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專題 對數函數
1. 函數y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是
(0，＋∞)．
2. 對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：　(0，＋∞)
值域：　R
當x＝1時，y＝0，圖象過定點　(1,0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是　增函數 在(0，＋∞)上是　減函數
注意：對數函數的解析式特征為（1）a＞0且a≠1; （2）logax的系數為 1；（3）自變量x的系數為 1，且x>0.
【題型1 對數函數概念】
【題型2 對數函數的定義域】
【題型3 利用對數函數的單調性比較大小】
【題型1 對數函數概念】
知識點：函數y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是
(0，＋∞)．
例1. 下列函數，其中為對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對數函數定義，逐項判斷作答.
【詳解】函數，的真數不是自變量，它們不是對數函數，AB不是；
函數是對數函數，C是；
函數的底數含有參數，而的值不能保證是不等于1的正數，D不是.
故選：C
例2. 若函數是對數函數，則a的值是（ ）
A．1或2 B．1
C．2 D．且
【答案】C
【分析】根據對數函數的定義即可得到方程，解出即可.
【詳解】∵函數是對數函數，
∴，且，
解得或，∴，
故選：C．
例3. 對數函數的圖象過點，則對數函數的解析式為 .
【答案】
【分析】根據對數函數的概念直接求解即可.
【詳解】設對數函數的解析式為 (且)，
由已知可得，即，
解得，即函數解析式為，
故答案為：
【題型訓練1】
1．下列函數中，是對數函數的有
①；②；③；④；⑤.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據對數函數的概念分析可得答案.
【詳解】①在且的條件下才是對數函數，故①不是對數函數；
②和③符合對數函數的定義，是對數函數；
④中，底數不是常數，不是對數函數；
⑤中系數不是，不是對數函數.
故選：B.
2.已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依據對數函數的定義即可判斷.
【詳解】根據對數函數的定義，只有符合（且）形式的函數才是對數函數，其中x是自變量，a是常數.
易知，①是指數函數；②中的自變量在對數的底數的位置，不是對數函數；③中，是對數函數；④中，是對數函數；⑤⑥中函數顯然不是對數函數，由此可知只有③④是對數函數.
故選：C.
3.已知函數是對數函數，則 ．
【答案】1
【分析】根據對數函數的定義即可得到答案.
【詳解】因為函數是對數函數，
則，解得．
故答案為：1.
4．若對數函數的圖象過點，則此函數的表達式為 .
【答案】
【分析】將點代入對數解析式求出底數，即可求解.
【詳解】設對數函數為，，因為對數函數的圖象過點，所以，即，解得，所以.
故答案為：
【題型2 對數函數的定義域】
知識點：對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域為(0，＋∞).
例4. 函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題可得，即得.
【詳解】∵，
∴，解得，且，
所以函數的定義域為.
故選：D.
例5. 若有意義，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用對數的定義進行求解.
【詳解】要使有意義，
須，即，
解得或，
即實數a的取值范圍是.
故答案為：.
例6. 若函數的圖象過點.
（1）求的值；
（2）求函數的定義域．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根據對數值求參數，（2）根據真數大于零得定義域
【詳解】解：（1）將代入中，
有，
則．
∴．
（2）由（Ⅰ）知，
，解得．
∴函數的定義域為．
【題型訓練2】
1．函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列出使函數有意義的不等式組，進而即得.
【詳解】要使函數有意義，則,
解得且，
所以函數的定義域為.
故選：C.
2．對數式中實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據對數函數的定義和性質即可得到結論．
【詳解】解：由解得且，
故實數的取值范圍是，
故答案為：
3．求下列函數的定義域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）； （2）；（3）；（4）.
【分析】根據解析式列出使函數有意義的不等式，即可解出定義域.
【詳解】（1）要使函數有意義，
只需，解得：，
所以的定義域為.
（2）要使函數有意義，
只需，解得：，
所以的定義域為.
