023·安徽淮北·統考三模）一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據投影的特點進行判斷即可．
【詳解】解：一個矩形木框在地面上形成的投影可能是一條線段、一個矩形、一個平行四邊形，而不可能是一個梯形，故A符合題意．故選：A．
【點睛】本題主要考查了投影與視圖，解題的關鍵是熟練掌握投影的特點．
2．（2023·北京海淀·統考二模）一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影線垂直于頂面產生的投影，據此直接選擇即可．
【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故選：B．
【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．
3．（2024·河南平頂山·統考一模）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序排列正確的是（　　）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【答案】C
【分析】根據太陽光下從早晨到傍晚物體影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣東北﹣東，影長由長變短，再變長．
【詳解】解：西為（3），西北為（4），東北為（1），東為（2），
∴將它們按時間先后順序排列為（3）（4）（1）（2）．故選C．
【點睛】本題考查了平行投影的特點和規律．在不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣東北﹣東，影長由長變短，再變長．
◇典例2：（2023·河北滄州·模擬預測）下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根據中心投影的特點及小亮和小美的身高差判斷即可.
【詳解】小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況應如圖所示： 故選D.
【點睛】本題考查了中心投影的特點．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．
◆變式訓練
1．（2023·遼寧撫順·統考三模）下列各種現象屬于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路燈下的影子 B．中午用來乘涼的樹影
C．上午人走在路上的影子 D．陽光下旗桿的影子
【答案】A
【分析】根據中心投影的性質，找到光源是燈光即可得．
【詳解】解：A、晚上人走在路燈下的影子，光源是燈光，是中心投影，則此項符合題意；
B、中午用來乘涼的樹影，光源是陽光，是平行投影，則此項不符題意；
C、上午人走在路上的影子，光源是陽光，是平行投影，則此項不符題意；
D、陽光下旗桿的影子，光源是陽光，是平行投影，則此項不符題意；故選：A．
【點睛】本題考查了中心投影，解決本題的關鍵是理解中心投影的形成光源為燈光．
2.（2023·河北邯鄲·校考一模）如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（ ）
A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定
【答案】B
【分析】直接利用探照燈的位置得出人在墻上的影子，進而得出答案．
【詳解】如圖所示：
當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是變小．故選： B .
【點睛】此題主要考查了中心投影，正確得出人的影子在墻上的變化是解題關鍵．
3.（2023·遼寧撫順·統考一模）一幢4層樓房只有一個窗戶亮著一盞燈，一棵小樹和一根電線桿在窗口燈光下的影子如圖所示，則亮著燈的窗口是 號窗口．
【答案】3
【分析】根據給出的兩個物高與影長即可確定光源的位置；
【詳解】如圖所示：可知亮燈的窗口是3號窗口，故答案是3．
【點睛】本題考查了中心投影，準確分析判斷是解題的關鍵．
◇典例3：（2023·福建廈門·統考三模）如圖是某校校史榮譽室的正方形網格平面圖，實線表示墻體或門．在點處安裝了360度旋轉攝像頭，由于墻體的遮擋，陰影部分無法監控，這部分無法監控到的區域通常稱為監控盲區．（1）小紅同學進入校史榮譽室隨意參觀，站在監控盲區的概率是多少？
（2）為了監控效果更好，使得監控盲區最小，請你幫助學校在墻體上重新設計攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
【答案】（1）；（2）見詳解
【分析】（1）分別求出榮譽室面積和盲區面積，再利用概率公式，即可求解；
（2）把攝像頭安裝在AB的中點處，計算出監控盲區的面積，然后把攝像頭安裝在AB的其他位置，表達出監控盲區的面積，即可得到結論．
【詳解】解：（1）設小正方形的邊長為1，∴榮譽室面積=2×2+2×2+2×6=20，盲區面積=2×2-×2×1=3，
∴站在監控盲區的概率=3÷20=；
（2）如圖所示：攝像頭安裝在AB的中點處，監控盲區的面積最小，此時，監控盲區面積=2××1×2=2，
若攝像頭不安裝在AB的中點處，則監控盲區面積=×(CM+2)×2＞2．
【點睛】本題主要考查幾何概率，掌握概率公式和方格紙的面積的計算，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·寧夏中衛·九年級校考期末）“白日依山盡，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（ ）
A．增大盲區 B．減少盲區 C．改變光點 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根據站的越高，人的視角就越大，對于圓形地球可視面就越大，盲區越小進行判斷即可．
【詳解】解∶選項A，站的越高，人的視角就越大，不是增大盲區，錯誤；
選項B，減少盲區，正確；選項C，不可能改變光點，錯誤；
選項D，不是增加亮度，選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題考查了盲區的相關知識，正確理解盲區的概念是解決本題的關鍵，盲區是指視野盲區，視野盲區就是指人的視線達不到的地方，站得高可以減少盲區．
2.（2023·河北唐山·九年級統考期末）如圖，從點觀測建筑物的視角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角，即可判斷．
【詳解】如圖所示，根據視角的定義，建筑物兩端發出的光線在眼球內交叉的角為，
故選：A．
【點睛】本題考查了視角的定義，解題的關鍵是熟悉并掌握視角的定義．
◇典例4：（2023·福建廈門·統考模擬預測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應（ ）

A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米
【答案】A
【分析】根據題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質構建方程求解即可．
【詳解】解：如圖，點為光源，表示小明的手，表示小狗手影，則，過點作，延長交于，則，

∵，∴，則，
∵米，米，則米，∴，設，
∵在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

即，，米，
∴，則，∴米，
∴光源與小明的距離變化為：米，故選：A．
【點睛】此題考查了中心投影，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解答問題．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇無錫·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為，．則木桿在x軸上的投影長為（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】延長、分別交軸于、，作軸于，交于，證明，得到，即可求解．
【詳解】解：延長、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，
，，．，，，
，，，即，，故選：D．

【點睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關系．
2.（2023·遼寧鞍山·統考二模）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為，且三角板的一邊長為．則投影三角板的對應邊長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板與投影三角板一定是相似的，再根據相似三角形對應邊的比等于相似比，列式進行計算即可．
【詳解】解：三角板的一邊長為，則設投影三角板的對應邊長為，
三角板與其投影的相似比為，，，
經檢驗，是原方程的解，投影三角板的對應邊長為．故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心投影與相似三角形的性質，熟練掌握中心投影的概念與相似三角形的性質是解答此題的關鍵．
◇典例5：（2023·陜西西安·校考模擬預測）數學活動課上，小宇、小輝一起測量學校升旗臺上旗桿的高度，如圖，旗桿立在水平的升旗臺上，小宇測得旗桿底端到升旗臺邊沿的距離為，升旗臺的臺階所在的斜坡長為，坡角為，小輝測得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面上的部分的長為，同一時刻，小宇測得直立于水平地面上長的標桿的影長為，請你幫他們求出旗桿的高度. （結果保留一位小數，參考數據：）

【答案】
【分析】延長交于點，過做于，根據矩形的性質及含有角的直角三角形的性質得到，，最后根據同一時刻物高和影長成正比即可解答．
【詳解】解：延長交于點，過做于，
∴四邊形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
∴，
∵同一時刻，物高和影長成正比，∴，∴，∴，
∴，答：旗桿的高度.為．

【點睛】本題考查了解直角三角形—坡度坡角的問題，平行投影，掌握同一時刻物高和影長成正比是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·四川成都·統考一模）如圖，和是直立在地面上的兩根立柱，米，某一時刻在陽光下的投影米，在測量的投影時，同時測量出在陽光下的投影長為6米，則的長為 ．
【答案】/10米
【分析】根據同一時刻，物長和影長成比例求解即可．
【詳解】解：因為米，某一時刻在陽光下的投影米，在測量的投影時，同時測量出在陽光下的投影長為6米，，根據同一時刻，物長和影長成比例得，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】此題考查了平行投影，準確掌握同一時刻，物長和影長成比例是解題的關鍵．
2.（2023·陜西·統考三模）某小組的項目式學習活動內容是測量某棵古樹的高度，如圖，在陽光下，某一時刻，古樹的影子落在了地上和圍墻上，落在地上的長度米，落在墻上的長度米，在古樹的附近有一棵小樹，同一時刻，小樹的影長米，小樹的高米．已知點N，P，B，D在一條水平線上，，，，請求出該古樹的高度．

