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專題9 圓錐曲線
1．橢圓定義：
2．橢圓的性質
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖象
標準方程
長軸短軸 長軸；短軸
頂點 左右頂點 上下頂點 左右頂點 上下頂點
焦距
焦點
離心率
3．雙曲線定義：
4．雙曲線的性質
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖象
標準方程
實軸虛軸 實軸；虛軸
頂點 左右頂點 上下頂點
焦距
焦點
漸近線方程
離心率
5．拋物線的性質
圖象
標準方程
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點
準線方程
焦半徑公式
焦點弦長公式 p p p p
題型1 弦長問題
例1．已知點，是橢圓：的左右焦點，且橢圓的短軸長為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線過點且斜率為2，與橢圓交于兩點，求線段的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據短軸長和離心率，結合，求出，，得到橢圓方程；
（2）求出直線方程為，聯立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據弦長公式求出答案.
【詳解】（1）由題意得，解得，
又，故，解得，故橢圓方程為；
（2）由題意得，，可得直線方程為，
聯立與得，
設，故，
故.
例2．已知拋物線C頂點在原點，焦點在x軸上，且經過點，一條斜率為的直線過拋物線C的焦點，且與C交于A，B兩點，
(1)求拋物線方程；
(2)求弦的長度；
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題意設拋物線為，結合所過的點求拋物線方程；
（2）由（1）及題設有直線，聯立拋物線，應用韋達定理及弦長公式求.
【詳解】（1）由題意，可設拋物線為，又拋物線經過點，
所以，則拋物線方程為.
（2）由（1）知：拋物線焦點為，則直線，
代入拋物線消去y，得，則，顯然，
所以，，則.
例3．已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據實軸長可求，根據焦點坐標可求，然后可得方程；
（2）聯立直線與雙曲線的方程，利用韋達定理和弦長公式可求答案.
【詳解】（1）由已知，，又，則，所以雙曲線方程為.
（2）由，得，則，
設，，則，，
所以.
例4．已知分別是橢圓的左、右焦點，，點在橢圓上且滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若，求直線的方程．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根據橢圓定義、焦點坐標和橢圓關系直接求解即可；
（2）設，與橢圓方程聯立可得韋達定理的結論，利用弦長公式可構造方程求得，進而得到直線方程.
【詳解】（1）由橢圓定義知：，解得：，
又，即，，橢圓的方程為：.
（2）設直線，，，
由得：，
，解得：；
，，
，解得：，
直線的方程為：或.
例5．已知橢圓：的離心率，且經過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交于另一點，若，求直線的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據橢圓離心率公式，結合代入法進行求解即可；
（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，根據橢圓弦長公式進行求解即可.
【詳解】（1）因為橢圓的離心率，所以，即，
因為經過點，所以有，即，所以，
因此橢圓的標準方程為：；
（2）因為是橢圓的左頂點，所以由過點的直線交于另一點可知，該直線存在斜率，設為，即直線的方程為：，與橢圓方程聯立為：
，設
所以有，
因為，所以
或（舍去），即.
題型2 面積問題
例1．已知橢圓：（）的左焦點為，短軸長為2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點、斜率為1的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點，求的面積．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由基本量求解橢圓方程即可.
（2）求出直線與橢圓的交點坐標，再求解三角形面積即可.
【詳解】（1）
由題設知，所以，于是橢圓的方程為；
（2）依題意，直線的方程為，設，
聯立，解得或，
所以的面積.
例2．已知橢圓的離心率為，右焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓交于A，B兩點，求的面積.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題設可得、，進而寫出橢圓方程；
（2）聯立橢圓與直線，應用韋達定理、弦長公式及點線距離公式求，進而求面積.
【詳解】（1）由題設且，則，故，所以.
（2）聯立直線與橢圓，可得，顯然，
所以，，故，
而到的距離，
所以的面積為.
例3．已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，，且過點
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用雙曲線參數關系及點在雙曲線上列方程求，即得方程；
（2）根據所得雙曲線方程確定，且到軸距離為，結合三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1）由且，則，
又點在雙曲線上，則，
綜上，，即雙曲線的方程為.
（2）由（1）知：，而到軸距離為，
所以的面積為.
例4．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，焦距為．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若O為坐標原點，直線l：交雙曲線C于A，B兩點，求的面積．
【答案】(1)；(2)12
【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程和焦距，列方程組求出，得到雙曲線C的標準方程；
（2）直線與雙曲線聯立方程組，求出弦長，點到直線距離公式求出的高，可求面積．
【詳解】（1）由題意得：，解得，，，
所以雙曲線C的標準方程為．
（2）設，聯立方程組消去y整理得，
則，，，
，
原點到直線AB的距離，
所以．
例5．已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交雙曲線于A，B兩點，求的面積
【答案】
【分析】求出直線方程，求出點到直線AB的距離，再根據結論求出，進而求出三角形面積.
