資源簡介

重難點5-1 數列通項公式的求法
數列的通項公式求法是高考數學的必考考點，通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查.難度中等，但有時在同一個題目中會涉及到多種方法綜合性較強.
【題型1 觀察法求通項】
滿分技巧已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項．
【例1】（2023·河北張家口·高三尚義縣第一中學校聯考階段練習）
1．已知數列，則是這個數列的（ ）
A．第21項 B．第22項 C．第23項 D．第24項
【變式1-1】（2023·內蒙古通遼·高三?？茧A段練習）
2．數列，，，，的一個通項公式是an=（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·河南·高三校聯考期中）
3．數列的一個通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）
4．（多選）已知數列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數列的通項可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式1-4】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）
5．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數為（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【題型2 由Sn與an關系求通項】
滿分技巧若已知數列的前項和與的關系， 求數列的通項可用公式構造兩式作差求解． 用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）．
【例2】（2023·山東濰坊·高三?？计谥校?br/>6．數列前項和，則該數列的第4項為（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【變式2-1】（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習）
7．數列的前項和為，若，則 ．
【變式2-2】（2023·黑龍江·校聯考模擬預測）
8．已知數列的前項和為，若，且都有，則（ ）
A．是等比數列 B．
C． D．
【變式2-3】（2023·四川·校聯考三模）
9．已知數列滿足，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-4】（2023·全國·模擬預測）
10．已知數列滿足，，且數列的前項和為．若的最大值為，則實數的最大值是 ．
【題型3 累加法求通項】
滿分技巧適用于an＋1＝an＋f（n），可變形為an＋1－an＝f（n） 利用恒等式an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）（n≥2，n∈N*）求解
【例3】（2023·福建·高三校聯考期中）
11．已知數列滿足，且，若，則正整數為（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【變式3-1】（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學?？计谥校?br/>12．已知是數列的前項和，，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·山西·高三校聯考階段練習）
13．在等比數列中，，則 .
【變式3-3】（2023·上海普陀·統考一模）
14．若數列滿足，（，），則的最小值是 .
【變式3-4】（2023·北京·高三匯文中學校考期中）
15．已知數列滿足，，，.則集合中元素的個數為 .
【題型4 累乘法求通項】
滿分技巧適用于an＋1＝f（n）an，可變形為＝f（n） 要點：利用恒等式an＝a1···…·（an≠0，n≥2，n∈N*）求解
【例4】（2023·全國·高三專題練習）
16．已知中，，且，求數列通項公式.
【變式4-1】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習）
17．若數列滿足，，則滿足不等式的最大正整數為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【變式4-2】（2023·河南·模擬預測）
18．已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【變式4-3】（2023·重慶·高三重慶八中校考階段練習）
19．已知正項數列的前n項積為，且，則使得的最小正整數n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式4-4】（2023·河南·高三校聯考開學考試）
20．數列的首項為2，等比數列滿足且，則的值為 ．
【題型5 構造法求通項】
滿分技巧1、形如（其中均為常數且）型 設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列． 2、形如型 （1）當為一次函數類型（即等差數列）時： 設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列； （2）當為指數函數類型（即等比數列）時： 法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得 法二：當的公比為時，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構造等比數列. 法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q，r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：.
【例5】（2023·江蘇淮安·盱眙中學?？寄M預測）
21．在數列中，，且，則的通項為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）
22．已知數列中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）
23．已知數列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·山西太原·高三統考期中）
24．已知數列中，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是遞增數列 C． D．
【變式5-4】（2023·浙江·模擬預測）
25．已知數列的前項和為
(1)試求數列的通項公式；
(2)求.
【題型6 倒數法求通項】
滿分技巧形如an＋1＝（p，q，r是常數），可變形為＝·＋ 要點：①若p＝r，則是等差數列，且公差為，可用公式求通項； ②若p≠r，則轉化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數法構造新數列求解
【例6】（2022·重慶·高三西南大學附中?？茧A段練習）
26．已知數列滿足：，，則( )
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·全國·高三課時練習）
27．已知數列滿足，則數列的前2017項和（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）
28．已知數列各項均為正數，，且有，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）
29．已知數列的首項，且滿足．若，則n的最大值為 ．
【題型7 三項遞推法求通項】
滿分技巧適用于形如型的遞推式 用待定系數法，化為特殊數列的形式求解．方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型．
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中?？计谥校?br/>30．已知數列滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）
31．在數列中，，若，則（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【變式7-2】（2023·廣東茂名·高三校考階段練習）
32．已知，，（，），為其前項和，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）
33．數列滿足，且，求通項.