【答案】該古樹的高度米
【分析】作于點F，如圖，可得米，米，然后根據同一時刻的物高與其影長成比例求出，再加上即得答案．
【詳解】解：作于點F，如圖，
∵，，∴四邊形是矩形，∴米，米，
根據同一時刻的物高與其影長成比例可得：，即，解得：米，
∴（米）；答：該古樹的高度米．

【點睛】本題考查了平行投影，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關鍵．
■考點二　幾何體的三視圖
◇典例6：（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）先賢孔子曾說過“鼓之舞之”，這是“鼓舞”一詞最早的起源，如圖是喜慶集會時擊鼓瞬間的情景及鼓的立體圖形，該立體圖形的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通過觀察立體圖形即可．
【詳解】解：該立體圖形的主視圖是 ，故選：B．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握解答幾何體三視圖的畫法是正確解答．
◆變式訓練
1．（2023年海南省中考數學真題）如圖是由5個完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】從上往下看得到的圖形就是俯視圖，可得答案．
【詳解】解：根據題意得：這個幾何體的俯視圖是： ，故選：C．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上往下看得到的圖形就是俯視圖．
2．（2023年內蒙古呼和浩特市中考數學真題）下圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】認真觀察三視圖結合選項確定正確的答案即可．
【詳解】解：結合三視圖發現：該幾何體為圓柱和長方體的結合體，故選：C．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是有足夠的空間想象能力，掌握三視圖的定義
3．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據左視圖的意義判斷即可．
【詳解】根據題意，該幾何體的左視圖為： ，故選B．
【點睛】本題考查了三視圖的畫法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關鍵．
◇典例7：（2023年四川省成都市數學中考真題）一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方塊最多有 個．

【答案】
【分析】根據主視圖和俯視圖可得第一列最多2個，第二列最多1個小正方形，即可求解．
【詳解】解：根據主視圖和俯視圖可得第一列最多2個，第二列最多1個小正方形，如圖所示，

∴搭成這個幾何體的小立方塊最多有，故答案為：．
【點睛】本題考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（四川省雅安市2020年中考數學試題）一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數最少為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】在“俯視打地基”的前提下，結合左視圖知俯視圖上一行三個小正方體的上方（第2層）至少還有1個正方體，據此可得答案.
【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數最少分布情況如下圖所示：
所以組成該幾何體所需小正方體的個數最少為5，故選：B．
【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違章”．
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考一模）一個幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成，其主視圖和左視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體最少有個，最多有個，（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】從主視圖可判斷有上下兩層，結合左視圖，下層最少有3個，最多有6個；上層僅有1個．
【詳解】解：以主視圖結合左視圖，下層最少有3個，最多有6個；上層僅有1個．故；
故選：B
【點睛】本題考查三視圖，注意兩者的結合，需具備必要的空間想象能力．
3．（2023·黑龍江佳木斯·統考三模）由幾個大小相同的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數可能為（ ）
A．5個 B．6個 C．5個或6個 D．6個或7個
【答案】C
【分析】根據主視圖和俯視圖確定層數及每層的數量即可．
【詳解】解：結合主視圖和俯視圖可知，這個幾何體共2層，底層有3個小正方體，第2層至少有2個小正方體，最多有3個小正方體，因此需要5個或6個小正方體，故選：C．
【點睛】此題考查了小正方體組成的幾何體的三視圖確定小正方體的數量，正確理解幾何體的三視圖是解題的關鍵．
◇典例8：（2023年山東省濟寧市中考數學真題）一個幾何體的三視圖如下，則這個幾何體的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據三視圖還原出幾何體，再利用圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式計算即可．
【詳解】根據三視圖可知，該幾何體上面是底面直徑為6，母線為4的圓錐，下面是底面直徑為6，高為4的圓柱，該幾何體的表面積為：．
故選B．
【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖以及圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式，根據三視圖還原出幾何體是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·安徽淮北·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（　　）
A．125 B．100 C．75 D．30
【答案】C
【分析】由三視圖可知，幾何體為底面為邊長是5，高為2的正六棱柱，利用體積等于底面積乘以高進行計算即可．
【詳解】解：由圖可知：幾何體為底面為邊長是5，高為2的正六棱柱，
如圖：設正六邊形的中心為，，則：，
∴，，∴，
∴底面面積為：，∴該幾何體的體積為：；故選C．
【點睛】本題考查由幾何體的三視圖，求幾何體的體積．解題的關鍵是根據三視圖，還原幾何體．
2.（2023·遼寧撫順·統考三模）如圖1，某游樂園門口需要修建一個由正方體和圓柱組合而成的立體圖形，已知正方體的棱長與圓柱的底面直徑及高相等，都是．

(1)圖2是這個立體圖形主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請將它們補充完整；(2)為了防腐，需要在這個立體圖形表面刷一層油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花費多少元？（取3.14）（說明：正方體一底面立于地上，不刷油漆；圓柱一底面立于正方體上，重合部分不刷油漆．）
【答案】(1)見解析(2)1628元
【分析】（1）根據三視圖的畫法分別得出左視圖、主視圖和俯視圖即可；
（2）首先求出其表面積進而得出所需的費用．
【詳解】（1）如圖，

（2）（平方米） （元）
答：需要花費1628元．
【點睛】此題主要考查了作三視圖以及組合體的表面積求法，注意觀察角度得出視圖是解題關鍵．
◇典例9：（2023年山東省青島市中考數學真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根據正方體展開圖的特征，得出相對面上的數字，再結合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，即可解答．
【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：
要使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，
上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數字為6，能看見的面數字之和為：；
左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數字分別為4，5，6，
能看見的面數字之和為：；
右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數字為4，6，
能看見的面數字之和為：；
∴能看得到的面上數字之和最小為：，故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）“爭創全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內在氣質和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【分析】根據正方體的平面展開圖的特點，相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形，且沒有公共邊和公共頂點，即“對面無鄰點”，以此來找相對面．
【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“城”字對面的字是“明”，故選：B.
【點睛】本題考查了正方體相對面上的字，熟練掌握正方體的平面展開圖特點是解題的關鍵．
2．（2023年山東省威海市中考數學真題）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（　　）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
【答案】D
【分析】根據題意畫出立體圖形，即可求解．
【詳解】解：折疊之后如圖所示，則K與點D的距離最遠，故選D．

【點睛】本題考查了正方體的展開與折疊，學生需要有一定的空間想象能力．
■考點三　尺規作圖
◇典例10：（2023·四川成都·模擬預測）如圖，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若，，，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查作圖基本作圖，相似三角形的判定和性質，角平分線的定義，平行線的性質．過作交的延長線于，根據平行線的性質得到，根據角平分線的定義得到，求得，得到，據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】解：過作交的延長線于，
則，由作圖知，平分，
，，，
∵，，，，．故答案為：5．
◆變式訓練
1．（2023·貴州貴陽·統考一模）在課堂上，侯老師發給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學們畫一個，使得．小趙和小劉同學先畫出了之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示．
對這兩種畫法的描述中錯誤的是（ ）
A．小趙同學作圖判定的依據是
B．小趙同學第二步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長
C．小劉同學作圖判定的依據是
D．小劉同學第一步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長
【答案】D
【分析】根據兩人作圖的過程即可作出判斷．
【詳解】解：小趙同學第一步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長，第二步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長，則判定的依據是，則選項A、B正確；
小劉同學第一步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長，第二步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長，則判定的依據是，則選項C正確，選項D錯誤；故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，用尺規作圖：作一個三角形，讀懂兩人作圖的步驟及作圖原理是解題的關鍵．
2．（2023·河北石家莊·統考二模）如圖（1），銳角中，，要用尺規作圖的方法在邊上找一點D，使為等腰三角形，關于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（ ）

