資源簡介

重難點4-1 平面向量的最值與范圍
平面向量中的最值范圍問題是向量問題中的重難點，也是近幾年新高考數(shù)學(xué)的熱點問題.常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活.主要考查向量數(shù)量積的最值、系數(shù)的最值、模長和夾角的最值.在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法.
【題型1 向量數(shù)量積的最值與范圍】
滿分技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法： （1）運用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運算； （2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理； （3）利用極化恒等式來處理.
【例1】（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）
1．設(shè)，，都是單位向量，且與的夾角為60°，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）
2．已知正方形的邊長為，在邊上，則的最大值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式1-2】（2024·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）
3．如圖，在等腰梯形中，是線段上一點，且，動點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·山東·五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）
4．已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【變式1-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）
5．已知過點且與圓相切的兩條直線的夾角為，再過點作直線與圓交于兩點，則的最大值為（ ）
A．0 B．8 C． D．16
【題型2 向量模長的最值與范圍】
滿分技巧處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有： （1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運算求得； （2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運算求得； （3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.
【例2】（2023·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）
6．向量在向量上的投影向量為，則的最大值為 ．
【變式2-1】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）
7．已知非零向量，滿足，，則的最大值為
A． B． C． D．5
【變式2-2】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）
8．在中，，當(dāng)時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）
9．已知，，，，，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
【變式2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
10．已知平面向量，，滿足，，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．, D．,
【題型3 向量夾角的的最值與范圍】
滿分技巧求兩個非零向量夾角的步驟 第一步：由坐標(biāo)運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積； 第二步：分別求出這兩個向量的模； 第三步：根據(jù)公式求解出這兩個向量夾角的余弦值； 第四步：根據(jù)兩個向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角.
【例3】（2023·高三課時練習(xí)）
11．已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是 .
【變式3-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
12．已知單位向量，若對任意實數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·重慶沙坪壩·高三鳳鳴山中學(xué)校考期中）
13．若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·山東菏澤·高三菏澤一中校考階段練習(xí)）
14．已知向量，滿足，若對任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為 .
【變式3-4】（2023·上海·高三大同中學(xué)校考期中）
15．已知A，B是平面內(nèi)兩個定點，且，點集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是 ．
【題型4 向量系數(shù)的最值與范圍】
滿分技巧此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解. （1）平面向量共線定理：已知，若三點共線，反之亦然； （2）等和線：平面內(nèi)一組基底，及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立.我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線. ①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，； ②當(dāng)?shù)群途€在點和直線直線時，； ③當(dāng)直線在點和等和線之間時，； ④當(dāng)?shù)群途€過點時，； ⑤若兩等和線關(guān)于點對稱，則定值互為相反數(shù).
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
16．在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
17．已知是邊長為1的等邊三角形，若且，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）
18．中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最小值為4 D．的最大值為16
【變式4-3】（2023·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）
19．在中，，是線段上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【變式4-4】（2023·山東·高三省實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）
20．已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．-1
（建議用時：60分鐘）
（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
21．已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
22．已知向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）
23．已知平面向量，均為單位向量，且，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）
24．在四邊形中，，，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）
25．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，點滿足，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）
26．如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為的中點．將線段繞著點旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（　 ）
A． B． C． D．
（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）
27．如圖，在平面四邊形ABCD，，，，．若點E為邊上的動點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)校考階段練習(xí)）
28．如圖，是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若，，點M為線段上的動點，則的最大值為（ ）

A． B． C．6 D．10
（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
29．已知點A，B，C在圓上運動，且，若點P的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）
A．7 B．12 C．14 D．11
（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）
30．已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B．12 C． D．24
（2024·全國·模擬預(yù)測）
31．已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．6
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
32．在中，是邊上的點，滿足，在線段上（不含端點），且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．8
（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
33．在平面直角坐標(biāo)系中，點為圓上的任一點，.若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）
34．在中，，，過的外心O的直線(不經(jīng)過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充·閬中中學(xué)校考一模）
35．圓O是邊長為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點D，點M圓上任意一點，（x，），則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
36．設(shè)向量滿足，，若存在實數(shù)，，則向量與的夾角的取值范圍為 ．
（2023·山東聊城·高三校考期中）
37．已知是邊長為的正三角形，點為平面內(nèi)一點，且，則的取值范圍是 ．
（2023·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考開學(xué)考試）
38．如圖，正六邊形的邊長為2，圓的圓心為正六形的中心，半徑為1，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的取值范圍是 .