【變式7-4】（2023·全國·高三對口高考）
34．數列滿足：，，且，則數列的通項公式為 ．
【題型8 不動點法求通項】
滿分技巧（1）定義：方程的根稱為函數的不動點． 利用函數的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法． （2）在數列中，已知，且時，（是常數）， ①當時，數列為等差數列； ②當時，數列為常數數列； ③當時，數列為等比數列； ④當時，稱是數列的一階特征方程， 其根叫做特征方程的特征根，這時數列的通項公式為：； （3）形如，，（是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）． （1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數）； （2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數）． （其中、可利用，求得）
【例8】（2023·全國·高三專題練習）
35．若（，且）求數列的通項公式．
【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）
36．已知數列滿足性質：對于且求的通項公式.
【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習）
37．已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式．
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）
38．數列滿足下列關系：，，，求數列的通項公式．
【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習）
39．已知數列滿足，．求數列的通項公式．
（建議用時：60分鐘）
（2023·四川內江·校考模擬預測）
40．已知數列1，，，，3，，…，，…，則7是這個數列的（ ）
A．第21項 B．第23項 C．第25項 D．第27項
（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中學?？计谥校?br/>41．設是數列的前項和，已知且，則（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
（2023·陜西安康·安康中學校考模擬預測）
42．在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西漢中·高三統考階段練習）
43．設數列滿足，且，則數列的前9項和為（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津北辰·高三統考期中）
44．已知數列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C．16 D．32
（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）
45．已知數列的前n項和為，若，，（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
46．數列滿足（），則等于（ ）
A． B． C． D．
（2022·高二單元測試）
47．已知數列滿足=，，則數列的通項公式是（ ）.
A． B．
C． D．
（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）
48．已知數列滿足，，數列的前n項和為，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建福州·高三校考階段練習）
49．已知數列的前項的和為，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是等比數列
C． D．
（2023·全國·模擬預測）
50．已知數列滿足，，則該數列的通項公式為 ．
（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）
51．已知數列滿足：，，若，則數列的前50項和為 .
（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學?？奸_學考試）
52．已知，，則數列的通項公式是 ．
（2022·福建漳州·高三校考期中）
53．已知為數列的前項和，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
（2023·湖南衡陽·高二校考期末）
54．已知數列滿足，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據規律可知數列的通項公式為，計算可得是這個數列的第22項.
【詳解】由題意可得數列的通項公式為，
又，解得，
所以是這個數列的第22項．
故選：B．
2．C
【分析】根據所給數列的特點，先寫出數列，，，，的通項公式，再寫出數列，，，，的通項公式，最后寫出數列，，，，的通項公式.
【詳解】因為數列，，，，的通項公式為，
則數列，，，，的通項公式為，
而數列，，，，的每一項都是上面數列對應項的，
所以數列，，，，的通項公式為.
故選：C.
3．D
【分析】驗證各項是否符合即可.
【詳解】設該數列為，.
選項A，，不滿足題意，故A錯誤；
選項B，，不滿足題意，故B錯誤；
選項C，，不滿足題意，故C錯誤；
選項D，，均滿足題意.
故選：D.
4．ABD
【分析】根據n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當n為奇數時，，當n為偶數時，，故A中通項公式正確；
對于B顯然正確；
對于C，當時，，顯然不符合；
對于D，當n為奇數時，，當n為偶數時，，故D中通項公式正確.
故選：ABD．
5．D
【分析】通過前幾層小球的個數，可以發現規律得出結果.
【詳解】由題意，第一層個球，第二層個，第三層個，第四層個，
據此規律，第三十六層有小球個.
故選：D
6．B
【分析】根據即可求解.
【詳解】，
該數列的第4項.
故選：B.
7．
【分析】降次作差得，再利用等比數列通項公式即可得到答案.
【詳解】①，②，
兩式相減得，故，，
令中得，，
所以，而不適合上式，
故答案為：.