A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯誤 C．甲、乙正確，丙錯誤 D．只有甲正確
【答案】A
【分析】根據圓、線段垂直平分線、角的尺規作圖進行分析即可．
【詳解】解：甲圖：以點A為圓心，為半徑作弧，交于點D，
∴，∴為等腰三角形，
乙圖：作的垂直平分線，交于點D，∴，∴為等腰三角形，
丙圖：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正確，故選A．
【點睛】本題考查等腰三角形的定義、尺規作圖 圓、角、垂直平分線，熟練掌握等腰三角形的判定與圓、角和線段垂直平分線的基本作圖的方法是解題的關鍵．
3．（2024·陜西西安·校考一模）如圖，在 中，． 請用尺規作圖法，在邊上求作點 ，使 ．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查了作垂線，等腰三角形的性質，含的直角三角形的性質等知識，掌握含的直角三角形的性質是解題的關鍵．過點A作交于點D，先利用等腰三角形的性質求出，然后利用含的直角三角形的性質即可判斷．
【詳解】解：如圖，點D即為所求，理由：由作圖，知，
∵，，∴，∴．
■考點四　定義、命題、定理
◇典例11：（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知點在矩形的對角線上（不與點重合），下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】本題主要考查矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、真假命題的判斷等知識，．依據相關圖形的性質逐一判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，如圖，

，在矩形中，∵，∴，
∵，A項為真命題，不符合題意；如圖，
，，∴，，
∴，∵，
∴，∴∴；
B項為真命題，不符合題意；如圖，

∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，
∴，∵，∴；
故選項C是真命題，不符合題意；如圖，
當時，無法證明，故D選項是假命題，符合題意．故選：D．
◆變式訓練
1．（2023·山東聊城·統考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（　　）
A．平行四邊形的對角線互相平分 B．矩形的對角線相等
C．菱形的對角線互相垂直 D．正方形的對角線互相平分且相等
【答案】A
【分析】先寫出各個選項的逆命題，再根據平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、逆命題為“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，是真命題，故A符合題意；
B、逆命題為“對角線相等的四邊形為矩形”，是假命題，故B不符合題意；
C、逆命題為“對角線互相垂直的四邊形是菱形”，是假命題，故C不符合題意；
D、逆命題為“對角線互相平分且相等的四邊形是正方形”，是假命題，故D不符合題意；故選：A．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定，解題的關鍵是正確寫出各個命題的逆命題，再進行判斷．
2．（2023·安徽滁州·統考二模）命題“如果，互為相反數，那么，的絕對值相等”的逆命題是 ．
【答案】如果，的絕對值相等，那么，互為相反數
【分析】根據逆命題的定義，即可．
【詳解】∵逆命題：把原命題的條件當成結論，把結論當成條件得到的命題就是該命題的逆命題，
∴命題“如果，互為相反數，那么，的絕對值相等”的逆命題為：如果，的絕對值相等，那么，互為相反數，故答案為：如果，的絕對值相等，那么，互為相反數．
【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是明確逆命題的定義．
◇典例12：（2023·河北·校聯考一模）已知中，，求證：，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴，這與三角形內角和為矛盾；
②因此假設不成立．∴；③假設在中，；④由，得，即．這四個步驟正確的順序應是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【分析】本題考查的是反證法．根據反證法的一般步驟判斷即可．
【詳解】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟，
1、假設在中，，2、由，得，即，
3、，這與三角形內角和為矛盾，4、因此假設不成立．，
綜上所述，這四個步驟正確的順序應是：③④①②．故選：D．
◆變式訓練
1.（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考二模）牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內，若，，則”時，首先應假設（ ）
A． B． C．與相交 D．與相交
【答案】D
【分析】用反證法證明問題的關鍵是清楚結論的反面是什么，寫出與結論相反的假設即可
【詳解】解：反證法證明命題“在同一平面內，若，，則”時，
首先應假設與不平行，即與相交．故選：D．
【點睛】本題考查的是反證法的應用，解題的關鍵是要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時，要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
2．（2023·安徽·模擬預測）用一個的值說明命題“如果，那么”是假命題，此時的值可以為 ．（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了命題的真假，由題意得或時，均有，據此即可求解．
【詳解】解：由題意得：當或時，均有，
∴的值可以為，此時能夠說明命題“如果，那么”是假命題，
故答案為：（答案不唯一）．
3.（2023·福建莆田·統考二模）閱讀下列材料：“為什么不是有理數”，完成問題．
證明：假設是有理數，
那么存在兩個互質的正整數，，使得，則___________．
是2的倍數，
____________________，
可設（為正整數），則，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．
因此假設不成立，即不是有理數．
將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是 ．（填上序號）
①； ②； ③是2的倍數； ④是2的倍數．
【答案】②④①③
【分析】根據反證法的證明步驟以及立方根的定義補全證明過程即可求解．
【詳解】證明：假設是有理數，
那么存在兩個互質的正整數，，使得，則．
是2的倍數，是2的倍數，
可設（為正整數），則，，即，
是2的倍數，，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．
因此假設不成立，即不是有理數．故答案為：．②④①③
【點睛】本題考查了立方根的定義，反證法，熟練掌握反證法證明方法是解題的關鍵．
◇典例13：（2023·湖南長沙·校考三模）在一次數學活動課上，某數學老師將三張不同的牌分別發給甲、乙、丙三個同學，其中有一張牌是紅桃A．
甲說：“紅桃A在我手上”； 乙說：“紅桃A不在我手上”；丙說：“紅桃A肯定不在甲手上” ．
三個同學中只有一個說對了，則紅桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷
【答案】B
【分析】由題意知，若甲正確，則乙正確，甲、乙同學說法均正確，不符合要求；若乙正確，甲錯誤，則紅桃A在丙手上，則丙說法正確，乙、丙同學說法均正確，不符合要求；若丙正確，甲錯誤，乙錯誤，則紅桃A在乙手上，進而可得答案．
【詳解】解：由題意知，若甲正確，則乙正確，甲乙同學說法正確，故不符合要求；
若乙正確，甲錯誤，則紅桃A在丙手上，則丙說法正確，乙丙同學說法正確，故不符合要求；
若丙正確，甲錯誤，乙錯誤，則紅桃A在乙手上，
∴當三個同學中只有一個說對了，則紅桃A在乙的手上，故選：B．
【點睛】本題考查了邏輯推理與論證．解題的關鍵在于對信息的綜合理解．
◆變式訓練
1．（2023·湖南·校聯考模擬預測）某校開展數學興趣活動，甲、乙、丙、丁、戊五位同學進入決賽角逐前五名，發獎前，為活躍氣氛，老師請他們猜一猜各人名次排列情況．
甲說：“乙第三名，丙第五名．”乙說：“戊第四名，丁第五名．”丙說：“甲第一名，戊第四名．”
丁說：“丙第一名，乙第二名．”戊說：“甲第三名，丁第四名．”
結果，每個名次都有人猜對，則第一至第五名的同學順序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
【答案】B
【分析】從各人的名次排列情況來分析，從“每個名次都有人猜對”入手分析，只有戌的名次是重復的，所以戌一定是第四名，據此一一進行排序．
【詳解】解：∵只有戌的名次是重復的，∴戌一定是第四名，∴丁就不是第四名，而是第五名，
∴甲一定是第三名，∴乙不是第三名，而是第二名，∴丙一定是第一名；
∴第一至第五名的同學順序：丙乙甲戊丁；故選．
【點睛】本題考查了推理能力，認真審題，依次假設得到與問題相符的結論是解題的關鍵．
2．（2023·湖南長沙·統考一模）甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行的比賽局數為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】先確定乙、丙之間打了9局，乙與甲打了5局，丙與甲打了3局，進而確定甲、乙、丙三人共打的比賽局數.
【詳解】解：∵甲共當裁判9局，∴乙、丙之間打了9局，
∵乙、丙分別進行了14局、12局比賽，∴乙與甲打了局，丙與甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打的比賽局數為局；故選：C.
【點睛】本題考查了邏輯推理，解題的關鍵是根據題目提供的數據和信息、找出其中的邏輯關系.
◇典例14：（2024·山東淄博·一模）學習了《平行四邊形》一章以后，小明根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．
以下是小明探究過程，請補充完整：
(1)在四邊形中，對角線與相交于點．若，補充下列條件中的一個，能判斷四邊形是平行四邊形的是_________（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；
（A） （B）
(2)將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1_____________________________________________；
②畫出圖形，并寫出命題1的已知和求證；
(3)小明進一步探究發現：若一個四邊形的三個頂點的位置如圖所示，且這個四邊形滿足，，但四邊形不是平行四邊形，請畫出符合題意的四邊形（不要求尺規）．進而小明發現：命題2“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個假命題．