（2023·全國·高三專題練習(xí)）
39．已知向量滿足，若的最大值為1，的取值范圍為 ．
（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）
40．若正方形邊長為，點為其內(nèi)切圓上的動點，，則的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】按題意設(shè)出向量坐標(biāo)，展開運算即可.
【詳解】設(shè)，，，則
所以
故選：D.
2．C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出，，的坐標(biāo)，設(shè)出點坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算求解即可．
【詳解】由題意，建立如圖所示坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，，
則，，
，
所以，
所以，
故當(dāng)時，有最大值．
故選：C．
3．C
【分析】過點作，垂足為，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用，通過坐標(biāo)運算和數(shù)量積的定義來求解最值.
【詳解】過點作，垂足為，
以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，
則，
其中，
，
當(dāng)，即同向時，取最大值，
所以的最大值為.
故選：C.
4．A
【分析】將中向量進(jìn)行分解，即：，
由是的中點，可將上式進(jìn)行化簡整理為，所以只需求最大，即的長加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.
【詳解】因為弦所對的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，
取的中點，所以，，如圖所示：
因為,
因為是的中點，所以，
，
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故選：A
5．B
【分析】先求出點的軌跡，然后根據(jù)向量知識將，轉(zhuǎn)化為與向量，進(jìn)而得出答案.
【詳解】解：如圖，設(shè)過點作圓的兩條切線的切點為，
因為，所以．
因為圓C的方程可化為，
所以，．
所以點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．
如圖，設(shè)MN的中點為H，則，
所以
．
因為，
所以當(dāng)時，的值最大，
最大值為8．
故選：B．
6．
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】依題意，根據(jù)投影向量的定義有：，
則，即，
又，所以，
所以當(dāng)取最大值時，有最大值，
又，
所以.
故答案為：.
7．A
【分析】利用平面向量的數(shù)量積與模長關(guān)系先判定，再利用三角換元結(jié)合輔助角公式計算即可.
【詳解】，由，則有，
又 ，
即，
令，
則，
故選：A．
8．C
【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.
【詳解】如下圖所示：
在直線上取一點，使得，
所以，當(dāng)時，取得最小值為，即；
又，所以可得是以為頂點的等腰直角三角形，
建立以為坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又可得為的中點，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
則，
令，由可得，
所以，，
由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.
9．A
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，
又，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，
故只需求的最大值即可，
因為點在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)，
所以，
所以當(dāng)且三點共線時，
有最大值.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是將向量問題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問題融入代數(shù)方法，從而順利得解.
10．A
【分析】令，，，,，應(yīng)用向量線性運算坐標(biāo)表示得到坐標(biāo)，坐標(biāo)公式求模，設(shè)，應(yīng)用輔助角公式及正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】設(shè)，，，設(shè)，,，
所以，
所以，
設(shè)，,，則，其中，所以，
所以,，故,，
所以,，即,.
故選：
11．
【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的數(shù)量積求出向量夾角的余弦范圍作答.
【詳解】因為，，且，則有，
因此，而，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，即有，
所以與的夾角的取值范圍是.
故答案為：
12．A
【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長的關(guān)系結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計算即可.
【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，因為，所以，
則，即恒成立.
所以，解得，
故的夾角的取值范圍是.
故選：A.
13．C
【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，即可確定，的橫坐標(biāo)，設(shè)出坐標(biāo)由得到兩向量縱坐標(biāo)的關(guān)系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.
【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，
故選：C.
14．
【分析】首先要根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)以及向量三角不等式的關(guān)系放縮，再通過向量平方去掉模，最后解三角不等式.
【詳解】由，若對任意模為的向量，均有，
由三角不等式得，，因為向量為任意模為的向量，
所以當(dāng)向量與向量夾角為時，上式也成立，設(shè)向量的夾角為.
，，
平方得到，即，
則，即，即，
同時，所以，
平方得到，即，
解得，即，，
綜上，又因為，即，
向量的夾角的取值范圍.
故答案為：.
15．
【分析】由于為點集，則可根據(jù)集合特點判斷點，則可知點與投影有關(guān)，則根據(jù)投影相關(guān)知識點，M，，所以根據(jù)集合特點即可代入計算.
【詳解】因為，點集，
當(dāng)時，過作于,延長于,使得,
則可知點在線段上運動.