【詳解】的焦點坐標為，，
所以直線方程為，即，
點到直線AB的距離，
又，
所以.
例6．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知直線與拋物線相交于、兩點.
(1)求的焦點坐標及準線方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)焦點坐標為，準線方程為；(2)
【分析】（1）利用拋物線的方程可直接求出該拋物線的焦點坐標與準線方程；
（2）將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用拋物線的焦點弦長公式結合韋達定理可求出的值，并求出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】（1）解：對于拋物線，，則，，
所以，拋物線的焦點坐標為，準線方程為.
（2）解：設點、，易知直線過拋物線的焦點，
聯立可得，由韋達定理可得，
由拋物線的焦點弦長公式可得，
原點到直線的距離為，
因此，的面積為.
例7．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且軸時，.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）令，求出，故，得到拋物線方程；
（2）聯立與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出弦長和面積.
【詳解】（1）令時，，解得，
故當軸時，，所以，故拋物線的標準方程為；
（2）設，，由（1）可知，
由，消去得，
則，，
所以，
又，，所以，
故
因為點到直線的距離，
所以的面積為
例8．橢圓C：過點P（，1）且離心率為，F為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若面積為3，求直線的方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為，與橢圓聯立，結合韋達定理及，即可求解.
【詳解】（1）由已知可得，解得，所以，橢圓的標準方程為.
（2）當直線與軸重合時，不符合題意，
設直線的方程為，聯立，
可得，
，
設，由韋達定理可得，，
則，
則，解得，
所以直線的方程為.
題型3 斜率、向量問題
例1．已知橢圓的離心率為，長軸長為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過坐標原點O，求直線l的方程．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根據橢圓基本量與離心率直接求解即可；
（2）設出直線方程并聯立方程組，將以AB為直徑的圓過坐標原點O轉化為，用向量進行計算即可.
【詳解】（1）設橢圓的焦距為，
因為橢圓的離心率為，長軸長為，
所以，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）由題意得，，直線l的斜率不為0，
所以設直線l：，，
聯立，則，
恒成立，
則，
因為以AB為直徑的圓過坐標原點O，所以，
所以，
所以，即，
解得，
所以直線l：，即或.

例2．已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由條件寫出關于的方程組，即可求橢圓方程；
（2）首先直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示，即可求參數.
【詳解】（1）由題意得，，，，，，橢圓的標準方程為．
（2）依題意，知，設，．
聯立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，整理，得，解得或（舍去）．
直線的方程為．
例3．在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據題意得到關于的方程，解之即可求出結果;
（2）聯立直線的方程與橢圓方程，結合韋達定理以及平面向量數量積的坐標運算即可求出結果.
【詳解】（1）因為橢圓的左頂點到右焦點的距離是3，所以．
又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而．
所以橢圓的標準方程．
（2）因為直線的斜率為，且過右焦點，所以直線的方程為．
聯立直線的方程與橢圓方程，
消去，得，其中．
設，，則，．
因為，所以
．
因此的值是．
例4．已知橢圓的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若（為坐標原點），求實數的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據條件可得，解出即可.
（2）設，，聯立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得、，然后由可算出答案.
【詳解】（1）設焦距為，由已知得解得，，故橢圓的方程為．
（2）設，，聯立得．
，，，
，
因為，所以，
所以，
即，解得，即實數的值為．
例5．已知橢圓，離心率，過點．
(1)求的方程；
(2)直線過點，交橢圓與兩點，記，證明．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意建立方程組求出即可；
（2）由題意知直線的斜率存在，聯立方程組消元，利用韋達定理及直線斜率公式證明即可.
【詳解】（1）由題得，解得，于是；
（2）由題意知直線斜率存在，
設直線，聯立方程即，消可得，
由，
設，
韋達定理可得；
綜上所述：.
例6．在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據拋物線定義及焦準距即得動點的軌跡方程；
（2）先設出直線的方程，與拋物線方程聯立，消元后整理成一元二次方程，得出韋達定理，再利用斜率定義，得到的表達式，整理成的對稱式，代入韋達定理即得定值.
【詳解】（1）因動點到點的距離等于點到直線的距離，故可知動點的軌跡是拋物線，
設其方程為，由題意得，故動點的軌跡方程為：
（2）
如圖，因直線的斜率不能為零（否則直線與拋物線只有一個公共點），又過點，
可設由消去并整理得：，
顯然設，則由韋達定理，（*）
則，
將（*）代入得：,
故為定值.
1．已知拋物線的頂點為，焦點坐標為．
（1）求拋物線方程；
（2）過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求線段的值．
【答案】（1）．（2）
【解析】（1）由題得，解之即得拋物線的方程；（2）設直線方程為，利用弦長公式求解.