【答案】(1)B(2)①見解析；②見解析；(3)見解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定以及命題與定理的運用，解決問題的關鍵是掌握平行四邊形的判定方法，解題時注意：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
（1）根據四邊形中，對角線與相交于點，，補充條件即可判定四邊形是平行四邊形；（2）先將符號語言轉化為文字語言，再寫出已知、求證和證明過程即可；
（3）根據等腰三角形以及軸對稱變換即可得到反例．
【詳解】（1）解：在四邊形中，對角線與相交于點，
若，則當時，四邊形是平行四邊形；故答案為：B；
（2）解：①文字語言表述為：一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
故答案為：一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
②已知：如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點，．
求證：四邊形是平行四邊形．
．
證明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖所示，四邊形滿足，但四邊形不是平行四邊形．
◆變式訓練
1.（2023·浙江嘉興·統考一模）數學課上老師要同學證明命題“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是正確的．
小紅同學先任意畫出，再取邊的中點O，連結并延長到點D，使，連結，（如圖所示），并寫出了如下尚不完整的已知和求證．
已知：如圖，在四邊形中， ． ________． 求證：四邊形是________四邊形．
(1)補全已知和求證（在方框中填空）．(2)小紅同學的思路是利用三角形全等，依據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明，請完成證明過程（可以用小紅的思路，也可以用其他方法）．
【答案】(1)，平行(2)見解析
【分析】（1）根據題意補全已知和求證；（2）證明得出，即可得證．
【詳解】（1）已知：如圖，在四邊形中，，，
求證：四邊形是平行四邊形，故答案為：，平行．
（2）證明：在與中，，∴，
∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．
2．（2023·河南·統考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務．婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內容是：“若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊”．
任務：（1）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；
已知：__________________ 求證：_________________
證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點，于于H，當M是中點時，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
【答案】（1）見解析；（2）菱形
【分析】（1）先寫出已知、求證，先證明，再證明，即可證明
（2）先證明，再證明,由布拉美古塔定理證明即可證明
【詳解】（1）已知：如圖，在圓內接四邊形中，對角線于點M，過點M作的垂線分別交于點． 求證：點E是的中點
證明：，，
，，，
同理可證，，∴點E是的中點
故答案為：已知：如圖，在圓內接四邊形中，對角線于點M，過點M作的垂線分別交于點． 求證：點E是的中點
（2）四邊形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分別是的中點，
是中點
∴四邊形是菱形 故答案為：四邊形是菱形
【點睛】本題考查菱形的判定、根據題意寫已知求證、靈活進行角的和差關系的轉換是解題的關鍵
1．（2023·湖南·統考中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（ ）
A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根據反證法的步驟分析判斷，即可解答．
【詳解】解：假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．
則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．
所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
以上步驟符合反證法的步驟．故推理使用的證明方法是反證法．故選：A．
【點睛】本題考查了反證法，解答此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．
2．（2023年吉林省長春市中考數學真題）下圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【分析】據底面與多面體的上面是相對面，則形狀相等，間隔1個長方形，沒有公共頂點，即可求解．
【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，故選：C．
【點睛】本題考查了長方體的表面展開圖，熟練掌握基本幾何體的展開圖是解題的關鍵．
3．（2023年廣東廣州中考數學真題）一個幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三視圖判斷圓柱上面放著小圓錐，確定具體位置后即可得到答案．
【詳解】解：由主視圖和左視圖可以得到該幾何體是圓柱和小圓錐的復合體，
由俯視圖可以得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合，故選：D．
【點睛】題考查由三視圖判斷幾何體，解題時不僅要有一定的數學知識，而且還應有一定的生活經驗．
3．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）截面為扇環的幾何體與長方體組成的擺件如圖所示，它的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據幾何體的三視圖可進行求解．
【詳解】解：由圖可知該幾何體的主視圖是 ；故選：A．
【點睛】本題主要考查三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關鍵．
4．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得這個幾何體為圓錐，然后求出圓錐的母線長為，再根據圓錐的側面（扇形）面積公式，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：這個幾何體為圓錐，
如圖，過點作于點，根據題意得：，，，

∴，∴，即圓錐的母線長為，
∴這個幾何體的側面積是．故選：B
【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，求圓錐的側面積，根據題意得到這個幾何體為圓錐是解題的關鍵．
5．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）由若干個完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小正方體的個數最多是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根據主視圖和左視圖判斷該幾何體的層數及每層的最多個數，即可得到答案．
【詳解】解：根據主視圖和左視圖判斷該幾何體共有兩層，
下面一層最多有4個小正方體，上面的一層最多有3個小正方體，故該幾何體所用的小正方體的個數最多是7個，故選:B．
【點睛】此題考查了幾何體的三視圖，由三視圖判斷小正方體的個數，正確理解三視圖是解題的關鍵．
6．（2021·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F六個足球隊進行單循環賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數比13人捐款的平均數多2元，則小王的捐款數不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命題的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】①根據三角形中位線、中線的性質，結合平行四邊形的判定與性質解題；②由單循環賽對A隊，E隊進行推理即可；③根據正六邊形的性質、位似的定義解題；④由平均數定義解題．
【詳解】解：①如圖，是的中線，是的中位線，連接，
由中位線定義可知，
四邊形是平行四邊形對角線互相平分，故①正確；
②由單循環比賽可知，每支隊伍最多賽5場，A隊已經賽5場，即每支隊伍都與A隊比賽過，而E隊只比賽1場，據此可知，E隊沒有與B隊比賽過，故②錯誤；
③兩個正六邊形不一定位似，沒有確定位似中心，只能是相似的，故③錯誤；
④小王的捐款數比他所在學習小組中13人捐款的平均數多2元，小王的捐款數不會是最少的，捐款數可能最多，也可正確在第12位，故原命題正確，是真命題，符合題意B故④正確，
其中真命題的個數有①④，2個，故選：B．
【點睛】本題考查中位線、中線的性質，簡單推理、位似、正六邊形的性質、平均數的應用等知識，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
7．（2023·遼寧丹東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點E，F，分別以E，F為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內交于點P，作射線，交于點G，交的延長線于點．若，，則的長為（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根據題意的作圖可得平分，則，由，可得，從而，因此，又，得證四邊形是平行四邊形，得到．根據和對頂角相等證得，從而，因此即可解答．
【詳解】根據題意的作圖可得平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴．故選：C
【點睛】本題考查尺規作圖——作角平分線，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，綜合運用各個知識是解題的關鍵．
8．（2022·江蘇無錫·統考中考真題）請寫出命題“如果，那么”的逆命題： ．
【答案】如果，那么
【分析】根據逆命題的概念解答即可．
【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”，
故答案為：如果，那么．
【點睛】此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
9．（2023·山東濰坊·統考中考真題）在《數書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高度，表示竹竿頂端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知米，米，米，米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為 米．