因為，根據(jù)數(shù)量積的幾何含義可知，在上的投影為3，即，
又因為M，，則為線段上的兩個點，
所以、夾角最小為，最大為的二倍，
所以、夾角為，則最大為1，最小為
所以范圍為.
故答案為：
16．D
【詳解】因為為動點，所以不容易利用數(shù)量積來得到的關(guān)系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標(biāo)系各個點的坐標(biāo)易于確定，
可得：，則，所以設(shè)，則由可得：，因為在內(nèi)，且，所以所滿足的可行域為，代入可得：，通過線性規(guī)劃可得：.
17．B
【分析】將平方可得到，三角代換后可得，，即可求出的表達(dá)式，結(jié)合輔助角公式即可求得答案.
【詳解】因為是邊長為1的等邊三角形，所以，，
所以，又，，
所以，即.
令，，解得，，
所以，
所以，此時，
故選：B.
18．C
【分析】利用基本不等式可求得的最大值為，判斷A、B；將化為，結(jié)合基本不等式可求得其最小值，判斷C；，結(jié)合可判斷D.
【詳解】為正實數(shù)，，
，而共線，

，
當(dāng)且僅當(dāng)時，結(jié)合，即時取等號，A，B錯誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，
即的最小值為4，C正確；
又，
由于為正實數(shù)，，則，
則，時取最大值，
當(dāng)趨近于0時，可無限趨近于0，
故，故無最大值，D錯誤，
故選：C.
19．D
【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果
【詳解】
因為，所以，
因為，所以，
因為三點共線，所以，，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，
所以的最小值是.
故選：D
20．B
【分析】首先確定向量的夾角，從而構(gòu)建單位圓，確定向量的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)表示，并利用三角函數(shù)求最小值.
【詳解】，所以，

根據(jù)，，則,,
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，
由，可知，，
得，，
，
其中，所以，
則，
所以當(dāng)時，
所以的最小值是.
故選：B
21．B
【分析】利用向量數(shù)量積與模長關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故選：B
22．D
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，可得答案.
【詳解】因為，所以，即，
整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以當(dāng)與反向時，取得最大值，且最大值為.
故選：D.
23．C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】依題意平面向量，均為單位向量，且，
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，
設(shè)，由，
所以點在以原點為圓心，半徑為的圓上，
表示以原點為圓心，
半徑為的圓上的點與點的距離，
所以，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知：的最大值是，
其中是點與原點的距離.
故選：C
24．C
【分析】設(shè)結(jié)合圖象，運用數(shù)量積運算將轉(zhuǎn)化為，再利用倍角公式，輔助角公式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.
【詳解】
設(shè)，則,，
因為，所以，
故，所以，
即的最大值為.
故選：C
25．A
【分析】設(shè)點，利用可得，即點軌跡為圓心為，半徑為的圓，則可設(shè)，利用輔助角公式化簡，即可求出最值.
【詳解】設(shè)點，
由，得，
解得，
即點軌跡為圓心為，半徑為的圓，
可設(shè)，為任意角，
則，，
所以
，
所以當(dāng)時，
最大，且為.
故選：A
26．C
【分析】利用轉(zhuǎn)化法，將轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而求得的最小值即可.
【詳解】連接,
則
,
當(dāng)時，最小，可求得，
結(jié)合，得的最小值為，
故選：
27．A
【分析】由已知條件可得，設(shè)，則，由，展開后，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】∵
,
因為，，，
所以，
連接，因為，
所以≌，
所以，
所以，則，
設(shè)，則，
∴，，，，
所以，
因為，
所以.
故選：A.
28．D
【分析】利用平面向量的線性表示和數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，，
所以，
又因為，
所以,，
設(shè),則，
所以，
，
所以
，
令，
當(dāng)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
當(dāng)，取最大值為.
故選：D
29．D
【分析】由，得到AC為圓的直徑，設(shè)，得到求解.
【詳解】解：如圖所示：