【詳解】解：（1）∵焦點坐標為
∴，，∴拋物線的方程為．
（2）設直線方程為，設，，
聯立消元得，
∴，，，
∴．
∴線段的值為．
2．已知點，橢圓的離心率為是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為2，O為坐標原點．
（1）求E的方程；
（2）設過點且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩M、N，且，求k的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由題意可知：ac，利用直線的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得橢圓E的方程；
（2）設直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得直線l的方程．
【詳解】解：（1）由離心率e，則ac，
直線AF的斜率k2，則c＝1，a，b2＝a2﹣c2＝1，
∴橢圓E的方程為；
（2）設直線l：y＝kx﹣，設M（x1，y1），N（x2，y2），
則，整理得：（1+2k2）x2﹣kx+4＝0，
△＝（﹣k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2，
∴x1+x2，x1x2，
∴，
即,
解得：或（舍去）
∴k＝±.
3．已知橢圓與經過左焦點的一條直線交于兩點.
(1)若為右焦點，求的周長；
(2)若直線的傾斜角為，求線段的長.
【答案】(1)8；(2)
【分析】（1）直接畫出圖形結合橢圓的定義即可求解.
（2）由題意結合左焦點的坐標以及直線的傾斜角為，可得直線的方程，將其與橢圓方程聯立，結合韋達定理以及弦長公式即可得解.
【詳解】（1）
由題意，由橢圓定義有，
所以的周長為.
（2）設，
由題意直線的斜率為，，即，
所以直線的方程為，將它與橢圓方程聯立得，
消去并化簡整理得，
顯然，由韋達定理得，
所以線段的長為.
4．已知橢圓，左、右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點．
(1)求的長；
(2)求的面積．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）聯立直線與橢圓方程求得交點坐標，即可根據弦長公式求解，
（2）由面積公式即可求解.
【詳解】（1）橢圓，，，，即，
所以直線的方程為，
聯立，得，或，
所以，
（2）由，得，由，得，
不妨設，，
的面積.
5．過點，且傾斜角為45°的直線與雙曲線交于，兩點，
（1）求
（2）設為坐標原點，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設的直線方程為，與雙曲線方程聯立，再利用弦長公式求解.
（2）先求得點到直線的距離，再結合（1）的結果，代入求解.
【詳解】（1）設的直線方程為，
聯立，
消去得，且，
.
（2）點到直線的距離，
則.
5．已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于3，且經過點（-3,8），直線與雙曲線交于點A、B．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求△的面積.
【答案】（1）（2）
【詳解】解:(1)設代入(-3，8)得∴方程為:
(2)聯立的
6．已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，當直線垂直于軸時，．
(1)求拋物線方程；
(2)若，為坐標原點，求的面積．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）設拋物線方程為,由題意求出其焦點坐標，進而可求出結果；
（2）先由題意得出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，求出，即可求出結果.
【詳解】（1）拋物線的焦點為，
令，解得：，，解得：，∴．
拋物線的方程為：；
（2）
依題意.設直線方程為 ，
設，，則，
得， 恒成立.
，
． 得，
則直線方程為.點到直線的距離為，
得的面積.
7．設橢圓：的左，右焦點分別為，，其離心率為，過的直線與 C 交于兩點，短軸長為2
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓上頂點為，證明：當的斜率為時，點在以為直徑的圓上．
【答案】（1）橢圓的方程為；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用離心率和短軸長得到a，b，c，即可得到方程；
（2）聯立直線l與橢圓的方程得到根與系數的關系，再將所證問題轉化為證明即可.
【詳解】（1）由題可得，，
解得
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）得，．設， ，依題意，的方程為，
將的方程代入并整理，可得，
所以，．

所以，
綜上， 點在以為直徑的圓上.
8．已知橢圓經過點，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.
【答案】(1)；(2)見解析
【分析】（1）根據離心率以及的幾何性質即可求解，
（2）聯立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，根據兩點斜率公式，代入化簡即可求解.
【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，
所以橢圓方程為
（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點的連線的斜率為，且的橫縱坐標恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，
直線的方程為：，
聯立直線與橢圓方程：，
設，
則，
，
將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.
9．已知為坐標原點，雙曲線：的離心率為，點P在雙曲線上，點，分別為雙曲線的左右焦點，.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知點，，設直線的斜率分別為，.證明：為定值.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）結合雙曲線定義即可；
（2）設點，結合兩點斜率公式即可.
【詳解】（1）由題知：由雙曲線的定義知：，
又，， 雙曲線的標準方程為.
（2）設，則
，，，
所以
10．已知雙曲線的離心率為2．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)設點P(0，－3)，過點Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點A，B，求直線PA，PB的斜率之和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用離心率求出，再由，即求.