8．D
【分析】由已知變形得遞推關系，再計算出，因此得出，結合可得，然后由求出通項，再利用計算出．從而可判斷各選項．
【詳解】依題意，因為，
即，
又，所以，又，
所以數列是以3為首項，2為公比的等比數列，所以，
時，，時，，
所以，
故選：D．
9．B
【分析】由題中等式，可得，再結合時，可得.
【詳解】當時，有，所以，
當時，由，，
兩式相減得，
此時，，也滿足，
所以的通項公式為.
故選：B.
10．
【分析】將已知化簡為，由前n項和與通項關系可求得，進而可得，結合等差數列前n項和取最大值時的性質即可求得結果.
【詳解】因為，即，
當時，，
兩式相減得，
所以，（），
又滿足，
所以，（），
令，，顯然數列是等差數列，
若的最大值為，則，解得，
所以實數的最大值是.
故答案為：.
11．B
【分析】確定，，利用累加法確定，代入計算得到答案.
【詳解】，故，，故，
.
故，
，即，故，解得.
故選：B
12．B
【分析】由得，兩式相減得，把分別代入，用累乘法得，，再驗證也成立，即可得到.
【詳解】由得，
兩式相減得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因為，所以，.
當時，，所以.
故選：B
13．
【分析】先求得，然后利用累加法求得.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，所以，所以，
則當時，，
則.又也滿足，所以.
故答案為：
14．6
【分析】利用累加法求得，計算，由對勾函數的性質求最小值，注意是正整數.
【詳解】由已知，，…，，，
所以，，
又也滿足上式，所以，
設，由對勾函數性質知在上單調遞減，在遞增，
因此在時遞減，在時遞增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案為：6.
15．24
【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后對分奇數和偶數兩種情況討論.
【詳解】由題意得，，
所以
，
又，
所以，，
當為偶數時，令，解得，
當為奇數時，令，因為函數的對稱軸為，
當時，，當時，，所以，
綜上可得集合中元素的個數為.
故答案為：24
16．.
【分析】根據給定條件，利用累乘法列式求解作答.
【詳解】數列中，，，顯然，當時，，
，也滿足上式，
所以數列通項公式是.
17．B
【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.
【詳解】依題意，數列滿足，，
，所以
，也符合，所以，是單調遞增數列，
由，解得，
所以的最大值為.
故選：B
18．C
【分析】根據遞推關系化簡后，由累乘法直接求.
【詳解】，
，
即，
可得，
.
故選：C.
19．C
【分析】由遞推關系可得，取對數并利用累乘法可求得的通項公式，再求出，利用等差數列的前項和公式即可求解.
【詳解】由題，，又，
，，兩式相除可得，
上式兩邊取對數，可得，即，，
，
化簡得，解得，
又，即，
所以的通項公式為，
，
要使，即，解得，
且，所以滿足題意的最小正整數的值為6.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題要由遞推關系求出通項公式，再根據前項積求出.
20．2
【分析】根據等比數列定義可寫出數列的通項公式，再利用累乘可得出數列的表達式，代入計算即可得.
【詳解】設等比數列的首項為，公比為，
利用等比數列定義可知
所以可得，
，
，
由累乘可得，
整理可得
所以，
又，所以可得；
即.
故答案為：2
21．A
【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式計算可得；
【詳解】解：∵，∴，
由，得，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，即．
故選：A
22．C
【分析】分析得到數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，求出數列的通項即得解.
【詳解】
所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，
所以.
故選：C
23．BCD
【分析】先利用配湊法求出數列的通項公式，即可判斷選項A、B、D；再利用求和方法即可判斷選項C.
【詳解】由，可得：
所以數列是首項為，公比為2的等比數列，
則，
故.
所以
.
則，
所以選項A錯誤，選項B、D正確.
因為
所以正確．
故選：BCD．
24．BD
【分析】根據題意，化簡得到，得到表為等比數列，進而求得數列的通項公式，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
又由，可得，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，
所以，所以，
由，所以A不正確；
由，即，所以是遞增數列，所以B正確；
由，所以C錯誤；
由，，所以，所以D正確.
故選：BD.
25．(1)
(2)
【分析】（1）構造數列使其為等差數列，根據等差數列定義然后變形即可求解.