因為，所以AC為圓的直徑，
又，則，
設(shè)，則，
所以，
所以，
當(dāng)時，等號成立，
故選：D
30．D
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把的兩邊平方，利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】由已知非零向量的夾角為，所以，
由，兩邊平方得
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，
所以的最小值為24.
故選：D.
31．B
【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.
【詳解】為單位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，
如取時，可使“”成立.
所以.
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.
32．B
【分析】利用平面向量的線性運算推導(dǎo)出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為是邊上的點，滿足，則，
所以，，
因為在線段上（不含端點），則存在實數(shù)，使得，
所以，，
又因為，且、不共線，則，故，

因為，則，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
33．C
【分析】通過圓的三角換元，利用向量的加減運算及向量相等的條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即得結(jié)果.
【詳解】由已知可設(shè)，則，
又，因為，
所以,即,
所以,其中，
當(dāng)時，有最大值為.
故選：C.
34．B
【分析】求得，外接圓的半徑，設(shè)，，，根據(jù)，結(jié)合和
三點共線，得到，進(jìn)而求得，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取值范圍.
【詳解】因為中，，
由余弦定理可得，
即，且，
設(shè)，
則，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因為，，所以，
因為三點共線，可得，
因為，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
設(shè)，可得，
令，可得，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為；
又由，，可得，
所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，
所以的取值范圍是.
故選：B.
35．B
【分析】建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示及圓的參數(shù)方程可得的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.
【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，
因為圓O是邊長為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，
所以，即內(nèi)切圓的圓心為，半徑為1，
可設(shè)，又，
∴，，
∴，
故得到，
∴，
∴，
當(dāng)時等號成立，即的最大值為2.
故選：B.
36．
【分析】利用性質(zhì)，將不等式平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再由關(guān)于t的一元二次不等式有解，利用判別式可得.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，由，利用平面向量的數(shù)量積可得
，即存在實數(shù)，使成立，于是，即，所以，所以向量與的夾角的取值范圍．
故答案為：
37．
【分析】以中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由此可得點軌跡方程，設(shè)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運算和三角恒等變換知識可化簡得到，結(jié)合正弦函數(shù)值域可求得結(jié)果.
【詳解】以中點為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則，，，
，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
點軌跡方程為：，不妨設(shè)，
，，，
，
，
，，
即的取值范圍為.
故答案為：.
38．
【分析】求出線段長的范圍，結(jié)合給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律求解作答.
【詳解】正六邊形的邊長為2，則其半徑為2，邊心距為，則正六邊形邊上的點到其中心的距離，

因此
，
所以的取值范圍是.
故答案為：
39．
【分析】由題意，得，再利用向量的模的計算公式，即可求解.
【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，則；又,
所以，
所以,
所以，
又，所以，所以的取值范圍是．
故答案為：．
40．
【分析】以正方體的中心為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】以正方體的中心為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
因為正方體的棱長為，可得，
又由正方形的內(nèi)切圓的方程為，設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，，
因為，可得，
所以，可得，
因為，所以.
故答案為：

答案第1頁，共2頁
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