資源簡介

重難點3-2 解三角形的綜合應用
解三角形一直是高考數學中的熱門考點，這類試題主要考查學生數形結合、等價轉化、數學運算和邏輯推理的能力.一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構造函數或構造基本不等式等方法加以解決.
【題型1 四邊形中的解三角形問題】
滿分技巧四邊形中的解三角形問題通常需將四邊形分成多個三角形，觀察各個三角形之間的關系，找出同角、共邊的三角形，有時還需結合三角恒等變換.
【例1】（2024·湖南婁底·高三統考期末）
1．如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.

(1)求鈍角的大小；
(2)若，求的大小.
【變式1-1】（2024·云南昆明·統考一模）
2．在中，，，.
(1)求的面積；
(2)如圖，，，求.
【變式1-2】（2024·重慶·高三重慶八中校考開學考試）
3．已知四邊形的外接圓面積為，且為鈍角，
(1)求和；
(2)若，求四邊形的面積．
【變式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）
4．如圖，在四邊形中，為的中點，，，，
(1)求；
(2)若，，求.
【題型2 解三角形中的中線應用】
滿分技巧1、中線長定理：在中，是邊上的中線，則 【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中 2、向量法： 【點睛】適用于已知中線求面積（已知的值也適用）.
【例2】（2024·廣東廣州·廣州六中校考三模）
5．在中，角，，對應的邊分別為，，且.
(1)求角；
(2)，，點在上，，求的長.
【變式2-1】（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）
6．在中，內角所對應的邊分別為，且滿足．
(1)求角；
(2)若，且，求邊的中線長．
【變式2-2】（2024·浙江寧波·高三統考期末）
7．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，BC邊上的中線，求的面積．
【變式2-3】（2024·重慶·統考一模）
8．在梯形中，為鈍角，，．
(1)求；
(2)設點為的中點，求的長．
【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習）
9．在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長．
條件①：的面積為；條件②：；條件③：．
【題型3 解三角形中的垂線應用】
滿分技巧1、分別為邊上的高，則 2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度 高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關.
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）
10．在中，內角A，B，C滿足．
(1)求；
(2)若邊上的高等于，求．
【變式3-1】（2024·福建·高三校聯考開學考試）
11．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．
【變式3-2】（2024·江蘇常州·高三統考期末）
12．記的內角，，的對邊分別為，，，邊上的高為，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【變式3-3】（2024·江西贛州·高三統考期末）
13．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)證明：；
(2)記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．
【變式3-4】（2024·全國·模擬預測）
14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，過點A作，使得四邊形ABCD滿足，．
(1)求角的大小；
(2)若，求四邊形的面積．
【題型4 解三角形中的角平分線應用】
滿分技巧如圖，在中，平分，角、，所對的邊分別問，， 1、利用角度的倍數關系： 2、內角平分線定理：為的內角的平分線，則. 說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合抓星結構，就可以轉化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷. 3、等面積法： 因為，所以，所以 整理的：（角平分線長公式）
【例4】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯考期末）
15．在中，.
(1)求；
(2)若，點在邊上，平分，求的長.
【變式4-1】（2024·廣東湛江·高三統考期末）
16．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分線與交于點，且，求.
【變式4-2】（2024·山東濟南·高三統考期末）
17．記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．
(1)求B，
(2)的平分線交邊于點D，且，求b．
【變式4-3】（2024·浙江寧波·高三余姚中學校聯考期末）
18．在中，已知.
(1)求的長；
(2)若的平分線交點，求的最大值.
【變式4-4】（2023·安徽·高三校聯考期末）
19．如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.

(1)求的大小;
(2)若,求的面積.
【題型5 解三角形中的等分點應用】
滿分技巧當所三角形問題不再是中線、角平分線、垂線這些特殊情況時，要注意結合補角的三角函數關系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量.
【例5】（2024·山西太原·高三統考期末）
20．在中，，，分別為內角的對邊，點在線段上，，，的面積為.
(1)當，且時，求；
(2)當，且時，求的周長.
【變式5-1】（2024·江蘇蘇州·高三統考期末）
21．在中，角的對邊分別為，已知.
(1)求證：；
(2)若點在邊上，且，求的面積.
【變式5-2】（2023·江蘇揚州·高三統考階段練習）
22．如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)已知，為邊上的一點，若，，求的長．
【變式5-3】（2023·安徽·校聯考模擬預測）
23．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求證：；
(2)如圖：點在線段上，且，求的值.