【答案】/
【分析】如圖，過作于，交于，可得，證明，可得，可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，交于，
則，，，，∴，

∵，∴，∴，∴，解得：，經檢驗符合題意；
∴（米）；故答案為：
【點睛】本題考查的是相似三角形的實際應用，作出合適的輔助線構建相似三角形是解本題的關鍵．
10．（2023年北京市中考數學真題）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；
②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；
③各道工序所需時間如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需時間/分鐘 9 9 7 9 7 10 2
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要 分鐘；若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要 分鐘．
【答案】 53 28
【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、乙，根據加工要求可知甲學生做工序A，乙學生同時做工序B；然后甲學生做工序D，乙學生同時做工序C，乙學生工序C完成后接著做工序G；最后甲學生做工序E，乙學生同時做工序F，然后可得答案．
【詳解】解：由題意得：（分鐘），
即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要53分鐘；假設這兩名學生為甲、乙，
∵工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學生做工序A，乙學生同時做工序B，需要9分鐘，
然后甲學生做工序D，乙學生同時做工序C，乙學生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，
最后甲學生做工序E，乙學生同時做工序F，需要10分鐘，
∴若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；
【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統籌，根據加工要求得出加工順序是解題的關鍵．
11．（2023·山東青島·統考中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．
求作：點P，使，且點P在邊的高上．

【答案】見解析
【分析】作的垂直平分線和邊上的高，它們的交點為P點．
【詳解】解：如圖，點P為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．
12．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標明相應的字母，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）作的角平分線交于點，過點作，交于點，以為圓心，為半徑作，即可；（2）根據含30度角的直角三角形的性質，求得圓的半徑，設交于點，連接，可得是等邊三角形，進而根據與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，∴，∴，
則，解得：，
如圖所示，設交于點，連接，

∵，∴是等邊三角形，
如圖所示，過點作于點，
∴∴
在中，,
∴,∴，則，
∴與重疊部分的面積為．
【點睛】本題考查基本作圖，切線的性質，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質是解題關鍵．
1．（2023·貴州六盤水·統考二模）烏蒙鐵塔位于六盤水市人民廣場中央，在晴天的日子里，從早到晚這段時間，烏蒙鐵塔在太陽下的影長度是如何變化的（ ）
A．保持不變 B．逐漸變長 C．先逐漸變短，后又逐漸變長 D．逐漸變短
【答案】C
【分析】根據平行投影的投影線與地面夾角的大小進行判斷即可．
【詳解】解：從早到晚這段時間，投影線與地面所夾的銳角先變大再變小，
所以烏蒙鐵塔在大陽下的影長度先逐漸變短，后又逐漸變長，故選：C．
【點睛】本題側重考查有關平行投影的知識點，掌握其特點是解決此題的關鍵．
2．（2023·浙江溫州·校聯考二模）由四個相同小立方體拼成的幾何體如圖所示，當光線由上向下垂直照射時，該幾何體在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．
【詳解】解：從上面看，底層中最右邊一個小正方形，上層是三個小正方形，故選：A．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
3．（2023·廣東汕尾·統考一模）如圖是一架飛機的示意圖，其仰視圖為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查判斷三視圖的俯視圖，根據仰視圖是從下面看到的圖形解答即可．
【詳解】解：從下面看到的圖形即仰視圖如下：故選：A．
4．（2023·廣東潮州·一模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數最多為（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．不能確定
【答案】C
【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，由圖可得這個幾何體有2層，結合主視圖和俯視圖可得出第一層和第二層最多的小正方體的個數，由此即可得解，考查了對三視圖的掌握和空間想象能力．
【詳解】解：由俯視圖易得最底層有3個小正方體，第二層最多有2個小正方體，那么搭成這個幾何體的小正方體最多為個，故選：C．
5．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　　）

A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】由主視圖和左視圖可得：，，，連接，則有，可求，即可求解．
【詳解】解：如圖，

由主視圖和左視圖可得：，，，
，，，，
連接，則有，為等邊三角形，
，
，，．故選：D．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，正六邊形的性質，特殊角的三角函數值，掌握三視圖長寬高與原幾何體之間的關系及正六邊形的性質是解題的關鍵．
6．（2023·湖北荊州·統考三模）如圖，在中，，．分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E和點F；作直線，交于點G，連接．若與恰好垂直，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理，根據線段垂直平分線的性質求出，再根據勾股定理得是解決本題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，是的垂直平分線，∴，
設，則，∵與垂直，∴，
即，解方程得：，∴；故選：A．
7．（2023·福建福州·福建省福州延安中學校考模擬預測）甲、乙、丙三位同學參加學習脫貧干部黃文秀、戍邊英雄陳紅軍、人民科學家南仁東、抗疫英雄張定宇等英雄的先進事跡知識競賽該競賽共有十道判斷題三位同學的答題情況如下：
題號選手
甲
乙
丙
考試成績公布后，三個人都答對了道題，由此可知，題的正確答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、
B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、
D．、、、、、、、、、
【答案】A
【分析】根據表格分析三個人答案相同和答案不同的題目，結合都對題，即可分析出各題的正確答案．
【詳解】解：甲與乙、、、題答案相同，、、、，
乙與丙、、、題答案相同，、、、，
甲與丙、、、題答案相同，、、、，
兩兩都是題答案相同，題答案不同，
因為都對題，所以題相同答案的都答對了，題答案不同的各對了道，所以題答案為：、、、、、、、、、．故選：A．
【點睛】本題主要考查了簡單的合情推理，推出“題相同答案的都答對了，題答案不同的各對了道”是解題的關鍵．
8．（2022·浙江紹興·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點是一個光源，木桿兩端的坐標分別為，，則木桿在x軸上的投影長為（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延長、分別交x軸于點、，作軸于點E，交于點D，證明，然后利用相似比即可求解．
【詳解】解：延長、分別交x軸于點、，作軸于點E，交于點D，如圖，
∵，，，∴，，，
∵，∴，，∴，
∴，即，∴，故選：D．

【點睛】本題考查中心投影，熟練掌握中心投影的概念證明是解題的關鍵．
9．（2023·福建泉州·統考二模）數學課上，學生提出如何證明以下問題：
如圖，．求證：．

老師說，我們可以用反證法來證明，具體過程如下：
證明：假設，
如圖，延長交的延長線于點，為延長線上一點．

∵，∴．
∵，∴，
這與“________”相矛盾，∴假設不成立，
∴．以上證明過程中，橫線上的內容應該為 ．
【答案】三角形的外角和等于
【分析】先假設，通過證明假設不成立，從而得到正確的結論．
【詳解】證明：假設，
如圖，延長交的延長線于點，為延長線上一點．

∵，∴．∵，
∴，這與“三角形的外角和等于”相矛盾，
∴假設不成立，∴．故答案為：三角形的外角和等于
【點睛】本題考查的是反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．
10．（2023·山西太原·統考二模）現有顆外觀和大小都完全相同的小球，已知顆球的質量相等，另外一顆球的質量略大一些．小穎想用一架托盤天平稱出這顆質量較大的球．她思考后發現最少稱次就一定能找出這顆球，則的值等于 ．