（2）由錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）由題意，兩邊同時除以，將其變形為，即，
由等差數列的定義可知是以首項為、公差為的等差數列，
所以，即.
（2）由（1）可知，顯然當時，有，
當時，有，
所以，
兩式相減得
.
而當時，也有，
綜上所述：，.
26．C
【分析】結合已知條件，對取倒數，然后構造等比數列即可求解.
【詳解】由題意，，即，故，
又因為，所以數列是以首項為2，公比為2的等比數列，
從而，解得.
故選：C.
27．C
【分析】取倒數后可得，利用累加法可得數列的通項，利用裂項相消法可求.
【詳解】根據題意，有，于是，
進而，
于是，進而.
故選：C
28．D
【分析】設，根據題設中的遞推關系可得，故利用等比數列的通項公式可求，從而可求的通項公式.
【詳解】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數，得：，
設，，，，
因為，故，故，所以為等比數列，
所以，故，所以，
故，
故選：D.
29．15
【分析】應用等差數列定義得出等差數列,根據差數列通項公式及求和公式求解計算即得.
【詳解】因為，所以，
即，且，
所以數列是首項為，公差為的等差數列.
可求得，
所以，即且單調遞增,.
則n的最大值為15.
故答案為:15.
30．A
【分析】根據已知的遞推公式得出數列為等比數列，寫出其通項公式，然后累加法求出數列的通項公式，從而求出的值即可.
【詳解】因為，
所以，
即，
所以數列以首項為，公比為4的等比數列，
所以，
，
，
，
，
累加得：
，
所以，
所以，
故選：A.
31．A
【分析】由已知可得，則數列是等差數列，從而可求出，進而可求得，然后由可求得結果.
【詳解】由且數列不存在為0的項，得，
所以數列是等差數列，且首項為，公差為，
所以，所以．
由，得，
故選：A．
32．B
【分析】利用遞推關系構造得是一個以3為首項，2為公比的等比數列，再賦值，結合等比數列的前n項和公式求答案.
【詳解】由（，）可得，
已知，，所以，
即是一個以3為首項，2為公比的等比數列，
所以，即，
，，，，，
，
故選B.
33．
【分析】構造法求證為等比數列并寫出通項公式，再應用累加法求數列通項公式.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
由等比數列定義知，數列是以為首項，3為公比的等比數列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合該式，
故.
34．
【分析】由，化簡得，則為等差數列，寫出數列的通項公式，進而求出數列的通項公式．
【詳解】由，
化簡得，
由，，
得，
所以是以為首項，以為公差的等差數列，
所以，
所以.
故答案為：.
35．
【詳解】根據迭代數列，構造函數，易知有唯一的不動點，
根據定理3可知，，，，則，即數列是以首項，公差為的等差數列．則對應的通項公式為，解得，
又也滿足上式．
∴的通項公式為．
36．
【分析】根據特征方程的根，構造數列的通項公式，再得到數列的通項公式.
【詳解】依定理作特征方程變形得其根為
故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有
，
∴
∴
即.
37．
【分析】令，求出數列的不動點，據此變形遞推關系式，可構造等差數列，即可求出數列通項公式．
【詳解】令．先求出數列的不動點，解得．
將不動點代入遞推公式，得，
整理得，，
∴．
令，則，．
∴數列是以為首項，以1為公差的等差數列．
∴的通項公式為．
將代入，得．
∴．
38．
【分析】結合函數求出不動點，將遞推公式化簡為，判斷是以為首項，公差為的等差數列，即可求解.
【詳解】令函數，解方程求出不動點，
于是，
∴是以為首項，公差為的等差數列，
∴，
∴.
39．
【分析】使用不動點法構造，，兩式相除得到，兩邊取對數，令，則數列是公比為的等比數列，從而求出通項公式.
【詳解】依題，
記，
令，求出不動點或3；由定理3知：，，
∴，又，所以，……，，，
∴．
又，令，則數列是首項為，公比為的等比數列．
∴．由，得．
∴．
40．C
【分析】根據題設給定的數列通項公式即可判斷7的位置.
【詳解】因為數列的第項為，而，
所以7是題中數列的第25項．
故選：C
41．B
【分析】時，，作差得數列從第二項起成等比數列，即可求解.