【變式5-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）
24．已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．
(1)求；
(2)若，點在邊上，，且，求．
【題型6 與三角值有關的最值范圍】
滿分技巧三角形中的最值范圍問題處理方法 1、利用基本不等式求最值-化角為邊 余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件. 2、轉為三角函數求最值-化邊為角 如果所求整體結構不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉化為角的關系，消元后使得式子里只有一個角，變為三角函數最值問題進行解決. 要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊.
【例6】（2024·全國·模擬預測）
25．記的內角所對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)求的最小值．
【變式6-1】（2024·河北邢臺·高三統考期末）
26．在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
【變式6-2】（2024·山東棗莊·高三統考期末）
27．在中，角所對的邊分別為.若.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
【變式6-3】（2023·湖南永州·統考二模）
28．記三個內角的對邊分別為，已知為銳角，．
(1)求；
(2)求的最小值．
【變式6-4】（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學校校考階段練習）
29．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范圍.
【題型7 與邊或周長有關的最值范圍】
【例7】（2022·河南·高三專題練習）
30．已知中，角所對的邊分別為，若，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習）
31．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·廣東汕頭·金山中學校考模擬預測）
32．在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.
在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：
(1)；
(2)周長的取值范圍.
【變式7-3】（2024·青海西寧·高三統考期末）
33．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范圍.
【變式7-4】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考階段練習）
34．已知的內角的對邊分別為，且的面積為
(1)求；
(2)求周長的最小值.
【題型8 與面積有關的最值范圍】
【例8】（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）
35．在中，內角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．
(1)求角的大小；
(2)若時，求面積的最大值．
【變式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）
36．在銳角中，角所對應的邊分別為，已知．
(1)求的值；
(2)若，求面積的取值范圍．
【變式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）
37．在中，已知分別為的對邊，且，，
(1)求滿足的表達式
(2)如果，求出此時面積的最大值.
【變式8-3】（2024·江西·高三校聯考期末）
38．如圖，在△ABC中，，D為△ABC外一點，，記，.
(1)求的值；
(2)若的面積為，的面積為，求的最大值.
【變式8-4】（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）
39．的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.
（建議用時：60分鐘）
（2023·廣東深圳·高三校考期末）
40．在平面四邊形中，，，對角線與交于點，是的中點，
(1)若，求的長；
(2)若，求
（2024·浙江·校聯考一模）
41．在中，內角所對的邊分別是，已知．
(1)求角；
(2)設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．
（2023·湖南長沙·高三統考階段練習）
42．已知中，．
(1)求；
(2)的平分線交于，求的長．
（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）
43．在中，內角，，所對邊分別為，，，．
(1)求的值；
(2)若，，點在內部，且，，求的面積．
（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯考期末）
44．在中，角所對的邊分別為邊上的高設為，且.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范圍.
（2024·浙江紹興·高三統考期末）
45．在中，已知．
(1)若，求的值；
(2)已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．
（2024·全國·武鋼三中校聯考模擬預測）
46．已知中，角，，所對的邊分別為.
(1)求的值；
(2)若為線段上一點且滿足平分，求的面積的取值范圍.
（2024·山東威海·高三統考期末）
47．在中，角所對的邊分別為記的面積為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
（2024·湖北·校聯考模擬預測）
48．在中，已知，D為的中點.
(1)求A；
(2)當時，求的最大值.
（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）
49．記鈍角的內角的對邊分別為．若為銳角且．
(1)證明：；
(2)若，求周長的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩角和的余弦公式，二倍角余弦公式，誘導公式將條件式化簡，求得的值得解；
（2）設，由正弦定理求得，結合條件，求得，結合角的范圍求得結果.
【詳解】（1）因為，
所以，所以，
又，所以，即，
解得或者，又為鈍角，所以.
（2）設，四邊形內角和為，
由（1）的結論知：，
在中，由正弦定理得：，即，
在中，，即，
又，
則，即，即，
，即，
，即，即的大小為.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據同角關系求解正余弦值，即可根據正弦定理求解，進而有和差角公式以及三角形面積公式求解即可，
（2）根據邊角關系以及余弦定理即可求解.
【詳解】（1）因為，,所以，
因為，，所以，
在中，由正弦定理可得，解得.
又因為，
所以.
（2）由（1）可知，，因為，所以，
又因為，即，故，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得.