【答案】2
【分析】可以把顆小球任意分成三份，每份顆，然后用天平稱即可找出那顆質量較大的來．
【詳解】解：把顆小球任意分成三份，每份顆．先把其中任意兩份分別放在天平的兩邊．
如果平衡，就把剩下的一份中的任意兩顆分別放在天平的兩邊，若平衡，說明剩下的小球即為質量較大的，若不平衡，哪邊重哪邊就是那顆質量較大的；
如果不平衡，哪邊重哪邊那份就有質量較大的小球，從這一份中任取顆分別放在天平的兩邊，若平衡，沒往天平上放的那一顆質量較大，若不平衡，哪邊重哪邊就是那顆質量較大的．
∴至少要稱次，才能保證找出那顆質量較大的小球．故答案為：．
【點睛】該題考查了利用天平判斷物體質量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數學思維方式進行解答．
11．（2023·江蘇鹽城·統考三模）鹽城市某初級中學數學小組想探究：大樓影長對相鄰大樓的影響．分成了兩個實驗小組，在某天下午時，同時進行了兩項實驗：
實驗一：測量高為竹竿的影長．通過測量發現影長為．
實驗二：探究長方體的影子．如圖是該長方體在當天下午時陽光下投影，圖是圖中長方體的俯視圖．

(1)該長方體的高，寬為．
①此時的影長為______；②此時測得，求；
(2)某小區預規劃兩棟一樣的樓房甲、乙，朝向與“實驗二”中長方體一致，俯視圖如圖3，相關數據如圖所示，若樓高42米，請通過計算說明實驗當天下午3時甲樓的影子是否落在乙樓的墻上．

【答案】(1)①26，②(2)甲樓的影子落在乙樓的墻上
【分析】（1）①根據同一時刻，樓高與樓影長的比等于竹竿長與竹竿的影長的比求解即可；②延長交于點，設，在和中，利用勾股定理求得，，進而即可求解；（2）過點作，據樓高與影長的比求得，再利用三角函數即可得解．
【詳解】（1）解∶①∵，測量高為竹竿的影長．通過測量發現影長為．的影長是，∴即，解得，故答案為：；
②延長交于點，

設，則有：在中，
在中，則有：，
解得：，即∴，∴．
（2）解：如圖所示，過點作，由題意得：，∴，

中， ，∴設，
∴，∴，，
∴，．
∵，，∴甲樓的影子落在乙樓的墻上．
【點睛】本題考查勾股定理，三角函數與投影，熟練掌握三角函數即勾股定理的內容是解題的關鍵．
12．（2023·河南許昌·統考二模）如圖，內接于，是的直徑，過點C作的切線，交的延長線于點P，點F在上，連接．易證命題：“若是的切線，則”是真命題．(1)請寫出該命題的逆命題是______；(2)判斷（1）中的命題是否為真命題，并說明理由；
(3)若⊙O的半徑為4，，且，求AC的長．

【答案】(1)若，則AF是⊙O的切線(2)是真命題，理由見解析(3)
【分析】（1）根據逆命題的概念，交換題設和結論即可解答；
（2）如圖：連接OC， 根據平行線的性質可得、，進而得到，然后再證可得，再根據PC是的切線可得，進而說明即可說明；（3）先根據勾股定理可得，然后再說明、，由三角形的面積公式可得，即可得，最后根據即可解答．
【詳解】（1）解：∵原命題為：若是的切線，則
∴逆命題為：若，則AF是⊙O的切線；故答案為：若，則AF是⊙O的切線．
（2）解：是真命題，理由如下：如圖：連接OC，

∵，∴，，∵，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∵PC是的切線，∴，∴，∴，∴是的切線．
（3）解：∵的半徑為4，，，∴
∵，，∴，∴，∴的面積，
∴，解得：，∴．
【點睛】本題主要考查了逆命題、圓的切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識點是解答本題的關鍵．
1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，為駕駛員的盲區，駕駛員的眼睛點處與地面 的距離為米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區的長度是米， 則車寬的長度為（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的應用，矩形的性質，過點作，垂足為，交于點，根據題意，設米，由得，，證明，得出，根據列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作，垂足為，交于點，

則，設米，由得，，
∵四邊形是矩形，∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，解得，，故選：D．
2．（2023·安徽·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，連接．若，則的長為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了基本作圖-作已知角的平分線，一般是結合幾何圖形的性質．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，．也考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理．利用作法得平分，根據“等角對等邊”得出，由已知條件及勾股定理的逆定理證明是直角三角形，所以根據平行四邊形的性質得到是直角，再由勾股定理即可求得的長度．
【詳解】解：由作法得平分，，∵四邊形為平行四邊形，
，，，，
，,，
，是直角三角形，即,,
．故選：C．
3．（2023·山東濟南·統考中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結論不正確的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得，，平分，根據三角形內角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求出，得到，根據三角形內角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設，則，求出x，即可判斷C；過點E作于G，于H，由角平分線的性質定理推出，即可根據三角形面積公式判斷D．
【詳解】解：由題意得，，平分，
∵在中，，，∴
∵平分，∴，故A正確；
∵平分，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故B正確；
∵，∴，∴，
設，則，∴，∴，解得，
∴，∴，故C錯誤；
過點E作于G，于H，

∵平分，，，∴
∴，故D正確；故選：C．
【點睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質，角平分線的作圖及性質，解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．
4．（2023·北京·校考模擬預測）甲、乙、丙三人進行羽毛球單打訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當4局裁判，乙、丙分別打了9局、14局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共打了 局，其中第9局的裁判是 ．
【答案】 19 乙
【分析】先確定出乙、丙之間打了4局，乙與甲打了5局，丙與甲打了10局，進而確定出三人一共打的局數和乙當裁判的局數，即可得出結論．
【詳解】解：甲共當裁判4局，乙、丙之間打了4局，
乙、丙分別打了9局、14局比賽，乙與甲打了（局），丙與甲打了（局），
甲、乙、丙三人共打了（局），丙與甲打了10局，乙當了10局裁判，
從1到19共9個偶數，10個奇數，乙當裁判的局數為奇數，
第9局的裁判是乙，故答案為：①19，②乙．
【點睛】本題考查推理論證，計數原理，奇數和偶數，判斷出總局數和乙當裁判的局數是解本題關鍵．
5．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．
【答案】
【分析】（1）根據水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；
（2）過點作于點，證明，根據平行投影證明，根據，得出即可．
【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，
∴當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；
（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，
∴，∴，∴，∴，
根據平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經過n小時后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案為：．
【點睛】本題考查平移投影的有關知識，解題的關鍵是數形結合，發揮空間想象能力，根據平行投影得出．
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第六章 圖形的變化
第三節 視圖與投影、尺規作圖、命題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的投影 ☆☆ 本專題以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖、尺規作圖和真假命題為主，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現，視圖與投影和命題在選填題出現的可能性較大，一般只考查基礎應用，所以考生在復習時要多注重該考點的概念以及應用.而尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力。
考點2 幾何體的三視圖 ☆☆☆
考點3 尺規作圖 ☆☆☆
考點4 定義、命題、定理 ☆
■考點一　圖形的投影
1）投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現象叫做 現象.影子所在的平面稱為 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在 下形成的物體的投影叫做 投影，點光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射線相互 的投影稱為 投影。
（3）正投影：投射線與投影面 時的 投影，叫做 。
■考點二　幾何體的三視圖
1）視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖。
2）三視圖：（1）主視圖：從 看得到的視圖叫做主視圖；（2）左視圖：從 看得到的視圖叫做左視圖；（3）俯視圖：從 看得到的視圖叫做俯視圖。
3）三視圖的畫法
（1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”。
（2）注意實線與虛線的區別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線。
4）常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
5）正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11。
■考點三　尺規作圖
1）尺規作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖稱為 。
2）五種基本作圖
（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點作已知直線的垂線。
3）根據基本作圖作三角形
（1）已知三角形的三邊，求作三角形；（2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；（3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；（4）已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
4）與圓有關的尺規作圖
（1）過不在同一直線上的三點作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內切圓。
5）作圖題的一般步驟
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論。
其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖 。
6）尺規作圖的關鍵：（1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；（2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題。
7）根據已知條件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角。
■考點四　定義、命題、定理
1）定義:一般地，對某一名稱或術語進行描述或作出規定就叫做該名稱或術語的 。
2）命題：判斷一件事情的語句叫做 。
3）命題的組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。
4）命題的表達形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論。
5）真命題：正確的命題叫做 。反之，則為假命題。
注意：（1）要說明一個命題是正確的，需要根據命題的題設和已學的有關公理、定理進行說明（推理、證明）；（2）要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可。
6）逆命題：把原命題的結論作為命題的 ，把原命題的條件作為命題的 ，所組成的命題叫做原命題的 ；每個命題都有 ，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是 。
7）公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做 。
8）定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做 。
注意：公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據。
9）推論：由定理直接推出的結論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據的真命題叫做 。
10）如果一個定理的逆命題經過證明是 ，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做 ，其中一個定理叫做另一個定理的 ；任何一個命題都有 ，而一個定理并不一定有 。
11）反證法定義：假設命題的結論不成立，即命題結論的反面成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做 。
12）反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確。
■考點一　圖形的投影
◇典例1：（2023·河南周口·校聯考三模）“光沿直線傳播”產生了影子，下面是在同一時刻的太陽光下兩棵樹產生的影子，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·安徽淮北·統考三模）一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·統考二模）一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南平頂山·統考一模）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序排列正確的是（　　）
A．(3)(1)(4)(2) B．(3)(2)(1)(4) C．(3)(4)(1)(2) D．(2)(4)(1)(3)
◇典例2：（2023·河北滄州·模擬預測）下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·遼寧撫順·統考三模）下列各種現象屬于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路燈下的影子 B．中午用來乘涼的樹影
C．上午人走在路上的影子 D．陽光下旗桿的影子
2.（2023·河北邯鄲·校考一模）如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（ ）
A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定
3.（2023·遼寧撫順·統考一模）一幢4層樓房只有一個窗戶亮著一盞燈，一棵小樹和一根電線桿在窗口燈光下的影子如圖所示，則亮著燈的窗口是 號窗口．
◇典例3：（2023·福建廈門·統考三模）如圖是某校校史榮譽室的正方形網格平面圖，實線表示墻體或門．在點處安裝了360度旋轉攝像頭，由于墻體的遮擋，陰影部分無法監控，這部分無法監控到的區域通常稱為監控盲區．（1）小紅同學進入校史榮譽室隨意參觀，站在監控盲區的概率是多少？
（2）為了監控效果更好，使得監控盲區最小，請你幫助學校在墻體上重新設計攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
◆變式訓練
1. （2023·寧夏中衛·九年級校考期末）“白日依山盡，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（ ）
A．增大盲區 B．減少盲區 C．改變光點 D．增加亮度
2.（2023·河北唐山·九年級統考期末）如圖，從點觀測建筑物的視角是（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：（2023·福建廈門·統考模擬預測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應（ ）