（3）要使函數有意義，
只需，解得：，
所以的定義域為.
（4）要使函數有意義，
只需，解得：，
所以的定義域為.
【題型3 利用對數函數的單調性比較大小】
知識點：當時，在上是減函數；當時，在上是增函數.
例7. 已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用對數函數的性質比較大小即可.
【詳解】，，，，
.
故選：C.
例8. 若，則a，b應該滿足的條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據對數的運算性質及對數函數的單調性即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
根據對數函數的單調性可知，，
故選：C
例9. 下列不等號連接不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用對數函數的單調性可判斷選項A，分別計算每個選項中兩個對數的范圍，可判斷選項B，D，利用對數的運算，再結合比較
的大小可判斷選項C，進而可得正確選項.
【詳解】對于選項A：因為在單調遞減，，所以，故選項A正確；
對于選項B：，，即，，
所以，故選項B正確；
對于選項C：，
，
因為，所以，
故選項C正確；
對于選項D：，，所以，故選項D不正確；
所以只有選項D不正確，
故選：D
【題型訓練3】
1．已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據對數函數的單調性分別判斷出的取值范圍，從而可得結果.
【詳解】，即；
，即；
，即，
所以.
故選：A
2．已知，比較，的大小.
【答案】
【分析】根據對數函數的單調性及換底公式比較即可.
【詳解】因為，
所以，
，
3．與的大小關系為 .
【答案】
【分析】首先求出范圍，再比較出真數大小關系，利用對數函數單調性即可比較大小.
【詳解】∵x滿足，即.
∴.
∴，由在上為減函數，
∴.
故答案為：
4．比較下列各數的大?。?br/>（1）與；
（2）與；
（3）與.
【答案】（1）.（2）.（3）.
【分析】（1）根據，在定義域內是減函數，即可比較二者大??；
（2）根據，在定義域內是增函數，可得，故，即可比較二者大??；
（3）根據，，即可比較二者大小.
【詳解】（1）設.
且是減函數，
，
即.
（2）是增函數，
.
，
即.
（3）且，
.
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8專題 對數函數
1. 函數y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是
(0，＋∞)．
2. 對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：　(0，＋∞)
值域：　R
當x＝1時，y＝0，圖象過定點　(1,0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是　增函數 在(0，＋∞)上是　減函數
注意：對數函數的解析式特征為（1）a＞0且a≠1; （2）logax的系數為 1；（3）自變量x的系數為 1，且x>0.
【題型1 對數函數概念】
【題型2 對數函數的定義域】
【題型3 利用對數函數的單調性比較大小】
【題型1 對數函數概念】
知識點：函數y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是
(0，＋∞)．
例1. 下列函數，其中為對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
例2. 若函數是對數函數，則a的值是（ ）
A．1或2 B．1
C．2 D．且
例3. 對數函數的圖象過點，則對數函數的解析式為 .
【題型訓練1】
1．下列函數中，是對數函數的有
①；②；③；④；⑤.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
3.已知函數是對數函數，則 ．
4．若對數函數的圖象過點，則此函數的表達式為 .
【題型2 對數函數的定義域】
知識點：對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域為(0，＋∞).
例4. 函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
例5. 若有意義，則實數a的取值范圍是 ．
例6. 若函數的圖象過點.
（1）求的值；
（2）求函數的定義域．
【題型訓練2】
1．函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
2．對數式中實數的取值范圍是 ．
3．求下列函數的定義域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【題型3 利用對數函數的單調性比較大小】
知識點：當時，在上是減函數；當時，在上是增函數.
例7. 已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
例8. 若，則a，b應該滿足的條件是（ ）
A． B．
C． D．
例9. 下列不等號連接不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型訓練3】
1．已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，比較，的大小.
3．與的大小關系為 .
4．比較下列各數的大?。?br/>（1）與；
（2）與；
（3）與.
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