3．(1)，
(2)
【分析】（1）利用外接圓面積求出外接圓半徑，進而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出；
（2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面積公式求出，相加后得到答案.
【詳解】（1）四邊形的外接圓面積為,即的外接圓面積為，
設的外接圓半徑為，則，解得，
在中，，即，故，
因為為鈍角，所以為銳角，故，
由余弦定理得，即，
故，解得，負值舍去，
（2），
因為，所以，
在中，由正弦定理得，
又，故，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，
四邊形的面積為.
4．(1)
(2)
【分析】（1）在中應用余弦定理求出，，然后在中，余弦定理求出，進而得到；
（2）因為，所以，從而得到，然后在中，借助余弦定理求出的值.
【詳解】（1）
因為，，，為的中點，
所以在中，，
所以，
所以，
在中，，
所以，.
（2）因為，所以，所以，
所以，
在中， ，
所以
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據誘導公式和正、余弦定理計算即可求解；
（2）由（1），利用余弦定理求出AC，設，再次利用余弦定理表示，建立關于x的方程，解之即可求解.
【詳解】（1）由題意知，，
得，
由余弦定理，得，即，
所以，
由，得.
（2）由（1）知，，所以，
即，由，解得，
即，設，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
整理得，即，
解得，所以.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角求解；
（2）先利用余弦定理求出角，進而可得是一個角為的等腰三角形，解求邊的中線長.
【詳解】（1）對于，由正弦定理得，
因為，
所以，即，
由角為的內角可得；
（2）因為，
所以，又角為的內角，
所以，則，
即是一個角為的等腰三角形，設上的中點為，
所以，即，
所以，
所以，即邊的中線長為.
7．(1)
(2)
【分析】（1）根據三角形內角和，先把換成，再用兩角和與差的三角函數公式展開化簡，可得結論；
（2）借助余弦定理和三角形面積公式求解.
【詳解】（1）因為，
即，
所以，
又因為，所以，所以．
（2）方法1：因為，
所以，即，
所以①；
由余弦定理得，②；
所以由①②得，
所以．
方法2：由余弦定理得：
，
因為，
所以①；
又②；
所以由①②得，
所以．
8．(1)；
(2)
【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式計算即得.
（2）利用（1）的結論，借助向量數量積求出的長.
【詳解】（1）在梯形中，由為鈍角，得是銳角，
在中，，則，
由余弦定理得，即為等腰三角形，
所以.
（2）由，得，由點為的中點，得，
所以.
9．(1)
(2)不能選①，選②或③，答案均為1
【分析】（1）由正弦定理及得到，結合，得到；
（2）選①，由三角形面積和余弦定理得到，由推出矛盾；
選②，根據三角恒等變換得到，是以為斜邊的直角三角形，由正弦定理得到，求出中線；選③，由余弦定理得到，設邊上的中線長為，再由余弦定理得到邊上的中線的長為1．
【詳解】（1）由正弦定理及，
得．①
因為，
所以．②
由①②得．
因為，所以．
所以．
因為，
所以．
（2）選①，的面積為，
即，即，解得，
因為，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，
故此時三角形不存在，不能選①，
選條件②：．
由（1）知，．
所以
，
所以．
因為，所以．
所以，即．
所以是以為斜邊的直角三角形．
因為，
所以．
所以邊上的中線的長為．
選條件③：．
由余弦定理得，即．
設邊上的中線長為，由余弦定理得
，
所以邊上的中線的長為1．
10．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理與余弦定理求解即可；
（2）由幾何圖形分析，設邊上的高為，為垂足，在中，，，，設，從而求出，，進而求解即可.
【詳解】（1）設的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，
因為，
由正弦定理得：，
由余弦理得
又因為，
所以，．
（2）如圖：
設邊上的高為，為垂足，
在中，；
在中，，，，
設，則，，
所以，
所以.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由題利用正弦定理將條件式角化邊，再結合二倍角公式求出得解；
（2）根據題意得，結合的面積為，可求得，又由，求得，在中，由余弦定理求得,得解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得．兩邊除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理為，
上式因式分解為，
解得或（舍去），
又由，可得；
（2）由．有，
又由，可得，有，可得，
又由的面積為及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
在中，由余弦定理，有，
有的周長為．

12．(1)或2
(2)
【分析】（1）由余弦定理和面積公式，結合條件即可得出答案；
（2）由面積公式和正弦定理化簡求出A，即可得出答案.