A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米
◆變式訓練
1.（2023·江蘇無錫·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為，．則木桿在x軸上的投影長為（ ）

A． B． C．5 D．6
2.（2023·遼寧鞍山·統考二模）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為，且三角板的一邊長為．則投影三角板的對應邊長為（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023·陜西西安·校考模擬預測）數學活動課上，小宇、小輝一起測量學校升旗臺上旗桿的高度，如圖，旗桿立在水平的升旗臺上，小宇測得旗桿底端到升旗臺邊沿的距離為，升旗臺的臺階所在的斜坡長為，坡角為，小輝測得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面上的部分的長為，同一時刻，小宇測得直立于水平地面上長的標桿的影長為，請你幫他們求出旗桿的高度. （結果保留一位小數，參考數據：）

◆變式訓練
1.（2023·四川成都·統考一模）如圖，和是直立在地面上的兩根立柱，米，某一時刻在陽光下的投影米，在測量的投影時，同時測量出在陽光下的投影長為6米，則的長為 ．
2.（2023·陜西·統考三模）某小組的項目式學習活動內容是測量某棵古樹的高度，如圖，在陽光下，某一時刻，古樹的影子落在了地上和圍墻上，落在地上的長度米，落在墻上的長度米，在古樹的附近有一棵小樹，同一時刻，小樹的影長米，小樹的高米．已知點N，P，B，D在一條水平線上，，，，請求出該古樹的高度．

■考點二　幾何體的三視圖
◇典例6：（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）先賢孔子曾說過“鼓之舞之”，這是“鼓舞”一詞最早的起源，如圖是喜慶集會時擊鼓瞬間的情景及鼓的立體圖形，該立體圖形的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年海南省中考數學真題）如圖是由5個完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年內蒙古呼和浩特市中考數學真題）下圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（ ）

A． B． C． D．
◇典例7：（2023年四川省成都市數學中考真題）一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方塊最多有 個．

◆變式訓練
1．（四川省雅安市2020年中考數學試題）一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數最少為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考一模）一個幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成，其主視圖和左視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體最少有個，最多有個，（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·黑龍江佳木斯·統考三模）由幾個大小相同的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數可能為（ ）
A．5個 B．6個 C．5個或6個 D．6個或7個
◇典例8：（2023年山東省濟寧市中考數學真題）一個幾何體的三視圖如下，則這個幾何體的表面積是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023·安徽淮北·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（　　）
A．125 B．100 C．75 D．30
2.（2023·遼寧撫順·統考三模）如圖1，某游樂園門口需要修建一個由正方體和圓柱組合而成的立體圖形，已知正方體的棱長與圓柱的底面直徑及高相等，都是．
(1)圖2是這個立體圖形主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請將它們補充完整；(2)為了防腐，需要在這個立體圖形表面刷一層油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花費多少元？（取3.14）（說明：正方體一底面立于地上，不刷油漆；圓柱一底面立于正方體上，重合部分不刷油漆．）

◇典例9：（2023年山東省青島市中考數學真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
◆變式訓練
1．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）“爭創全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內在氣質和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
2．（2023年山東省威海市中考數學真題）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（　　）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
■考點三　尺規作圖
◇典例10：（2023·四川成都·模擬預測）如圖，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若，，，則 ．
◆變式訓練
1．（2023·貴州貴陽·統考一模）在課堂上，侯老師發給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學們畫一個，使得．小趙和小劉同學先畫出了之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示．
對這兩種畫法的描述中錯誤的是（ ）
A．小趙同學作圖判定的依據是
B．小趙同學第二步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長
C．小劉同學作圖判定的依據是
D．小劉同學第一步作圖時，用圓規截取的長度是線段的長
2．（2023·河北石家莊·統考二模）如圖（1），銳角中，，要用尺規作圖的方法在邊上找一點D，使為等腰三角形，關于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（ ）