（2）設出直線方程，將直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理即可求解.
【詳解】（1）由，則，因為，解得，所以，
所以雙曲線E的方程為.
（2）過點的直線斜率顯然存在，
設的方程為：，，，
將的方程代入雙曲線的方程并整理得
依題意，且，
所以且，
因此，可得，.
11．已知平面直角坐標系內的動點恒滿足：點到定點的距離與它到定直線的距離相等．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）根據拋物線的定義求解即可；
（2）設，聯立直線與拋物線的方程，得出韋達定理，再代入計算得即可.
【詳解】（1）設點P的坐標，由題設及拋物線的定義可知，
點P的軌跡為以焦點，準線方程為的拋物線，
故點P的軌跡C的方程為：．
（2）證明：由（1）得，曲線C的方程為：．
由題設可知，直線l的斜率必不為0，故設，
由得：，，
設，，則，．
所以，，故即．專題9 圓錐曲線
1．橢圓定義：
2．橢圓的性質
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖象
標準方程
長軸短軸 長軸；短軸
頂點 左右頂點 上下頂點 左右頂點 上下頂點
焦距
焦點
離心率
3．雙曲線定義：
4．雙曲線的性質
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖象
標準方程
實軸虛軸 實軸；虛軸
頂點 左右頂點 上下頂點
焦距
焦點
漸近線方程
離心率
5．拋物線的性質
圖象
標準方程
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點
準線方程
焦半徑公式
焦點弦長公式 p p p p
題型1 弦長問題
例1．已知點，是橢圓：的左右焦點，且橢圓的短軸長為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線過點且斜率為2，與橢圓交于兩點，求線段的值．
例2．已知拋物線C頂點在原點，焦點在x軸上，且經過點，一條斜率為的直線過拋物線C的焦點，且與C交于A，B兩點，
(1)求拋物線方程；
(2)求弦的長度；
例3．已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
例4．已知分別是橢圓的左、右焦點，，點在橢圓上且滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若，求直線的方程．
例5．已知橢圓：的離心率，且經過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交于另一點，若，求直線的斜率.
題型2 面積問題
例1．已知橢圓：（）的左焦點為，短軸長為2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點、斜率為1的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點，求的面積．
例2．已知橢圓的離心率為，右焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓交于A，B兩點，求的面積.
例3．已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，，且過點
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
例4．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，焦距為．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若O為坐標原點，直線l：交雙曲線C于A，B兩點，求的面積．
例5．已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交雙曲線于A，B兩點，求的面積
例6．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知直線與拋物線相交于、兩點.
(1)求的焦點坐標及準線方程；
(2)求的面積.
例7．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且軸時，.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.
例8．橢圓C：過點P（，1）且離心率為，F為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若面積為3，求直線的方程．
題型3 斜率、向量問題
例1．已知橢圓的離心率為，長軸長為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過坐標原點O，求直線l的方程．
例2．已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．
例3．在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值．
例4．已知橢圓的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若（為坐標原點），求實數的值．
例5．已知橢圓，離心率，過點．
(1)求的方程；
(2)直線過點，交橢圓與兩點，記，證明．
例6．在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.
1．已知拋物線的頂點為，焦點坐標為．
（1）求拋物線方程；
（2）過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求線段的值．
2．已知點，橢圓的離心率為是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為2，O為坐標原點．
（1）求E的方程；
（2）設過點且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩M、N，且，求k的值.
3．已知橢圓與經過左焦點的一條直線交于兩點.
(1)若為右焦點，求的周長；
(2)若直線的傾斜角為，求線段的長.
4．已知橢圓，左、右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點．
(1)求的長；
(2)求的面積．
5．過點，且傾斜角為45°的直線與雙曲線交于，兩點，
（1）求
（2）設為坐標原點，求的面積.
5．已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于3，且經過點（-3,8），直線與雙曲線交于點A、B．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求△的面積.
6．已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，當直線垂直于軸時，．
(1)求拋物線方程；
(2)若，為坐標原點，求的面積．
7．設橢圓：的左，右焦點分別為，，其離心率為，過的直線與 C 交于兩點，短軸長為2
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓上頂點為，證明：當的斜率為時，點在以為直徑的圓上．
8．已知橢圓經過點，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.
9．已知為坐標原點，雙曲線：的離心率為，點P在雙曲線上，點，分別為雙曲線的左右焦點，.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知點，，設直線的斜率分別為，.證明：為定值.
10．已知雙曲線的離心率為2．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)設點P(0，－3)，過點Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點A，B，求直線PA，PB的斜率之和．
11．已知平面直角坐標系內的動點恒滿足：點到定點的距離與它到定直線的距離相等．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，證明：．

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