【詳解】（1）余弦定理得，
，又，所以，代入，
，或2．
（2）
由正弦定理得，又，
，
，
，，
，
，，
，，
．
13．(1)證明見解析；
(2)直角三角形.
【分析】（1）利用正弦定理計算即可；
（2）利用正弦定理及（1）的結論證明即可.
【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，
整理可得，，
又，
于是，即，
因為，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）根據等面積法可知，即，
由，可得，
又由及正弦定理可得，，
解得，
由于，所以，
所以，所以是直角三角形.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將角化為邊即，然后化簡再利用余弦定理即可求解.
（2）設角，然后利用正弦定理得，然后利用正弦函數兩角和公式及二倍角從而求出，從而即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理，得．
整理化簡得．
由余弦定理得．
又，
所以．
（2）設，則，．
在中，由正弦定理得．
所以．
在中，由正弦定理得，
所以，
即．
所以，即．
注意到，
所以，．
所以，，．
所以四邊形的面積為．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方關系變形，再利用正弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可得解；
（2）在和在中，利用正弦定理求出的關系，再根據的關系即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，
由正弦定理得，故由余弦定理可得，
因為，所以；
（2）因為平分，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
即，所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進行分割化簡得，再運用余弦定理解方程即得.
【詳解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，則有，即，
因，故.
（2）因為為角平分線，所以，
所以.
因，，，則，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分別代入化簡得：，
解得：或（舍去），所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件和余弦定理可得結果，
（2）根據等面積求出，由余弦定理可得結果.
【詳解】（1）因為，，所以，
又，所以．
（2）因為，即，
又，，解得，
在中，由余弦定理得，
則.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據條件及正弦的和角公式得到，再利用正弦定理即可求出結果；
（2）設，利用及條件得出，
再利用余弦定理得，從而得到，即可求出結果.
【詳解】（1）由題意得，，得到，
所以，
由正弦定理，得到，又，
所以.
（2）設，因為，
所以，又，所以，
由余弦定理，，
所以
當時，取到最大值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）因為是的角平分線,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據四邊形內角和為可得到,從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）因為是的角平分線,所以,
在中,根據余弦定理得,
所以,
則,
因為,
所以.
（2）因為,所以,
在中,由正弦定理得,
在四邊形中,,
所以,
則.
20．(1)
(2).
【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理計算即可；
（2）利用三角形中線的向量性質與數量積公式、三角形面積公式及余弦定理計算即可.
【詳解】（1）由題意得，，
，，，
，，
，
，；
（2）由題意得，，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
的周長為.
21．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊化角結合兩角和正弦公式以及誘導公式即可得證.
（2）首先在和中，運用兩次余弦定理，得，，結合平方關系、三角形面積公式即可得解.
【詳解】（1）因為，由正弦定理知，
所以，
所以3，
即，
因為，
所以，所以.
（2）在中，，
在中，，
所以，所以，
所以，因為，所以，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得，再結合三角函數的性質，即可求解；
（2）在中 ，利用余弦定理，求得，得到，進而求得，進而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理得，
因為，可得，所以，
即，所以，
又因為，可得，所以，可得.
（2）解：在中 ，由余弦定理得
，所以，
因為且，所以，
所以，
又因為，所以，
所以 ，
在中，由正弦定理得， 即，解得.
23．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在中根據余弦定理、正弦定理及三角公式化簡可得；
（2）由第一問在中結合正弦定理可得，在中根據余弦定理可求得結果.
【詳解】（1）證明：由余弦定理得，
又，可得，即，
由正弦定理得，
而，代入上式，
可得，
所以（舍）或，
即.
（2）因為，，所以，
在中，由正弦定理得，
而，可得，
代入，可得，
由余弦定理得.
24．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結合恒等變換可求角B的大小.
（2）根據給定條件，結合三角形面積公式求出，再利用余弦定理、三角形面積公式計算即得.
【詳解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
則，而，于是，
即，又，即有，則，
所以.
（2）依題意，，則，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
25．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計算出結果；
（2）利用第一問的結果代入的余弦定理表達式，再利用基本不等式即可得到結果.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理得：，
整理得：，
……①
因為……②
②代入①有：，
再由正弦定理得．
（2）由余弦定理得：
，
當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．
26．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理邊化角，由正弦值求角；
（2）由銳角，求出角的范圍，化簡得，結合正弦函數的性質，求出取值范圍.