【詳解】時，，
時，，
作差得，即,
所以數列從第二項起成等比數列，
所以.
故選：B.
42．B
【分析】利用遞推公式可得相鄰兩項前后項之差，再利用累加法可得通項，最后裂項相消求和即可.
【詳解】因為，故可得，，…，，及累加可得，
則，所以，
則．
故選：B．
43．C
【分析】應用累加法求的通項公式，再由裂項相消求數列的前9項和.
【詳解】由題設，，
所以，
故.
故選：C
44．B
【分析】先利用和與項的關系，將和轉化為項，判斷出數列為等比數列，即可求解.
【詳解】∵①，
∴②，
②減去①得：，即，
又∵，即，
∴數列是以為首項，公比為的等比數列，
∴.
故選：B.
45．D
【分析】由，可得，由此得到數列為等比數列，求出，再求出即可.
【詳解】由，得，
所以，所以，
因為，
所以是以3為首項，3為公比的等比數列，
所以，所以，
所以．
故選：D
46．A
【分析】先求，再由已知仿寫作差得到，驗證是否符合，最后再用等差數列的求和公式求解.
【詳解】由，，得，
當時，
，
兩式相減得，
則，
顯然滿足上式，
因此，
所以.
故選：A
47．A
【分析】由遞推公式可得數列是等比數列，根據等比數列的通項公式即可求解.
【詳解】因為，所以,
設,可得,
所以，即,
所以，
所以數列是首項為，公比為3的等比數列，
所以，所以 .
故選:A.
48．ABD
【分析】求得數列的通項公式和前n項和公式，再去驗證選項即可解決.
【詳解】由，
可得：，，，，，
則
即，則，又時也成立，所以
故選項B判斷正確；
由，可知選項A判斷正確；
令
則2
兩式相減得
故選項D判斷正確；
由，可得選項C判斷錯誤.
故選：ABD
49．AD
【分析】根據遞推公式可判定A，利用特殊項結合等比數列的定義可判定B，利用迭代法及等比數列的定義結合的關系可判定C、D.
【詳解】由題意可知，所以，故A正確；
因為，
所以不能是等比數列，故B錯誤；
因為（），即（），
所以，
所以，即，
又因為，所以是以2為首項，4為公比的等比數列，
所以，
所以，
即，故D正確．
故選：AD.
50．
【分析】根據條件，得到，由等比數列的定義得到，再通過變形得到數列是以為首項，3為公差的等差數列，即可求出結果.
【詳解】當時，，
又，所以數列是以3為首項，為公比的等比數列，
所以，等式兩邊同時除以，得，
又，所以數列是以為首項，3為公差的等差數列，
所以，得到，
故答案為：.
51．
【分析】由題意可得數列中從奇數項起的連續三項成等比數列，從偶數項起的連續三項成等差數列，分別求得數列中的前10項，進而歸納出，由數列的裂項相消求和可得所求和．
【詳解】由，，
可得數列中從奇數項起的連續三項成等比數列，從偶數項起的連續三項成等差數列，
又，，可得數列的前10項為1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
進而可得，
則數列的前50項和為
．
故答案為：．
52．
【分析】根據題意化簡得到，結合，即可求解.
【詳解】由題意知，整理得，可得，
又由，則，
所以數列的通項公式為，顯然n = 1也滿足.
故答案為：
53．(1)()
(2).
【分析】（1）對于已知和式的條件，一般是構造另一個和式與之作差，即可求出通項，不過需要檢驗首項是否符合,符合則是通項，不符合則分段表示通項；
（2）對于通項型如的數列求和，一般考慮裂項相消法即可.
【詳解】（1）∵，
∴當時，，
兩式相減得，即 ()，
當時，，符合上式，
∴的通項公式為()．
（2）∵，
∴，
∴．
54．(1)
(2)
【分析】（1）推導出數列是等比數列，為常數列，求出這兩個數列的通項公式，即可求得數列的通項公式；
（2）由已知可得，利用錯位相減法與分組求和法可求得的表達式.
【詳解】（1）解：因為，所以，
又因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，，①
又因為，所以，數列為常數列，
故，②
②①可得，所以，，
所以，對任意的，.
（2）解：令，則，
則.
令①，
所以②，
①②得，
所以，所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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