A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯誤 C．甲、乙正確，丙錯誤 D．只有甲正確
3．（2024·陜西西安·校考一模）如圖，在 中，． 請用尺規作圖法，在邊上求作點 ，使 ．（保留作圖痕跡，不寫作法）
■考點四　定義、命題、定理
◇典例11：（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知點在矩形的對角線上（不與點重合），下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
◆變式訓練
1．（2023·山東聊城·統考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（　　）
A．平行四邊形的對角線互相平分 B．矩形的對角線相等
C．菱形的對角線互相垂直 D．正方形的對角線互相平分且相等
2．（2023·安徽滁州·統考二模）命題“如果，互為相反數，那么，的絕對值相等”的逆命題是 ．
◇典例12：（2023·河北·校聯考一模）已知中，，求證：，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴，這與三角形內角和為矛盾；
②因此假設不成立．∴；③假設在中，；④由，得，即．這四個步驟正確的順序應是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
◆變式訓練
1.（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考二模）牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內，若，，則”時，首先應假設（ ）
A． B． C．與相交 D．與相交
2．（2023·安徽·模擬預測）用一個的值說明命題“如果，那么”是假命題，此時的值可以為 ．（寫出一個即可）
3.（2023·福建莆田·統考二模）閱讀下列材料：“為什么不是有理數”，完成問題．
證明：假設是有理數，
那么存在兩個互質的正整數，，使得，則___________．
是2的倍數，
____________________，
可設（為正整數），則，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．
因此假設不成立，即不是有理數．
將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是 ．（填上序號）
①； ②； ③是2的倍數； ④是2的倍數．
◇典例13：（2023·湖南長沙·校考三模）在一次數學活動課上，某數學老師將三張不同的牌分別發給甲、乙、丙三個同學，其中有一張牌是紅桃A．
甲說：“紅桃A在我手上”； 乙說：“紅桃A不在我手上”；丙說：“紅桃A肯定不在甲手上” ．
三個同學中只有一個說對了，則紅桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷
◆變式訓練
1．（2023·湖南·校聯考模擬預測）某校開展數學興趣活動，甲、乙、丙、丁、戊五位同學進入決賽角逐前五名，發獎前，為活躍氣氛，老師請他們猜一猜各人名次排列情況．
甲說：“乙第三名，丙第五名．”乙說：“戊第四名，丁第五名．”丙說：“甲第一名，戊第四名．”
丁說：“丙第一名，乙第二名．”戊說：“甲第三名，丁第四名．”
結果，每個名次都有人猜對，則第一至第五名的同學順序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
2．（2023·湖南長沙·統考一模）甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行的比賽局數為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
◇典例14：（2024·山東淄博·一模）學習了《平行四邊形》一章以后，小明根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．
以下是小明探究過程，請補充完整：
(1)在四邊形中，對角線與相交于點．若，補充下列條件中的一個，能判斷四邊形是平行四邊形的是_________（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；
（A） （B）
(2)將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1_____________________________________________；
②畫出圖形，并寫出命題1的已知和求證；
(3)小明進一步探究發現：若一個四邊形的三個頂點的位置如圖所示，且這個四邊形滿足，，但四邊形不是平行四邊形，請畫出符合題意的四邊形（不要求尺規）．進而小明發現：命題2“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個假命題．

◆變式訓練
1.（2023·浙江嘉興·統考一模）數學課上老師要同學證明命題“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是正確的．
小紅同學先任意畫出，再取邊的中點O，連結并延長到點D，使，連結，（如圖所示），并寫出了如下尚不完整的已知和求證．
已知：如圖，在四邊形中， ． ________． 求證：四邊形是________四邊形．
(1)補全已知和求證（在方框中填空）．(2)小紅同學的思路是利用三角形全等，依據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明，請完成證明過程（可以用小紅的思路，也可以用其他方法）．
2．（2023·河南·統考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務．婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內容是：“若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊”．
任務：（1）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；
已知：__________________ 求證：_________________
證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點，于于H，當M是中點時，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
1．（2023·湖南·統考中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（ ）
A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法
2．（2023年吉林省長春市中考數學真題）下圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
3．（2023年廣東廣州中考數學真題）一個幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）截面為扇環的幾何體與長方體組成的擺件如圖所示，它的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（ ）．

A． B． C． D．
5．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）由若干個完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小正方體的個數最多是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2021·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F六個足球隊進行單循環賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數比13人捐款的平均數多2元，則小王的捐款數不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命題的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2023·遼寧丹東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點E，F，分別以E，F為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內交于點P，作射線，交于點G，交的延長線于點．若，，則的長為（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
而8．（2022·江蘇無錫·統考中考真題）請寫出命題“如果，那么”的逆命題： ．
9．（2023·山東濰坊·統考中考真題）在《數書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高度，表示竹竿頂端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知米，米，米，米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為 米．

10．（2023年北京市中考數學真題）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；
②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；
③各道工序所需時間如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需時間/分鐘 9 9 7 9 7 10 2
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要 分鐘；若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要 分鐘．
11．（2023·山東青島·統考中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：．求作：點P，使，且點P在邊的高上．

12．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標明相應的字母，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．
1．（2023·貴州六盤水·統考二模）烏蒙鐵塔位于六盤水市人民廣場中央，在晴天的日子里，從早到晚這段時間，烏蒙鐵塔在太陽下的影長度是如何變化的（ ）
A．保持不變 B．逐漸變長 C．先逐漸變短，后又逐漸變長 D．逐漸變短
2．（2023·浙江溫州·校聯考二模）由四個相同小立方體拼成的幾何體如圖所示，當光線由上向下垂直照射時，該幾何體在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·廣東汕尾·統考一模）如圖是一架飛機的示意圖，其仰視圖為（　　）

A． B． C． D．
4．（2023·廣東潮州·一模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數最多為（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．不能確定
5．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　　）

A． B．4 C．2 D．
6．（2023·湖北荊州·統考三模）如圖，在中，，．分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E和點F；作直線，交于點G，連接．若與恰好垂直，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·福建福州·福建省福州延安中學校考模擬預測）甲、乙、丙三位同學參加學習脫貧干部黃文秀、戍邊英雄陳紅軍、人民科學家南仁東、抗疫英雄張定宇等英雄的先進事跡知識競賽該競賽共有十道判斷題三位同學的答題情況如下：
題號選手
甲
乙
丙
考試成績公布后，三個人都答對了道題，由此可知，題的正確答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、
B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、
D．、、、、、、、、、
8．（2022·浙江紹興·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點是一個光源，木桿兩端的坐標分別為，，則木桿在x軸上的投影長為（ ）

A． B． C．5 D．6
9．（2023·福建泉州·統考二模）數學課上，學生提出如何證明以下問題：
如圖，．求證：．

老師說，我們可以用反證法來證明，具體過程如下：
證明：假設，
如圖，延長交的延長線于點，為延長線上一點．
∵，∴．
∵，∴，
這與“________”相矛盾，∴假設不成立，
∴．以上證明過程中，橫線上的內容應該為 ．
10．（2023·山西太原·統考二模）現有顆外觀和大小都完全相同的小球，已知顆球的質量相等，另外一顆球的質量略大一些．小穎想用一架托盤天平稱出這顆質量較大的球．她思考后發現最少稱次就一定能找出這顆球，則的值等于 ．

11．（2023·江蘇鹽城·統考三模）鹽城市某初級中學數學小組想探究：大樓影長對相鄰大樓的影響．分成了兩個實驗小組，在某天下午時，同時進行了兩項實驗：
實驗一：測量高為竹竿的影長．通過測量發現影長為．
實驗二：探究長方體的影子．如圖是該長方體在當天下午時陽光下投影，圖是圖中長方體的俯視圖．

(1)該長方體的高，寬為．
①此時的影長為______；②此時測得，求；
(2)某小區預規劃兩棟一樣的樓房甲、乙，朝向與“實驗二”中長方體一致，俯視圖如圖3，相關數據如圖所示，若樓高42米，請通過計算說明實驗當天下午3時甲樓的影子是否落在乙樓的墻上．

12．（2023·河南許昌·統考二模）如圖，內接于，是的直徑，過點C作的切線，交的延長線于點P，點F在上，連接．易證命題：“若是的切線，則”是真命題．(1)請寫出該命題的逆命題是______；(2)判斷（1）中的命題是否為真命題，并說明理由；
(3)若⊙O的半徑為4，，且，求AC的長．

1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，為駕駛員的盲區，駕駛員的眼睛點處與地面 的距離為米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區的長度是米， 則車寬的長度為（ ）米.
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，連接．若，則的長為（ ）
A．5 B． C． D．
3．（2023·山東濟南·統考中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結論不正確的是（　　　）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·校考模擬預測）甲、乙、丙三人進行羽毛球單打訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當4局裁判，乙、丙分別打了9局、14局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共打了 局，其中第9局的裁判是 ．
5．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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