【詳解】（1），由正弦定理得．
因為，所以．因為為銳角三角形，所以．
（2）因為，所以．
因為為銳角三角形，所以得．
因為，
由，得，所以.
即的取值范圍為.
27．(1)；
(2).
【分析】（1）利用邊化角及三角恒等變換公式整理計算即可;
（2）通過角的轉化，借助三角恒等變換公式，得到，利用
的范圍，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，整理得
，
所以，
由正弦定理得：，
因為，所以，所以.
（2）因為為銳角三角形，，所以，且，
所以，
解法
，
因為，所以，
所以，
即的取值范圍是.
解法
，
因為，所以，得，
所以，
即的取值范圍是.
28．(1)；
(2)無最小值；
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，結合為銳角可得，所以；
（2）利用誘導公式可得，再由導數判斷出在上單調遞增，可得無最小值；
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以可得，解得或；
又為銳角，所以，
因此；
（2）結合（1）中，又可得：
；
令，則，
又為銳角，，所以，
可得，
所以，當時，恒成立，
即可得為單調遞增，
所以時，，所以無最值；
因此無最小值；
29．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知式，即可得出答案；
（2）由誘導公式、二倍角的正弦公式、兩角差的余弦公式化簡，再由三角函數的性質求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，，
從而可得，
，
又為三角形的內角，
所以，于是，
又為三角形的內角，因此.
（2）
，
由可知，，，
從而，
因此，
故的取值范圍為.
30．C
【分析】根據題意，求得，再由，求得，結合余弦定理和基本不等式，即可求解.
【詳解】因為，可得，
即，即，
可得，
因為，則，所以，解得，
又因為，所以，所以，
所以，由余弦定理得，所以，
所以，即，當且僅當時等號成立.
故選：C．
31．A
【分析】根據條件求得，再根據正弦定理及三角恒等變換將表示為的三角函數，求得的最大值.
【詳解】因為，
所以,
即,
由正弦定理可得,
即,
即, 因為,
所以,
因為, 所以;
由正弦定理可得,
則
, 其中，,
因為,
所以,
從而當時, 取得最大值為.
故選：A
32．(1)
(2)
【分析】（1）選①由三角恒等變換可得求出角，選②由三角形面積公式及數量積公式化簡得出即可求解，選③轉化為正弦函數，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等變換可得，利用正弦函數的值域求范圍即可得解.
【詳解】（1）若選①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若選②
，
，，
，.
若選③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周長的取值范圍.
33．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式即可得解.
（2）由余弦定理結合基本不等式以及三角形三邊關系，注意基本不等式的取等條件.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以.
因為，所以，所以.
（2）由余弦定理可得，
則，
因為，當且僅當時，等號成立，
所以，即，解得.
因為，所以.
綜上，的取值范圍為.
34．(1)
(2)
【分析】（1）已知條件結合余弦定理求出，得角；
（2）由的面積求出，余弦定理得，由基本不等式求周長的最小值.
【詳解】（1）由，得，
即，則，
由，得.
（2），得，
由余弦定理，有，得，
周長，
當且僅當時取等號，所以周長的最小值為.
35．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形面積公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，結合基本不等式求出的最大值即可得解.
【詳解】（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，當且僅當時取等，
因此的面積，
所以當時，面積取得最大值.
36．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理進行邊角轉換即可.
（2）由正弦定理、三角形面積公式結合三角恒等變換得，結合角的范圍即可得解.
【詳解】（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因為，所以．
（2）在銳角中，，記的面積為．
由正弦定理得，即．
所以．
因為在銳角中，，所以，
解得，
則，故．
37．(1)；
(2).
【分析】（1）由向量數量積的坐標表示，結合正弦邊角關系及差角余弦公式、誘導公式得，最后由正余弦邊角關系得到的關系式；
（2）應用余弦定理及平方關系得且，根據向量模長坐標表示得，進而有，再由三角形面積公式得面積，即可求最大值.
【詳解】（1）由題設，
所以，
則，，
又，則，
所以，故，故.
（2）由，故，且，
由，即，故，
又面積，
當，即時，.
38．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，進行轉換即可；
(2)根據題意，由（1）知，求出取得最大值，最大值為.
【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以，
即.
（2）由題意知，，
所以
，
由（1）知，
所以，，
所以
，
所以當時，取得最大值，最大值為.
39．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據的內切圓的性質可得，選①，根據余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.
（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結合角C的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）設的內切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，
選擇①，因為，所以，
因為，，所以，
整理得，
方程無實數解，所以不存在．
選擇②，因為，所以，
因為，所以，所以，
因為，，所以，
整理得，方程無實數解，所以不存在．
選擇③，由得：，
所以，即，所以，
因為以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周長為．
（2）由（1）知，，面積，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范圍為，
而面積.
40．(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，進而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解；
（2）由，結合余弦定理可求得的長，在中，利用余弦定理即可求解.
【詳解】（1）
在中，由余弦定理可得，
所以，化簡得，
解得，
因為是的中點，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
因為，所以，
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得
，
所以；
（2）因為，，所以，
因為，所以，
設，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得
.
41．(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理和題中所給式子化簡計算得到，再結合余弦定理即可求出角；
（2）根據三角形面積公式得到和，再結合中線向量公式計算即可.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
化簡得，，
在中，由余弦定理得，，
又因為，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因為邊的中點為，所以，
所以
42．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由正弦定理可得，再由二倍角公式，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由余弦定理可得，再由角平分線定理可得，在中，結合余弦定理，即可得到結果.
【詳解】（1）由正弦定理可得，即，
又為三角形內角，，
.
（2）
由余弦定理可得，
解得或（舍）
又由角平分線定理有，即，解得，所以
在中，由余弦定理有.
43．(1)0
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理，轉化為角的有關計算，求出角，可得向量的數量積；
（2）先確定點的位置，再求所求三角形的面積.
【詳解】（1）在中，，由正弦定理可得：，
∵，∴，∴，
∵，∴.
所以：
（2）
如圖：，所以在線段的中垂線上，作，，垂足分別為，.
則，設，
則中，；
在中，；
在中，，所以：，
解得：或（舍去，因為此時點在外部）.
所以.
44．(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理求出的表達式，利用面積公式求出表達式，得出，即可求出的值；
（2）求出的范圍，利用的表達式即可得出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意，
在中，由余弦定理和可得，.
，
又由面積公式可知，
，由得
又
∴，
（2）由題意及（1）得，
在中，.
過作的垂線，且使，則，
，即，得，
，
，
，
由，得，
的取值范圍為.
45．(1)或
(2)
【分析】（1）根據題意，求得，利用平方關系，列出方程，即可求解；
（2）根據題意，求得，得到，進而得到，求得，再由，利用余弦定理列出方程求得，得到，結合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由，可得，所以，即，
又由平方關系，可得，
整理得，解得或.
（2）解：由，可得，
整理得，即，所以，
因為角平分線交于，且，，
可得，所以，解得，
又因為是的中點，所以，
因為，可得，
由余弦定理得，解得，可得，
又由，所以，
所以的面積為.
46．(1)4
(2)
【分析】（1）利用三角形面積公式，結合余弦定理，即可求得答案；
（2）由題意結合正弦定理推出，設，由余弦定理推出，即可表示出的面積的表達式，化簡，結合二次函數知識，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，即，
故，即，
結合，得；
（2）由于平分，故，
故，
而，即得,
設，則，
即，則，
故
，
當，即時，取到最大值，最大值為3；
又，滿足，
當無限趨近于1或2時，無限趨近于0，
故的面積的取值范圍為.
47．(1)
(2)24
【分析】（1）根據向量數量積公式及面積公式求出角A即可；
（2）應用余弦定理結合基本不等式求出最值即得解.
【詳解】（1）因為，所以，
可得， 因為，所以.
（2）由余弦定理可知，即，
因為，所以，
所以，可得，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.
48．(1)
(2)
【分析】（1）根據兩角和差及誘導公式結條件計算即可；
（2）應用余弦定理結合基本不等式即可得出最大值.
【詳解】（1），
，
即，
，即.
或，
當時，，
由，有，即時.
當時，（舍）.
.
（2）設，，
由（1）及余弦定理有，即.
，即，當且僅當時等號成立.
由D為邊的中點有，
，
當且僅當時等號成立.
，當且僅當時等號成立.
的最大值為.
49．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件先確定出的關系，然后通過誘導公式化簡，最后根據正弦定理進行化簡并完成證明；
（2）根據正弦定理將表示為關于的三角函數形式，然后分析的范圍，由此可求的取值范圍，則周長的取值范圍可知.
【詳解】（1）由條件可知：，所以，
因為，所以，所以，
因為
，
所以，
由正弦定理可知：.
（2）因為且，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，
所以周長的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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